МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Версия для печати

Движение (дополнительные задачи) (27 октября 2012 года)

9.

Сколько раз за сутки минутная стрелка обгоняет часовую?

Быстрое решение Ответ

Быстрое решение. Посчитайте, сколько оборотов за сутки делает минутная стрелка, и сколько — часовая.

Ответ. 22

10.

Паспарту увидел приближающийся к мосту автомобиль Фикса, когда он прошел 3/8 этого моста. Если он повернет назад и побежит навстречу автомобилю, то они встретятся у начала моста. Если же он побежит вперед, то автомобиль догонит его в конце моста. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости Паспарту?

Указание Указание 2 Решение

Указание.

Обратите внимание, что из условия задачи следует, что автомобиль едет в том же направлении, в каком первоначально шел Паспарту.

Обозначьте все неизвестные, например, так:
\(v_{П}\) — скорость Паспарту;
\(v_{А}\) — скорость автомобиля Фикса;
\(l\) — длина моста;
\(d\) — расстояние от автомобиля до моста в начальный момент.
Должны получиться 2 уравнения, но нам можно их не решать, ведь нужно только найти \(\frac{v_{А}}{v_{П}}\).

Указание 2. Как составить уравнения? По условию, если Паспарту побежит навстречу автомобилю, они встретятся у начала моста, то есть Паспарту пробежит обратно 3/8 моста за такое же время, за какое автомобиль Фикса доедет до начала моста. То есть, нужно в наших обозначениях записать время, нужное Паспарту для прохода 3/8 моста, и время, нужное Фиксу для того, чтобы до него доехать, и приравнять их. Второе уравнение, для случая, если Паспарту побежит по мосту дальше вперед, получается аналогично.

Решение.

Время, за которое Паспарту пробежит 3/8 моста: \(\frac{3}{8} \cdot \frac{l}{v_{П}}\)
Время, за которое автомобиль доедет до моста: \(\frac{d}{v_{А}}\)
По условию, они равны.

Время, за которое Паспарту пробежит оставшуюся 1 - 3/8 часть моста: \((1 - \frac{3}{8}) \cdot \frac{l}{v_{П}}\)
Время, за которое автомобиль доедет до моста и проедет весь мост: \(\frac{d + l}{v_{А}}\)
По условию, они тоже равны.

Итак,
\(\frac{3}{8} \cdot \frac{l}{v_{П}} = \frac{d}{v_{А}}\);
\((1 - \frac{3}{8}) \cdot \frac{l}{v_{П}} = \frac{d + l}{v_{А}}\).

Существует много способов найти \(\frac{v_{А}}{v_{П}}\), например, умножив обе части первого уравнения на \(v_{А}\) и разделив на \(l\), а затем найдя выражение для \(\frac{d}{l}\) из второго уравнения или произведя во втором уравнении те же действия, чтобы тоже выразить \(\frac{v_{А}}{v_{П}}\) и составить одно уравнение из двух. Однако, можно поступить иначе. Заметим, что уравнения похожи друг на друга. Вычтем из второго уравнения первое, чтобы некоторые их части сократились:
\((1 - \frac{3}{8} - \frac{3}{8}) \cdot \frac{l}{v_{П}} = \frac{d + l - d}{v_{А}}\).
Остается только упростить уравнение дальше:
\(\frac{2}{8} \cdot \frac{l}{v_{П}} = \frac{l}{v_{А}}\);
\(\frac{1}{4} \cdot \frac{v_{А}}{v_{П}} = 1\);
\(\frac{v_{А}}{v_{П}} = 4\).

Ответ: в 4 раза.

11.

В разные моменты времени из пунктов А и В выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Встретившись в точке С, они тотчас развернулись и поехали обратно. Доехав до своих пунктов, они опять развернулись и поехали навстречу друг другу. На этот раз они встретились в точке D и, развернувшись, вновь поехали к своим пунктам. И т.д. В какой точке отрезка АВ произойдет их 1999 встреча?