Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://new.math.msu.su/tffa/postgrad/neretin_lec.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Wed Sep 2 22:56:53 2015 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sat Apr 9 23:08:16 2016 Êîäèðîâêà: ISO8859-5

Í

Ê?Ê

Í
 ÍÊ ÎÊ ÏÊ Ê Ê Ê Ê Ê Ê

Î ÿÿÍÉ
Ê

 Ê Ê Ê Ê Ê ÍÌÊ ÍÍÊ ÍÎÊ

Ê Ê Ê Ê? Ê Ê

Í

É 

Î

È

È ÉÍÍ

È È ÎÌÍ Ê È

É

ÎÌÍ Ê ? ß È ØÎ Í ÎÊ ÍÈ È

È

Ê


Í

Ê

Î



Ê

Í

Ê

ÍÊÍÊ ÍÊÍ
GG GG

Ê
G

Ê È
Ê

È È



É Gç É È Ê

È ÍÊ ÎÊ x x- ? ÿÿÍÉ Ê Ê Ê ÍÅ

G (x, y ) xy (e, e) ÏÊ

1

eÊ

É
G

È È

È

Ó æÈ ÎÊ Ê

È

È ÍÈ ÿÎÈ

É ÎÈ È Ê
n nÊ É

Ê È Ó æÈ ÎÊ È ØãâÈ

ÊÏÈ ÐÚÍÈ È

ÊÎÈ

ãéÍÈ

ÊÏÊ É

ÍÊÎÊ
Ê

Ê

ÎÅ
GL(n, R) SL(n, R) ÍÊ GL(n, C)È SL(n, R) Ê O(n) n SO(n) U(n) SU(n)

È È

Äg g t = 1 Å Äg g = 1 Å
n


Í

Ê

Ï È Ê ÊÈ É É

O(p, q )

(p + q )È

g O(p, q )È g 1p 0 0 -1
q

Ï

gt =

1p 0

0 -1

q

.

â æ à à â æÈ çä à à â æÈ ãæè ã æãâ àÈ éâ è æíÊ ÏÅ Ê ab È a > 0Ê  Î 01 nÈ Ê Ê 
t11 0 0 Ê Ê Ê t
jj

Ê

É


t t

11 22

0 Ê Ê Ê

t t t

13 23 33

Ê Ê Ê

. . . Ê

. . . Ê

. . .



Ê

,


t
jj

Å Å Ê Å Å ÅÊ Å È Å È
G/H

= 1Ê


U()

È

Ê Ê É É

ÄÊÊÊ Ê Ä É Ê
G

È

É É ÈH G/H È Ê GÉ É

Ê



É



É É É

Ê È

Ê È ÿÊ
p g
t

É
É

Ï

1p

Ê


Í

Ê

È

È ÅÈ

È

ÍÊÏÊ

Ê
Rh g = g hÊ

L h g = hg Ê ?

L

h

Ê : G GÈ È

Ä
h GÈ Rh

É É

ÍÊÎ
É

È È É
gg
-1

Ê
É

È Ê É È

É Ê

Ê

È

É

ÍÊÏ
gg
Ê

-1

Ê ß È È

È

È È Ê Ä Ê

É

?Ê?
É

È
Ê

Ê ÿÎÅ

È É É Ê

R

n

(R/Z)n

Ê È

Ê


ÍÊ

Ê Ê

x-1 dxÈ
Ê

dx

Ä

ÅÊ
Z 2 Z2 Ê

É É

Ê È ß È ÿ É È

ÊÍÍÊ

Ê

ãéÎÈ

Ê ÎÈ ÿÎ È Ö È ØãâÈ ÿÎ È ÐÚÍÈ ÿÍ È Ð àÈ
Mat(n)

ÍÊ Ê

GL(n, R)Ê nÊ  GL(n, C) Mat(n) det(X ) = 0Ê dX
Ê È
É

É É Mat(n)Ê
É

Ê

È

Ê

Ê ÚÛÍÈ ÑÞÊ Ê


Í

Ê

Ê

(X ) dX È

(X )



É

È

A GL(n, R) d(AX ) = det(A)n Ç dX X 1È Ê Ê Ê È X nÈ Ê Ê X AX (X 1 , . . . , X n ) (AX 1 , . . . , AX n ).

? È Mat(n) (Rn )n Ê
R det(A) Ê
n n

X

det(A)È (X )Ê

(Rn )n

ÍÊ
Ê

GL(n, R) GL(n, C) Symm(n) Asymm(n)È Ê A : X AX At Asymm(n)È

det(X )-n dX Ê

Ê

É É É

A

Asymm(n)

Ê

Ê Symm(n)

A

Symm(n)

ÍÊ
det(A
Symm(n)

) = det(A)n+1 ,
Ê

det(A

Asymm(n)

) = det(A)n-1 .

D(C AC

-1

) = D(C )Ê

È D(A)Ê Ê
xij i j Ê ij É D()

È È

È

Ê D(AB ) = D(A) D(B )Ê É
j Ê Eij

X

t

Ê

È ÊÊ È

Eij + Ej i È Eii X X t È D() =
i
È

ÍÈ

É


i j
i

2 = det()n+1 . i

ÍÊ Ê

TÊ

Ê ÍÅ
È

É


Í

Ê

?

dT =

i
dtij Ê dt
12

È
dt
13


dt
14

È
23



Ê

dt

dt

24

dt34 .

1 0 0 0

a12 1 0 0

1t 0 = 0 0



a13 a23 1 0

12

1 t12 a14 a24 0 1 a34 0 0 00 1 +a 1 0 0
12

t t

13 23

1 0

t

13

+ a12 t23 + a t23 + a23 1 0

t14 t24 = t34 1
13

t

14


d(t
12



Ê

+ a12 t24 + a13 t34 + a14 t24 + a23 t34 + a24 . t34 + a34 1

È



É

+ a12 ) d(t a dt
ij

13

+ a12 t23 + a13 ) d(t14 + a12 t24 + a13 t34 + a14 ) d(t23 + a23 ) d(t24 + a23 t34 + a24 ) d(t34 + a34 ).

É
= d(t
12

È da
+ a12 ),

ij

= 0Ê = d(t
23

È
+ a23 ), dt
34

12

dt

23

= d(t

34

+ a34 ). t12 È t23 È t
34

È
dt
12


13

dt

d(t

14

+ a12 t24 ) dt dt n

23

dt

24

dt34 .

Ê?
R

13

dt24 È

n(n-1)/2

È

È

È

Ê

Ê

? È Ê uv È 01

?È É

ÎÅ

u > 0Ê

u 0

v 1



ab 01 du dv

u 0

v 1

=

au av + b 0 1





d(au) d(av + b) = a2 du dv


Í

Ê

È
u
Ê Ê
-2


du dv .



È

? ?

Ê Ä
SL(n, R)Ê xnn xij

Å

Ê
X SL(n, R)

É

ÏÅ

det(X ) = 1Ê

Ê

È

É É É
X É SL(n, R)

(n - 1) ç (n - 1)Ê det[X ]

Ê

[X ]

n-1

n-1

-1 i,j : (i,j )=(n,n)

dxij .

ÍÊ Ê
È
SO(n)

Ê?
Ê ÿÈ

Ê

É È É

Ê

ÍÊ
Ê

È

SO(n)

Ê? ÍÊ ?

È



É È

Ê È Ê È Ê

Ê È
SO(n)

ÍÈ

Ê É È

SO(n)È

ÍÊ
Ê

Ê È
d(g )


O

Ê

È Ê? SO(n)Ê

È

É É


Í

Ê

É

Ê?

