МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2009/2010 учебный год

Оценки углов (17.10.2009)

Основная проблема. На плоскости даны n точек A₁, A₂, …, A_n. Обозначим через α₁, α₂, … α_N углы треугольников, образованных этими точками. Пусть α₁ ≤ α₂ ≤ … ≤ α_N. Какие значения может принимать α_k в зависимости от выбора n точек на плоскости?

1.: Решите основную проблему для n = 3.
2.: Решите основную проблему для k = 1 и любого n. При каком расположении точек достигается наибольшее значение α₁?
3.: Решите основную проблему для n = 4, 5, 6, 7, 8 и k = 3 · C³_n.
4.: Решите основную проблему для n = 4 и k = 2, k = 11.
5.: Докажите, что при всех n ≥ 2 min α_k = 0° при 1 ≤ k ≤ ^{n(n − 1)(n − 2)}/₃ и max α_k = 180° при ^{n(n − 1)(n − 2)}/₃ < k ≤ ^{n(n − 1)(n − 2)}/₂.
6.: Решите для n = 4 и k = 1, 2, 11, 12 пространственную основную проблему (четыре точки выбираются в пространстве).
7.: При каком n а) на плоскости, б) в пространстве можно расположить n точек так, чтобы все образованные этими точками углы были не больше 90°?

Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter!