Эллиптические уравнения

Читается в 9-ом семестре.
2 часа лекций в неделю

Лектор: доц. Майков А.Р.

Отчетность: устный экзамен.

Содержание курса

1. Функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в шаре пространства . Формула Пуассона; формула среднего значения и другие следствия. Теоремы о сходимости последовательности гармонических функций.
2. Супер- и субгармонические, верхние и нижние функции. Обобщенное по Пуанкаре решение задачи Дирихле для оператора Лапласа.
3. Понятие барьера и теорема существования решения задачи Дирихле для уравнения в . Достаточные условия регулярности точки границы.
4. Свойства ньютонова потенциала и существование решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
5. Эллиптические дифференциальные уравнения. Принцип максимума и усиленный принцип максимума для регулярных решений. Постановка краевых задачи теоремы единственности решений.
6. Оценки Шаудера. Метод продолжения по параметру и доказательство существования в пространствах Гельдера решения задачи Дирихле для эллипти-ческих уравнений.
7. Эллиптические дифференциальные уравнения дивергентного вида. Постановка внутренней задачи Дирихле для уравнения в пространстве .
8. Принцип максимума для решений задачи п.7.
9. Разрешимость задачи п.7.

Основная литература:

1. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений.
2. Гилбарг Н., Трудингер Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

Дополнительная литература:

1. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравне-ния эллиптического типа.
2. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболиче-ского типов.
3. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей.
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В.Элементы теории функций и функцио-нального анализа.
5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.
6. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функ-ций.

Материалы:

1. Программа курса