Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mmmf.msu.ru/for_schools/KKO.pdf Дата изменения: Thu Dec 24 14:31:48 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:32:01 2016 Кодировка: Windows-1251

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

Математический кружок
(56 классы)
Составители: А. Л. Канунников, С. Л. Кузнецов, И. И. Осипов Москва, 2015


Математический кружок @S!T классыAF G Универсальная метоE

дическая разработка по решению нестандартных задач для элекE тивных курсов в средних общеобразовательных организациях GG СостF АF ЛF КанунниковD СF ЛF КузнецовD ИF ИF ОсиповF " МFX МГУD PHISF

Брошюра разработана в рамках совместной программы ?Развитие интеллектуальных способностей математически одар?нных школьников и повышение качества математического образования? МГУ и Департамента образования города Москвы. В основу брошюры легли задачи, предлагавшиеся на Малом мехмате МГУ, а также на математических кружках в Центре образования 548 ?Царицыно?.


Содержание
Предисловие Листок 1 Листок 2. Логические задачи Листок 3. Семь раз отмерь один раз отрежь Листок 4. Разрезания Листок 5 Листок 6 Листок 7. Кубики Листок 8. Графы Листок 9. Графы 2 Листок 10. Логические задачи 2 Листок 11. Перебор вариантов Листок 12. Математические цепочки Листок 13. Кратчайший путь Листок 14. Его величество Куб Листок 15. Математический фольклор 4 7 9 14 18 22 26 30 33 38 42 48 53 57 62 65

Q


Предисловие
Эта брошюра призвана помочь организовать для школьников ?младшего кружкового возраста?F Условно этот возраст соответствует S или T классу средней школыD однаE ко собранные здесь задачи можно с успехом решать с умными RE классникамиD а также предлагать @в рамках ?ликвидации безграE мотности?A старшеклассникамD которым не довелось в должное вреE мя поучаствовать в математических кружкахF Каждый раздел брошюры соответствует одному занятию кружE ка и состоит из двух частей " листка с задачами для выдачи учеE никам и комментария для преподавателяF Для удобства оригиналE макеты листков также выделены в отдельный файлF Занятие с использованием листочка обыкновенно проводится примерно по следующей схеме:

жок

математический кру-

ћ ћ

До занятия

руководитель кружка решает сам все задачи иD если необходимоD читает комментарииF

В начале занятия

каждый школьник получает листок с услоE виями задач и начинает их решатьF На перE вом занятии школьникам нужно объявитьX задачи можно реE шать в любом порядкеY как только задача @по мнению школьE никаA решенаD нужно поднять руку и приготовиться обсужE дать решение с преподавателем F Кружок " это не письE менная олимпиадаF Как правилоD не нужно в начале занятия ?рассказывать теорию?X задачи подобраны такD чтобы решаE ющий сам додумался до ключевых идей листочкаF Иногда в начале занятияD до раздачи новых листковD разбираются реE шения некоторых задач предыдущего занятияF

самостоятельно устно

ћ

Во время занятия дуально

школьники решают задачи и время от вреE мени пытаются их ?сдать? преподавателямF Преподавателей на кружке может быть несколькоD если учеников достаточE но многоF В идеале на каждого преподавателя должно прихоE диться U!W школьниковF Решения задач обсуждаются с каждым школьникомF

индиви-

R


Если решение верно, школьника следует поздравить с

реш?нной задачей и поставить ?плюсик? в специальную таблицу @кондуитD или ?плюсник?AF

Если решение неверно, школьнику предлагается проE

должить размышления над задачейF Иногда можно даE вать небольшие подсказкиF

Мы считаемD что главная цель математических кружков " приE носить школьникам радость решения математических задач и чеE рез это развивать их смекалку и расширять кругозорF Поэтому мы категорически не советуем подменять эту главную цель целями побочнымиD в частностиX

ћ не советуем ставить оценки ?за работу на кружках?D провоE дить на кружке контрольные работы и вообще делать участие в кружке обязательным для школьникаY ћ не советуем объяснять решения всех задач из брошюры @школьE ник получает радость только от собственногоD а не от чужого решенияAY ћ не считаем правильным задаваться целью подготовки к опреE дел?нному виду олимпиад или других соревнованийF @В то же время школьникиD посещающие математические кружкиD в среднем лучше выступают на олимпиадахFA
Мы полагаемD что если участник кружка за занятие самостоE ятельно решит P!Q задачи и немного продвинется ещ? в I!P заE дачахD то это уже хороший результатF Однако бываетD что задачи оказываются слишком сложными для школьниковF В этом слуE чае неправильно превращать занятие в разбор всех задач у доскиF Вместо этого можно давать подсказки " как индивидуальноD так и всем сразуF Представление о томD как подсказывать в конкретных задачахD можно извлечь из комментариев к листкамF Если вс?Eтаки наши листочки в целом оказались слишком сложE нымиD мы советуем подбирать к каждому занятию аналогичные по тематике более простые задачиF ПомнитеD что приводимая здесь S


подборка задач призвана в организации кружкаD но ни в коE ем случае не загнать его в ж?сткие рамкиF При выборе задач прежде всего руководствуйтесь собственным вкусом и силами ваших учеников: задачи должны нравиться преподавателямD быть интеE ресны и посильны ученикамF
Удачи!

помочь

T


Листок 1
три табуреткиc 2 Коллекционер Незнайка собирает наклейки и вклеивает их в альбомF Перед ним на столе лежит @смF рисунокA несколько треE угольных наклеекD одинаковых по формеD но одна из них вс? же отличается от другихF Какаяc

1 Можно ли расставить вдоль стен прямоугольной комнаты а) VY б) IHY в) IP табуреток такD чтобы около каждой стены стояло по

3 После семи стирок и длинаD и ширинаD и высота куска мыла уменьшились вдвоеF На сколько стиE рок хватит оставшегося кускаc @На каждую стирE ку расходуется одно и то же количество мылаFA 4 Подсчитайте сколько ступенек у лестE ницы на рисунке справаF 5 Альпинист стоит на вершине отвесной скалы высотой IHH м с уступом на высоте SH мF У него есть UUEметровая вер?вка и ножF На вершине скаE лы и на уступе вбиты колышкиD к которым можно привязать вер?вкуF Альпинист хочет успеть к обеE ду добраться до лагеряD находящегося у подножия скалыF Как ему спуститься со скалы @разумеетсяD не прыгаяAc 6 ВазаD изображ?нная на рисунке слеваD составлена из шести одинаковых четвертинок окружностейF а) Разрежьте е? на частиD из которых можно слоE жить квадратF б) Сделайте этоD разрезав вазу не болееD чем на три частиF

точно,

U


Ответы и комментарии
1 ЗаметьтеD что ставить 4лишние4табуретки в центр комнаты нельE зяD в условии требуется расставить табуретки вдоль стенF

одну из них прид?тся перевернуть @в то время как остальные совE мещаются вращениемAF 3 Из условия следуетD что объ?м куска мыла уменьшился в V разD тF еF использовано 7/8 мыла " в U раз большеD чем осталосьF ЗначитD оставшегося куска хватит на одну стиркуF 4 Ступеньки в верхней части лестницы слабо различимы @так наE рисовано специальноA и сосчитать их невозможноF Однако можно заметитьD что на каждой четв?ртой ступеньке @точнее говоряD на IEйD SEйD WEй и тF дFA есть балясина @опора перилAF Балясины же поE считать легко " их семь штукD прич?м седьмая приходится на поE следнюю ступеньD которая тем самым имеет номер 1 + 4 ћ (7 - 1) = 25F 5 Здесь главная проблема в томD чтоD спустившись на уступD нужE но суметь забрать себе как можно б? ольшую часть вер?вки @чтобы е? хватило на оставшиеся SH м путиAF Сделать это можно такX отE резать от вер?вки PSEметровый кусокD привязать его на вершине горыD а на другом конце связать петлюF Спустившись на PS мD проE д?рнуть оставшуюся SPEметровую вер?вку через петлю и спуститься по двойной вер?вке до уступаF После этого можно выдернуть вер?вE ку из петлиD и в нашем распоряжении оказывается вер?вка достаE точной длиныD чтобы дойти до подножьяF @?Лишние? два метра добавленыD чтобы учесть расход вер?вки на узлыFA 6 Решение пункта ?б? показано на рисунке слеваF ОноD разумеетсяD годится и для пункта ?а?D однако для него школьники могут предлагать более простые решенияD напримерD как на рисунке справаF V

2 Все наклейки действительно можно совместитьD но для этого


Листок 2. Логические задачи
имеют дельтовый цветF а) В их лабораторию приш?л образец дельтового цветаF Правда лиD что это лямбдоидc б) В их лабораторию приш?л образец эпсилонового цветаF ПравE да лиD что это не лямбдоидc 2 Мальчик Костя говоритX ?Позавчера мне было IH летD а в следуE ющем году мне исполнится IQF Мальчик Костя кристально честенF Как такое может бытьc

1 Уч?ные планеты СигмаEАльфа обнаружилиD что все лямбдоиды

Несколько следующих задачах о рыцарях и лжецах. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.

3 Однажды путешественник задал рыцарю дважды один и тот же странный вопросF В первый раз рыцарь ответил ?нет?D а во второй " ?да?F Что это мог быть за вопросc 4 В городD насел?нный рыцарями и лжецамиD приехал барон МюнхE гаузенF Первым делом он нанял себе проводникаD однако не смог выяснитьD рыцарь он или лжецF ПоэтомуD увидев подозрительного незнакомцаD он попросил проводника выяснитьD кто этот человекF Проводник вернулся и сказалX ?Он назвался лжецомF а) Знает ли теперь баронD кем был незнакомецc б) А кто проводникc 5 У подводного царя служат осьминоги с шестьюD семью и восеE мью ногамиF ТеD у кого семь ногD всегда лгутD а у кого шесть или восемь ногD всегда говорят правдуF Встретились четыре осьминогаF Синий сказалX ?Вместе у нас PV ногD зел?ныйX ?Вместе у нас PU ногD ж?лтыйX ?Вместе у нас PT ногD красныйX ?Вместе у нас PS ногF У кого сколько ногc 6 Однажды на главной площади городаD где живут рыцари и лжеE цыD собрались шестеро горожанF " Среди нас ровно один рыцарьD " сказал первыйF " Я тоже так считаюD " ответил второйF " НетD рыцарей среди нас ровно два3 " заявил третийF " А я считаюD что рыцарей здесь троеD " сказал четв?ртыйF
W


" НуD по крайней мере один рыцарь среди нас естьD " заметил пяE тыйF " И вс?Eтаки рыцарей здесь только дваD " уверенно произн?с шеE стойF Сколько же было среди них рыцарей на самом делеc 7 Однажды у капитана пиратского корабля пропала карта сокроE вищF Он собрал своих тр?х помощников и спросилD кто из них взял картуF " Карту взял ДжоD " отозвался первый помощникF " Дрейк не брал картуD " сказал второй помощникF " Я карту не бралD " заявил третийF Капитан сразу понялD что Джо совралD а Дрейк сказал правдуF А кто же вс?Eтаки взял картуc

IH


Ответы и комментарии
1 В этой задаче у школьников могут вызвать затрудения странные термины1 @это сделано намеренноD чтобы нельзя было пользоваться собственными знаниями о томD что какого цвета бываетAF ГлавноеD школьники должны понятьD что если из А следует БD то не фактD что из Б следует АF В задачах такого типа нужно требоватьX если ответ отрицательE ныйD то привести контрпримерY если ответ положительныйD то обосE новать этоF Эту задачуD напримерD можно решать такX аA НетD не обязательноD потому что образец может быть не лямбE доидом и при этом иметь дельтовый цветF бA ДаD значитF ПредположимD что образец " лямбдоидD тогда он имеет дельтовый цветF Но этого быть не можетD так как он эпсилоE нового цветаF Будьте готовыD что школьники будут предлагать неожиданные решенияD напримерD что в обоих пунктах ответ ?нет?D потому что уч?ные ошиблисьF Не нужно сразу отметать эти решенияD постарайE тесь указать на ошибку или уточнить условиеD например " ? ДаD в физике бываетD что гипотеза опровергаетсяD но в этой задаче предE полагаетсяD что установленный уч?ными факт веренF 2 В этой задаче школьники могут пытаться доказыватьD что таE кого не может бытьF В этом случае можно указать на тоD что в условии неявно утверждаетсяD что такое возможноD а для решения требуется определитьD в какой день у мальчика день рождения @QI декабряAF 3 У этой задачи есть много разных решенийF Самый изысканный из вопросовD подходящих под условиеD такойX ?Задавал ли я вам уже этот вопросc Обязательно расскажите о н?м школьникамD сдавшим задачуD если они придумали чтоEто другое " напримерD подойд?т заданный за несколько секунд до полудня и повтор?нный ровно в полдень вопросX ?Правда лиD что сейчас ровно полденьc
Произошедшие от греческих букв: aльфа, дельта, эпсилон, лямбда, сигма.
1

II


4 Самый простой способ объяснитьD почему барон не сможет по имеющейся информации определитьD лжецом или рыцарем был неE знакомецD " это заметитьD чтоD кем бы он ни былD он никогда сам не скажетD что он лжецF ДействительноD если он рыцарьD то он честно ответитD что он рыцарьY а если он лжецD то он тоже скажетD что он рыцарьD иD тем самымD солж?тF Это наблюдение сразу же позволяет решить и второй пункт заE дачиF Раз незнакомец не мог представиться лжецомD то проводник вр?тD а значитD он " лжецF ВпрочемD это не значитD что барону нужE но менять проводника " просто теперь нужно на вс?D что он утверE ждаетD ?навешивать? отрицаниеF 5 ЗаметимD что сказать правду мог не более чем один осьминог @при этом важно помнитьD что все они могли солгатьAF Если солгали всеD то у них по семь ногD всего " PVD а значитD синий сказал правдуF ПротиворечиеD этот вариант не подходитF Если солгали все кроме одногоD то у троих по семь ногD а у одноE го " шесть или восемьF ЗначитD всего ног может быть PU или PWF Но если ног PWD то все осьминоги солгали " этот вариант тоже отбраE сываетсяF В последнем оставшемся случае шестиногим оказывается зел?ный осьминогF В решении этой задачи важно не упустить все возможные ваE рианты " просто угадать ответ недостаточноD нужно доказатьD что это " единственный возможный вариантF Если школьники считаютD что раз они нашли ответD то задача уже решенаD можно спроситьX ?А вдруг ответов несколькоc Если же школьник да?т неправильный ответD вс? равно выслушайте решение и постарайтесь найти ошибкуF 6 Здесь проще всего построить вот такую таблицуX Количество рыцарейX HIPQRST Первый горожанин -+----- Второй горожанин -+----- Третий горожанин --+---- Четв?ртый горожанин - - - + - - - Пятый горожанин -++++++ Шестой горожанин --+---- Сказавших правдуX HQQPIII
IP


ВпрочемD заставлять школьников рисовать таблицы вовсе не обязательноF Решать можно иначе " напримерD поочередно расE сматривать все случаиF В этой задаче школьники обычно очень долго не могут догадатьE сяD что рыцарей среди горожан могло вообще не бытьD постарайтесь им об этом не подсказыватьF 7 В этой задаче можно рассуждать такF ОпределимD кто из поE мощников " ДжоF Это не первый помощникD так как он не стал бы называть себя по имениF ПредположимD что Джо " это второй помощникF Джо совралD а значит карту взял ДрейкF Но кем бы ни был Дрейк " первым или третьим помощникомD это приводит к противоречию @в одном из случаев выходитD что карту взяли двоеD а в другом " что Дрейк не брал картуAF ЗначитD Джо " третий помощникF Он совралD что не брал картуF Поэтому карту взял онF КонечноD решения могут очень сильно отличаться от привед?нE ного вышеF Принимать решения по этой задаче очень непростоF Важно разобраться в каждом решенииD которое вам сдаютD иD если оно неправильноеD указать на то местоD где была допущена ошибка в рассужденияхF Ни в коем случае не отсекайте решения изEза тогоD что ответ неверныйF Лучше даже вовсе не сообщатьD верный ответ или нетD пока решение не рассказано полностьюF

IQ


Листок 3. Семь раз отмерь один раз отрежь
только с их помощью набрать из реки ровно T л водыc 2 Три вора украли у чародея колбу с PR унциями волшебного зеE льяF Спешно унося ногиD они встретили в лесу продавца стеклянной посудыD у которого приобрели три сосудаF Найдя укромное местечE коD воры решили разделить добычуD но тут обнаружилиD что вмеE стимость их сосудов SD II и IQ унцийF Как им разделить между собой зелье поровнуc @В отличие от водыD зелье нельзя выливатьFA 3 Есть два бикфордовых шнураF Шнуры при поджигании горят неравномерноD но каждый полностью сгорает за одну минутуF Как с помощью этих шнуров отмерить RS секундc 4 На поджаривание котлеты с одной стороны уходит две минуE тыF На сковородке помещаются две котлетыF За какое наименьшее время можно поджарить три котлеты с обеих сторонc 5 Можно ли разлить SH л бензина по тр?м бакам такD чтобы в первом баке было на IH литров большеD чем во второмD а во втором на PI литр большеD чем в третьемc 6 Есть двое песочных часовX на U мин и на II минF Каша варится IS минF Как с помощью этих часов отмерить нужное времяc

1 Есть два ведраX одно ?мкостью R лD другое " W лF Можно ли

IR


Ответы и комментарии

1 В подобных этой задачах на предполагаетсяD что не существует над?жного способаD скажемD заполнить ведро ровно наE половину или на третьF Допускается либо доливать ведро до кра?в " из реки или из другого ведра @в этом случае во втором ведре моE жет остаться водаD и е? объ?м нам будет в точности известенAD либо выливать всю воду из какогоEто ведра в реку или в другое ведроF Полезно подсказать школьникамD что решение лучше записывать в виде таблицыD каждая строчка которой соответствует одной маниE пуляции с водойX

переливания

4-литровое 9-литровое ведро ведро
H H R H R H I I R H W S S I I H W T

изначально в?дра пусты набрали воды в большое ведро перелили из большого в маленькое вылили воду из маленького ведра

В большом ведре требуемые 6 л.

2 Поскольку 24/3 = 8D каждый вор получит V унций зельяF А так как V унций в самый маленький сосуд не влезаютD значитD один из воров должен унести полученное зелье в колбеF Теперь заметимD что 5 + 11 = 16D что позволяет с помощью двух маленьких сосудов выделить V унций из PRF Кроме тогоD 13 - 5 = 8D за сч?т чего можно получить ещ? V унцийF Эти соображения подводят нас к следующему решению задачиX

5-унц. 11-унц. 13-унц. 24-унц. сосуд сосуд сосуд колба
H H H PR
Продолжение на след. странице

IS


(продолжение)

S S S Q H S H

H II H H Q Q V

H H II IQ IQ V V

IW V V V V V V

3 Основной трюк в этой задаче " если шнур поджечь одновреE менно с обеих сторонD он сгорит в два раза быстрееF Так можно отE мерить QH секундF @ЗаметимX поскольку шнуры неоднородныD для этого нельзя просто отрезать половину шнураFA Чтобы отмерить RS секундD нужно применить этот при?м дваE ждыF Сначала поджигаем один шнур с обеих сторонD а второй " только с одной стороныF Когда первый шнур догоритD второму остаE нется гореть QH секундF В этот момент подожж?м и второй шнур с другого концаD и он догорит в P раза быстрее " за IS секундF В сумме получится как раз RSF 4 Типичная ошибка в этой задаче " школьник объясняетD как поджарить котлеты за V минут @сначала с двух сторон жарим две котлетыD затем столько же времени третьюAD и говоритD что меньше времени ?никак не получаетсяF Между темD котлеты можно пожарить за T минут следующим образомF Первые две минуты жарим две котлеты с одной стороныF Потом убираем одну котлетуD переворачиваем вторую и клад?м ряE дом третью @которую ещ? не начинали жаритьAF После этого вторая котлета изжарена полностьюD а первая и третья " только с одной стороныF В третий заход дожариваем первую и третью котлетыF Въедливый преподаватель может и здесь спроситьD нельзя ли ещ? ускоритьсяF На это можно ответить такX за две минуты мы жарим не более двух сторон котлетD а всего у тр?х котлет T сторонF ЗначитD меньшеD чем T минутамиD не обойтисьF Будьте внимательныX это рассуждение доказываетD что T минут чтобы зажаE рить котлетыD но не является доказательством тогоD что T минут

необходимо,

IT


достаточно

для этогоF Чтобы обосновать последнееD нужно явно указатьD как мы собираемся жарить котлетыF 5 По условиюD во втором баке должно оказаться как минимум PI л бензинаD а в первом " не меньшеD чем 21 + 10 = 31 лF Но тогда общее количество бензина " как минимум SP лF С другой стороныD бензина дано только SH лF Мы обнаружили " значитD разлить бензин с соблюдением условий невозможноF 6 ЗаметимD что 15 = 11 ћ 2 - 7F ЗначитD нужное время можно отE мерить такX запустить одновременно часы на U и на II минутD и когда в первых песок пересыпетсяD начать варить кашуF Через R минуты остановятся и вторые часыD и тогда их можно перевернуть и отсчитать оставшиеся II минутF

противоречие

IU


Листок 4. Разрезания

Две фигуры считаются равными, если они одинаковы по форме и по размеру (их можно совместить наложением, если вырезать из бумаги).
1 Разрежьте фигуры на 2 равные частиF


2 Можно ли разрезать эти фигуры на 2 равные частиc


3 Как разрезать эти фигуры на 3 равные частиc


фигуру

4 Разрежьте фигуру

В

на фигуры F


в

А

на фигуры D фигуру


а

Б

на фигуры D а


б







а потом разрезать на четыре фигурки

5 Нарисуйте фигуруD которую можно сложить из пяти фигурок ТD

ТF





IV


6 Попробуйте разрезать эти фигуры на 2 равные частиF






IW


Ответы и комментарии
Во всех задачах этого листка фигуры можно переворачиватьD а разE резы можно вести не по клеточкамF Не запрещайте школьникам рисовать решения на листках " так будет удобнее и имD и вамF Если детей очень много и вы не успеваете подробно разбираться с каждым изEза количества пунктовD можно объявитьD что первую и четв?ртую задачи можно сдаватьD только если есть решения по каждому из пунктовF Проверка задач в этом листке не должна вызвать особых сложE ностейD но всегда внимательно проверяйтеD действительно ли фигуE ры равныF И если нетD постарайтесь объяснить школьникуD почему они не наложатся друг на другаD если их вырезать из бумагиF Вот пример неправильного решения задачи D которое часто сдаютX

1а

Чтобы фигуры совпалиD поверн?м одну из них и совместим ?квадE ратные? концыF Но тогда ?острые? концы не будут смотреть в одну и ту же сторонуF ЗначитD эти фигуры не равныD а решение " непраE вильноеF Шестую задачу лучше всего использовать как дополнительную и выдавать е? условие только темD кто решил все или почти все предыдущиеF

1 Во всех пунктах в этом номере есть только одно решениеF


ждатьD что нельзяD предложите им это доказатьF Если они будут пыE таться доказыватьD постарайтесь найти в их доказательстве ошибкуF PH

2 В обоих случаях ответ " можноF Если школьники будут утверE






резать фигуры уже не на двеD а на три частиF


3 Иногда школьники не замечаютD что в этой задаче нужно разE

4 Некоторые из маленьких фигур могут быть перев?рнутымиF


5 У этой задачи есть несколько решенийD вот одно из нихF

6 Квадратик внутри фигуры в пункте


в

" это дырка в фигуреF





PI


Листок 5
За день она поднимается на R метраD а за ночь сползает на Q метра внизF Когда она дополз?т до вершиныD если утром в понедельник она была уже в IH метрах от не?c 2 Если бы Иван Никифорович отдал Ивану Ивановичу половину своих гусейD то Ивана Ивановича стало бы на десять гусей большеD чем у Ивана НикифоровичаF Сколько гусей было у Ивана ИваноE вичаc 3 Двое часов начали и закончили бить одновременноF Первые бьют через каждые две секундыD вторые " через каждые три секундыF Всего можно было услышать IQ ударов @совпавшие удары считаютE ся за одинAF Сколько времени прошло между первым и последним ударамиc 4 Ковбой решил купить патроны для револьвераF ОказалосьD что IH патронов стоят больше II долларовD а W патронов стоят меньше IH долларовF Сколько центов стоит один патронc 5 На лужайке росли ж?лтые и белые одуванчики " всего QS штукF После того как V белых облетелиD а P ж?лтых побелелиD ж?лтых одуE ванчиков стало вдвое большеD чем белыхF Сколько белых и сколько ж?лтых одуванчиков росло на лужайке в началеc 6 Чтобы не заснутьD глядя на поплавкиD рыбак начал рассуждать над теоретическими вопросамиX а) Если Q карася тяжелее R окунейD значит ли этоD что R карася тяжелее S окунейc б) Если R окуня тяжелее Q лещейD значит ли этоD что S окуней тяжелее R лещейc Пока он думалD рыба уплыла вместе с его удочкамиF А какие же правильные ответы на эти вопросыc @Все рыбы одного вида весят одинаковоFA

1 МедленноEмедленно полз?т улитка по склону горы ФудзиямаF

PP


Ответы и комментарии
1 В этой задаче очень полезно нарисоватьD что происходитD на буE магеF ШкольникиD навернякаD попадутся и будут пытаться решить задачу тем способомD которым привыкли решать обычные школьE ные задачи " посчитаютD на сколько метров улитка в сумме подниE мается за суткиD а затем разделят длину пути на это расстояниеF ОднакоD на самом деле улитка окажется на вершине раньше " вечеE ром в воскресеньеF За первые шесть суток она в сумме поднимется на T метровD а в воскресенье дн?м поднимется ещ? на R метраF 2 У Ивана Ивановича было IH гусейF А вот про тоD сколько гусей было у Ивана НикифоровичаD точно утверждать нельзяF Поэтому любое решениеD которое ?позволяет узнатьD сколько же у него быE ло гусейD " неверноеF Чаще всего в таком неправильном решении в какойEто момент предполагаетсяD что количество гусей у Ивана НиE кифоровича известноF Постарайтесь найти это место в решении и объяснить школьникуD сдающему задачуD почему рассмотреть тольE ко один случай недостаточно " в формулировке задачиD конечноD есть нам?к на тоD что ответ одинD но вообще говоряD вполне может быть такD что ответов несколькоD поэтому прид?тся доказыватьD что ответ одинаковыйD каким бы ни было количество гусей у Ивана НиE кифоровичаF Чтобы решить эту задачу аккуратноD заметимD чтоD после того как Иван Никифорович отдал гусейD у него осталась половина тех гусейD что у него былиD а у Ивана Ивановича оказалась другая поE ловина плюс все те гусиD которые у него были раньшеF А значитD у него гусей больше ровно на то количествоD которое было у него изначальноF 3 Проще всего решить эту задачуD нарисовав картинку наподобие этойF
2

3

Как вариантD можно сосчитать число ударов за первые шесть PQ


секундD а затем вычислитьD сколько должно было быть таких инE тервалов по шесть секундF ВпрочемD в этих вычислениях легко ошиE битьсяF Если у школьника получается ответD который не делится на TD стоит обратить внимание на тоD что часы начали и закончили бить одновременноF 4 Так жеD как и со второй задачей в этом листкеD главная проблема здесь " объяснитьD что просто угадать ответ недостаточноF Можете даже изменить постановку вопроса наX gколько центов стоить один патронcF ВтороеD на что стоит обратить внимание " нераE венства в задаче строгиеD то есть патрон не может стоить доллар десять центовD потому что тогда IH патронов стоят ровно II доллаE ровD а это не больше II долларовD как требует условиеF Когда ответ найденD нетрудно показатьD что если ответ был бы хотя бы на один цент больше или меньшеD одно из условий не выполнялось быF 5 Для начала определимD сколько всего ж?лтых и белых одуванE чиков осталось после тогоD как белые облетелиD а ж?лтые побелелиF ЗаметимD что от тогоD что часть ж?лтых побелелаD общее количеE ство ж?лтых и белых одуванчиков не изменилосьD а вот облетевшие " уже и не ж?лтыеD и не белыеF А значитD в сумме их осталось 35 - 8 = 27 штукF Ж?лтых в два раза большеD чем белыхD значит ж?лтых " IVD а белых " WF Теперь оста?тся произвести все изменеE ния в обратном порядке " сначала сделать два белых одуванчика ж?лтымиD а затем добавить V белых одуванчиковF 6 В задачах такого типа нужно требоватьX если ответ отрицательE ныйD то привести контрпримерY если ответ положительныйD то обосE новать этоF В первом пункте задачи ответ положительныйF ПокажемD что если Q карася тяжелее R окунейD то R карася тяжелее S окунейF ЗаметимD что карась тяжелее окуня @так как Q карася тяжелее R и тем более Q окунейAF ПредставимD что на левой чаше весов лежит Q карасяD а на правой " R окуняF Если мы добавим на левую чашу карасяD а на правую " окуняD разность весов станет ещ? большеF ЗначитD R карася тяжелее S окунейF Во втором пункте аналогичное рассуждение нельзя провести @это кстатиD хороший способ указать на наличие ошибки в рассужE

мог

PR


дениях " если в разных пунктах ответы разныеD а доказательство ?подходит? в обоих случаяхD значитD чтоEто здесь не такAD потому что из тогоD что R окуня тяжелее QEх лещейD нельзя сделать вывод о томD какая из рыб весит большеF Привед?м контрпримерF Пусть окунь весит U кгD а лещ " W кгF Тогда R окуня тяжелее Q лещейD но при этом S окуней уже легче R лещейF

PS


Листок 6
ку сыра тремя разрезамиc 2 У хозяйки был круглый торт с розочками из кремаF Она разреE зала его на части такD чтобы в каждой части была ровно одна роE зочкаF Всего она сделала три разрезаF Сколько розочек могло быть на тортеc 3 На глобусе проведены IU параллелей и PR меридианаF На сколько частей разделена поверхность глобусаc @Меридиан " дугаD соедиE няющая Северный полюс с ЮжнымF Параллель " это окружностьD параллельная экваторуFA 4 В стене имеется маленькая @точечнаяA дырочкаF У хозяE ина есть флажокD изображ?нный на рисункеF Покажите все точкиD в которые можно вбить гвоздь такD чтобы флажок закрывал дыркуF 5 Можно ли из квадрата со стороной IH см вырезать несколько круговD сумма диаметров которых больше S мc 6 Из IH кубиков собрали пирамидкуD изображ?нную на рисункеF Переложите кубики такD чтобы форма пирамидки осталась прежE нейD но ни один кубик не соприкасался с кубикамиD с которыми соприкасался до перекладыванияF
1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

1 На какое наибольшее количество частей можно разрезать головE

PT


Ответы и комментарии
1 Каждый разрез может увеличить число кусков не болееD чем вдвоеD так что после тр?х разрезов получится не больше V кусковF Чтобы получить ровно VD нужноD чтобы каждый разрез проходил через все кускиD полученные при предыдущих разрезахF

но сверхуD так как розочки на тортах находятся именно сверхуF С одной стороныD каждый новый разрез добавляет хотя бы один куE сокD поэтому розочек не меньше четыр?хF С другой стороныD второй разрез может добавить не больше двух кусковD а третий " не больE ше тр?хD даже если пересекает и первыйD и второй разрезыF ЗначитD число розочек не большеD чем 1 + 1 + 2 + 3 = 7F Все случаи от R до U действительно возможныX

2 В отличие от предыдущей задачиD все части должно быть видE

полярные ?шапки? и IT поясов между параллелямиAF Каждую из этих частей PR меридианаD в свою очередьD разбивают на PR кусочкаF ЗначитD общее число частей равно 18 ћ 24 = 432F

3 IU параллелей разбивают поверхность глобуса на IV частей @две

Задача несложнаяD но школьники часто путаютсяD где нужно

PU


прибавлять @или вычитатьcA единицуD а где нетF 4 Для тогоD чтобы догадатьсяD какая фигура получится в ответеD полезно начать с тогоD что найти несколько е? границ " пограничE ные случаи будут появлятьсяD когда дырка оказывается на самом краю флажкаF В результате становится понятноD что фигура будет иметь такую же формуD как и флажокD но только вверх ногамиF ВпрочемD аккуратное объяснение потребует чуть больше усилийF

