ГлавнаяОбучениеСпециальные курсыОсновы теории категорий и некоторые ее приложения
Основы теории категорий и некоторые ее приложения
Теория категорий, функторы, естественные преобразования, свободные объекты, сопряженные функторы, монады (тройки), алгебраические теории, преобразователи информации.
Читается в 10-ом семестре.
2 часа лекций в неделю
Лекторы: проф. Голубцов П.В.
Отчетность: зачет.
Теория категорий представляет из себя попытку математиков раскрыть основополагающие принципы, общие для различных областей математики. Грубо говоря, категория представляет класс однотипных математических структур, скажем, групп, линейных пространств, топологических пространств и т.д. и соотношения между ними. Многие важные математические конструкции, встречающиеся в различных областях математики (например понятия произведения групп, линейных или топологических пространств), получают в терминах теории категорий единообразное и изящное выражение. Наиболее интересные результаты теории категорий связаны с понятиями функтора ("отображения" одной категории в другую) и естественного преобразования ("трансформирующего" один функтор в другой). Так понятие сопряженного функтора изящно описывает, скажем, пополнение метрических пространств, наделение множества дискретной (или антидискретной) топологией, образование свободной группы и многие другие фундаментальные понятия соответствующих математических дисциплин. В спецкурсе рассматриваются основные понятия и конструкции теории категорий. Изложение сопровождается примерами из теории множеств, алгебры, топологии. Вкратце рассматриваются некоторые приложения теории категорий к алгебраической теории систем, универсальным алгебрам, теории преобразователей информации.
Литература:
Основная.
- Arbib M. A., Manes E. G. Arrows, Structures and Functors, New York: Academic Press.
- Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир.
- Цаленко М. Ш. Основы теории категорий. М.: Наука, 1974.
- Букур И. Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов.
Дополнительная.
- MacLane S. Categories for the Working Mathematician, Graduate texts in mathematics ? 5. New York: Springer.
- Manes E. G. Algebraic Theories, Graduate texts in mathematics ? 26. New York, Springer.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.
- Ленг С., Алгебра.
- Фейс К., Алгебра. Кольца, модули и категории. Т 1.
- Голубцов П. В. Информативность в категории многозначных преобразователей информации, Проблемы передачи информации, 1998, т. 34, ?3, 60 80
- Голубцов П. В., Аксиоматическое описание категорий преобразователей информации. Проблемы передачи информации, Т.35 ?3, С.109 127, 1999.
- Golubtsov P.V., Monoidal Kleisli Category as a Background for Information Transformers Theory. Информационные процессы (Information processes). Электронный научный журнал, Том 2, ?1, стр. 62-84, 2002 (http://www.jip.ru/2002/2-1-2002.htm).
Доступные материалы:
- Информация о курсе //119КБ 18.03.2009//
- Программа курса //60КБ 18.03.2009//
- Вопросы по курсу //60КБ 18.03.2009//
|