Обязательный кафедральный курс для студентов 4 курса (408 группа), читается в 7 и 8 семестрах.
Лекции 68 часов.
Зачет в 7 семестре, экзамен в 8 семестре.
За курс отвечает кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления.
Автор программы: профессор Елкин В.И.
Лектор 2011/12 уч. года: профессор Елкин В.И.

 

Аннотация

Курс посвящен введению в современную теорию динамических систем, понятия и методы которой используются во многих областях знаний. Исторически динамические системы привлекли внимание благодаря открытию Ньютоном того факта, что движение механических объектов описывается динамическими системами. К настоящему времени хорошо известно, что очень многие явления в природе и обществе, такие как радиоактивный распад, химические реакции, рост численности популяций, динамика цен на рынке, могут моделироваться с разной степенью точности динамическими системами. Для изучения динамических систем требуется математический аппарат, который обычно не приводится в стандартных университетских курсах. Это - прежде всего методы дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Поэтому в курсе значительное место отводится изучению этих методов. Рассматриваются основные положения качественной теории динамических систем (интегралы, симметрии и т.д). Особенностью курса является включение вопросов теории управления, что обусловлено тем, что одним из основных объектов теории управления является управляемая динамическая система, которая является обобщением “обычной” динамической системы. Оказывается, что изложенные методы современной теории динамических систем могут эффективно использоваться для решения актуальных вопросов теории управления. Точнее, каждой управляемой системе сопоставляются некоторые ассоциированные дифференциально-геометрические и теоретико-групповые объекты, в терминах которых изучаются управляемые динамические системы. Показывается, как с помощью ассоциированных объектов для каждой управляемой динамической системы можно построить редуцированные системы (эквивалентные системы, факторсистемы и подсистемы), которые используются при решении задач в теории управляемых динамических систем аналогично тому, как это делается, например, в теории линейных пространств с помощью понятий изоморфного пространства, факторпространства и подпространства.

 

Содержание курса

Лекции, 7 семестр

 

Дифференциально-геометрические и теоретико-групповые методы в теории динамических систем

1. Векторные поля и распределения

Гладкие отображения областей. Диффеоморфизмы и замены координат. Контравариантные и ковариантные векторы. Многообразия. Касательное пространство многообразия. Векторные поля и операции над ними. Свойства коммутатора векторных полей. f-связанность и f-проектируемость. Теорема о выпрямлении векторного поля. Интегралы. Векторные поля на плоскости. Структура векторного поля в окрестности изолированного нуля. Теоремы об индексах векторного поля (теорема Пуанкаре-Хопфа и др.). Степень отображения и вращение векторного поля. Теорема о выпрямлении векторного поля. Интегралы. Алгебры Ли интегралов гамильтоновых векторных полей. Скобка Пуассона и алгебра Ли функций Гамильтона. Касание полем многообразия. Распределения и семейства векторных полей. Полные семейства векторных полей и инволютивные распределения. Интегралы семейства полей и распределения. Интегральные многообразия. Теорема Фробениуса. Аффинные распределения. Характеристическое распределение. Производный ряд.

2. Дифференциальные формы и кораспределения

Внешние k-формы. Внешнее произведение. Дифференциальные формы и внешний дифференциал. Кораспределения и системы Пфаффа. Характеристическое кораспределение. Соотношения двойственности между распределениями и кораспределениями. Теорема Фробениуса (в двойственной форме).

3. Эквивалентность семейств векторных полей и эквивалентность систем Пфаффа

Взаимные семейства векторных полей и системы Пфаффа. Проблема классификации. Канонические формы некоторых типов семейств векторных полей и систем Пфаффа.

4. Группы диффеоморфизмов

Однопараметрические группы диффеоморфизмов и их связь с векторными полями. Инвариантные многообразия. Инвариантность векторного поля и аффинного распределения относительно однопараметрической группы. Группы диффеоморфизмов, порождаемые семействами векторных полей. Транзитивность и импримитивность. Группы симметрий динамической системы. Теорема Рашевского-Чжоу.

 

Лекции, 8 семестр

Управляемые динамические системы

5. Категории управляемых динамических систем

Морфизмы управляемых динамических систем. Категории аффинных управляемых систем. Ассоциированные дифференциально-геометрические объекты. Разложение морфизмов в произведение специальных морфизмов.

6. Эквивалентность и классификация

Инварианты управляемых динамических систем и связь с инвариантами систем Пфаффа. Классификация некоторых типов управляемых систем.

7. Факторсистемы

Факторизация управляемой динамической системы по регулярному отношению эквивалентности. Условия существования факторсистем в разных категориях в терминах F-распределений и F-кораспределений. Разложение произвольного F-кораспределения в прямую сумму базисного и тривиального F-кораспределений.

8. Подсистемы

Сужение управляемой динамической системы на многообразие. Условия существования подсистем в разных категориях в терминах P-многообразий. Тривиальные и почти тривиальные подсистемы. Связь с интегральными многообразиями распределений и кораспределений.

9. Задачи управления

Управляемость, наблюдаемость, декомпозиция, минимальная реализация, инвариантность по возмущениям.

 

Литература

Основная литература

1. В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1975.

2. В.И.Арнольд. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974.

3. А.Б.Каток, Б.Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал. 1999.

4. С.В.Емельянов, С.К.Коровин, Н.А.Бобылев. Методы нелинейного анализа в задачах управления и оптимизации. М.: УРСС. 2002.

5. В.И.Елкин Редукция нелинейных управляемых систем: Дифференциально-геометрический подход. М.:Наука, 1997.

6. В.И.Елкин Редукция нелинейных управляемых систем: Декомпозиция и инвариантность по возмущениям. М.: Фазис, 2003.

7. В.И.Елкин Редукция нелинейных управляемых систем: Симметрии и классификация. М.: Фазис, 2006.

8. В.И.Елкин Введение в дифференциально-геометрическую теорию управляемых динамических систем: Учебное пособие. М.: Издательский отдел ВМиК МГУ; МАКС Пресс, 2006.

Дополнительная литература

1. Б.Ф.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия. М.: Наука. 1979.

2. М.М.Постников. Гладкие многообразия. М.: Наука.1987.

3. П.Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989.

4. Дж.Милнор, А.Уоллес. Дифференциальная топология. М.:Мир. 1972