A

B

Пусть флажок подвешен в точке AD а дырка находится в точке B F ЗаметимD что если повернуть картинку такD чтобы точки A и B поменялись местамиD то один флажок перейд?т в другойF Таким образомD утверждениеD что точка B лежит в флажкеD прикрепл?нE ном к AD превращается при таком повороте в условиеD что точка A лежит в перев?рнутом флажкеD прикрепл?нном к точке B F 5 Как ни странноD можно получить сколь угодно большую сумму диаметровD если сделать кружочки очень маленькимиF НапримерD квадрат можно разрезать на PSHH одинаковых квадратиков @50 Ч 50A и поместить в каждый из них круг диаметром P ммF Суммарный диаметр этих кругов равен SHH см a S мF 6 Здесь очень важен первый шаг " нужно заметитьD что число S должно находится в одном из угловых кубиковF Иначе число его ноE вых соседей будет не меньше четыр?хD а значит ктоEто из них будет одним из T кубиковD с которыми пят?рка соседствовала ранееF АнаE логичноD на е? место должен встать один из угловых кубиковF Такие же соображения или просто перебор случаев позволяют расставить остальные кубикиF У этой задачи несколько различных решенийD поэтому нельзя PV


просто сравнивать решение с ответомD нужно внимательно следитьD что условие соблюденоF Пример правильного решения привед?н ниE жеX
5 7 9 3 4 1 6 10 8 2

PW


Листок 7. Кубики
1 Сколько кубиков в каждой из этих пирамидокc


на этаж выше @не меняя принципаD по которому они построеныAc 3 Какие из этих кубиков можно сложить из разв?рткиD изобраE ж?нной на рисункеD а какие " нетc


2 А сколько кубиков станет в этих пирамидкахD если сделать их







4 Из каких из этих фигур можно сложить кубD а из каких нельзяc


5 На рисунках АD Б и В изображ?н один и тот же кубикF Какой цвет имеет граньD расположенная напротив краснойc




6 Как из квадрата 3 Ч 3 сложить куб 1 Ч 1 Ч 1D предварительно сделав всего два надрезаc

QH


Ответы и комментарии
В этом листке много задач с большим числом пунктовF Если школьE ников очень много и вы не успеваете подробно разбираться с кажE дым изEза количества пунктовD можно объявитьD что задачи можно сдаватьD только если решены все @или почти всеA пунктыF ТоD что школьники не будут тянуть рукуD решив всего один пунктD да и тот с ошибкойD уже очень сильно ускорит процессF 1 ОтветX PHY QHY RHF Обязательно узнайтеD как дети пересчитывали кубикиD даже есE ли они сосчитали их неправильноF 2 ОтветX QSY SSY TH или USF В последнем пункте ответ зависит от тогоD что имеется в виду под принципомD по которому построена пирамидкаF 3 ОтветX нельзяY нельзяY нельзяY нельзяY можноY можноF Если школьникам удастся справиться с задачей в умеD это заE служивает уваженияF ОднакоD ни в коем случае не запрещайте им вырезать и склеивать кубикиD чтобы решить эту задачуF В пункE тахD где ответ ?нет?D обязательно требуйте объясненийD что именно мешает сложить такой кубик из разв?рткиF Если школьники будут пытаться играть в угадайкуD вы можеE те потребоватьD чтобы были названы сразу все пунктыD в которых ответ ?да?D прежде чем сообщатьD правильный ответ был дан или нетF 4 ОтветX можноY можноY можноY можноY нельзяY можноY нельзяY нельзяF В пунктахD где ответ ?нет?D требуйте объясненийD почему слоE жить кубик невозможноF Самый простой способ это объяснить " указать граниD которые непременно наложатся друг на другаD " изEза них разв?ртки не хватитD чтобы покрыть весь кубF 5 Аккуратно провести доказательство в этой задаче довольно трудE ноD поэтому если у школьников будут возникать проблемы при поE пытке изложить свои мыслиD постарайтесь им помочь добиться необE ходимой строгости решенияF Часто школьники попадаются в лоE вушкуD когда явно или неявно предполагаютD что грани одного цвета QI


на разных рисунках " это одна и та же граньF Мы провед?м доказательствоD заодно выяснивD на каких рисунE ках грани одного цвета разныеF ПредположимD что красная грань на всех тр?х рисунках " одна и та жеF Как видимD с ней граничат грани все четыр?х цветовD а потому " каждая по разу @ведь всего у любой грани четыре сосеE даAF Тогда синяя грань на рисунках А и Б " одна и та жеF Поэтому совместить эти два рисунка можно только одним способом " по красной и синей гранямF Но тогдаD как легко видетьD ж?лтая грань на рисунке А совместится с белой гранью на рисунке Б " противоE речиеF ЗначитD красных граней двеD а граней остальных цветов " по одE нойD прич?м на рисунках А и Б " разные красные граниF АналогичE но на рисунках А и В разные красные граниD иначе при единственно возможном совмещении этих рисунков " по красной и ж?лтой граE ням " синяя грань на рисунке А совместится с зел?ной гранью на рисунке ВD чего быть не можетF СледовательноD на рисунках Б и В одна и та же красная граньD и у не? есть соседи всех четыр?х цветовF ЗначитD вторая красная грань напротив не?F 6 Хорошей подсказкой в этой задаче является тоD что квадрат 3 Ч 3 состоит из W клеточекD а у кубика всего T гранейF Сделайте надрезыD как показано на рисунке и сложите полуE чившуюся ?ленту? такD чтобы клетки на противоположных концах соединилисьF

QP


Листок 8. Графы
общениеF Ракеты летают по следующим маршрутамX Земля " МерE курийD Сатурн " ВенераD Земля " СатурнD Сатурн " МеркурийD Меркурий " ВенераD Уран " НептунD Юпитер " МарсD Марс " Уран и Нептун " ЮпитерF Можно ли добраться с Земли до Марсаc 2 Можно ли сделать несколько ходов конями такD чтобы они из положенияD изображенного на левом рисункеD перешли в положение на правом рисункеc

1 Между планетами Солнечной системы введено космическое соE

M m

Z

M m

m M

Z

M m

тяD ПетяD Соня и ТимурF ПокажитеD как восьмерых ребят можно рассадить за круглый столD чтобы у любых двух рядом сидящих встречались одинаковые буквы в именахF 4 Впишите в кружки числа такD чтобы каждое следующее в наE правлении стрелок число получалось из предыдущего при помощи указанного действияF Ч4
+6 ч6 ч4 Ч3 +4

3 На день рождения к Андрею пришли ВасяD ГлебD ДашаD МиE

+3

QQ


5 В стране Сем?рка IS городовD и каждый из них соедин?н доE рогами не менееD чем с семью другимиF ДокажитеD что из любого города можно проехать в любой @возможноD проезжая транзитом через другие городаAF 6 Группа островов соединена мостами такD что от каждого острова можно добраться до любого другогоF Турист обош?л все островаD пройдя по каждому мосту ровно один разF На острове A турист побывал триждыF Сколько мостов вед?т с острова AD если турист а) не с него начал и не на н?м закончилY б) с него началD но не на н?м закончилY в) с него начал и на н?м закончилc 7 ДокажитеD что число людейD когдаEлибо живших на Земле и сделавших неч?тное число рукопожатийD ч?тноF

QR


Ответы и комментарии
1 Эта задача на знакомство с графамиF Надо просто нарисовать картинкуD из которой ясноD откуда куда можно долететьF










ГоворятD что граф планет состоит из двух F 2 Обычно школьникиD походив тудаEсюдаD заключаютD что это неE возможноF И как обычноD преподаватели задают ?занудные? вопроE сы ?А почемуcD ?Все ли возможности испробованыc Их же очень много и тF пF Эта задача очень хорошо показываетD как здорово могут помочь графыF Основная трудность состоит в томD что кони могут ходитьD на первый взглядD хаотичноD по разным замысловатым траекториE ям " поди тут разберисьF Но давайте проследим траекторию одного коня на пустой доскеF Как видимD из каждой клетки он может сдеE лать только два ходаD поэтому он ходит по замкнутому маршрутуX

компонент связности

Z Z

Z

Z M

ZNZ Z ZZ

Z M Z

Z

Z Z

ZZ NZ ZZ Z Z Z M Z Z Z Z ZNZ

Z ZN ZZ M Z Z Z Z

По этому круговому маршруту ходят все четыре коняD прич?м они не могут перепрыгивать друг через другаF Поскольку в начальE QS


ной позиции кони стоят парами " два белых рядом и два ч?рных рядомD то они не могут перейти в позициюD где бы они чередовалисьF 3 КонечноD можно пробовать сажать детей последовательно " авосьD вс? сойд?тсяF Но может не повезтиX еслиD к примеруD посаE дить Петю рядом с АндреемD то не получится посадить Глеба @это станет ясно из грамотного решенияD привед?нного нижеAF Также нельзя сажать Васю с Андреем и Петю с МитейF Изобразим графD в котором вершины " восьмерых детей " буE дем соединять линиейD если в их именах есть хоть одна общая букваF Найд?м в этом графе " замкнутый путь без самопересеченийX

цикл












Обратите внимание школьниковD как помог графX воEпервыхD реE шение найдено автоматически @не надо пробоватьD гадатьAD а воE вторыхD из картинки ясноD что решение единственно @ДашаD Глеб и Тимур однозначно определяют цепочку ВДАГПТМD для Сони оста?тся единственное местоAF Это замечание будет особенно полезE но школьникамD действовавшим наугадF 4 Задачу нетрудно решитьD обозначив число в одном из кружков @скажемD в левом верхнемA буквой xD обойдя цикл и составив уравE нениеX x+6 + 19 = xD откуда x = 44F 2 Однако владеть алгеброй для решения вовсе не обязательноF Можно посмотреть на действияD идущие подрядD и попробовать их объединитьF НапримерD шаги Ч3 и ч6D идущие подрядD можно заменить на один шаг ч2F А шаги ч4D +4 и Ч4 можно сократить до +16D а потом +3D +16 и +6 превратить в +25F После этого в QT


цикле остаются всего два шагаX +25 и ч2F А значитD 25 " половина от числаD находящегося в правом нижнем углуD тF еF там стоит число 50F Зная этоD нетрудно расставить числа в остальных кружкахF 5 Это полезная задача на культуру рассужденийF Что надо докаE затьc ЧтоEто про городаF ЗначитD решение следует начать с фразы ?Возьм?м любые два города A и B FFFF Если между A и B нет дорогиD то возьм?м семь городовD в которые ведут дороги из AD и семь городовD в которые ведут дороги из B F Эти две сем?рки городов обязательно содержат общий город @ведь их общее число 15 - 2 < 7 + 7A " через негоEто мы и попад?м из A в B F

любые два

?
рист заходит на остров три раза и столько же раз уходит с негоD прич?м каждый раз по новому мостуF ЗначитD всего с этого острова вед?т T мостовF Аналогично в пункте бA ответ SD а в пункте вA " RF 7 Это классическое утверждениеD часто называемое

6 Это простая вводная задача на обходы графовF В пункте аA туE

копожатиях.