È
f (h) (h

C É f SO(n) È f (g ) d(g ) = 1Ê
-1

É

g ) d(h) (g )Ê (g ) É

(h

-1

g ) = (g )È Ä

O

ÅÈ

È

É Ê

Ê

ÍÈ ÿ È ÚãçÈ ÊÎÊ

ÍÊ Ê 

Ê ÍÊ 
CÉ Ê G ç G GÈ G GÊ GÈ

É

È

È Ê Ê È

È

È

È

Ê

É

ÍÊ

Ê
G GL(N , R)È G

GL(n, R)

É
É

ÍÊÍÌ Ä? Å
G GL(N , R) Ê
Ê? GL(N , R) G GL(n, R)

Ê
G ÅÊ

Ä

È ? Ä
Ê

É É É ?
G

È
GL(N , R)È
 È
SO(n)



?
RÅÊ

?

È


È Ê Ê ÅÈ ÅÊ
GL(N , R)

Ö

ãÊ

SL(n, R) SO(n) SL(n, R)Ê

Ä

É

Ê

Ä

SL(n, R)Ê

sl(n)

È


Î

È

Ê

È  Ê

Ê

É

É É É

ÍÊÍÍ
Ê Ê ÍÈ ÿÿÏÉ È ÎÈ Ê Ê È Ó æÈ ÿ È ÚãçÈ



ÊÎÈ ÿ ÊÏÈ Ö æÎÈ

Ê



Î

Ê

?

Ê Ê

Ê ? È ?Ê?

È Ê ?Ê ? È É È ÚÛÍÈ É É

ÑÞÊÍ Ê

ÎÊÍÊ ÊÊ
ÍÅ x-1 xj i ÎÅ O ÏÅ
|f (x) - f (y )| < Ê

È
Ê
xj G È iÈ j Ê É Ê? È GÊ È x OÊ OÈ

È È
UÉ OÉ GÈ

É

U f G

È

È

>0 x-1 y O

Å

f G >0 |f (x) - f (y )| < Ê ? ? È È È Ê
x-1 xj i xO OxÊ

OÈ

È

È

Ê ?Ê? Ê? È
1

x-1 y O É

È

xi x-1 È x- j È

Ê y

É
xy
-1

È

É É


Î

ÍÌ Ä Ê ãéÍÈ ÊÎ ÅÊ ? É

Ê ÊÏÈ ÿÎ È Ó æÈ ÎÊ È ÐÚÍÈ ÿ Ê

ÎÊÎÊ ÎÊÍ ÄÊ
Å?

Ê
Å Ê Ê
Ê
-k2

Å

È

V2 È V3 È Ê Ê Ê r = 2-k1 + 2

+ ÇÇÇ+ 2

-km

È

Vj2 Vj k1 < k2 < Ç Ç Ç < km

Å

È

-1

Ê

V1 È

Ur := Vk1 Vk2 . . . Vkm

Å È Ê È
Ê



G
G

d(x, y ) = maxg

È
SL(2, R)

r È g Ur Ê / d(x, y ) = supgG |(g x)-(g y )|Ê d(xg , y g )Ê É È É

È Ê ÐÚÍÈ ÿ Ê

Ê

Ê

d(1, x) = d(a

-1

xa)Ê

d

ÎÊÏÊ
È È È Ê

Ê
-1

Ê
È
-1

È

gg Å

Ê

É É É

Ê

Ê

gg È

È

Ê?

È

É

É Å È Ê ÊÈ

G

f (z ) d(Å )(z ) =

f (xy ) dÅ(x) d (y )
G çG



fÊ ?

Å

f (x) dÅ(x) d (y ) =
G G G

f (x) dÅ(x).


Î

ÍÍ Ê ÊÈ Å = ÅÊ ? È Å = Ê

ÎÊ Ê

Ä

È Í Ï ÅÊ
Lh È Rh Lh f (g ) = f (hg ),

G

C (G)

max |f |Ê C (G)È



È
G

É
É

Rh f (g ) = f (g h).

È
Lh Rq = Rq Lh .

È

È



I (f )

C (G)È

É

I (f ) = I (Lh f ) = I (Rq f ),

Ê
K
lef t f



?
f

Ê Ê SÊ ?
lef t j

ÈS Ê

S Kf =

?

È Kf = K

lef t f

È

K

f

K Kf Ê

ÎÊÎ
Ê

Kf = K



Ê




Z = max() - min().

C (G) Ê min( ) + Ê gj U Ê ? Kf È Å Ê

K Ä MÊ ?

È



È

É
È (x) <

U


bj (gj g ), a+

(g ) = a (h) + K Kf Ê

bj = 1È a > 0È bj > 0

max( ) < max( ),

min( )

min( ).

È Z ( ) < Z ( )È
Ê

Ê È
c K
lef t f

Ê
r ight f

If Ê È

K

f



ÎÊÏ
K

È

c



Ê

Ê

c=cÊ?

ÈK

lef t f

É É


Î

ÍÎ
Ê

c c


Ê L :=

È aj L R := bi Rqi .

bi f (g qi )

aj f (hj g ) É

h

j

È LRf
RLf K c + Ê If

RLf = LRf . c- Lf (g ) |c - c | c + . 2

c -

lef t Lf

Ê? > 0Ê

È

ÎÊ
aj L
j

I (f1 + f2 ) = I f1 + I f2 Ê L= |Lf1 - I (f1 )| .

È È
K È
lef t Lf2

Ê



K È

lef t f2

Ê

I (Lf2 ) = I (f2 ), M |MLf2 - I (f2 )| < |MLf1 - I (f1 )| .

Ê

|ML(f1 + f2 ) - I (f1 ) - I (f2 )| < 2,

Ê
C (G)È f

ÈI 0

If

0Ê ? GÊ



É

Ê Úé È  Ê È ÿ Ê

ÎÊ Ê
f Ä

Ê
È

ÄÅ j Å È f dÅj È
K g
j

K

 Ê

f dÅÅÊ ?



Ä
K gÈ

ÅÊ
gj Å

ÅÊ

É

È

GÈ K

É

É É È

G Ê

gÅ Ä

É È


Î

ÍÏ Ê KÈ É É É É

ÅÊ ? Ê? È ÅÈ Ê ?
ÅÊ ?

È

È

G G GÊ O

Ê K
S L

LÊ ? (Å + )/2 OÈ

LÄ

? È

ÍÊ ÅÊ
LS È È É L1 È ÊÊ L1 L2 . . . Ê ? L


È

Ê



GÊ LÊ ? È É O Ä Ê Ø È (g Å + g )/2 g ÅÈ g LÊ

L 1 SÊ ? È := 1 Lj S j= L


ÈL S Ê L 2 SÈ È

Ê É É

Ê Ê È Ê Úé È
MÊ
Ê



Ê ÊÈ

È

È

É È É

Ê

ÊÍÊ
G M

Ê
Å

É É È É

Ê

ÎÊ Ê

ãéÍÈ ÞÑÑÊ Ê
G

Ê

Ê
Ê

Ê
h(x) =
G

fÈ g f (x-1 y ) d (y )

GÊ

Å

È



Å

È f dÅ > 0Ê



f

É


Î

Í È
f (x) dÅ(x) Ç = = f (x) g (y ) d (y ) = f (x)g (y ) d (y ) dÅ(x) = f (x) f (y = g (y x) d (y ) dÅ(x) =
-1

g (y ) d (y ) dÅ(x) =

f (x)g (y x) dÅ(x) d (y ) =

x)g (x) dÅ(x) d (y ) =
-1

f (y

x) d (y ) g (x) dÅ(x).

? gÈ
f (x) dÅ(x) Ç d
-1


f (y
-1

x) d (y ) Ç dÅ.

d =

f (z ) dÅ(z ) fÊ

f (y

-1

x) d (y ) Ç dÅ. S [Å, , f ](x) xÈ

?
ÅÈ È Ê ÊÈ ÅÊ f (z ) dÅ(z )Ê Ê ÊÈ Å

È
-1

È
Å

É É

Ê



fÄ

f (y

x) d (y ) È

È

É Å Ê

ÎÊ Ê Ê
È fj C (G)

Ê

Ê

ãéÍÈ ÞÑÑÊ È

ÎÈ ÿÎ È ß È ÿ È Ð àÈ ÿ ÌÈ Ö Ê
KÊ

?Ê?
C (K ) C (G) fÈ fj f

Ê

C (G)

Ê
C
+

Ê


C

È
+


fj C (G)

É GÊ É É É É É ÄÎÊÍÅ

É



Ê cj Lgj



È

C (G)È Ê ÚÛÍÈ ÑÞÊÍ Ê I f C+

È

f (x)
L
g

cj Lgj (x).
Ê

É

È


Î

Í È
I f = inf
Ê

cj ,

G = RÊ

[- , ]

(x) dx = 1Ê



ÄÎÊÍÅÊ È


f (x) = f (x)Ê f (x)Ê f (x)
Ê

f (y ) (x - y ) dy ) (x - aj )È G=R f (x) dx.

