Главная ОбучениеСпец. курсы для аспирантовДифференциальные уравнения и абелевы интегралы
Согласно Государственному образовательному стандарту послевузовского образования и в соответствии с Положением о проведении спецкурсов для аспирантов кафедры математики аспирант обязан прослушать три спецкурса по его выбору (согласованному с научным руководителем) и выдержать по ним устные экзамены.
Спецкурс кафедры математики представляет собой семестровый курс лекций (2 часа в неделю), сопровождаемый самостоятельными и практическими работами. Вместо спецкурса кафедры математики аспирант может прослушать и сдать экзамен по спецкурсу, читаемому для аспирантов физического факультета на другой кафедре. Полный перечень спецкурсов можно получить в отделе аспирантуры.
Дифференциальные уравнения и абелевы интегралы
48 часов учебной нагрузки (весенний семестр)
3 ч.×16 нед.=48 ч.
Лектор: Малых М.Д.
Отчетность: устный экзамен.
Задача курса Познакомить с теорией многозначных аналитических функций, эллиптических и абелевых интегралов, в их приложениях к теории дифференциальных уравнений и задачи многих тел. При этом особое внимание уделено изложению классических работ Вейерштрасса и Пенлеве.
Программа курса
- Аналитическая теория дифференциальных уравнений.
- Маятник Пенлеве как пример физической задачи, не имеющей решения. Локальная теория Коши: теорема Коши о существовании и Пенлеве о единственности. Теорема Реллиха о целых решениях.
- Глобальная теория Вейерштрасса и Пенлеве рациональных дифференциальных уравнений. Аналитические функции как решения задачи Коши. Многозначные аналитические функции, их ветви и особые точки. Теоремы Пенлеве об особых точках в аффинной и проективной форме.
- Аналитическая теория задачи многих тел. Теоремы о столкновении тел. Регуляризующее преобразование в случае простого столкновения по Бурде. Решение задачи трех тел в виде рядов Зундмана и его критика.
- Теория алгебраических функций и абелевых интегралов.
- Алгебраические функции и кривые. Локальная униформизация алгебраических кривых. Теория главной функции. Жанр алгебраической кривой.
- Абелевы интегралы. Разложение произвольного интеграла на сумму интегралов трех родов и алгебраической функции. Абелевы интегралы 1-3 го рода, их характеристические свойства и периоды. Геометрические следствия.
- Алгебраическая теория дифференциальных уравнений.
- Алгебраические дифференциальные уравнения, нормальная форма Вейерштрасса. Распространение на них теорем Пенлеве. Решение как функция констант: теорема Пикара и контрпример Пенлеве. Задача Фукса.
- Уравнения, разрешимые в конечном виде. Задача Пенлеве об отыскании и интегриро-вании всех дифференциальных уравнений, общее решение которых зависит от констант алгебраически. Ее связь с теорией групп бирациональных преобразований алгебраических многообразий.
Доступные материалы:
Рекомендуемая литература:
- Голубев В.В. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. М.-Л., 1950.
- Зигель К. Лекции по небесной механики. М.: ИЛ, 1959.
- Маршал К. Задача трех тел. М.-Ижевск: ИКИ, 2004.
|