леммой о ру-

Выпишем всех людейD когдаEлибо живших на ЗемлеD и будем вести уч?т всех рукопожатийF @Не пугайтесь " понарошкуD конечE ноFA Если два человека пожали друг другу рукиD поставим напротив каждого из них галочкуF ЯсноD что галочки заносятся в Великую пеE репись рукопожатий D а потому общее число галочек ч?тноF Теперь разобь?м всех людей на две группы " у кого ч?тное чисE ло галочек @рукопожатийA и у кого неч?тноеF Так как общая сумма галочек ч?тнаD то в неч?тной группе ч?тное число людей @сумма неч?тного числа неч?тных слагаемых неч?тнаAF Это утверждение встречается очень частоD и для произвольного графа формулируется такX

парами

число неч?тных вершин в любом графе ч?тно.

QU


Листок 9. Графы 2
ровно два разаD но не смог обойти ихD пройдя каждую лишь разF Могло ли такое бытьc 2 Задача о к?нигсбергских мостах. Город К?нигсберг @ныне КалининградA был расположен на берегах реки Прегель @ныне ПреE голяA и двух островахD которые соединены семью мостами @смF риE сунокAF Можно ли было прогуляться по городуD пройдя по каждому мосту ровно один разc

1 Пешеход обош?л несколько улиц одного городаD пройдя каждую

3 Расставьте в кружочках числа ID PD QD FFFD V такD чтобы ни в каких двух соедин?нных отрезком кружочках не оказались бы соседние @то есть отличающиеся на IA натуральные числаF

4 В турнире участвовало девять шахматистовF Мог ли каждый сыграть по три партииc 5 Могут ли степени вершин в графе быть равныX а) VD TD SD RD RD QD PD PY б) UD UD TD SD RD PD PD IY в) TD TD SD SD RD QD PD Pc 6 В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта " ков?рEсамолетF Из столицы выходит PI ковролинияD из города Дальний " однаD а из всех остальных городов " по PHF ДокажитеD что из столицы можно долететь в Дальний @возможноD с пересадкамиAF
QV


Ответы и комментарии
В детстве многие встречались с такой задачейX можно ли нарисоE вать заданный графD не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию более одного разаc Если можноD то граф называется в честь знаменитого математика Леонарда Эйлера по слуE чаю решения им известной задачи ПрежE де чем к ней переходитьD вспомним задачу про туриста из первого листка по графамF Обязательно разберите е? в начале занятия @а если уже разобралиD то напомните о ней школьникамAF Е? решение подсказываетD в каких случаях связный граф является эйлеровымF ПредположимD что нам удалось найти требуемый маршрутD и расE смотрим два случаяX IA если стартовая и финишная вершины совпадаютD то степеE ни всех вершин графа ч?тныD тF кF в каждую вершину мы входим столько же разD сколько и выходим из не?Y PA если же стартовая и финишная вершины разныеD то их стеE пени неч?тныD а степени остальных вершины " ч?тныF Таким образомD в эйлеровом графе не может быть более двух неч?тных вершинF Можно показатьD что верно и обратноеX если в связном графе не более двух неч?тных вершинD то он эйлеровF 1 ДаD моглоF Простейший примерX три дорогиD выходящие из одной точки @смF рисунокAY двойной обходX AOB OC OAF

леровым

эй-

о к?нигсбергских мостах.

A O

B

C

2 В этой задаче вершины графа " площади городаD а р?бра " соE единяющих их мостыF Посчитаем степени всех вершинX 3, 3, 3, 5 " четыре неч?тных вершиныF Но чтобы граф был эйлеровымD неч?тE ных вершин должно быть не больше двухF Поэтому ответX нетD нельE зяF 3 Для данного графа рассмотрим тF нF "

дополнительный граф

QW


вершины у него те жеD а р?брами соединяются в точности те верE шиныD которые не были соединены в исходном графеF ОчевидноD достаточно расставить в новом графе числа такD чтобы соседние числа стояли в соедин?нных кружочкахF Вот примерX
6 4

2

8 1

7

5

3

4 Это задача на применение леммы о рукопожатиях @последняя задача из первого листка по графамAF Вершины " шахматистыY есE ли шахматисты сыграли между собойD соединяем их ребромF Тогда вопрос переформулируется такX может ли каждая из девяти вершин графа иметь степень триc Как мы знаемD нетX неч?тных вершин всеE гда ч?тное числоF Но полезно провести и непосредственное рассуждениеF ПосчиE таем число партий в таком турниреF Так как каждый из девяти шахматистов сыграл по три партииD тоD казалось быD партий 9 ћ 3F Но на самом деле в этом произведении каждая партия посчитана дважды @для каждого из соперниковAF ЗначитD общее число партий 9 ћ 3/2F Минуточку3 Это же число не целое3 Получено вопиющее противоречие3 5 Во всех пунктах у графа V вершинF Если у школьников возникE нут вопросыD напомнитеD что степень вершины " это количество вершинD с которыми она соединена р?брамиF аA ЯсноD что вершины степени V быть не может " степени всех вершин не больше семиF бA Вершины степени U соединены со всеми остальнымиF Раз их двеD то степени остальных вершин не меньше двухF ЗначитD вершиE ны степени I быть не можетF вA Здесь три неч?тных вершиныD а такого быть не можетF 6 Ещ? одна задача на ту же лемму о рукопожатияхD но здесь эта
RH


идея спрятана глубжеF Рассмотрим графD состоящий из городовD до которых можно доE браться из СтолицыD быть можетD с пересадками @говоря поEнаучE номуD рассмотрим компоненту связности СтолицыAF ПредположимD что в этом графе нет города ДальнегоF Но тогда в н?м всего одна неч?тная вершина " СтолицаF Противоречие с леммой о рукопожаE тияхF

RI


Листок 10. Логические задачи 2
1 Встретились три рыцаряX КрасныйD Белый и Ч?рныйF У них быE ли белыйD красный и ч?рный щитыF Рыцарь с белым щитом сказал Ч?рному рыцарюX ?ИнтересноD что цвет щита у каждого из нас не соответствует имениF Какого цвета щит у каждого рыцаряc 2 Есть три попугая " ГошаD Кеша и РомаF Один из попугаев всеE гда говорит правдуD другой всегда вр?тD а третий " хитрецX иногда говорит правдуD иногда вр?тF На вопрос ?Кеша ктоc они ответилиX ГошаX " ЛжецF КешаX " Я хитрец3 РомаX " Абсолютно честный попугайF Кто из попугаев лжецD а кто хитрецc 3 В городе Глупове живут только полицейскиеD воры и обыватеE лиF Полицейские всегда врут обывателямD воры " полицейскимD а обыватели " ворамF Во всех остальных случаях жители Глупова говорят правдуF Однажды несколько глуповцев водили хороводD и каждый сказал своему соседу справаX ?Я полицейскийF Сколько обывателей было в этом хороводеc 4 Илье МуромцуD Добрыне Никитичу и Ал?ше Поповичу за верE ную службу дали T монетX Q золотых и Q серебряныхF Каждому досталось по две монетыF Илья Муромец не знаетD какие монеты достались ДобрынеD а какие Ал?шеD но знаетD какие монеты достаE лись ему самомуF Придумайте вопросD на который Илья Муромец ответит ?да?D ?нет? или ?не знаю?D и по ответу на который вы смоE жете понятьD какие монеты ему досталисьF 5 Король позвал к себе двух придворных мудрецов и объявил имX ?Через IS минут я посажу вас в две комнатыD раздел?нные звукоE непроницаемым стекломD вы закроете глазаD и на каждого из вас я надену колпак " белый или ч?рныйF После этого вы можете отE крыть глазаD и каждый из вас должен будет угадать цвет колпакаD который я надел на негоF Сейчас вы можете договориться о ч?м хоE титеD но помните " если ни один из вас не отгадаетD вы оба будете уволеныF Как действовать мудрецамD чтобы наверняка остаться на королевской службеc
RP


6 Король позвал к себе других двух мудрецовD показал им три колпака и назвал их цвета " красныйD синий и ж?лтыйF После чего он попросил мудрецов закрыть глаза и надел на каждого из них по колпакуD третий жеD сняв коронуD надел самF Казалось быD виE дя колпаки на голове своего коллеги и на голове короляD каждый мудрец легко догадается о цвете своего колпакаD однако у этих мудE рецов проблемы со зрениемX первый не отличает синего от ж?лтогоD второй " красного от синегоF ПоэтомуD когда король спросил послеE довательно первого и второго мудрецовD знают ли они свои колпаE киD оба ответили ?не знаюF Какого цвета колпак король надел на первого мудрецаc

RQ


Ответы и комментарии
В начале занятия полезно вспомнить предыдущий листок с логичеE скими задачамиF 1 В этой задаче удобно составить табличкуD в которой отметить знаком ?-? заведомо невозможные ситуацииX Белый рыцарь - Ч?рный рыцарь - - Красный рыцарь

белый щит ч?рный щит красный щит

-

ДействительноD по словам Ч?рного рыцаря @а рыцари никогда не обманывают3A у каждого цвет щита не соответствует имениY кроме тогоD Ч?рный рыцарь говорил с обладателем белого щита " знаE читD это разные людиF СледовательноD белый щит был у Красного рыцаряD и дальше таблица заполняется автоматически @знак ?+? в каждой строке и каждом столбце должен быть ровно одинAX Белый рыцарь - + - Ч?рный рыцарь - - + Красный рыцарь + - -

белый щит ч?рный щит красный щит

Школьники могут рассказывать это рассуждение и словесноD без таблицыF Раз у Красного рыцаря щит белыйD то ч?рный щит не может быть ни у КрасногоD ни у Ч?рногоF ЗначитD ч?рным щитом владеет Белый рыцарьF НаконецD Ч?рному рыцарю оста?тся красE ный щитF 2 В этой задаче тоже разумно нарисовать табличкуF Для этого заE метимD что честный попугай ровно одинD и не может назвать честE ным другого попугаяF Кроме тогоD честный попугай также не станет называть себя хитрецомF

