МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Версия для печати

Занятие 14. Письменная работа

Часть А

1.

Выписали все натуральные числа от 75 до 125 включительно. Сколько чисел выписали? А сколько цифр?

Ответ Решение

Ответ. 51 число, 128 цифр.

Решение. Выписали 125 − 75 + 1 = 51 число. Из них 99 − 75 + 1 = 25 чисел двузначные и 125 − 100 + 1 = 26 чисел трехзначные. Значит, всего выписали 2·25 + 3·26 = 128 цифр.

2.

Петя нарисовал на клетчатом листе бумаги фигуру (см. рисунок). Разрежьте эту фигуру на две равные части по линиям сетки.

Ответ

Ответ.

3.

В школе учатся 80 пятиклассников. Из них 44 умеют играть на фортепиано, 43 — на гитаре, а 24 не умеют играть ни на одном из этих инструментов. Сколько пятиклассников умеют играть и на гитаре, и на фортепиано?

Ответ Решение

Ответ. 31.

Решение. 80 − 44 − 24 = 12 человек умеют играть только на гитаре. Значит, 43 − 12 = 31 человек может играть не только на гитаре, то есть еще и на фортепиано.

4.

Кирпич весит 6 фунтов и еще треть кирпича. Сколько весит кирпич?

Ответ Решение

Ответ. 9 фунтов.

Решение. Две трети кирпича весят 6 фунтов, значит, одна треть кирпича весит 3 фунта, а сам кирпич весит 3 · 3 = 9 фунтов.

5.

Нарисуйте 8 точек и соедините их линиями так, чтобы никакие две линии не пересекались, из каждой точки выходило по 4 линии и каждые две точки соединялись не более чем одной линией.

Ответ

Ответ.

6.

В комнате стоят 40 компьютеров, и все они соединены проводами. От трех компьютеров отходит по 20 проводов, от семи — по 30, от оставшихся тридцати — по 25 проводов. Сколько проводов протянуто в комнате?

Ответ Решение

Ответ. 510 проводов.

Решение. Посчитаем количество концов проводов, выходящих из каждого компьютера. Их 3·20 + 7·30 + 30·25 = 1020. При этом каждый провод мы посчитали по два раза, поскольку у него два конца. Таким образом, самих проводов в два раза меньше, чем концов, то есть 1020 : 2 = 510 штук.

7.

В ящике лежат синие, красные, белые и сиреневые шарики, по 15 штук каждого цвета. Какое минимальное количество шариков нужно вытащить не глядя, чтобы среди них точно нашлось 5 шариков одного цвета?

Ответ Решение

Ответ. 17 шариков.

Решение. Если вытащить 17 шариков, то среди них обязательно найдутся 5 одного цвета: если это не так, то шариков каждого цвета не больше 4 штук, а всего их тогда не больше 4·4 = 16, что противоречит условию. С другой стороны, 16 вытащенных шариков может и не хватить, так как может оказаться, что мы вытащили по 4 шарика каждого цвета.

8.

Мыши нашли прямоугольный кусок сыра и начали его есть. За 35 секунд кусок уменьшился по длине, ширине и высоте в 2 раза. Сколько еще времени мыши будут есть сыр?

Ответ Решение

Ответ. 5 секунд.

Решение. Объем куска сыра, оставшегося через 35 секунд, в 2·2·2 = 8 раз меньше начального. Значит, мыши съели в 7 раз больше сыра, чем осталось. Следовательно, оставшийся кусок они будут есть еще 35 : 7 = 5 секунд.

9.

В диспетчерской есть 10 лампочек. Под одной из них написано: «Горит ровно одна лампочка», еще под двумя — «Горят ровно две лампочки», еще под тремя — «Горят ровно три лампочки», а под остальными — «Горят ровно четыре лампочки». Сейчас под включенными лампочками написаны верные утверждения, а под выключенными — неверные. Сколько включенных лампочек может быть в диспетчерской при этих условиях? Укажите все возможные варианты.

Ответ Решение

Ответ. 0, 1, 2, 3 или 4 лампочки.

Решение.

Сначала отметим, что все лампочки могут быть выключены. Эта ситуация удовлетворяет условию задачи: под всеми включенными лампочками (то есть ни под одной) написаны верные утверждения, а под всеми выключенными, то есть под всеми десятью — неверные.

