МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Версия для печати

Занятие 4 (26 октября 1996)

Задача 4.1.
а) В классе 25 учеников. Докажите, что в этом классе обязательно найдутся два ученика, которые отмечают свой день рождения в одном и том же месяце.
б) А обязательно ли найдутся три таких ученика?

Задача 4.2. Незнайка считает четырехугольник квадратом, если у этого четырехугольника стороны имеют равные длины. Не ошибается ли он?

Задача 4.3. На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы остальных ее чисел?

Задача 4.4.
а) В строчку написаны 10 единиц. Юра и Витя по очереди ставят между какими-нибудь соседними числами знак: "+" или "-" (если там еще нет знака). Начинает Юра. Когда между всеми соседними числами будет стоять знак, вычисляют значение полученного выражения. Если оно четное, то выигрывает Юра, иначе - Витя. Может ли один из ребят играть так, чтобы всегда выигрывать (как бы не играл другой), и если может, то как ему следует играть?
б) Та же задача, но ребята ставят между числами либо "+", либо "×". (В конце игры при вычислении выражения сначала выполняются умножения, а потом - сложения).

Задача 4.5.
а) Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев.
б) Может ли у ломаной с таким свойством быть 7 звеньев?

Дополнительные задачи

Задача 4.6. Несколько гномов играли в шашки. Каждый сыграл с каждым по партии. Всего было сыграно 210 партий. Сколько было гномов?

Задача 4.7. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?