МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Версия для печати

Геометрия - 2. 10 ноября 2012

1.

Проверяя, что кусок материи имеет форму квадрата, швея перегибает его по каждой диагонали и убеждается, что края каждый раз совпадают. Достаточна ли такая проверка?

2.

На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Его требуется разбить на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки. Может ли оказаться так, что суммарная длина проведенных отрезков не превосходит 16 клеток?

3.

Что больше: сумма длин сторон четырехугольника или сумма длин его диагоналей?

4.

На прямоугольном куске хлеба лежит кружок колбасы. Как разрезать (по прямой) этот бутерброд на две части, чтобы и хлеб и колбаса разделились поровну?

5.

Муравей сидит в вершине деревянного куба. Он хочет, двигаясь по поверхности куба, переползти в противоположную вершину по кратчайшему пути. Как ему это сделать?

6.

Дан выпуклый четырехугольник. Найдите внутри него точку, сумма расстояний от которой до вершин четырехугольника наименьшая.

7.

а) Можно ли нарисовать четырехугольник с такими длинами сторон: 9 см, 3 см, 4 см, 2 см? б) Верно ли, что из любых десяти палочек можно сложить десятиугольник?

Дополнительные задачи

8.

Можно ли накрыть равносторонний треугольник двумя меньшими равносторонними треугольниками?

9.

Существует ли четырехугольник, у которого любую вершину можно перенести (оставив остальные на месте) так, что получится четырехугольник, равный исходному?

10.

В прямоугольнике ABCD точка P - середина стороны AB, а точка Q - основание перпен- дикуляра, опушенного из вершины C на PD. Докажите, что BQ = BC.