МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Версия для печати

«Дискретная непрерывность» (6 ноября 2010 года)

1.

В ряд выложены 100 черных и 100 красных шаров, причем самый левый и самый правый шары черные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, чтобы среди них количество красных равнялось количеству черных.

2.

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде „налево” некоторые повернулись налево, некоторые — направо, а остальные — кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, что бы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

3.

Грани восьми единичных кубиков окрашены в черный и белый цвета так, что черных и белых граней поровну. Докажите, что из этих кубиков можно сложить куб 2×2×2, на поверхности которого черных и белых квадратиков поровну.

4.

В некоторых клетках квадрата 50×50 стоят + 1 и − 1, причем сумма всех чисел не больше 100 и не меньше − 100. Докажите, что есть квадрат 25×25, абсолютная величина суммы чисел в котором не превосходит 25.

5.

За круглым столом сидит четное количество гномов. У каждого на колпаке по несколько помпонов. Причем у любых двух рядом сидящих гномов количество помпонов отличается не более чем на 1. Докажите, что найдется пара гномов, сидящих друг напротив друга, количества помпонов на колпаках которых отличаются не больше, чем на 1.

6.

В поселок ежедневно приходит не менее двух писем и не более трех телеграмм. За январь прошлого года писем пришло больше, чем телеграмм, а за весь прошлый год в целом — наоборот. Докажите, что в прошлом году был день, в который количества писем и телеграмм, пришедших в поселок с начала года, совпадали.

7.

Хоккейный матч «Динамо» — «Спартак» закончился со счетом 8:5 в пользу «Динамо». Верно ли, что в ходе матча был момент, когда команда «Динамо» уже забросила столько шайб, сколько еще оставалось забросить «Спартаку» до конца матча?

8.

В зале находятся n юношей и n девушек, причем никакие трое не находятся на одной прямой. Всегда ли можно провести по полу прямую черту так, чтобы в каждой из образовавшихся частей зала юношей и девушек было поровну (но не ноль)?