Подпрограмма:  IA20R (модуль IA20R_p)

Назначение

Наилучшая среднеквадратичная аппроксимация одномерной функции на множестве кусочно - выпуклых функций с ограниченной первой производной.

Математическое описание

Для функции f (x), a ≤ x ≤ b, строится среднеквадратичное приближение u (x) в классе кусочно - выпуклых функций с ограничениями на первую производную: v₁ (x) ≤ u' (x) ≤ v₂ (x). Эта задача сводится к минимизации функционала

                 b  
      min     ∫  p(x)*( u(x) - f(x) )2 dx ,
    v,u(a)    a
                              x
     u(x) = u(a)  +   ∫  v(t) dt
                            a 

Hа множестве кусочно - монотонных функций  v (x) = u' (x),  v₁ (x) ≤ v (x) ≤ v₂ (x), a ≤ x ≤ b. Здесь  p (x) > 0,  v₁ (x),  v₂ (x) - заданные функции. Значение  u (a) может быть как известным, так и подлежащим определению.

Дискретным аналогом рассматриваемой вариационной задачи является задача квадратичного программирования

                         N
   (1)     min      ∑   pi di ( ui - fi )2
             v,ui     i=1 

при условии, что вектоp  v = (v₁, v₂, ..., v_N - 1)  удовлетворяет ограничениям

   (2)      ui  =  u1 + ( h1*v1 + h2*v2 + ... + hi-1*vi-1 ) ,    i = 2, ..., N
   (3)      v1 i ≤ vi ≤ v2 i  ,                       i = 1, ..., N-1
   (4)      mi ( vi+1 - vi ) ≥ 0  ,                i = 1, ..., N-2 

где  d_i > 0 - коэффициенты квадратурной формулы трапеций на сетке

 w = { xi : a = x1 <...< xi <...< xN = b } ,   fi = f( xi ) ,
 pi = p( xi ) ,   v1 i = vi( xi ) ,    v2 i = v2( xi ) , 

h_i = x_i + 1 - x_i - шаг сетки  w, параметры  m_i определяются условиями кусочной монотонности функции  v = u' и принимают значения  1, 0 или  -1.

Численное решение задачи (1) - (4) основано на методе проекции сопряженных градиентов, который позволяет проводить итерационный процесс минимизации в конечномерном пространстве W¹ _2, ρ с нормой

                    N-1
   || v ||   =  [  ∑   pi di vi2  +
                    i=1   
                                         N-1
                                     +  ∑   ρi ( vi - vi-1 )2 ]1/2 ,
                                         i=2 

ρ_i ≥ 0 - заданные числа. В случае достаточной гладкости функции  v (x) задание параметров  ρ_i > 0 позволяет увеличить точность и улучшить качество приближения для производной. Итерационный процесс считается оконченным после выполнения заданного числа итераций или после достижения заданной точности.

1. В.А.Моpозов, Н.Л.Гольдман, М.К.Самарин. Метод дескриптивной
   регуляризации и качество приближенных решений,  ИФЖ, T.33,
   N6, 1977.

2. Н.Л.Гольдман. Приближенное решение интегрального уравнения
   Фредгольма I рода в классе кусочно - выпуклых функций
   с ограниченной  первой  производной. Сб. "Численный  анализ на
   ФОРТРАНе, Методы и алгоритмы." Изд-во МГУ, 1978.

3. Ф.П.Васильев. Лекции по методам решения  экстремальных задач.
   Изд-во МГУ, 1974.

Использование

procedure IA20R(N :Integer; var F :Array of Real; NG :Integer;
                var V1 :Array of Real; var V2 :Array of Real;
                var MU :Array of Integer; var H :Array of Real;
                var P :Array of Real; var R :Array of Real; E :Real;
                ISP :Integer; LU :Integer; var U :Array of Real;
                var FU :Real; var KN :Integer; var B :Array of Real);

   Параметры 

   Версии:  нет 

   Вызываемые подпрограммы 

   Замечания по использованию  

Пример использования

Unit TIA20R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, IA20R_p;

function TIA20R: String;

implementation

function TIA20R: String;
var
N,NG,LU,ISP,J,_i,KN :Integer;
E,SF,Y,S,FU :Real;
F :Array [0..10] of Real;
B :Array [0..99] of Real;
const
V1 :Array [0..10] of Real = ( 0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0 );
V2 :Array [0..10] of Real = ( 1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,0.0 );
MU :Array [0..10] of Integer = ( 1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0 );
H :Array [0..10] of Real = ( 0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.0 );
P :Array [0..10] of Real = ( 1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0 );
R :Array [0..11] of Real = ( 0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0 );
U :Array [0..10] of Real = ( 0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0 );
label
_1;
begin
Result := '';  { результат функции }
N := 11;
NG := 3;
LU := 1;
E := 1.E-5;
ISP := 20;
U[0] := -11.0/24.0;
SF := 0.025;
Y := -0.5;
for J:=1 to N do
 begin
  S := SF*(2.0*Sin(123.456*J+789.0));
  F[J-1] := Y-(IntPower(Y,3))/3.0+S;
_1:
  Y := Y+H[J-1];
 end;
IA20R(N,F,NG,V1,V2,MU,H,P,R,E,ISP,LU,U,FU,KN,B);
Result := Result + Format('%s',['   ФYHKЦИOHAЛ=']);
Result := Result + Format('%20.16f ',[FU]) + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',['   РЕШЕНИЕ U=' + #$0D#$0A]);
Result := Result + #$0D#$0A;
for _i:=0 to 10 do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[U[_i]]);
  if ( ((_i+1) mod 3)=0 )
   then Result := Result + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('TIA20R',Result);  { вывод результатов в файл TIA20R.res }
exit;
end;

end.

Результат:

       U  =  (-4.58E-1,  -3.97E-1,  -3.00E-1,  -2.04E-1,  -1.07E-1,  4.87E-4,
                 1.08E-1,   2.02E-1,   2.96E-1,   3.91E-1,  4.13E-1)