RR


Гоша Кеша Рома

лжец

хитрец

честный

- -

Теперь мы знаемD что честный попугай " ГошаF ЗначитD Кеша " лжецD а хитрецом оста?тся быть РомеF 3 Сначала заметимD что вор мог сказать ?Я полицейский только полицейскомуD а полицейский " только вору или другому полицейE скому @поскольку сказать правду обывателю полицейский не моE жетAF ЗначитD справа от любого вора или полицейского могут быть далее только воры или полицейскиеF Если гдеEто в хороводе окаE жется обывательD то следующий справа за ним " вор @потому что обыватель своему правому соседу совралAD и дальше идут только воры и полицейскиеF Но тогда сосед этого обывателя " тоже вор или полицейскийF С другой стороныD ни ворD ни полицейский никогда не скажут ?Я полицейский обывателюF Это противоречие показываетD что обывателей в хороводе нетF 4 В этой задаче неявно предполагается @если у школьников возE никнут вопросыD это следует пояснитьAD что Илья всегда говорит только правдуD а также что он способен рассуждать логически " тF еF скажет ?не знаю? только тогдаD когда не только не видит праE вильного ответа явноD но и принципиально не может вывести его из своих знанийF Поскольку возможных наборов монет у Ильи три @золотая и зоE лотаяD золотая и серебрянаяD серебряная и серебрянаяAD то в какойE то из ситуаций должен возникнуть третий ответ ?не знаю?F ЗначитD нужно спрашивать про монетыD данные двум другим богатырямF Один из вопросовD приводящих к успешному решениюD таковX ?Верно лиD что у одного из двух других богатырей две золотые моE нетыc ДействительноD если у Ильи обе монеты золотыеD то у оставE шихся золотая монета только однаD и Илья знаетD что двух золотых монет ни у ДобрыниD ни у Ал?ши быть не можетD и скажет ?нет?F НаоборотD если обе монеты у Ильи серебряныеD то одного из

левый

RS


оставшихся богатырей серебряных монет нетF Илья это знает и скаE жет ?да?F НаконецD если у Ильи одна золотая и одна серебряная монетаD возможны разные случаиX либо князь разделил награду поровнуD и у Добрыни и Ал?ши тоже по золотой и серебряной монетеD либо у одного обе золотыеD а у другого обе серебряныеF В первом случае ответ на наш вопрос ?нет?D во втором " ?да?D и Илья не знаетD какой из случаев имеет место на самом делеF ЗначитD он ответит ?не знаю?F ИтакD по ответу Ильи на этот вопрос мы можем узнатьD какие у него монетыX ?да? " две серебряныеY ?нет? " две золотыеY ?не знаю? " золотая и серебрянаяF рец по отдельности не могут гарантировать себе правильного угаE дыванияF Однако вместе они могут договориться действовать слеE дующим образомX первый называет тот же цветD который видитD а второй " противоположныйF Тогда если король надел на них одиE наковые колпакиD угадает первыйD а если разные " второйF 6 Каждый из мудрецов видит колпаки такX два будто бы одинаE кового цвета и один отличающийсяF ЗначитD если он увидит у двух других персонажей неотличимые колпакиD он догадается о цвете своего колпакаF Отсюда следуетD что на первого мудреца король не мог надеть красный колпакD а на второго " ж?лтыйF Покажем теперьD что колпак первого мудреца не может быть и синимF ДействительноD в этом случае ж?лтый колпак король надел на себяD и второй мудрец видит два колпака " один ж?лтый и один непонятного синеEкрасного цветаF Однако второй мудрец уже знаетD что первый ответил на вопрос о сво?м колпаке ?не знаюD и поэтому колпак первого не может быть краснымF ЗначитD он синийD и тут второй мудрец понимаетD что на него король надел красный колE пакF Но второй мудрец тоже сказал ?не знаюD поэтому этот случай невозможенF RT

5 Трудность этой задачи в томD что ни первыйD ни второй мудE


Оста?тся последний случайD когда на первом мудреце ж?лтый колпакF ЗаметимD кстатиD что мы не можем узнатьD какой колпак был надет на второго мудреца @а какой " на короляAX оба варианта удовлетворяют условию задачи @проверьте3AF

RU


Листок 11. Перебор вариантов
только монеты достоинством TD IH и IQ фертинговc 2 Четверо пятиклассников " АняD БоряD Ваня и Галя " начали собирать маркиF К концу четверти один из них собрал шесть марокD другой " четыреD третий " триD а четв?ртый " только двеF После тогоD как Боря подарил Ане на день рождения все свои маркиD у не? стало в два раза больше марокD чем у ГалиF Сколько марок собрала Галяc 3 В коробке лежат синиеD красные и зел?ные карандаши " всего PH штукF Синих в T раз большеD чем зел?ныхD а красных меньшеD чем синихF Сколько в коробке красных карандашейc 4 На рисунке показан вид сверху коробкиD в которую уложен набор костяшек доминоF Как разложены костяшкиc

1 Можно ли отсчитать без сдачи сумму в PU фертинговD используя

5 Однажды король собрал тр?х мудрецов и потребовалD чтобы они угадали тр?хзначное числоD которое он задумалF Первый предполоE жилD что это число " SRPD второй " WRTD а третий " SQTF Король очень удивилсяD ведь каждый из мудрецов правильно отгадал ровно одну из тр?х цифрF А какое число задумал король на самом делеc 6 ПапеD мамеD сыну и бабушке приспичило т?мной ночью перейти по хлипкому мостику через рекуF Мостик может выдержать только двоих одновременноF К тому же на всех имеется только один фоE нарикD без которого нельзя сделать ни шагуF Папа может перейти через мостик в одну сторону за I минутуD мама " за P минутыD сын " за SD а бабушка " за IHF За какое минимальное время все они смогут перебраться на другой берегc @Когда через мостик идут двоеD они идут со скоростью тогоD кто ходит медленнееAF

RV


Ответы и комментарии

В задачах этого листка не обойтись без рассмотрения нескольких случаевF Слушая решение школьникаD нужно внимаE тельно следитьD чтобы все возможные случаи были разобраныY боE лее тогоD школьник должен сам объяснитьD почему других варианE тов нетF Если он этого не делаетD нужно спросить ?А вдруг есть ещ? случаиc независимо от тогоD упустил ли на самом деле школьник какойEто вариантD и верен ли его ответF С другой стороныD можно подсказывать школьникамD как группируя случаи или заранее отсекая заведоE мо невозможныеF Если решениеD предлагаемое школьникомD верноD но неоптимальноD может оказаться разумным " после тогоD как реE шение засчитано " рассказать эталонное решениеF 1 ЗаметимD что IQEфертинговых монет не может быть больше двухX иначе общая сумма превысит PUF Не может их быть также две " тоE гда останется I фертингD который невозможно заплатить без сдачиF С другой стороныD если IQEфертинговых монет нетD общая сумма будет ч?тнойD тF еF опять же не может равняться PUF Единственный оставшийся случай " когда IQEфертинговая моE нета однаD и оста?тся отсчитать IR фертингов TE и IHEфертинговыми монетамиF Однако и это невозможноX можно либо взять IH фертинE гов " и останется RD либо взять T " останется VF Ни туD ни другую сумму заплатить без сдачи нельзяF СледовательноD ответ в задаче " 2 Можно решить эту задачу ?в лоб?D перебрав все возможные ваE рианты2 F Всего случаев будет 4! = 24 " в общемEтоD не астрономичеE ски многоF ОднакоD как и в предыдущей задачеD сократить перебор помогает соображение Нам достаточно знать только суммарное количество марокD соE бранных Борей и АнейF Из условия следуетD что оно ч?тноF ЗначитD ни БоряD ни Аня не собрали Q маркиD и остаются три возможных случаяX 2 + 4 = 6D 2 + 6 = 8D 4 + 6 = 10F В первом случае у Гали Q

(перебора)

щать поле перебора,

сокра-

нельзя.

ч?тности.

2

brute force ?грубая сила?.

В англоязычной литературе для полного перебора используется термин

RW


марки @у Вани TD а у Бори и Ани P и R в любом порядкеAD во втором у Гали R @у Бори и Ани " P и TD у Вани QAF ЗаметимD что в этой задаче два ответа @строго говоряD верный ответ звучит такX ?у Гали или QD или R марки?Y ответы ?Q? и ?R? не являются правильнымиAF Это показываетD что перебор нельзя прекращатьD даже когда ответ вроде бы найденX может оказатьсяD что возможны ещ? и другие случаиD дающие другие ответыF 3 Будем перебирать возможные количества зел?ных карандашейF IF Зел?ный карандаш одинF Тогда синих " TD а красных 20 - 6 - 1 = 13F В этом случае красных карандашей большеD чем синихD что противоречит условию задачиF PF Зел?ных карандаша дваF Тогда синих " IPD красных 20 - 12 - 2 = 6F Этот случай полностью удовлетворяет условиюF QF Зел?ных карандашей три или большеF Тогда синих карандаE шей не меньше IVD и общее число карандашей оказывается больше PHF ЗначитD единственный возможный случайX зел?ных PD синих IPD красных TF 4 Слева не может стоять вертикальная доминошка HRD иначе буE дет ещ? одна такая же доминошка @с четв?ркой " второй в нижнем рядуAF ЗначитD слева две горизонтальные доминошки HH и RRF Тогда справа " вертикальная доминошка HRD а перед ней " две горизонE тальные IH и IRF Оставшиеся две доминошки " вертикальные QH и II @горизонтальные на их местах быть не могутD тF кF уже есть доминошка IHAF

5 ПосмотримD какую цифру отгадал первый мудрецF Если он праE вильно угадал первую цифруD то эту же цифру правильно угадал и третий мудрецF Тогда второй мудрец угадал либо вторуюD либо третью цифруF Однако в первом случае тогда ту же цифру праE
SH


вильно угадал первыйD а во втором " третий мудрецF Получилось противоречиеX один из мудрецов правильно угадал две цифрыF Аналогичное рассуждение @проверьте3A показываетD что первый мудрец не мог отгадать вторую цифруF ЗначитD он верно отгадал третью цифруD и это цифра PF Два других мудреца эту цифру не отгадалиF Если второй мудрец правильно угадал вторую цифруD мы сразу приходим к противоречиюD потому что тогда первый мудрец праE вильно угадал две цифрыX вторую и третьюF ЗначитD второй мудрец верно угадал первую цифруD и это цифра WF НаконецD третий мудрец не мог правильно отгадать ни третьюD ни первую цифру @иначе е? верно отгадал и один из двух других мудрецовAF ЗначитD третий мудрец верно угадал вторую цифруF ОтветX WQPF 6 Ключевая идея в этой задаче " двое самых медленных @сын и бабушкаA должны идти вместеF РешениеD в котором они идут поE розньD оказывается заведомо неоптимальнымD и обычно школьники пытаются сдать такие решенияD говоряD что ?быстрее не получаетE сяF Вот так можно перейти реку за IU минутX папа с мамой перехоE дят на ту сторону @P минAY папа возвращается с фонариком @I минAY сын и бабушка переходят реку @IH минAY мама бер?т фонарик и возE вращается @P минAY папа с мамой переходят ещ? раз на ту сторону @P минAF Чтобы доказатьD что быстрее нельзяD нужно аккуратно разоE брать возможные случаиF Если сын ид?т отдельно от бабушкиD они уже тратят IS минD и легко видетьD что за оставшиеся P мин паE па с мамой не успеют вовремя доставить фонарик и переправиться самиF Если же сын ид?т вместе с бабушкойD необходимоD чтобы пеE ред их переходом папа и мама находились на разных берегах рекиF ДействительноD если они оба находятся на том берегуD то при них находится и фонарик @иначе как бы они попали на тот берегcAD и сын с бабушкой не могут идтиF Если же они на этом берегуD то они не смогут перейти на другой берегD потому что сын с бабушкой унеE сут фонарикF Если на том берегу была мамаD тоD чтобы е? перевести SI


