Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://nuclphys.sinp.msu.ru/spargalka/a56.htm
Дата изменения: Thu Apr 24 17:03:52 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 02:02:40 2016 Кодировка: Windows-1251 |
Потенциальная яма
Частица массы m находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 1). Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям
При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы 0 < x < L и не может выйти за ее пределы, т.е.
Условие нормировки
Используя станционарное уравнение Шредингера для случая U = 0, получим
или
где
Уравнение (5) описывает положение частицы внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение
представляющее собой суперпозицию двух волн,
распространяющихся в противоположных
направления вдоль оси x.
Следовательно
Условие ψ(L) = 0 дает
Отсюда
Подставляя полученное значение a в соотношение (6), получим соотношение для энергии частицы в бесконечной прямоугольной яме
Волновые функции (9) имеют вид
Константу A можно получить из условия Нормированные волновые функции и собственные значения энергии для различных состояний приведены в табл. 1. Таблица 1.
На рис. 2 показаны плотности вероятности
обнаружения частицы в различных квантовых
состояниях.
В случае гармонического осциллятора потенциальная энергия U имеет вид
Станционарное уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид
Также как и в случае прямоугольной потенциальной ямы наблюдается дискретный спектр энергий состояний
где = (k/m)1/2. Однако в отличие от прямоугольной ямы, спектр энергий эквидистантный. Каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, описываемая полиномом Эрмита Hn.
где a2 = 42m/h, ζ= ax. В табл. 2 приведены собственные значения энергии En и нормированные собственные функции гармонического осциллятора n Таблица 2
На рис. 3 показана плотность распределения
волновой функции гармонического осциллятора.
17.01.14 |