Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.ru/Home/Opus/a76.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:58:42 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:43:24 2012 Кодировка: koi8-r

Доклады Академии наук СССР.1965. Том 163, ? 3


А. Н. Тихонов

О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения

1. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
[pic] (1)
Подобная система не всегда разрешима. Обозначим [pic], [pic] и [pic] -
ортогональное дополнение к [pic] в пространстве [pic]. Очевидно, что
система (1) разрешима в том и только в том случае, если правая часть
уравнения [pic]. Если [pic][pic], то решение системы определенно
однозначно. Если же [pic][pic], то решение z системы (1) неоднозначно: если
[pic] - какое-либо ее решение, то [pic] представляет полную Совокупность
решений системы (1).Совокупность условий
[pic]
где [pic]- базис [pic], однозначно определяет элемент [pic]. Будем называть
[pic] нормальным решением системы (1). Если система невырождена, то
нормальное решение совпадает с единственным решением этой системы.
Отметим для дальнейшего, что нормальное решение может быть определено
также из условий
[pic], если [pic].
Целью настоящей статьи является построение устойчивого алгоритма для
определения нормального решения системы .
2. Пусть исходные данные системы (1), т. е. матрица A и вектор [pic],
задаются с некоторым приближением, причем меру погрешности A , и и z будем
определять при помощи норм
[pic] (2)
Нетрудно убедиться, что задача определения нормального решения системы
(1) некорректна в смысле Адамара.
Рассмотрим пример:
[pic].
Детерминант этой системы [pic] и значение неизвестной x равны
[pic].
Если система вырождена, то [pic] и обращение X в нуль является одним из
условий разрешимости. Пусть, однако, [pic]иррациональны и при вычислениях
с некоторым числом десятичных знаков задаются как [pic]. Имеем, что [pic] и
[pic]вообще отличны от нуля и значение x , как отношение малых чисел, может
принимать любое значение. Естественно, что безнадежны попытки «уточнить»
значение xn за счет увеличения числа десятичных знаков.
Аналогично обстоит дело для любой вырожденной системы.
Таким образом, решения систем, представляющих как угодно близкие
аппроксимации вырожденных систем, дают большой разброс, а задача об
определении нормальных решений вырожденных систем некорректна в смысле
Адамара.
3. Если в системе (1) т>n , но система может допускать лишь единственное
решение ([pic][pic]), то метод наименьших квадратов решает эту задачу,
причем он приведет к определенному значению [pic] для любого [pic]
независимо от условия разрешимости. Рассмотрим, что представляет [pic],
если [pic] не удовлетворяет условиям разрешимости. Множество [pic] образует
линейное пространство. Обозначим [pic] проекцию [pic] на [pic]. Очевидно,
что решение, определяемое методом наименьших квадратов, удовлетворяет
уравнению
[pic].
В самом деле, метод наименьших квадратов состоит в том, что [pic]
определяется как элемент, реализующий минимум квадратической формы
[pic]
В нашем случае
[pic] ,
так как [pic] - ортогональная проекция [pic] на [pic] и, очевидно, минимум
этой системы реализует элемент [pic], удовлетворяющий уравнению [pic].
Однако, если матрица А вырожденная ([pic][pic]), то [pic] определен
неоднозначно.
4. Рассмотрим параметрический функционал
[pic], [pic],
где [pic]- произвольные матрица и вектор, [pic]>0 - параметр. Нетрудно
видеть, что при любых [pic]и [pic]>0 cуществует единственный элемент [pic],
реализующий минимум этого функционала.
Теорема. Пусть A - матрица; [pic]- вектор, удовлетворяющий условию
разрешимости уравнения [pic]; [pic]- нормальное решение. Пусть [pic] -
какие-либо [pic]-приближения A; [pic], [pic], [pic] -какие-либо убывающие
функции [pic], стремящиеся к нулю при [pic][pic] и такие, что
[pic][pic][pic].
Каково бы ни было [pic], существует такое [pic], что вектор [pic],
реализующий минимум функционала
[pic],
где [pic] - любое число такое, что
[pic], ([pic])
удовлетворяет неравенству
[pic],
если только [pic].
Эта теорема имеет место как для вырожденных, так и для невырожденных
матриц.
Обозначим [pic] проекцию [pic] на линейное пространство
[pic].
В этом случае
[pic]
Таким образом,
[pic],
и функционалы в правой и левой частях, этого равенства имеют общий элемент
[pic], их минимизирующий.
Воспользуемся неравенством
[pic]
а также неравенством
[pic]
Таким образом,
[pic]
Из последнего неравенства следует, что
[pic],
т. е. что {[pic]} образует компактное множество.
Убедимся теперь в том, что для любого [pic]существует такое [pic], что
если [pic] и [pic], то [pic], если [pic] и [pic] удовлетворяет условию
([pic]).
Предположим, что это неверно и что существуют [pic] и [pic] такие, что
[pic]. В силу компактности [pic] можно без ограничения общности считать,
что последовательность [pic] сходится к некоторому элементу [pic].
Убедимся в том, что [pic] , что будет противоречить предположению.
Оценим
[pic]
Таким образом, для [pic] получаем
[pic],
откуда следует, что [pic]так как эти условия определяют единственный
элемент, что и доказывает теорему.
3амечание 1. Если матрица А плохо обусловлена и в [pic]- окрестности
ее имеется вырожденная матрица [pic], где [pic] - точность задания А, то мы
находимся в условиях рассматриваемой задачи. Без регуляризации мы можем
получить сильно различающиеся решения, и применение регуляризации будет
давать приближение к нормальному решению уравнения [pic].
Замечание 2. Определим обобщенное нормальное решение [pic] условиям
[pic] для всех [pic],
где [pic] - произвольный фиксированный элемент, и [pic]- положительно
определенная квадратическая форма.
Регуляризация с функционалом [pic] проходит дословно подобно
предшествующему и определяет обобщенное нормальное решение [pic].
Замечание 3. Проведенное исследование не связано с конечномернстью
пространств z и и и дословно повторяется для произвольных непрерывных
линейных операторов [pic], если U - гильбертово пространство и Z -
нормированное пространство, в которое s-компактно вложено гильбертово
пространство [pic][2]. Это дает метод регуляризации решения линейных
неоднородных уравнений на спектре [1].


Литература

1. А. Н. Тихонов, ДАН, т. 151, ? 3 (?52) 153, ? 1 (1963).
2. А. Н. Тихонов, ДАН, т. 161, ?5, (1965).