туда и вернуть фонарикD папе понадобится Q минD а потомD чтобы перевести папуD маме понадобится R минF СлучайD когда мама остаE ?тся на этом берегуD симметричен и требует соответственно R мин до и Q мин после перехода сына и бабушкиF

SP


Листок 12. Математические цепочки
половина стаи и ещ? полгусяD а остальные летели дальшеF Сколько всего было гусей в стаеD если все они сели на семи оз?рахc 2 Квадрат 3 Ч 3 заполнен цифрами такD как показано на рисункеF Разрешается ходить по клеткам этого квадратаD переходя из клетE ки в соседнюю по сторонеD но ни в какую клетку не разрешается попадать дваждыF
1 6 5 8 3 7 4 9 2 1 6 5 8 3 7 4 9 2

1 Над цепью оз?р летела стая гусейF На каждое озеро садилась

Петя прошелD как показано на рисунке справаD и выписал по порядE ку все цифрыD встретившиеся по путиD " получилось число 84937561F Какое наибольшее число можно получить таким способомc 3 Из набора домино выкинули все доминошкиD содержащие хотя бы на одном из концов шест?ркуF Можно ли оставшиеся доминошки выложить в цепочку @в соответствии с правилами игрыAc 4 Кусок сыра имеет форму кубика 3 Ч 3 Ч 3D из которого вырезан центральный кубикF Мышь начинает грызть этот кусок сыраF СнаE чала она съедает некоторый кубик 1 Ч 1 Ч 1F После тогоD как мышь съедает очередной кубик 1 Ч 1 Ч 1D она приступает к съедению одноE го из соседних @по граниA кубиков с только что съеденнымF Сможет ли мышь съесть весь кусок сыраc 5 Треугольник разбит на треугольнички @PS штукAD как показано на рисункеF Жук может ходить по треугольникуD переходя между соE седними @по сторонеA треугольничкамиF Какое максимальное количество треугольничков моE жет пройти жукD если в каждом он побывал не больше одного разаc 6 Некоторое число кончается на двойкуF Если эту двойку перенести в начало числаD то оно удвоитсяF Приведите пример такого числаF SQ


Ответы и комментарии
1 ?Полгуся " это какc3 " часто недоумевают школьникиF На это можете спроситьX ?Пусть в стае семь гусейF Тогда полстаи " это сколькоcF В условии сказано ?половина стая и ещ? полгуся? " это значит R из UD II из PI и тF дF БываетD школьники решают задачу подборомX возьмутD скажемD сто гусей и посмотрятD много это или малоF Постепенно поймутD в каком диапазоне лежит ответD а затем найдут и точное число гусейF ?Я решил3 В стае было IPU гусей3 " радостно заявляет школьE ник и показывает вам свою последнююD успешнуюD проверкуD " На первое озеро сели (127 + 1)/2 = 64 гусяD остальные 63 полетели дальE шеD на второе сели (63 + 1)/2 = 32 гусяD 31 " полетели дальшеFFFF Это решение неполное " формально надо обосноватьD почему нет других вариантов " даEдаD несмотря на всю очевидностьF Если бы гусей было больше IPUD то на седьмое озеро село бы больше одного гусяD а если меньше IPUD то до седьмого озера гуси бы не долетелиF Почемуc Да потомуD что чем больше число N D тем больше числа +1 N + 1 N2 + 1 D и тF дF Проблема в томD что такого объяснения вы 2 2 вряд ли дожд?тесь от школьника младших классовF Постарайтесь помочь ему довести решение до логического концаF У решения подбором есть и другой недостатокX непонятноD как решать задачуD скажемD для ста оз?р вместо семиF Обратите на это внимание школьникаF Между темD разумное решение задачи " F Сразу отмеE тимD что гусейD садившихся на очередное озеро @полстаи плюс полE гусяAD на один большеD чем гусейD летевших дальше @полстаи минус полгусяAF Так как дальше седьмого озера никто не полетелD то на 3 него сел один гусьF Это тот самый гусьD который полетел дальшеD после тогоD как на шестое озеро сели 1 + 1 = 2 гуся из 2 + 1 = 3 летевших над нимF ЗначитD на пятое озеро сели 3 + 1 = 4 гуся из 4 + 3 = 7 летевших над нимF Аналогично над четв?ртым озером летели 8 + 7 = 15 гусей и тF дF ВообщеD если над какимEто озером

с конца

3 Можно ещ? объяснить так. На седьмое озеро села, с одной стороны, вся оставшаяся стая, а с другой полстаи + полгуся. Значит, полстаи = полгуся.

SR


летели n гусейD то над предыдущим озером летели 2n + 1 гусейF Отсюда несложно вывестиD что в случае k оз?р гусей было 2k - 1F 2 Это задача на тему ?ч?тность?F На оставшихся доминошках каждая из цифр от H до S написана по семь раз @неч?тное чисE лоAF Если бы доминошки удалось сложить в цепочкуD то каждая из этих цифр была бы написана на одном из концов цепочкиD но таких концов только дваD " противоречиеF 3 ОчевидноD число должно быть девятизначноеD а для этого начиE нать надо либо из углаD либо из центра @из соображений шахматной раскраскиX чтобы обойти по разу все девять клеток " пять ч?рных и четыре белых " меняя при этом каждым ходом цвет клеткиD необE ходимо начать с ч?рной клеткиAF Наибольшая цифра в этих клетках " 5 " с не? и начн?мF Из не? можно пойти в 6 или 7F Чтобы полуE чить число побольшеD пойд?м в 7F Затем " в 3 @а не в 2D что меньшеAF А вот теперь если ?пожадничать?D выбрав наибольшую цифру 9D то весь квадрат не обойтиF Единственный способ продолжить маршрут после 573 такойX 618492F 4 Будьте готовыD что школьники могут не пройти проверку на умение читать условие и не заметитьD что центральный кубик из сыра вырезанF Многие школьники пытаются выдать свои неудачные попытки ?обойти весь сыр? за доказательство тогоD что это невозможноF ТаE кое решение можно принять только после полного перебораD а он довольно великF Обычно у школьников не хватает ни терпенияD ни культуры провести перебор аккуратноF Попытайтесь ненавязчиво отговорить школьника решать перебором и направить его на поиски идейного решенияF Пусть верн?тся к предыдущей задаче или вспомE нит другой близкий сюжет с передвижением по соседним клеткам квадратного поляF Часто в таких задачах ключевую роль играет @не подсказывайте явно3AF Раскрасим куб 3 Ч 3 Ч 3 в ?тр?хмерную шахматную раскраску? " будет 14 ч?рных кубиков и 13 белыхD включая центральныйF Мышь каждым ходом меняет цветD поэтому количества ч?рных и белых съеденных ей кубиков не могут отличаться более чем на одинD в то времяD как всего их 14 и 12F

шахматная раскраска

SS


5 Здесь вряд ли обойтись без ?треугольной шахматной раскрасE ки? @смF рисунокAF Каждым ходом мы меняем цвет треугольничкаD поэтому количества ч?рных и белых треугольных клеток в нашем маршруте отличаются не более чем на одинF Но ч?рных клеток 15D а белых " 10D значитD всего мы можем обойти не более 10 + 11 = 21 клеткиF Один из примеров показан на рисункеF

6 Эту задачу можно решитьD пожалуйD только одним способомD прич?мFFF из начальной школы3 Составление уравнения типа 2x = 2 ћ x2 к успеху не привед?т " это станет ясноD если взглянуть на ответF Составим пример на умножение в столбикD цифры в котором будем заполнять последовательно справа налевоX
11 1111 1 11

IHSPTQISUVWRUQTVRP Ч P PIHSPTQISUVWRUQTVR ОтметимD что этот IVEзначный ответ не единственныйX составE лять пример можно дальшеF Все числаD удовлетворяющие условиюD имеют вид AD AAD AAA и тF дFD где A " полученное выше числоF

ST


Листок 13. Кратчайший путь
между любыми соседними равно I дюймуF Протяните от гвоздика A к гвоздику B нитку как можно меньшей длины такD чтобы она прошла через все остальные гвоздикиF
A B

1 В доску вбито PH гвоздиковD как показано на рисункеF Расстояние

2 Петя и Вася живут в соседних домах @смF план на рисункеAF Вася жив?т в четв?ртом подъездеF ИзвестноD что ПетеD чтобы добежать до Васи кратчайшим пут?м @не обязательно идущим по сторонам клетокAD безразличноD с какой стороны обегать свой домF ОпредеE литеD в каком подъезде жив?т ПетяF

3 В деревне вдоль дороги расположены четыре домаF Расстояния между ними указаны на рисункеF В деревне решили поставить коE лодецF Где его нужно расположитьD чтобы сумма расстояний до всех домов была как можно меньшеc
A 10 B 40 C 20 D

SU


4 В поле стоит квадратный колодец размером 2 Ч 2 метраF К его углу вер?вкою привязана козаF Какую форму имеет участок поляD внутри которого коза сможет съесть всю травуD если длина вер?вки равна R метрамc 5 В вершине A квадрата со стороной IH см сидит муравейF Ему надо добраться до точки B D где находится вход в муравейникF ТочE ки A и B разделяет треугольная стенаD боковые стороны которой тоже равны IH смF Найдите длину кратчайшего путиD который надо преодолеть муравьюD чтобы попасть в муравейникF
A

B

му кубаF ЖукD севший на одну из вершинD хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру и перейти к другим экспонатам @для этого доE статочно попасть в противоположную вершину кубаAF Какой путь ему выбратьc

6 В музее Гугенхайм в НьюEЙорке есть скульптураD имеющая форE

SV


Ответы и комментарии
1 Наименьшее расстояние между гвоздиками " I дюймD а обойти нужно PH гвоздиковD значит длина нитки должна быть хотя бы IW дюймовF Этой длины хватитD обходить гвоздики нужно такX
A B

