![](/images/spacer.gif) |
![](/images/msu_up.gif) |
|
![](/images/msu_mid.gif) |
![](/images/spacer.gif) |
|
Кружок 7 класса
Руководитель Степан Львович Кузнецов 2015/2016 учебный год
Группа А
Версия для печати
Занятие 20 (2 апреля 2016 года). Остатки (продолжение)
- 1.
-
На какую цифру оканчивается число а) \(777^{777}\); б) \(7^{7^7}\)?
- 2.
-
Докажите, что \(2222^{5555}+5555^{2222}\) делится на 7.
- 3.
-
У Ивана-царевича есть два волшебных меча, а у Змея Горыныча — сто голов. Первым мечом Иван всегда отрубает Змею Горынычу 21 голову,
вторым — 4, но тогда у Змея Горыныча отрастает 2006 новых голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы?
(Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то отрубить их не получится.)
- 4.
-
Докажите, что сумма цифр полного квадрата не может быть равна 2015.
- 5.
-
Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести квадратов нечетных чисел?
- 6.
-
В небольшой шотландской школе учатся 1000 школьников, и у каждого есть шкафчик для одежды. Шкафчики занумерованы числами от 1 до 1000, и после
уроков школьники их запирают. А еще в этой школе обитают привидения — их тоже тысяча. Однажды ночью они начали по очереди шалить:
сначала первое привидение открыло все шкафчики, затем второе закрыло шкафчики с четными номерами, а каждое следующее привидение меняло
состояние шкафчиков с номерами, кратными своему номеру (закрывало открытые шкафчики и открывало закрытые). И вот, когда последнее привидение поменяло
состояние тысячного шкафчика — пропел петух, и все привидения срочно убрались восвояси.
Сколько школьников на следующее утро с удивлением обнаружили свои шкафчики открытыми?
Дополнительные задачи
- 7.
-
Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Например, \(52=4^3+(-3)^3+2^3+2^3+(-1)^3\).
- 8.
-
Коля и Вася выписывают две периодические последовательности букв: Коля — с периодом 7, Вася — с периодом 13:
a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | a7 |
a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | a7 | a1 |
... |
b1 | b2 | b3 | b4 | b5 | b6 | b7 |
b8 | b9 | b10 | b11 | b12 | b13 |
b1 | b2 | ... |
Среди букв a1, ..., a7 есть разные и среди букв b1, ..., b13 есть разные. Какова максимальная длина начального куска,
который может совпаcть у этих последовательностей?
- 9.
-
За круглым столом совещались 2n депутатов. После перерыва эти же 2n депутатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке.
Докажите, что найдутся два депутата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек.
|
Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter!
|
![Rambler's Top100](/images/rambler-mini.gif)
|
![Apache](/images/apache-mini.gif)
|
![HTML 4.01](/images/html-mini.png)
|
|