È

f (aj )(aj - a É cj (x - aj )Ê

j -1



È

0

lim I f =

?

a > 0Ê

Ê
I I (f1 + f2 )

È

I (af ) = aI (f )È È

I f1 + I f1 .

È

È È f C I f

+

I Ç I f .

È
I I f Ç If .

ÄÎÊÎÅ É È I f ÄÎÊÏÅ
I



I = 1Ê ?
(If )-
1

I f K

I f .

ÎÊ
Ê

C+ (K )Ê

É

f1 - f

2

Ê

?


2

h C+ (G)È I h I h.

Í

KÊ

È

I f1 - I f f
1

f2 Ê


Î

Í

ÎÊ
U U

È

f1 È f

2

C+ (G) È
2



>0

I f1 + I f

I (f1 + f2 ) + . h C+ È >0 I (f1 + f2 + h) +

ÄÎÊ Å Í >0 ÄÎÊ Å Ê

f1 È f2 Ê

Ê

?

È
2



I f1 + I f 1 =

f1 , f1 + f2 + h U

2 =

f2 . f1 + f2 + h

?

>0

È

È

|Lg 1 - 1 | < , g UÊ f1 + f2 + h

|Lg 2 - 2 | < UÊ cj Lgj .

f1 (x) = (f1 (x) + f2 (x) + h(x))1 (x) cj [(1 (gj ) + )(gj x)] = c
j

cj [1 (x)(gj x)]

f1 (gj ) + (gj x). (f1 (gj ) + f2 (gj ) + h(gj ) f2 Ê ?

?
I f1 + I f
2

c

j

f1 (gj ) + f2 (gj ) + 2 (f1 (gj ) + f2 (gj ) + h(gj )

cj (1 + 2 ).

ÄÎÊ ÅÊ
K C+ (Km ) U1 U2 . . . Um Ê
1

ÄÎÊ ÅÊ È Ê? ...È

ÎÊ É É
m I ()
m

K

2



C+ (G)Ê ?

Ê

GÊ ?

?Ê ?
f
(1)


f

È ? È

È

Ê

ÄÎÊÏÅÈ

Ê

É


Î

Í È
É f
(2)

È
C+ (G)È

Ê m > m È

ÊÊ Ê Ê?
I m

É


-1

?

? I

m

ÄÎÊ ÅÈ



É Ê

I f1 + I f2 = I (f1 + f2 ).

È
C+ Ê

Ê

ãéÎÈ Ê È ÿÍÈ ß È ÿ È

C (G)Ê ?

ÄÎÊÏÅÈ

Ê ÎÈ ÿÎ È Ö È ÐÚÍÈ ÿÍ Ê
X



C+ (G)

ÎÊ Ê Ê
M

Ê
È
(K )

Ê

È

Ä

È
(M )

Ê Ð àÈ ÿÿ ÏÉ K

É Å

É

ÍÅ (K ) 0 ÎÅ K MÈ (K ) ÏÅ KÈ L KÈ L Å È Ê Ê Ê È
Å(U ) = Å

È

(K L) (K ) + (L) (K L) = (K ) + (L)Ê

È

É É

È

È ÍÊ



Ê
U
K UÈ K

sup

(K ).


GÈ E
? Ê ãâè âèÊ

É

È Ê È Å(K ) ÍÈ
xj U

É
(K )Ê GÊ E ÅÊ U UÊ E : UÊ

Ä Ê ÊÈ

É É


Ï

Í
Ê

?
E:U

G

R2 È E VÈ U (E ) = E:U . V :U

U

rÊ

?
Ê

Å

KÈ L U

ÍÅÉÏÅ K U LU

-1

È
=

È
E:U O (E : V ) Ç (V : U ). U (E ) E : V.

ÄÎÊ Å ÄÎÊ Å

(V ) = V : E .


(U )

Ê ÄÎÊ Å ÄÎÊ ÅÊ U1 È Ê Ê Ê È Uk
f (E )

Ê V V U Ê

È
U

É

É

(U1 ) Ç Ç Ç (Uk ) (U1 Ç Ç Ç Uk ),

È

Ä

È

Ê Ê Ð æÈ Ð àÈ ÿ È

ÈÉ (U1 )Ê ã È ÿ ÊÍÍÊ

Ê

(U ) È

È

Å

(U )

É

Ï

Ê

ÏÊÍÊ

GÊ

Ê

È

Ê
È

Rg

É

Rg = (g ).

È Rg1 Rg2 = Rg1 g2 Ê
(g1 )(g2 ) = (g1 g2 ),

Ê ÊÈ Ê



G

È

G

R

ç +

É


Ï

Í ? Ê
Ê Ê

È Ê ÊÈ
G (g )-1

Ê

È
SL(2, R)

È

Ê

ÅÊ

Rç Ê + È SL(n, R) SL(2, R) Ä SL(2, R) SL(n, R) Ê SO(p, q )È SL(n, C)È SO(n, C)Ê Bn Ä Tn ÅÊ



gg

-1

Ê

Ê

È
SL(2, R) É É É

Ê

? Í

ÄÊÊ Ê ÎÈ Î Ê Ê
G GL(n, R)Ê Ê g g hg h

É


Ê

Ê ãéÎÈ ÞÑÑÊÍÊ È ß È ÿ È

ÏÊÎÊ ?

det(Ad(g ))Ê
Ê

G Ê Ad(g ) : g g gÊ (g )Ê

-1

É Ê É Ê

Ê

È

(g ) = | det(Ad(g ))|.

?

Ê

È

GL(n, R)È

ÏÊÏÊ ÏÊÍ
Ê HÊ
Ê

Ê
G

?

?Ê É Kç É dH

È KÈ H H GÈ

Ê È : (k , h) k hÈ dK dK ç d GÊ

KÈ
H

Ê K HÈ

K ç HÈ HÊ

H



Ê

g h := hg Ê K ç H È Ê ÊÈ

È

HÊ

Ê


Ï

ÎÌ
Ê

b B+ È G = GL(p + q , R)È N Å 10 ÈB C1 gG Ê

ÈB gG

Å

G = GL(n, R)È N
+

-

Ê

g = nb È

Ê

É É n N- È

p + qÉ AB Ê 0D g = nb È n N È b BÈ O(n) gG u O(n)È b B+ Ê

Å ?

G = GL(n, R) B+ Ê g = u bÈ

Å?

Ä Ê ÊÈ
Ê

O(n)Å

Ê Ê

È

Rn Ê

É

ÏÊ Ê ÏÊÎ
KÉ

Ê
ÈH Ê
ÍÌ
Ê

K /H K K /H Ê  KÊ

Ê KÉ

K /H È f (x)

È



K /H Ê f (k x) d (x) =
K/H



É

f (x) d (x).
K/H

KÈ

È

f (k x) d (x) d (k ) =
K K/H K/H

f (x) d (x).