и через нижний угол домаF

2 ПосмотримD как Петя будет срезать углы на пути через верхний

ЗаметимD что отрезкиD изображенные на рисункеD равныF Теперь нетрудно заметитьD что путь от верхнего угла дома короче на чеE тыре клеткиD чем путь от нижнего углаF остается с учетом этого правильно выбрать подъезд и узнатьD что Петя живет в шестом подъезде @втором снизуAF 3 Как ни странноD ответ в этой задаче не зависит от расстояний между домами " об этом можно сообщать в качестве подсказкиF Ещ? в качестве подсказки можно предложить посмотретьD что было быD будь домов не так многоF В качестве места для колодца подойд?т любая точка между доE мами B и C F В этом случае сумма расстояний до домов AK + B K + K C + K D будет равна AD + B C F Оста?тся заметитьD что если колоE дец окажется вне отрезка B C D то сумма расстояний окажется больE шеD чем AD +B C @так как тогда AK +K D ADD а B K +K C > B C AF SW


Если бы дома находились не на одной прямойD задача стала бы заметно сложнееD однако основная идея осталась бы прежней " использовать неравенство треугольника AB + B C AC и свойствоD что равенство достигается только тогдаD когда B лежит на AC F 4 ИзEза тогоD что веревка будет наматываться на колодецD полуE чится вот такая фигураD составленная из трех дуг окружностей @смF рисунокAF

5 В этой задачеD как и в следующейD вычисления не нужныD а достаточно просто знатьD что кратчайший путь между точками на плоскости " это путь по прямойF Для тогоD чтобы найти кратчайE ший путьD очень полезно сложить изображенную на рисунке фигуру из бумаги и посмотретьD как будут вести себя нарисованные на е? поверхности пути при раскладывании сложенной фигурыF
A

B

A

B

Кратчайших путей будет дваD и будут ониD как ни удивительноD в обходD по самому краю листа @умный в гору не пойд?тD умный гору обойд?тAF ЗаметьтеD что если бы вместо квадрата у нас был бы ромб с достаточно острым углом @AB " меньшая диагональAD кратчайший путь начал бы постепенно залезать на край холмаF
A B A B

TH


6 В этой задаче тоже на помощь приходят разв?рткиF Если у школьников не будет получаться решить задачуD посоветуйте им сложить куб из бумагиF Кратчайших путей на этот раз будет шесть штукF Можете предложить решившим задачу найти их все и нариE совать их на поверхности куба разными цветамиF
B B B

A

TI


Листок 14. Его величество Куб
вит либо правдивыйD либо лживый корольF Однажды каждый коE роль заявилD что правители большинства сопредельных с его влаE дениями граней лживыF Сколько было лживых королей на самом делеc 2 На гранях кубика расставлены числа от I до TF Кубик бросили два разаF В первый раз сумма чисел на четыр?х боковых гранях оказалась равна IPD во второй " ISF Что написано на граниD протиE воположной тойD где написана цифра Qc 3 Верно лиD что если все грани многогранника " квадратыD то этот многогранник " кубc 4 Составьте куб 3 Ч 3 Ч 3 из красныхD ж?лтых и зел?ных кубиков 1 Ч 1 Ч 1 такD чтобы в любом бруске 3 Ч 1 Ч 1 были кубики всех тр?х цветовF 5 Какое наибольшее число брусков размером 1 Ч 2 Ч 2 можно разE местить @без пересеченийA в кубе 3 Ч 3 Ч 3c 6 Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цветD а другие четыре " в синий такD чтобы каждая плоскостьD проходящая через какиеEто три точки одного цветаD содержала точку другого цветаc

1 Планета ?Куб? имеет форму кубаD каждой гранью которого праE

TP


Ответы и комментарии
1 У каждого правителя " четыре соседаF Большинство из них " либо все четыреD либо троеF Далее рассуждаем по пунктамF IF ЯсноD что все короли лживыми быть не могутD иначе их заE явления " чистая правда3 ЗначитD есть хотя бы один правдивый корольF Назов?м его ПF PF Король П сказал правдуD поэтому с ним граничат не менее тр?х лживыхF Среди этих тр?х удобно взять центрального " назоE в?м его ЛX у него уже два лживых соседа @те жеD что у ПA и один правдивый @сам ПAF QF Чтобы заявление короля Л было ложьюD его четв?ртый сосед @на граниD противоположной ПAD должен быть правдивымF ИтакD на двух противоположных гранях " правдивые королиD а на тр?х из остальных " лживыеF Кто же на последней граниc RF С этим некто граничат два лжеца и два правдивцаF Ага3 ЗнаE читD он солгалD говоря о большинстве3 ОтветX четыре лживых короля и два правдивыхF 2 Сумма всех очков на кубике равна4 1 + . . . + 6 = (1 + 6) ћ 3 = 21. ЗначитD сумма чисел на верхней и на нижних гранях после первого броска равна 21 - 12 = 9D а после второго " 21 - 15 = 6F Представим эти числа в виде суммы двух различныхX
9 = 6 + 3 = 5 + 4, 6 = 5 + 1 = 4 + 2.

Как разобратьсяD какая именно пара чисел была сверху и снизуc Воспользуемся темD что эти пары не имеют общих чисел3 ЗначитD комбинация 4 + 5 отпадает @в обоих представлениях шест?рки есть либо RD либо SAF Поэтому напротив шест?рки " тройкаF
Обратите внимание школьников на быстрый подсч?т суммы 1 + 2 + . . . + n: выпишем под ней ту же сумму в обратном порядке и сложим числа в каждом из n столбцов везде будет n + 1. Значит, удвоенная сумма равна n(n + 1), и
1 + 2 + ... + n =
n(n+1) 2

4

.

TQ


3 НетF НапримерD такую фигуру можно получитьD взяв один кубик и приклеив к каждой его грани ещ? по одному кубикуF 4 При раскраске тр?хмерного куба на тетрадном листе могут возE никнуть сложности " как нарисовать его такD чтобы можно было одновременно видеть все его клеткиc Для этого довольно удобно смотреть не на весь куб целикомD а на его горизонтальные сеченияF

Если у школьники будут пытаться рисовать тр?хмерный куб и расE крашивать егоD посоветуйте им изобразить решение в виде тр?х слоE ?вD так вам будет проще проверить раскраску на наличие ошибокF 5 ЯсноD что из соображений объ?ма ответ не больше 33 /22 = 27/4D тF еF не больше 6F Укладка шести брусов показана на рисункеF

ные? " полыми кружочкамиAF
A

6 СмF рисунок @?синие? точки изображены сплошнымиD а ?красE
B
1

1

B

C

1

A

D1 C

D

ЗаметьтеD что решениеD в котором цвета точек чередуются @AD C D B1 D D1 " ?красные?D остальные " ?синие?A не подходит изEза плосE костейD проходящих ровно через три вершины @напримерD AB1 D1 AF TR


Листок 15. Математический фольклор
стуF Но лодка таковаD что в ней может поместиться только крестьяE нинD а с ним или только волкD или только козаD или только капустаF Но если оставить волка с козой без крестьянинаD то волк съест козуD а если оставить козу с капустойD то коза съест капустуF Как бытьc 2 У Маши не хватало для покупки букваря семи копеекD а у Миши " одной копейкиF Они сложилисьD чтобы купить один букварь на двоихD но денег вс? равно не хватилоF Сколько стоил букварьc 3 Охотник находится в IHH м к югу от медведяD проходит IHH м на востокD поворачивается лицом к северуD прицеливается иD выстрелив в направлении на северD убивает медведяF Какого цвета медвежья шкураc 4 Квадрат 8 Ч 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник 5 Ч 13F Не веритеc Посмотрите на рисунок справаF Как вы это объяснитеc

1 Крестьянину нужно переправить через реку волкаD козу и капуE

лось ещ? три треугольникаF 6 В одном стакане было молокоD а в другом " столько же кофеF Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и небрежE но размешалиF Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молокомF Чего теперь большеX кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофеc TS

5 а) Сложите четыре треугольникаD используя шесть одинаковых спичекF б) Добавьте ещ? три такие же спичкиD чтобы образоваE


Ответы и комментарии
ципу неизбежности.
1 Обратите внимание школьниковD что задача решается

Лишь однажды у крестьянина появляется выE бор из двух симметричных продолженийX IA перевозим козу @очевидноD единственноеAY PA возвращаемся @не везти же козу обратноAY QA вез?мD к примеруD волка @можно и капусту " другой вариантAY RA перевозим обратно козу @оригинальный и в то же время выE нуженный ходAY SA!UA дальнейшее ясноX перевозим капусту @либо волкаD если в пункте QA перевозили капустуAD возвращаемся за козой и перевозим е?F 2 ОчевидноD у Маши денег не было @у Миши не хватало всего одE ной копейки и Маша не смогла ему помочьAF Значит букварь стоил столькоD сколько ей не хватилоD тF еF U копеекF 3 Задача выглядит обескураживающейF СогласитесьD вопрос дейE ствительно нестандартныйF Если нарисовать вс? произошедшее на плоскостиD получится проE тиворечие с условиемX сначала охотник был ?строго ниже? медведяD затем отош?л вправо и снова оказался строго ниже медведяF Как таE кое может бытьD если медведь не двигался @что подразумеваетсяAcFF Нетрудно догадатьсяD что цвет шкуры белыйD потому что так странно вед?т себя координатная сетка только рядом с полюсамиF Хотя от школьников требуется только найти случай с Северным полюсом @слева на рисункеAD обязательно обратите внимание на тоD чтоD вообще говоряD эта история могла произойти и на Южном поE люсе тоже @правый рисунокAF

по прин-

TT


Во втором случае охотникD пройдя всего IHH метровD должен сделать один или несколько оборотов вокруг Земли и оказаться на своей изначальной позицииF ВпрочемD этот случай на ответ не влиE яетD потому что на Южном полюсе медведи не водятсяF 4 Фокус в томD что угловые коэффициенты гипотенуз треугольниE ков и боковых сторон трапеций разные @хотя и очень близкиеX 3/8 и 2/5 соответственноD разница 1/40AD а потому эти отрезки никак не могут слиться в одну линию " диагональ прямоугольника 5 Ч 13F На рисунке это не видноD поскольку линии на н?м изображены нарочиE то жирноF Если же перерисовать его тонким карандашом в крупном масштабе @скажемD три тетрадные клетки на один квадратикAD то по диагонали можно увидеть щель в форме параллелограммаF Его площадь как раз равна одной клетке @той самой лишнейAF

Вот важный и интересный фактD который можно предложить доказать школьникам постарше @он интересен и студентамD и имеE ет различные приложенияAF Параллелограмм с вершинами в узлах тетрадной сетки имеет площадь 1 тогда и только тогдаD когда ни внутри негоD ни на его границе нет других узлов сеткиF Такие паралE лелограммы называются или F 5 На плоскости это сделать невозможно " выйдем в пространE ствоF Ответ в пункте аA " правильный тетраэдрD в пункте бA " два правильных тетраэдра с общим основаниемF 6 Кофе в первом стакане @с молокомAD как и молоко во втором стакане @с кофеAD дополняют молоко в первом стакане до объ?ма одного стаканаF Поэтому ответX поровнуF

примитивными

фундаментальными

TU