Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/olympiads/OLYMP11.pdf Дата изменения: Mon Apr 1 18:34:30 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:00:24 2016 Кодировка: Windows-1251

ОЛИМПИАДА ПО АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ I-I I КУРСОВ

кафедра Теории функций и функционального анализа кафедра Математического анализа
1. (В.К. Белошапка) Найти все функции f : R2 R, для которых при любых действительных x и y выполнено равенство f (x + y, xy) = x2 + y2 . 2. (П.А. Бородин) Существует ли ненулевая функция f , непрерывная на отрезке [0, 1], удовлетворяющая неравенствам
x x

f (t) dt
0

0,
0

tf (t) dt

0

при каждом x [0, 1]? 3. (И.А. Шейпак) Найти главный член асимптотики интеграла
1

ln x sin ax dx
0

при a +. 4. (П.А. Бородин) Пусть график функции f , определенной и непрерывной на отрезке действительной оси. Доказать, что для любого > 0 можно так выбрать точки A1 , . . . , An на , что A1 и An соответственно самая левая и самая правая точки и n-1
|Ak A
k=1 k+1

|2 < .

5. (В.В. Рыжиков) Отображение T : [0, 1] [0, 1] сохраняет меру, если ч(T -1 (A)) = ч(A) для любого измеримого по Лебегу множества A [0, 1] (ч классическая мера Лебега). Сохраняющее меру отображение T называется эргодическим, если оно не имеет инвариантных множеств A с мерой ч(A) (0, 1). Например, отображение x x + (mod 1) при иррациональном является эргодическим. Существует ли такое сохраняющее меру отображение T , что T T не эргодично, но T T T эргодично?