È
f (k x) d (k ) d (x).
K/H K

? È
ÍÌ

KÉ Ê
M (A) := Å(



-1

È Ê ÊÈ Ê

Ê

Ê



N

ÅÊ A)Ê

:M N


Ï

ÎÍ
Ê

G

Ê
n-1

G/K SO(n)É e Rn È S
n-1

GÉ

ÈK Ê

ÏÊ Ê
ÍÅ Ê
n-1

Ê

Å S

Ê
SO(n)

SO(n) S

Ê È

Ê È g ge ÅÊ

É É È

È
Ê
Ê Ê

Ä È

g SO(n)È

g e È



É Ê É Ê

Ê
Gr C
p+q p,q

Ê

S

n-1

R

n-1

ÎÅ  ÅÊ
U(q )Ê ÏÅ

Ê Grp, Ê

n=2
q

pÉ Rp+q O(p + q )/O(p) ç O(q ) Ä O(p + q )É Ê É pÉ É Ê U(p + q )/U(p) ç Fln (C)È


Cn Ê

Ê

Å

Ä

É É

0 = L 0 L 1 L 2 Ç Ç Ç L n = Cn ,

dim Lk = k . U(1)n Fln (R) O(1) R
n

Ê?
Á1Ê K

U(n)/U(1)n È O(n)/O(1) Ê 
n

É

Å

È Í

Ê

K çK
-1 2

K

(h1 , h2 ) : g h1 g h

. diag (K )È È St(k , n)È

(h, h) K ç K Ê Å

È
k

Ê



È

O(n)/O(k )Ê O(k ) ç O(n)Ê

È

È Rk Rn Ê

Ê É Rn Ê É É


Ï

ÎÎ Å ÌÊ Ê Ö æÎÈ ÿÏÊÏÊ
Cn È

Ê Ê

C

n

É nÉ É

U(n)/O(n)Ê

ÏÊ Ê ÏÊÏ
G

Ê Ê È
Ê

Ê É
ÈH É É

G/H

Ê

È

Ê

Ê
ÅÈ É = xH h xhÊ G HÊ

È


C (G)È C (G/H ) G G/H C (G) C (G/H )È f ( ) =


Ê



É : = xH È

f (y ) d (y ) =
H

f (xq ) d (q ).

ÏÊ
Å GÈ C (G)È

Å f = 0È
G/H

G

f dÅ = 0Ê

Ê È
KÊ f (g )(g H ) , f GÊ Ê f = Ê F (x)

È

K KÊ

Å KÊ G/H
Ê



K f

f (g ) = Å G 0=
G


f (x) d = 0

Ê



F (x)
H

f (xq ) d (q ) dÅ(x) =
H -1 G

F (x)f (xq ) dÅ(x) d (q ) = F (xq
G H -1

=
H G

F (xq

)f (x) dÅ(x) d (q ) = È

) d (q ) f (x) dÅ(x).

?

Í

fÊ

É


Ï

ÎÏ ? Ê
I C (G/H ) f dÅ = I (f ).
G

É

? Å
I (f ) IÊ
Ê

Å Ê È

È C (G/H )Ê
I



È C (G)È Ê

È
C (G/H )Ê




Ê

G/H

G (h) = H (h)Ê

È

É Ê
hH

Ê

ãéÎÈ ÿ ÊÎÈ ß È ÿ

ÏÊ Ê
G

Ê?
È Ê
M G/H Ê G/H G gÈ hÈ Adg (h) . Adh (h) H G/H MÊ G

Ê

É
H

g

-1

g xg È xÈ g G Adg (g )Ê ? È hH É È

Ê G

Ê
gÈ Adg (h) H

ÈH

x HÊ Adg/h (h)Ê

g/hÊ

det Adg/h (h) =

ÏÊ

È
Ê

det Adg/h (h) = 1
G/H È Tx0 hH det Ad g GÈ
g/h

Ê


x0 É T
x
0

È


g/hÊ det Adg/h (h)È


x0 Ä

Ê HÊ (x0 )

É É

È

ÍÊ

(h) = 1Ê

È

ÅÊ
g x0 = y

È

È

g = gh h H Ê

y G/H x0 y Ê g x0 = y È g x0 = y


Î
Ê

È
O(3)É

ÅÈ
Rç È + G/H Z ÅÊ
2

det Ad È Ä

g/h

(h) = Á1

hÊ

G/H È



Ê Ê

È

É É É É
È É

Ê Ê

GÈ H G R2 Ä

Ê R

2

È H GL(2, R)/GL(2, Z) È
Cn È



Å GL(n, C) U(n)Ê Ê È Ê Å? È GL(p + q , R)Ê GL(p + q , R)É
Ê

Fln (C)

É

Ê ÏÊ È
B
n


p,q

GL(n, C)É

É É É É


Ê

È

Gr O(p + q )É

(R)È

Ê ÏÊ È

ÏÊ Ê
Ê

Ê ÏÊ
H
Ê

G GÊ

Ê

G/H

È

S G/H g -1 S G/H È

hÇ

Ê



È



-1

GÊ É h(g ) GÊ É : G G/H Ê S G/H Ê g -1 S = g S Ê



Ê

Ê É Ê Ê Ê

ÏÊ

Ê

ãéÎÈ ÞÑÑÊÎÊ Ê

É

Rp Rq Ê

ÊÍÊ

Ê GL(p + q , R)

R

p+q

= É


Î
R R
p+q p+q

Gr
p,q q

p + qÊ pÉ

È É Ê
p ç qÊ É È Ê ÊÈ

Ê

Matp,q T Matp, Matp,
q

Grp,q Ê

(x, xT ) Rp Rq Ê Grp,q Ê

È È

0 Rq Ê

È Matp, Grp,q Ê

Ê

É

q

g= È Matp,q È

ÊÍ
É
zT
Ê
[g ]

È É

:= ( + T )-1 ( + T ). (x, xT )È

Ä ÊÍÅ

x xT



= x( + T ) x( + T ) .

y = x( + T )È È (y , y (a + T c)-1 ( + T ))È

Ê

Ê Ö æÎÈ ÎÊÏÊÎÈ ÎÊÏÊÏ

ÊÎÊ
O(p + q )È

Ê ÊÎ
Grp,q È Matp,q det(1 + T T t )-


(p+q)/2

dT .

Ä ÊÎÅ Ê

Ä ÊÎÅ

È É
T T
[g ]

ÊÏ

= ( + T )-1 ( + T )
p

det( + T )-

p-q

Ç det

.


Î

Ê

g O(p + q )È det 1 + T
[g ]

(T

[g ] t

)

= det(1 + T T t ) Ç | det( + T )|

-2

.

Ê

ÊÏÊ ?

Ê Ö æÎÈ ÿÎÊÍÍÊ

Ê
É
( + T )-1 Ç dT (- T
Ê
-1 [g ]

Ê



Ä ÊÍÅ
+ ). + (T + ) .

É

+ (T + )

+ T +

-1

= ( + T )-1 1 + ( + T )- = ( + T )
-1

1 -1

=

- Ç ( + T )

-1

( + T )-1 + o().

( + T )-1 - Ç ( + T )-1 ( + T )-1 + o() Ç ( + T ) + = = ( + T )-1 ( + T ) + ( + T )-1 - ( + T )-1 ( + T ) + + o(),

Ê È
AÈ B


A dz B

Ê

Ä

Ê ÊÍÊ ÅÈ
[g ]

(det A)q det(B )p = ( + T )-p det(- T

+ d)q .

È

det(- T

[g ]

+ d) = det( + T )-1 det

.

Ä ÊÏÅ È

Ê

Ê
det

A C A C

B D B D = det A Ç det(D - C A-1 B ); = det D Ç det(A - B D
-1

(p + q ) ç (p + q )Ê

ÄÊÅ ÄÊÅ

C ).


Î ÄÊÅ Ê
Ê

AÊ

É É

ÄÊÅ
1 -A-1 B 0 1 = A C 0 D - C A-1 B

A C

B D BÊ



D - CA

-1

È

- ( + T )-1 ( + T ) + + T + T .

det - ( + T )-1 ( + T ) + = det( + T )-1 det

È
det + T + T = det 1 0 T 1 = det ,

É

Ê

Ä ÊÏÅ p = qÈ
T T + A, T B T C, T T

Ê Ê
-1

É

.

det( + T )-

1

È Ê

È

J (g , T ) =

J (g h, T ) = J (g , T )J (h, T

[g ]

).

