МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Два человека отправились на рынок продавать яблоки. У них было по 30 яблок. Один собирался продавать по 2 яблока за 1 рубль, а другой - по 3 яблока за 1 рубль. Перед началом торговли первого продавца вызвали домой, и он попросил второго продавца продать его яблоки. Тот стал продавать по 5 яблок за 2 рубля. Если бы они торговали порознь, то выручили бы 10 рублей и 15 рублей, а продавая по 5 яблок за 2 рубля, они получили 24 рубля. Куда исчез рубль?

Решение

Решение. Вообразите, что продавец не ушел домой, а остался за прилавком. Пусть покупатели тратят по 2 рубля, покупая у каждого продавца на рубль. Тогда первые 10 покупателей купят 20 дорогих и 30 дешевых яблок, так что дешевые яблоки кончатся раньше, чем дорогие. Рубль исчез потому, что оставшиеся 10 дорогих яблок продали не по два яблока за рубль, а как смесь, по 5 яблок за 2 рубля. Замечание. Поскольку более дорогое яблоко стоило 1/2 рубля за штуку, а более дешевое - 1/3 рубля, следовало продавать их по (1/2 + 1/3) : 2 = 5/12 рубля. Эта цена выше, чем установленная продавцами цена в 2/5 рубля за штуку. (И выше ровно на 5/12 - 2/5 = 1/60.)

Разбейте {1, 2, 9, 25, 49, 64} на два подмножества, чтобы сумма чисел одного из них была равна сумме чисел другого.

Указание   Ответ

Указание. 1 + 2 + 9 + 25 + 49 + 64 = 150, 150 : 2 = 75.

Ответ. 49 + 1 + 25 = 2 + 9 + 64.

Разделите полоску на 4 одинаковые части, чтобы все части имели одну и ту же сумму входящих в них чисел.

1	9	16	7	12	5	4	3
8	15	10	2	13	6	11	14

Указание   Ответ

Указание. Вычислите сумму всех чисел таблицы и разделите полученное число на 4.

Ответ. 1 9 16 7 12 5 4 3 8 15 10 2 13 6 11 14

Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня - 50 кг, Маня и Ваня - 90 кг, Ваня и Даня - 100 кг, Даня и Аня - 60 кг. Сколько весит Аня?

Указания   Ответ

Указания. Первый способ. Обозначив вес Ани через a (кг), получаем: Таня весит t = 40 - a кг, Маня весит m = 50 - (40 - a) = 50 - 40 + a = 10 + a кг, и так далее. Второй способ. Удвоенный общий вес равен (a + t) + (t + m) + (m + v) + (v + d) + (d + a) = = 40 + 50 + 90 + 100 + 60 = 340 кг, так что Аня весит 340 : 2 - 50 - 100 = 20 кг.

Ответ. 20 кг.

а) Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 рублей, без второго - 85, без третьего - 80, без четвертого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

б) Решите систему уравнений: y + z + t = 90, x + z + t = 85, x + y + t = 80, x + y + z = 75.

Решение

Решение. Всего денег у купцов (90 + 85 + 80 + 75) : 3 = 110 рублей. Поэтому у первого 110 - 90 = 20, у второго 110 - 85 = 25, у третьего 110 - 80 = 30, а у четвертого 110 - 75 = 35 рублей.

Средний возраст 11 игроков футбольной команды - 22 года. Во время матча один игрок получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков - 21 год. Сколько лет получившему травму?

Ответ   Указание

Ответ. 32.

Указание. 11 · 22 - 10 · 21 = 32.

Когда Миша поступал в МГУ, учитывали средний балл аттестата о среднем образовании по двенадцати предметам. У Миши средний балл был равен 3,5. По скольким предметам ему нужно было повысить оценку на один балл, чтобы средний балл оказался равен 4?

Ответ   Указание

Ответ. По 6 предметам.

Указание. (4 - 3,5) · 12 = 6.

Учитель проводит урок в классе. Возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 22 года больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько в классе учеников?

Ответ   Решение

Ответ. 11.

Решение. Обозначим буквой x возраст учителя, а буквой n - количество учеников в классе. Сумму возрастов учеников можно выразить двояко: как n(x - 24) и как (n + 1) · (x - 22) - x. Приравняв эти выражения и раскрыв скобки, получаем nx - 24n = nx - 22n + x - 22 - x, откуда -2n = -22, то есть n = 11.

Прямоугольник разбит прямыми на 25 прямоугольников. Площади некоторых из них указаны на рисунке. Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.

?				20
			14	10
		32	28
	35	40
9	21

Ответ   Указание

Ответ. 12.

Указание. Докажите, что произведение площадей розовых прямоугольников равно произведению площадей зеленых прямоугольников. ?       20       14 10     32 28     35 40     9 21

Катя, Лена, Маша, Нина участвовали в концерте. Каждую песню пели 3 девочки. Катя спела 8 песен - больше всех; Нина меньше всех - 5 песен. Сколько песен было спето?

Ответ   Указание   Решение

Ответ. 9 песен.

Указание. Сумма количеств песен, спетых девочками, кратно трем.

Решение. Сумма количеств песен, спетых девочками, равна утроенному числу всех спетых песен. Поскольку ни число 5 + 6 + 6 + 8, ни число 5 + 6 + 6 + 8 не кратно трем, то Лена и Маша спели по 7 песен, а всего было спето (5 + 7 + 7 + 8) : 3 = 9. песен.

Можно ли натуральные числа от 1 до 30 записать в таблицу из 5 строк и 6 столбцов, чтобы все шесть сумм чисел, стоящих в столбцах, были равны?

Ответ   Указание

Ответ. Нельзя.

Указание. Сумма первых 30 натуральных чисел нечетна и поэтому не делится на 6.

Можно ли заполнить числами таблицу размером а) 5×5; б) 6×6 так, чтобы произведение всех чисел любой строки было отрицательно, а произведение всех чисел любого столбца - положительно?

Ответ а)   Ответ б)

а) Ответ. Нельзя.

б) Ответ. Можно.

в) Можно ли расставить числа в таблице 19×66 так, чтобы в каждой строке сумма чисел была положительна, а в каждом столбце - отрицательна?

Указание

Указание. Рассмотрите сумму всех чисел таблицы.