Кружок 8 класса

Занятие 1. Письменная работа

1.

Верно ли, что

1 +	1	≥	2
	x²		x

для любого действительного числа х, отличного от 0? Ответ обоснуйте.

2.

Улитка ползет по столбу вверх. За день она поднимается на 5 см вверх, а за ночь, уснув, случайно сползает на 3 см. Высота столба 1 м. На какой день улитка доползет до его вершины?

3.

Дан прямоугольный параллелепипед со сторонами 1 см, 2 см и 3 см (см. рисунок). Муха, сидящая в точке А, хочет кратчайшим путем доползти до точки В по граням параллелепипеда. Как ей это сделать и какой путь она при этом проползет?

4.

Есть две кучи камней: в первой куче 2009 камней, а во второй — 2010. Света и Даша играют в такую игру: за один ход каждая девочка берет камни из одной кучи, причем не более ста. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Первый ход делает Даша. Кто выигрывает при правильной игре?

5.

В городе Маленький 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

6.

ABCD — четырехугольник, причем AD ∥ BC, AM ⊥ BD, AM — биссектриса угла BAD, ∠BMA = ∠ABD. Доказать, что ABMD — квадрат.

7.

Поля, Даша, Света и Юля были на математической олимпиаде. В ответ на вопрос «Кто из вас решил последнюю задачу?» каждая девочка высказала два утверждения:
Поля: «Даша не решила задачу. Я тоже ее не решила».
Даша: «Юля решила задачу. А вот Света — нет».
Света: «Да, задачу решила Юля. А вот я не смогла».
Юля: «Поля решила задачу. Света — тоже».
Кто мог решить задачу, если каждая девочка один раз сказала правду, а один раз ошиблась? Перечислите все возможные случаи: задачу могли решить и несколько девочек.

8.

Для каких простых чисел p число p+1 также является простым?