ÊÊ
1+T
[g ]

ÊÊ
(T
[g ] t

) = 1 + ( + T )-1 ( + T )( t + t T t )(t + t T t )-1 =

= ( + T )-1 ( + T )(t + t T t ) + ( + T )( t + t T t ) (t + t T t )-1 .

?
. . . = (t + t ) + T ( t + t ) + ( t + t )T t + T ( t + t )T t .

È

t

= 1 0 0 1 = t + t t + t

È ÊÊ
t + t . t + t

. . . = 1 + T T t,


Î

1+T

[g ]

(T

[g ] t

) = ( + T )-1 (1 + T T t ) (t + t T t )-1 ,

Ê

Ê

ÊÊ
g



É

T := (1 + g )-1 (1 - g ). T



È
g := (1 + T )-1 (1 - T ). Asymm
n

Èg

nÊ

É
Asymmn SO(n)Ê -1Ê

Ê
Å

Å g SO(n)È
Ê

Asymmn Ê T = -T t Ê 1-T 1+T
t

Å

1-T 1+T

=

1-T 1+T

1+T 1-T

= 1.

Å
1-g 1+g +
Ê

g SO(n)Ê 1-g 1+g
t

=

1-g 1+g

+

1-g 1+g

-1 -1

=

1-g 1+g

+

g-1 1+g

= 0.

g SO(n)È -1 È Asymmn

g O(n)Ê

È
SO(n)Ê

È É É det(1+g ) = 0Ê

Ê

uÈ v SO(n)Ê gu
-1

gv

Asymmn ( + T )-1 ( + T )È = 1 2

É
u+v u-v u-v . u+v

z

ÄÊÅ


Î
Ê

Asymmn SO(n) SO(n) Asymmn . T Asymmn Ê T (1 + T )-1 (1 - T ) u (1 + T )uÊ (1 + T )u + (1 - T )v
-1 -1

(1 + T )-1 (1 - T )v
-1

1+u

-1

(1 + T )-1 (1 - T )v

1-u

-1

(1 + T )-1 (1 - T )v .

Ê

(1 + T )u - (1 - T )v = = (u + v ) + T (u - v )
-1

(u - v ) + T (u + v ) ,

Ê È
1 2 u+v u-v JÈ u-v u+v

ÄÊÅ
u0 J 0v

È
, 1 J= 2 1 1

Ê
-1 . 1

=J

-1

È

Ê
Asymm
n

Ê
det(1 + T T t)-



(n-1)/2

dT .

Ä Ê

Ê

È

det(1 + T T t) ÊÊ

ÅÊ

SO(n)É dT È Ê ÊÈ

É È

Ê



É

È
[g ]

( + T )-1 Ç dT Ç (- T

+ ).

ÄÊÅ

ÊÍÌ
(- T
Ê

[g ]

+ )t = ( + T )-1 .

?

È AÈ B

ÄÊÅ

Ê AB È Ê
1

?


?È Ê Ê È

É È É

A-1 AB At-1 = B At-


ÏÌ
Ê È É s = Á1Ê È

B At- BÊ

1

È ÍÊ È Ê Ê Ðé È ÿÏÊÍ
Ê

È

È B = s Ç At Ê Ê Ä ÊÏÅÊ ? SO(n) È Ê
(n-1)/2

det B = det A s = +1Ê ?

?

Á det( + T )-

,

È Ê

U(n)

ÊÊ
?

Ê
L

det(1 + T T )-n Ê? É È Ê V W = Rn R

ÄT = -T ÅÊ dT Ê

È
É nÉ

É

n

V W 10 Ê 0 -1


V WÊ B

BÈ

É Ê


nÉ
Ê

È
L

Ì

È

O(n)Ê Ê

0 L W = 0Ê È nÉ È V WÊ È L È È

LÄ nÈ Ê?

L Ê Ö æÎÈ ÿÿÎÊÍÉÎÊÏÅÊ L W = 0È B

nÉ V WÊ

É
V W

L P È QÊ P Q

É É É É

È



V W V WÊ B



É

01 Ê 10
Ê



È Ê

T :P Q È T

SO(n)Ê

È

Ê

Ê L

É É


ÏÍ Ê Ö æÎÈ ÿÎÊ Ê

ã ãéÍ

?   Ê

Ê ?Ê ÊÈ Ê È É

Ê

Ê

ÈÍ Ê É É Ê Ê

È ÊÎÈ È ÎÌÌ Ê

Ê ÈÍ Ê Ê? Ê

ãéÎ ß Ð æ Ð à ÐÚÍ



Ê

ÈÍ

ãã á âÈ ÚÊ ß àà È ÖÊ ÚÊ Ú äæ ç âè è ãâç â âê æ âèç ã è à çç à æãéäçÊ áæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ áæ ÈÍ Ê Ð æÈ Ê æ Õ çç æ â æ Ü ãæ æ ãâè âé æà â ââÊ ã Õ è Ê ÄÎÅ Ï ÄÍ ÏÏÅÈ âãÊ ÍÈ Í ÉÍ Ê ÈÍ Ï Ê ÊÈ Ê Ê? Ê Ê? Ê Ê ÈÍ ÈÍ Ê ÈÍ Ê ÊÈ Ê æéää âÊ É ÍÊ É ÎÊ É

Ê Ê Ê?

Ê

ÐÚÎ

ÊÈ

Ê

Ðé

É



ÊÈ Ê Ê ÈÍ

É Ê

Ó æ Õ

?Ê?Ê

Õ ãâ à È ÑÊ Ê Ûíáá èæ éâ è ãâç â Ð à à äãàíâãá àçÊ Û ãâ è ãâÊ ß è ãâèæ éè ãâç í Ê à ê âç íÊ ×ì ãæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Ö ë ãæ È Í Ö â ÔÊ Ü Ð æ âè æ àÈ Þ â Öãçèæ â È Í à Ê è éà Ê

Ö Ö

ã Ö æ è âÈ éÊ Ê æ äæ ç âè è ãâ ã Ô Ê Ê?Ê ÈÍ

ãâçèæé è ãâ ã â è É á âç ãâ à æ Ê æ ê á è ËÌÎÌÎÍ Ì

Ö æÍ


ÏÎ Ö æÎ Øãâ Ø ÚÛÍ Úãç Úé ß Í Î Ê ÊÈ ÍÊ Ê Ê Ö æ è âÈ éÊ Ê Ô èéæ ç ãâ éçç â âè æ à ãä æ èãæç â à çç à æãéäçÊ éæãä â Õ è á è à Ûã èíÈ éæ È ÎÌÍÍ ? ÊÊ Ê Ê È ÏÉ Ê ÈÍ Ê ÈÍ Ê àâ æ Ê Ê Ê æãéäçÊ ÈÍ Ï

Úãççá ââÈ ßÊ Ô æãéäçÊ â âèæã é è ãâ è æãé ×ì ãæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ ×ì ãæ È ÎÌÌÎÊ ? Ê Ê ?Ê Ê Ê ÊÈ ÊÊ Ê Ê Ê ÈÍ ÊÍ

ÌÊ Ê

É Ê É

ÈÍ Ì Ê

É

È ÎÌÌ É


ÏÏ



Ê

Ê?

È ÊÊ

È Ê

ÊÍÊÎÊ



É È É É

È

ÊÍÊ ?

Ê?

g

?
g ç g gÈ

Ä RÄ

Å

Ê

ÅÊ

Ä

È CÅÈ

[x, y ]È È C Ä

É Å; Å; Å.

[x + y , z ] = [x, z ] + [y , z ], [x, y ] = -[y , x]

Ä

[[x, y ], z ] + [[y , z ], x] + [[z , x], y ] = 0 Ä

Ê Ê ÍÅ
G xy - y x gÊ ÎÅ G GL(n, R) Ä g ÅÊ

È

Ê Ê

È


X

Ê? G R G Ä?

Ê

gÈ

xÈ y g [x, y ] := xy - y xÊ G É È GÊ xg Ê

É É

?ÅÈ

É É È É É

t = 0È exp(tX )È

Ê

X È Y gÊ

(t, s) = exp(tX ) exp(sY ) exp(-tX ) exp(-sY ).

