|
Кружок 7 класса
Руководитель Степан Львович Кузнецов 2015/2016 учебный год
Группа А
Версия для печати
Занятие 10 (28 ноября 2015 года). Истории с узелками
- 1.
-
На человека со связанными руками надет свитер, вывернутый наизнанку. Сможет ли он надеть его правильно, не разрывая его и не развязывая рук?
Ответ Решение
Решение.
Для начала представьте, что от свитера остался только один рукав.
- 2.
-
На рисунке 1 изображен тривиальный узел (то есть не узел вовсе, а просто кольцо из веревки).
На рисунке 2 — узел, который называется «трилистник». А на рисунке 3 —
узел «восьмерка». Эти три узла разные: один нельзя превратить в другой. Для каждого
из узлов, изображенных на остальных рисунках, определите, можно ли его превратить в какой-нибудь
из этих трех узлов.
Ответ
Ответ.
а) 2; б) 2; в) 2; г) 1; д) 3; е) 2; ж) 3; з) 2;
и) 2; к) 3; л) 1; м) 1; н) 2; о) 3; п) 1; р) 1.
- 3.
-
В карандаше сделали небольшой желобок около одного из концов, и взяли веревку, длина которой меньше удвоенного расстояния от желобка
до другого конца карандаша. Затем веревку привязали к карандашу, пропустив веревку через петлицу пиджака, как показано на рисунке справа. Сможете ли вы, не развязывая веревку, не разрывая ее, не ломая карандаша, снять карандаш с пиджака?
Решение
Решение.
Карандаш сжимать и гнуть нельзя, зато пиджак можно.
Если обвести одну из половинок петли вокруг пиджака, петля снимется.
- 4.
-
Двух узников связали друг с другом, как это показано на рисунке. Смогут ли они расцепиться, не развязывая и не разрывая веревку?
Решение
Решение.
Возьмем веревку одного из узников, протянем ее изнутри сквозь петлю на одной из рук второго узника, обведем вокруг руки и вытащим с другой стороны руки.
- 5.
-
- а)
- Имеется картина, к которой двумя концами привязана длинная веревка. Требуется повесить ее на два вбитых в стену гвоздя так, чтобы при вытаскивании из стены любого гвоздя картина и веревка падали.
- б)
- А если гвоздей не два, а три?
- в)
- А если гвоздей четыре?
Решение
Решение.
Проведем из всех гвоздей лучи вверх. Назовем гвозди буквами.
Положение веревки закодируем словом, которое строится так: если веревка
пересекла луч по часовой стрелке, добавляем букву гвоздя, если веревка
пересекла луч против часовой стрелки, то букву гвоздя в минус первой степени.
Для пункта а решение — aba − 1b − 1, для пункта б
— caba − 1b − 1c − 1bab − 1a − 1, для пункта в —
cdc − 1d − 1aba − 1b − 1dcd − 1c − 1bab − 1a − 1.
- 6.
-
Соедините три веревочных кольца так, чтобы при развязывании любого из трех два оставшихся расцеплялись.
Ответ
Дополнительные задачи
- 7.
-
В очень длинной доске проделали три дырочки и привязали к ней не очень длинную веревку так, как показано на рисунке. При этом на веревку повесили кольцо. Можно ли переместить кольцо из положения 1 в положение 2, не ломая и не сгибая доску, не распиливая кольцо, не разрывая и не развязывая веревку?
Решение
Решение.
Перетащим кольцо вплотную к дырке. Вытянем узел через дырку. Переместим кольцо под двумя петлями. Вернем узел на место. Перетащим кольцо в правое положение.
- 8.
-
Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причем в одной точке может происходить только одно самопересечение. Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.
Решение
Решение.
Покрасим сектора, на которые веревка разбила плоскость в шахматном порядке. Если на подъезде к перекрестку справа черное поле, то едем сверху, а если белое — то снизу.
|