Согласно Государственному образовательному стандарту послевузовского образования и в соответствии с Положением о проведении спецкурсов для аспирантов кафедры математики аспирант обязан прослушать три спецкурса по его выбору (согласованному с научным руководителем) и выдержать по ним устные экзамены.

Спецкурс кафедры математики представляет собой семестровый курс лекций (2 часа в неделю), сопровождаемый самостоятельными и практическими работами. Вместо спецкурса кафедры математики аспирант может прослушать и сдать экзамен по спецкурсу, читаемому для аспирантов физического факультета на другой кафедре. Полный перечень спецкурсов можно получить в отделе аспирантуры.

Контрастные структуры в сингулярно возмущенных уравнениях

Лекторы: проф. Васильева А.Б., проф. Нефедов Н.Н.

Отчетность: устный экзамен.

Содержание курса:

1. Построение асимптотических приближений решений с внутренними и пограничными слоями - контрастных структур.
2. Основы принципа сравнения - асимптотический метод дифференциальных неравенств.
3. Исследование существования, устойчивости и формирования контрастных структур.
4. Внутренние слои в задачах со сменой устойчивости.

Программа курса

1. Регулярные и сингулярные возмущения. Основные понятия теории сингулярных возмущений по Тихонову. Простейшая сингулярно возмущенная задача с начальными условиями. Вырожденное уравнение. Устойчивые и неустойчивые корни вырожденного уравнения. Пограничный слой. Асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения по параметру. Формальное разложение в виде суммы регулярного и пограничного ряда. Понятие асимптотического ряда. Остаточный член асимптотики. Асимптотический ряд и сходящийся ряд.
2. Краевая задача для сингулярно возмущенного нелинейного уравнения второго порядка, вырождающегося в конечное уравнение. Чисто погранслойное решение в случае краевых условий первого рода. Формальное разложение, состоящее из трех рядов: регулярного ряда, левого пограничного ряда и правого пограничного ряда. Оценка пограничных функций. Оценка невязки. Оценка остаточного члена асимптотики методом дифференциальных неравенств (методом барьеров), верхнее и нижнее решения, теорема Нагумо. Оценка остаточного члена методом сведения к интегральному уравнению.
3. Случай, когда уравнение содержит явно первую производную. Особенность оценки пограничных функций. Условия применимости теоремы Нагумо. Краевая задача для уравнения второго порядка, вырождающаяся в уравнение первого порядка. Алгоритм построения асимптотики и оценка остаточного члена методом дифференциальных неравенств.
4. Контрастная структура типа ступеньки для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. Понятие внутреннего слоя и точки перехода. Построение асимптотики контрастной структуры типа ступеньки путем гладкого соединения асимптотик двух погранслойных решений слева и справа от точки перехода, которая сама определяется в процессе этого построения. Алгоритм построения контрастной структуры типа ступеньки для уравнений, содержащих первую производную. Контрастные структуры с заранее заданной точкой перехода.
5. Периодическое решение сингулярно возмущенного параболического уравнения с краевыми условиями. Применение метода дифференциальных неравенств. Контрастные структуры типа ступеньки. Случай, когда малый параметр входит в разных степенях при второй производной по x и первой производной по t.
6. Контрастные структуры переменного типа. Переход от контрастной структуры типа ступеньки к погранслойному решению и обратно к ступеньке. Три стадии в контрастной структуре переменного типа: медленное перемещение ступеньки, остановка (погранслойная стадия) и возвращение к решению типа ступеньки, возникновение пробега. Различные типы движения фронта при медленном перемещении и пробеге. Примеры контрастных структур переменного типа.
7. Другие контрастные структуры (обзор). Критические случаи. Системы уравнений. Контрастные структуры типа всплеска. Контрастные структуры в уравнениях с частными производными.
8. Некоторые сведения о других задачах и методах теории сингулярных возмущений (обзор). Метод регуляризации. Метод сращивания.

Литература:

• Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
• Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах. // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, Т. 4, ? 3, с.799-851.
• Васильева А.Б. О контрастных структурах переменного типа. // Итоги науки и техники, 2003, Т .109. Серия: современная математика и ее приложения, тематические обзоры, дифференциальные уравнения, сингулярные возмущения.