Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://mmmf.msu.ru/archive/20052006/z9/?print
Дата изменения: Mon Oct 1 21:34:30 2012
Дата индексирования: Mon Oct 1 21:34:30 2012
Кодировка: Windows-1251
Кружок 9 класса
Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов 2005/2006 учебный год
Один преподаватель оставил на дверях всех кабинетов в школе записки
следующего содержания: „Я в кабинете номер ...” и исчез в неизвестном
направлении. (Разные записки могут содержать разную информацию.) Некоторый
школьник начал поиски преподавателя, руководствуясь этими указаниями.
Докажите, что с некоторого момента он начнет двигаться по циклу.
Следующий член последовательности натуральных чисел равен последней цифре
произведения двух предыдущих. Докажите, что последовательность а) периодична;
б) с периодом длины не больше 26; в) меньше 17.
В тридесятом королевстве у каждого зáмка и каждой развилки сходятся три
дороги. Рыцарь выехал из своего замка и по очереди поворачивает то направо, то
налево. Докажите, что его маршрут зациклится.
Докажите, что если в задаче про одного преподавателя все записки указывают
на разные кабинеты, то школьник рано или поздно вернется в тот кабинет, с
которого начал.
Кубик Рубика выведен из первоначального состояния некоторой комбинацией
поворотов. Докажите, что всегда можно вернуть его в первоначальное состояние,
выполнив эту комбинацию еще несколько раз.
В последовательности 20068486... каждая цифра, начиная с пятой, равна
последней цифре суммы четырех предшествующих цифр. Верно ли, что в этой
последовательности снова встретится четверка 2006?
Установлено, что погода на Сириусе в данный день полностью определяется
предыдущей неделей. Варианты погоды: магнитная буря, метеоритный дождь, штиль.
Последнюю неделю шел метеоритный дождь. Докажите, что „дождливые” недели
всегда были и будут.
По кругу стоит несколько коробочек. В каждой из них может быть пусто, один
или несколько шариков. Ход: из какой-то коробочки берутся все шарики и
раскладываются по одному по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки.
На следующем ходу раскладывают шарики из той коробочки, в которую попал
последний шарик на предыдущем ходу, и т. д. Докажите, что в какой-то момент
повторится начальное расположение шариков.
Пусть p и q — натуральные числа, причем p не делится
нацело на q и q имеет простые делители, отличные от 2 и 5.
Докажите, что при делении p на q „в столбик”:
а) не позднее, чем на q-м шаге мы получим то значение остатка,
которое раньше уже появлялось;
б) начиная с этого момента значения остатков и цифры частного будут
повторяться периодически.