Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mmmf.msu.ru/zaoch/math/var2010.pdf Дата изменения: Thu Mar 17 14:13:25 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:43:43 2012 Кодировка: Windows-1251

Избранные задания олимпиад и вступительных испытаний 2010 г. в МГУ имени М. В. Ломоносова
Ежегодно в Московском университете проводится множество интеллектуальных состязаний для школьников: олимпиады ?Ломоносов?, ?Покори Воробьевы горы?, турнир имени М. В. Ломоносова и многие другие. Информацию об этих мероприятиях можно узнать на сайте МГУ http://www.msu.ru в разделе ?Поступающим?. В 2010 г. на механико-математическом и ряде других факультетов МГУ проводились вступительные экзамены дополнительные по отношению к ЕГЭ вступительные испытания в письменной форме. Далее приводятся избранные задания олимпиад и вступительных испытаний 2010 г.

1. Представьте число

1 1 - - 0,125 11 29 в виде несократимой обыкновенной дроби.

2. Решите неравенство

x+7 x+1

x + 3.

3. Между пунктами А и Б, расположенными на берегу озера, курсирует катер. На сколько
процентов увеличится время в пути из пункта А в пункт Б, если скорость катера уменьшится на 20%? 4. Решите уравнение 3 log8 (x + 1) = log2 2x + 5.

5. Стороны треугольника равны 3, 5, 7. Найдите величину большего из углов треугольника. 6. Решите неравенство 2 ћ 3x + 31-x 7. 7. Решите систему уравнений y x
3x =4+ x+ y= log2 8, 1 . x

8. Решите неравенство ( 3 - 2)(log2 3) ( 3 + 2)-(log3 2) . 9. Параллелограмм, одна из сторон которого равна 3, описан вокруг окружности радиуса 1.
2x-1

4-x2



Найдите площадь параллелограмма.

сторонах AB и B C точки D и F соответственно так, что DE B C и E F AB . Какую часть площади треугольника AB C занимает площадь треугольника DE F , если B F : E F = 2 : 3?

10. На основании AC равнобедренного треугольника AB C взята точка E , а на боковых 11. Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил еще

1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,04, а когда он добавил еще 1 млн р., его доля увеличилась еще на 0,02. Сколько денег ему нужно добавить еще, чтобы увеличить свою долю еще на 0,04?

12. Решите уравнение 2 sin4 x + 7 cos3 x = 2. 13. Даны две окружности радиусов 2 и 3. Прямая касается обеих окружностей и пересекает отрезок, соединяющий их центры. Найдите расстояние между точками касания, если расстояние между центрами равно 7.

14. Найдите наименьшее положительное значение функции f (x) = 4(3 cos2 x + 2 sin x - 1)-1 . 15. Решите неравенство
1 1 - -x - 2 x+4 1+
1

1 (x + 4)(-x - 2)

.


1-x 3x - 2 > . x 3x + 4 17. Студент Василий добирался от железнодорожной станции до деревни Бабушкино. Он ехал на автобусе до поселка Дедушкино, где встретил знакомого, который за 10 минут подвез его до деревни на своей машине. Машина ехала в полтора раза быстрее автобуса. Когда пришло время уезжать, Василий за час доехал на велосипеде до поселка Дедушкино, а оттуда на такси доехал до станции. Такси ехало в 6 раз быстрее велосипеда, и в итоге Василий на обратную дорогу от деревни до станции потратил ровно столько же времени, сколько потребовалось, чтобы добраться от станции до деревни. Сколько времени ушло у Василия на дорогу в один конец? 18. Числа 54 и 128 являются членами геометрической прогрессии. Найдите все натуральные числа, которые могут встретиться в этой прогрессии. 19. Проекции некоторой кривой в координатном пространстве на плоскости Oxz и Oy z удовлетворяют уравнениям 5x + cos z = 0 и z = arctg y - 3 соответственно. Найдите функцию y = f (x), график которой состоит из тех и только тех точек, которые могли бы при этих условиях служить проекциями точек той же кривой на плоскость Oxy . 20. Найдите площадь треугольника AB C , если известно, что AB C = 12 , B C = 5, 2AC > AB , медиана C D образует со стороной AC треугольника угол величиной 5 . 12 21. Из лесу выскочил заяц и помчался по прямой в направлении тернового куста. На полпути до куста заяц напоролся на колючку и стал бежать в полтора раза медленнее. Когда зайцу оставалось до куста 50 метров, из лесу (из того же места) выбежал волк и погнался за зайцем. Когда заяц добежал до куста, волку оставалось до него 10 метров. На каком расстоянии от леса находится терновый куст, если известно, что волк все время бежал со скоростью, с которой первоначально бежал заяц? 22. Найдите все значения a, при каждом из которых система 25x - 13 ћ 5x + a < 0, 12 sin4 x - cos 4 x = 11
имеет хотя бы одно решение. 23. В основании правильной пирамиды S AB C D лежит квадрат AB C D со стороной 6. Через середины ребер AD, B C и C S проведена плоскость. Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью, если длины боковых ребер пирамиды равны 7. 24. На ребре AS треугольной пирамиды S AB C отмечены такие точки M и N , что AM = = M N = N S . Найдите площадь треугольника N B C , если площади треугольников AB C , M B C и S B C равны 1, 2 и 37 соответственно. 25. На доске написан квадратный трехчлен x2 + 9x + 47. Таня (по своему усмотрению) увеличивает или уменьшает на 1 коэффициент при x, после чего Ваня увеличивает или уменьшает на фиксированное число m свободный член, а далее эти действия повторяются. Как только написанный на доске многочлен имеет целый корень, Ваня получает оценку ?пять?. Может ли он обеспечить себе ?пятерку? при любых действиях Тани, если а) m = 2; б) m = 3? 26. Найдите все натуральные числа x и y , удовлетворяющие уравнению y 3 = x3 + 9x2 + 17. 27. В основании параллелепипеда лежит прямоугольник AB C D со сторонами AB = 1 и B C = 4, боковые ребра AA1 , B B1 , C C1 , DD1 перпендикулярны основанию и равны 1. Сфера касается прямой DC1 в точке C1 , прямой DB1 в точке, лежащей внутри отрезка DB1 , и проходит через точку D1 . Найдите радиус сферы. 28. Диагонали трапеции AB C D с основаниями AD = 3 и B C = 1 пересекаются в точке O. Две окружности, пересекающие основание B C в точках K и L соответственно, касаются друг друга в точке O, а прямой AD в точках A и D соответственно. Найдите AK 2 + DL2 . 2

16. Решите неравенство