Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cmc.msu.ru/Home/Opus/a22.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:39:20 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:30:06 2012 Кодировка: koi8-r

Доклады академии Наук СССР. 1935, т. 1(VI), в. 5

А. Тихонов

Теоремы единственности для уравнения

теплопроводности

(Представлено академиком Н. Н. Лузиным 20.1.1935)

Мы предлагаем здесь исследование вопроса о единственности решений для
уравнения теплопроводности
[pic] (1)
для бесконечной прямой. Решения этого уравнения не определяются
единственным образом по заданному начальному значению [pic] (§1). Далее (§§
2-5) мы исследуем интеграл Пуассона
[pic] (2)

и выясним когда заданное решение уравнения (1) представимо в таком виде.
Кроме того мы установим некоторые условия единственности решения (1) для
бесконечной прямой,
В §§ 6-7 мы занимаемся теми же задачами для полупрямой. В § 8 мы ставим
новую "обратную" задачу теплопроводности, имеющую целью определить решение
[pic] для [pic] по заданному значению [pic]. При этом никаких граничных
условий не требуется ( они определяются сами.

§ 1.

Рассмотрим функцию
[pic]
Очевидно, что если этот ряд равномерно сходится, то он представляет решение
уравнения теплопроводности. Если при этом функции [pic] и [pic] обладают
тем свойством, что они со всеми своими производными обращаются в [pic] при
[pic], то полученное решение будет отлично от тождественного нуля, но [pic]
при [pic].
Выбор функций [pic] и [pic], удовлетворяющих поставленным условиям,
нетрудно осуществить. Этот пример показывает, что начальное условие не
определяет единственного решения уравнения (1).

§ 2.

Пусть мы имеем решение [pic] уравнения теплопроводности, определенное
для всех значений [pic] и [pic].
Отсюда можно заключить, что [pic] целая функция по [pic] и что она имеет
все производные по [pic]. Таким образом, она представима в виде
[pic]
причем
[pic]
Отсюда как следствие получается, что двух различных решений уравнения
теплопроводности [pic] и [pic], для которых
[pic]
быть не может. Эти условия единственности аналогичны условию Коши-
Ковалевской.

§ 3.

Если задано непрерывное начальное значение [pic], то решение уравнения
теплопроводности, принимающие это начальное значение, обычно записывают в
виде интеграла Пуассона
[pic]
Но этот интеграл может представлять решение нашей задачи только тогда,
когда этот интеграл сходится. Кроме того, обычные доказательства
предполагают возможность дифференцировать это выражение под знаком
интеграла, для чего предполагают равномерную сходимость интегралов,
получающихся от двукратного дифференцирования под знаком интеграла. Мы
доказываем следующую теорему.
Если интеграл [pic]сходится для некоторого значения [pic] то он
сходится для любых значений [pic] и представляет в этой области решение
уравнения теплопроводности, удовлетворяющее поставленному начальному
условию.

§ 4.

Пусть дано некоторое решение уравнения теплопроводности [pic],
определенное для [pic] и [pic] при каких условиях [pic] представимо в виде
Пуассона?
Установим для этого два различных типа условий.
Первое условие, необходимое и достаточное, получается при изучении
аналитической структуры функций
[pic] и [pic]
(эти функции, как мы видели в § 2, вполне определяют решения). Второе
условие (достаточное) получается при помощи ограничения на характер роста
[pic] при [pic] Первое условие можно формулировать так:
Для того чтобы решение уравнения теплопроводности [pic] было представимо
в виде интеграла Пуассона, необходимо и достаточно, чтобы
[pic]
были представимы при помощи преобразования Лапласа*.

§ 5.

Обозначим через
[pic]
Если существует такое [pic], что
[pic] (I)
то двух разных решений уравнения теплопроводности, удовлетворяющих условию
(1) и принимающих одинаковые начальные условия, быть не может. Причем [pic]
в этом случае представимо в виде интеграла Пуассона. Заметим, что среди
функций, построенных в §1 и не удовлетворяющих условию единственности,
легко найти функции, для которых
[pic]
при произвольно малом [pic].

§ 6.

Рассмотрим задачу: найти решение [pic] уравнения теплопроводности по
заданным
[pic]
(первая краевая задача для бесконечной полупрямой).
Эта задача имеет не единственное решение, как в том легко убедиться
рассуждениями, аналогичными § 1.
Если наложить условие (см. § 5)
[pic]
то получается единственное решение, представимое в виде
[pic]


§ 7.

Обратимся к задаче Фурье:
Определить решение уравнения теплопроводности [pic] удовлетворяющее
условию
[pic]
Очевидно, что эта задача не определена, так как
[pic]
удовлетворяет условию задачи при [pic]если только этот ряд сходится. Если
[pic] многочлен степени [pic], то
для [pic]
для [pic]
[pic]
Мы доказываем, что при условии, что
[pic]
то [pic]
двух функций [pic] и [pic], удовлетворяющих условиям задачи Фурье, является
многочленом [pic], удовлетворяющим уравнению теплопроводности. Если [pic],
то
[pic]

§ 8.

Рассмотрим задачу: определить решение уравнения теплопроводности [pic]
для всех значений [pic] и [pic], если задана
[pic]
Эта задача, так же как и предшествующие, не определена без дополнительных
условий, так как
[pic]
является решением поставленной задачи при [pic], если только ряд сходимости
и [pic] и [pic] вместе со всеми производными обращается в нуль при [pic]
[такие [pic] и [pic] существуют, § 1].
Мы доказываем:
Если [pic] и [pic] удовлетворяют поставленной задаче и
[pic] и [pic]
ограничены (равномерно), то
[pic]
Если [pic], т. е. функция [pic] ограничена, то
[pic]
где [pic] (ср. § 7). При помощи простых преобразований получаем:
[pic]
где [pic]
[pic]
В силу теоремы Лерха [2] [pic] а, следовательно, и [pic]
Общий случай для любого [pic] сводится к предшествующему простым
дифференцированием.

Литература

1. Widder. Transactions of the American. Math. Soc., v.36, 1934
2. Lerch. Acta Math., t. 27

* Что касается условий для того, чтобы [pic] была представима при
помощи преобразования Лапласа
[pic]
см. Статью Виддера [1]