Ä ÊÍÅ

È

(t, s) (t, s) = 2ts + o(t2 + s2 ).

Ä ÊÎÅ

?

g

[X , Y ]Ê


Ï
Ê? Ä ÊÍÅ Ê

Ä ÊÍÅÈ
Gg

È É = XY - Y XÊ O(n)È U(n)È Sp(2n, R)È SL(n, C)Ê È
d : g1 Zn È C SL(n, C)

g

2

: G1 G2



Ê



È Ê È Ä É

SL(n, C)Ê e2i/n Ç 1Ê ? GL(n, C)/C Ê ?

Ê É É

Ê

Ê

Å
GÈ g

Ê g Ê

È

gÊ GÊ G

È : g1 g È
2

Ä

É É É É É É



Å G1 G2 Ê È Ä
ek g Ê



Ä È ÅÈ È

Ê

ÅÊ
g

g C = g R CÊ g

È
e
k

É

gC Ê



Ê

È È

Ê
gh

ÍÈ ÍÉÎÈ ÛÛÎÊÎÉÎÊ È ÍÍ È ØãâÈ

gC hC Ê ÎÈ ÿÿÍ È Ï È ÏÎÈ ÊÍÈ Ö æÎÈ ÎÊÍÊ ÊÈ ÍÌÈ Î Ê È

É Ê È ÚãçÈ È

ÊÎÊ


Ê
Ê Ê? É Ê È

ÍÌ

GL(n, R)È GL(n, C)È Ê ÊÈ

nçn


Ï È È
B (x, y ) =

È

Ê

?

?È

É É

xj yj .



È



O(n, C)Ê

É É É

B (x, y ) =
jp

xj yj -

xj yj .
p


O(p, q )Ê

É
). Sp(2n, C)Ê xj y

È
B (x, y ) = (xj y
jn j +n

Ê



- xj

+n y j

È

Sp(2n, R)

Ê
B (x, y ) =
jp

xj y j -

j

Ä ÊÏÅ

p
 
GL(n, H) Ä

È

U(p, q )Ê



È Ï È HÅÊ ?

Ê

Ê

È

É É Ê É

È È
(x1 , . . . , xn )Ê


Hn È

HÊ ?

È Hn É

H ?

HÊ

È

(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn ).

?
nÊ

È

x xAÈ

AÉ

Ê

É


Ï V ç V HÈ
xÈ y È z V È x, y x, y = y , x , V x, Åy = x, y Å,

É

x, y + z = x, y + x, z , È Å HÊ x, y =
kl


xk akl y l , a
kl

= a lk .

ÄÊÅ Ä ÊÏÅÊ  É É É È É x, y = ak l = É

È Ä
q = 0È



ÍÍ

Sp(p)Ê

È Sp(p, q )Ê ÅÊ È

È
- y, x È -alk Ê

ÄÊÅ


n



x, y = y , x

P (x, y ) =
l= 1

xl iyl ,

i

É

Ê Ê
GL(n, H)

È

SO (2n)Ê È È ÎÈ n + nÈ



È É É É É ÄÊÅ É

ab Ê -a b



È

SO (2n)

. -

g

01 t g= 10

0 1

1 .. 0

g
ÍÍ

i 0
È

0 g = -i
È

i 0

0 . -i
aÈ

a, y = 0

y VÊ

È

È


Ï ÊÊ
SO (2n) = GL(n, H) SO(2n, C) = GL(n, H) U(n, n) = SO(2n, C) U(n, n).

?
GL(Ç)

Ê

È
ÍÎ

È

É ?
sl(n, R) sl(n, C),

Ê SL(Ç)Ê ? S SU(p, q )È SO(p, q )È SO(n, C)Ê ÊÊ È Ê È
sl(n, H) sl(2n, C),

É É É É

P PSL(n, R)

Ê

sp(2n, R) sp(2n, C), sp(2n, C) sp(2n, C) sp(2n, C), sp(p, q ) sp(2(p + q ), C).

su(p, q ) sl(p + q , C), so(p, q ) so(p + q , C),

sl(n, C) sl(n, C) sl(n, C),

so(n, C) so(n, C) so(n, C),

so (2n) so(2n, C)

Ê ? Ê
g È

È È

Ê Ê
>0Ä Ê Ê

È É É É

Å
sl(n, R), sl(n, C), sl(n, H), so(p, q ), so(n, C), sp(2n, C),

Ä
su(p, q ), so (2n), sp(p, q ).

ÅÊ

sp(2n, R),

È Ä? Å so(n, C)È sp(2n, C)È
ÍÎ ? ÍÏ

È
ÍÏ

Ñ È

ÅÊ



É

È sl(n, C)È Í È ÎÈ
Ä Ê ÅÈ È È so(2n, C)È

Ê ÊÈ È ÊÊÊ

so(2n + 1, C)È

È


Ï È ÍÏÏÈ Î È Ä ÍÍ È Ê ÍÍ È Ê ÏÊ ? È

È Ê ÍÍ È Ê Ê Å ÍÌ

È

È Ê Ê Ê





É É Ê

Å ÍÈ Ê Í È È Î Ê

ÎÏ

Ê ÅÊ Ê È ÿ ÍÈ ÚãçÈ ÿÏÊÍÈ ÍÍ È

È

È ØãâÈ

Ä

ÎÈ Ö æÎÈ Ê ÎÉÏÈ

Ê ÍÍÈ É

ÊÏÊ

Ê ÏÍÈ ÍÍ Ê É
SO(n)È SU(n)È Sp(n)Ê

È Ê? Ê

Ê
È È
so(Ç)È su(Ç)È sp(Ç)

É ? ? R/ZÊ
R
n

Ê È Ê È È
SL(n, R) SO(n),

È

Ê

È
O(n, C) O(n), SL(n, H) Sp(n),

É

Sp(2n, R) U(n).

Ê Ê pÉ
p xQ |0 |p = 0 Ê

Ê

ÍÈ Ê

ÎÈ ÿ È ØãâÈ

Ê

Ê ÍÍÈ pÉ

È Î Ê È É Ê È È
pÊ

x= pÉ

a b

Çp

-k

È

Ê

aÈ b

È

|x|p = pk Ê

?
Q
p

Q

|xy |p = |x|p |y |p , Q

Å È
Ê

È

d(x, y ) = |x - y |p È È d(x, z ) d(x, y ) + d(y , z )Ê Ê È È Qp Ê Qp È
-1

|x + y |p

max(|x|p , |y |p ).

Ä
pÉ

É

. . . a3 a2 a1 a0 , a

...a

-k

,


Ï
aj = 0 È 1 È 2 È Ê Ê Ê p - 1 Ê j j =- k a j p Ê ?Ê È Qp

Ê Ä È
pÉ

Ê Ê 1ÅÈ Op ÅÊ Qp

?

É È
zÈ

pÉ
Ê

Ä
Qç Ê p È Ö æÎÈ ÿÍÌÊÍÈ

È |z |

É
RÈ C HÈ Ê É

ÍÌ È

Ê ÎÈ

ÎÈ ÿÑÑÊÍÊ È

ÊÊ
Ê ÍÅ È
Ê

Ê
È
pÉ

pÉ Ê

Ê È
pÉ GL(n, Qp )

È

É

pÉ

Ê

Ê Ê

È

Ê
GL(n) AÉ

É
É

ÎÅ ?

zp Qp È z




RÈ

(z2 , z3 , z5 , z7 , . . . ; z ),

Ê È

z

p

pÉ

pÈ

Ê

Å

Q A/ Q Å

Å

zQ

Ê
A
f in

Ê (z , z , . . . ; z )Ê AÊ È

Ê È È

(z2 , z3 , z5 , z7 , . . . ) z È

È

A

f in

zp É Ê

pÊ

È
Q

Q

Å

CÊ





Ä ÏÅ
F [t ]

È Ê FÈ Ê ÊÈ

ÅÊ
F r(t) =
k0

a k tk È



É ak F Ê


Ì ? È
k

r(t)È (j ) Ê Ê ak = ak È r
(j )

È Ê



r

(j )

(t)

È
jÊ

È M ÄÊÅ

(t) - r(t) = 0 (mod tM r[t]),

?