Теперь предположим, что есть хотя бы одна включенная лампочка. Посмотрим, что под ней написано. Если написано «Горит ровно одна лампочка», то все остальные должны быть выключены. Если написано «Горят ровно две лампочки», то вторая лампочка с таким же утверждением должна быть тоже включена, потому что под ней написано то же самое. В этом случае мы имеем две включенных лампочки, но все остальные, согласно написанному утверждению, должны быть выключены. Если же под включенной лампочкой написано «Горят ровно три лампочки», то еще две лампочки с таким же утверждением должны быть включены, а остальные выключены. Аналогично с утверждением «Горят ровно четыре лампочки».

10.

Вдоль аллеи высадили несколько лип. Потом между каждыми двумя липами посадили еще по две липы. Потом между каждыми двумя липами посадили еще по одной липе, и всего лип стало 1357. Сколько лип посадили первоначально?

Ответ Решение

Ответ. 227 лип.

Решение. Добавим еще одну липу. Получается, что на втором шаге после каждой липы (в том числе и после последней) посадили по одной липе, и их стало 1358. Значит, до этого (после первого шага) их было 1358 : 2 = 679. Теперь добавим к ним еще две липы (в самый конец). Получается, что в самом начале после каждой липы (в том числе и после последней) посадили по две липы, и их стало 681. Значит, в самом начале их было 681 : 3 = 227.

Часть Б

11.

Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке. В интервью газете «Желтый листок» Незнайка сказал: «Знайка назвал мне три числа. Их сумма равна 201, а произведение равно 30030». Докажите, что Незнайка соврал.

Решение

Решение. Число 30030 делится на 2, но не делится на 4. Поэтому среди трех чисел, произведение которых равно 30030, одно четное и два нечетных. Но сумма двух нечетных чисел и одного нечетного всегда является четной, тогда как число 201 нечетно. Полученное противоречие доказывает, что Незнайка соврал.

12.

На Зимнюю школу Малого мехмата приехали 25 пятиклассников. Могло ли получиться так, что каждый из них перед поездкой был знаком ровно с 7 другими пятиклассниками — участниками Зимней школы?

Ответ Решение

Ответ. Не могло.

Решение. Подсчитаем количество знакомств между пятиклассниками: удвоенное количество таких отношений должно быть равно 7·25 = 175 (каждое знакомство мы считаем два раза). Но число 175 нечетно, поэтому число знакомств 175 : 2 получается нецелым, чего быть не может.

13.

Пассажир опаздывал на поезд, и ему нужно было пробежать весь путь со скоростью 10 км/ч. Но у него были тяжелые сумки, и всю первую половину пути он плелся со скоростью 5 км/ч. А потом его встретил друг на машине и предложил подвезти. Есть ли у них шанс успеть на поезд, и если да, то с какой скоростью им нужно для этого ехать?

Ответ Решение

Ответ. Шансов успеть на поезд нет.

Решение. Пробежать весь путь со скоростью 10 км/ч можно за столько же времени, как и пройти половину пути со скоростью 5 км/ч. А значит, в тот момент, когда пассажир садился в машину, поезд уже уехал.

14.

2011 мартышек сидят по кругу. Одни мартышки грустные, другие веселые. Каждая из них по очереди произнесла фразу: «Обе мои соседки — грустные». Если про мартышку солгали, она сразу обижается и грустнеет. Если про мартышку сказали правду, она сразу радуется и веселеет. Когда веселых мартышек больше: в начале или в конце?

Ответ Решение

Ответ. Число веселых мартышек в начале и в конце одинаково.

Решение. Заметим, что после фразы каждой мартышки у обеих ее соседок меняется настроение. Значит, у каждой мартышки настроение меняется два раза. Поэтому в конце настроение у каждой будет такое же, как и в начале.

15.

В распоряжении параллели 5 класса Малого мехмата 14 аудиторий. Известно, что как ни перераспределяй пятиклассников, пришедших на занятие ?14, все равно в какой-то аудитории будет сидеть как минимум 36 пятиклассников. Какое наименьшее число пятиклассников могло прийти на занятие ?14 при этих условиях?

Ответ Решение

Ответ. 491 человек.

Решение. Если на занятие пришло 14·35 = 490 пятиклассников или меньше, то их можно рассадить так, чтобы в каждой аудитории было не более 35 человек. А вот если их пришло 491 или больше, то в какой-то аудитории обязательно будет не меньше 36 человек: 491-го человека придется сажать в аудиторию, где уже сидят 35 человек, и он там станет 36-м.