È
r(t) = È
k -N

a k tk Ä Ê Ê
Qp Ê É

tN rj (t) F[t]
Ê

rj (t) j

r(t)È

F[[t]]È Ê ÊÈ É ÅÊ É NÈ È Ê

Å È

È

È

Å Ê

F[[t]] F[[t]]

È

È

F [t ]

É
É Ì É

R

Ê Ê

È ØãâÈ ÿÎ È RÈ CÈ É F[[t]]Ê È GL(n) Ê ÎÈ Ê ÑÑÉÑÑÑÈ È ØãâÈ ÿÎ È Ö æÎÈ Ê Ä
H

Í

pÉ

p

äÊ ÍÌÉÍÍÊ

Ê Ê
È

Ê
B (H )

H

É È É

É

ÅÊ

È Ä È È

ÅÊ Å
gÈ gj - g 0 Ä

Ê

ÅÊ
Ê

È
U()

g

É É

Ê
R T (s)f (x) = f (x + t). L2 (R)

È
Í


L KÊ KÊ

s T (s)
KÊ

Ê
È
L KÊ


È È
L

L


Í Ä
1 0
Ê

Í


a 0 b 1

SL(2, R)

U()

È

ÊÅÈ É

b Ê 1 ?

Å

Ê U()

Ä
U()

Ê U()

SL(n, R)

ÅÈ

 Ä Ê

U()

Í

Ê É

È ÍÍÏÈ Ö æÍÈ ÿ ÊÎÈ

É È

Å È ÿ Ê Ê

O() Sp()Ê

Ê Ê
AÈ Ê Ê

Ê
Ê
1 È 2 È Ê Ê Ê Lp (H )

Ê

1

A AÊ p j j < Ä

p < Ê

Ê

É A



Äp = 2Å B (H )È
A
p

A É Ê Ï È ÿ ÑÊ ÅÊ É Äp = 1ÅÊ Lp (H )

=
j

p j

1/p

Ä

È

È
L (H )
Ê

ÅÊ Ä
p [1, ]Ê A Lp Ê

max j ÅÊ 1 + AÈ Ç pÉ Ê

È A



É É = É É É É É
É É

Ê

È

? Ä
Í Í

È
È Ê

Ê

É
È

Å

É


Î Ä È Ä ÊÛ àÅ È Ê Ê
U (1 + T )È Ê ÈÊ GLOÈ Ê S  U

ÅÊ Ê

È È

È

É É

È

È
T

GLO


g = RS

ÿ Ê R S -1 È Ê  È
GLO

É É É

 S = ex p R È Ê
O()

È
R

S

Ê
GLO

Ê Ä? È
H

Ê ÊÅ
v, w



?ÅÊ È
HÈ È

É

v, w Ê

É

v , w = (v , w) + i{v , w}.

È Ê

H

R

Ê
{v , w }

(v , w)

È Sp()È

È
O()È {v , w }Ê (v , w)È

É É É É

É É È

O(2) Sp(2) = U().

U

ÈT Ä Ê ?Ê  Å È

Ê ÅÈ Ê Í È Ö æÍÈ äÊ È ÅÊ Ê Ê È ÎÌ G(n) K (n)È Ê K (n)

È È Ê ÊÈ

O(2)È Sp(2)

È
U (1 + T )È

É



È

É

È
G(n)

Ä

É É


Ï
U(n, n) U(n) ç U(n)ÅÊ  G() K ()È È O(, R) ?

È

2 Ê

G()

È É

Sp(2, R) U()ÅÊ

Ä
K (n) G (n) K (n)È

K () GL(, R)
Í

È

G

O(2) U()ÅÊ ?

Ä Ê ÍÈ Ö æÍÈ ? Ê È È Ê

È

É

ÿÍÍÊ Ê ÍÌ È Ö æÍÈ ÿÿÑÊÍÈ ÑÞ ÏÉ È ÞÑÊÎÈ Ñ ÊÍÉÎÊ

È

É

Ê Ê
Ams(M )È M MÈ Ams(M ) gj BM
Ê

È È
gÈ

M É ÊÊ É Å g1 È g2 Ams(M ) g1 (m) = g2 (m) Ê É AÈ Å(gj (A) B ) Å(g (A) B )Ê [0, 1]Ê g Ams(M )

Ê

T (g )f (m) = f (g (m)) L2 (M )Ê U()Ê Ams(M ) È
Ê

Ams(M ) U()Ê Ams(M ) U() Aut(M )Ê

È Ê


Å?

Aut(M ) m MÈ

È Å
SO(3) L2 (S 2 )Ê

È

È

È È g (m) = h(m)Ê

d(g , h)

È
U()Ê

É É É É É
È É É

È
Å
Í

È U()È Gms(M ) Ê
Ê
1 0

Ê

SO(3)È



È

ÊÊ

M


È
È

2 = 1Ê

Ê

È
t -1

gg

È

0 Ê -1




g (m) g (m) dÅ(m) = Å(A)
A

L2 (M )È

A MÊ

g Gms(M )

T (g )f (m) = f (g (m)) g (m)1/2 . Gms(M )
Ê

Ê
AÈ B

È É

È
Ag
-1

(B ) Ä

[g ; A, B ; t] Rç ÅÊ +

Ê



AÈ B t Ç [gj ; A, B ; t] t Ç [g ; A, B ; t]

Rç Ê +

g (m) Èt É gj gÈ É [gj ; A, B ; t] [g ; A, B ; t]È

Ê

Ê Ö æÍÈ ÿÞÑÑÑÊ È ÿ ÊÏÈ È

È Ä

ÏÊ ÅÊ Ê

ÿÍÎÊ Ams

ÊÊ
S () S È 1È 2È Ê Ê Ê È Ê

Ê
K K Ê


È
S ()

Ê Î È

Ê È Ö æÍÈ ÿÿÞÑÑÑÊÍ ÎÈ ?
S È

È

Ê

ÊÍÌÊ 

Ê
S


?È

É É É

Ê Å Ê
(g , h)È

È ÿÍÌÊ

gh

-1

S() S Ê

Ê ÊÏÍ



ÅÊ

ÌÈ

Ä

S çSÈ È

É É

ÊÍÍÊ 
GÄ

È G = SO(n)È U(n)È Sp(n)ÅÈ

S

1

Ê
É

Ê




È Ê ÍÌÌÈ M

È
G

Ê ÎÊ

Ê

È

É

ÏÈ Ö æÍÈ ÿÑ Ê È
G

Í

Ê
M GÊ

É ÍÍ È

F (M , G) Ö æÍÈ ÿ ÊÍÉÎÊ

ÊÍÎÊ

Ê Diff (M ) C É Å Å SDiff (M n , ) È Å 2 nÉ Ê È Ê ÊÈ ÎÉ È n = Ç Ç Ç
n j =1









Ê
MÊ M
n

É É

Ê d = 0È nÉ

È

Ê

dpj dqj

R

2n



Ê

(p1 , . . . , pn ; q1 , . . . , qn ) Ä Symp(M , )



È

Ê

Å

È Ê È ÿ ÌÈ Ê Ê 2n + 1É ÍÉ È È Ê
n



È

ÅÊ

È

É



(d)

n

É
j

= dz +
j =1

xj dy

R2n+ Ê
Í

1

(x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn ; z )Ê h Ç È h
È
SL(2, R)È SL(2, C)È


É ?

É É
É

Ä  Ê



?

?È

SO(1, n)È SU(1, n)È F (M , G)Ê

ÅÊ

È

È É




Ê È ÏÈ ÿ ÊÎÊ
xM

Ç È

Cont(M , )




Ê

È Ê
xÊ

É È

Ê

È


M

È
CÉ

È ÏÈ ÿ ÊÏÅÊ Ê?

Ê


M

Ä?



É É ? É

Ê
CÉ

Diff (M )

?

C É

M



Ê É É MÊ (M ) É É

É Ê

?
gÈ KÈ K



Ê

Diff comp gj K MÈ È gj gj g

? ? È

Ê
M


ÄÕÊ





ÅÊ

Ê ?È Ê È Ê?

M É

È Ê

É É É É Ê
6

È

Ê  Ê? È Äá ää â à çç æãéäÅ Ä ÉÅ S2 È È È É B1 È B2 È B1 B2 È Z28 È È S 7Ê ? È ÄÊ Ê Å



ÅÊ

Ê Z2 Ä S È

É É

É
Z28 Ê

É

É É


È Diff comp (M )Å Ê È Ê
RÈ ÍÏÈ ÍÎÊ ? É

Ê Ê Ê?
Diff (M )

Ê Ï È

È

Ì
Diff (M ) Ê

Ä ?

È



Diff (M ) É È

Ê?

Symp(M , )
HÈ

? Å È

È È

É É É É É Ê È É

?

Ê?

Ä È



H /R

Ê



Ê

È È

Ä

È

É

Í É

Ê ÊÍ Ê

È

ÅÊ

ÊÍÏÊ ?
Ê ÊÍ È ÊÍ È Rn Ê Ê



È ÿÏ ÅÊ

Ê

È v = (v1 , . . . , vn )

Ä

É

x (t) = v (x(t)), gs (a) := x(s)Ê - Rn Ä t
+ t

g (0) = a. g
s



- t

g

s

Rn Ê gt gs = g
t+s

ÅÊ
.

Rn R È
+ t

n

È

É É È É É

t

+ t+s

ÿÍÊÍÊ

tg

t

È

È
Dv :=

ÅÊ
v vj (x) . xj

vÈ Ä

Ê

Ê

È

É Ê ÍÈ ÚãçÈ É É


exp(tDv )f (x) = f (gt (x)).


(Du vj - Dv uj ) , xj

Du È D

v

j

Ê ÊÈ

Dw È

wÉ [u , v ] ÊÈ È



È È

Ê

Ê

wj = (Du vj - Dv uj )Ê uÈ v Ä É È È ÿÏ ÅÊ É

É
SDiff Ê g
t

È È

Ê È

É

È
g

Ê?

É

È

SL(n, R)

ÍÈ È
lim

È xÊ

J (g , x)

Rn È g É É

0

1 J (g , x) - 1 sl(n, R).

u

È

È

u1 x1 u2 x1 u1 x2 u2 x2

È
. . Ê . . . . ,

È

Ê ÊÈ



Ê Ê Ê

Ê Ê Ê

ÊÊ

È ÊÊ
div u =

Ê

uj = 0. xj

È È

È È Ê È ÿÏ ÅÊ

È Ê

Ä È ÿ ÌÅÊ

È

É

Sp(2n, R)È sp(2n, R) Ä

É

Ê

È ÿÏ È

ÏÊ


É

ÊÍ Ê
U M È ÍÅ ÎÅ ÏÅ Å
M

Ê
V MÊ Ê È W U Ê
È



Ê

M É É



É È

:U V W

Ê ÊÈ

Ê

È - 1 Ê :U VÈ :V W : Uj W È Ê M = C Ê È SL(2, C)/{Á1}

Ê É

Ê Ê



Uj



MÊ

È



É

É M Ê É


Ê È

ÄÜÅ x = yÊ ÄØÅ ÄS1 Å xU È
É :U V x È k x
Ê

xÈ y M

È

È

È
Í

kÈ

U MÊ

È

x (x) = (x) x Ê

Ê
Ê

É É É É É Ê

Ä

Ê Å

Ê





ÅÈ

Ê Ê

Wj Ê ? i È
j

Wi Wj
Í

È
È Ê

Ê

j È É Ê
É

R

n


Ì È
Wk È Wl Ê g sÇ
l

k s = sij RÊ Ê É x 2xÊ Å Ê È
Ê




Rk R \0
k

g

-1

Wk Wl È

Ê Ê? È

Ê
É É Ê

È

Wj È





Ä? Ê x 2xÊ



n j =1

Ê R

?Å
2n

É É
\0

dxj dxj

+n



É

R

2n

Ê ÍÎ É

Ê Ê?É Ê? É È È

È

Ê È

É É É É É É È É



Ê Ê
Ê Ê Ê

È È



ÍÊ Ê ÍÊ È n = 2È
R
n

ÎÊ ?
ÈÉ É É

Ê È
Rn Ê

È Ê

Ê

É



ÊÍ Ê 
È

Ê ÏÈ ÿÿ Ê É Ê È ÍÍÍÊ





Ê

É É


Í È Ä?Ê Ê?
SDiff (R3 )

Ê ÅÊ Ä Ê È È È
tÈ

É Å Ê? È
pÊ v + (v Ç )v = - grad p; t div v = 0. . xj

Ê È
x

Ê È

É É È É É t


tÊ ?

È



Ê Ê v = v (t, x)Ê

ÄÊÅ ÄÊÅ

v Ç := v

vj

È
rot v + (v Ç )v = 0. t

Ê?

È

Ä
SDiff (R )Ê
3

ÅÈ È È
v (t, x) = g (t, x). t È ÊÊ +
y =g(t,x) j

L2 É tÊ x

g (t, x)



g (t, x) xÈ

Ê

d v (t, g (t, x)) = v (t, y ) dt t

v (t, y ) y

y =g(t,x)

Ç v (t, x)

?

È

ÄÊÅ
d v (t, g (t, x)) = - grad p dt

ÄÊÅ

Ä

È

ÅÊ


Î
SDiff (R3 ) Ê

Diff (R3 )

? Diff (R )
3



?

?? Ê

É Ê É É

h (x) É x v (x) = È
d d h

È
=0 (x) È
=0

È ?

È ? Diff (R3 )

Ê?

u, v =
R
3

uj (x)vj (x) dx.
j

SDiff (R )
3

SDiff (R3 )Ê Ê

ÄÊÅ

Ê

SDiff (R3 )È È v

Ê

Ê
p
R
3

É
vj dx = 0. xj

Ê

È É É

g r a d p, v =
R
3

j

p vj dx = - xj

j

È Ê È È
R3 È L L

Ê ÊÎ È È ÎÌÈ Ï È ÎÈ ÏÈ È ÌÊ Ê
S ?Ê

Ê

ÊÍ Ê
L

Ê
?
R3 È

1

R3 Ê

É É Ê É

È ?
(t)È È 1 (t)È 2 (t)Ê

Ê

LÈ Ê ÊÈ t [0, T ]Ê ? j (t) É

È
R3 È a(t) RÊ

j (t) j (t) + a(t) (t),


T

(1 , 2 ) :=
0

(t), 1 (t), 2 (t) dt

...

Ê
(t)

È Ê


Ï
Ê

SDiff (R3 )

Å

È L
ÎÌ

ÎÉ



Ê

Ê È Ê ÊÈ

È

È Ê É É LÅ É
É É



Å?

LÈ

Ä È È
mÉ

Ê

È È

Ä ÅÊ

ÊÊ

É

âãæá à éæê èéæ È

ãë

Ê È
L nÉ (k + n - m)É M È d( ) = d( ) .

Î k É MÊ Ê? Ê ?





?

Ê

È È È È



È

È ÏÈ
Ê



È

Ê L

È É

ÏÈ ÿÏÊ È

È ÍÍ Ê



C É

ÊÍ Ê  Ê
xM È


HÄ


M

È
v

Å
H

MÊ ?

ÎÉ Ê È
H

É
= xÊ
x

É






È

dHx

É É



Ê?

È

È

dHx (v ) = x ( , v ). x MÈ



dpj dqj È -

Ê

È Ê ÊÈ sgrad H := Ê M = R2n

É

H H H H . ,...,- , ,..., q1 qn p1 pn
Ê Ê

ÎÌ

Ê

È ÿÏ È




È Ä
g g g
0

ÊÅÊ

È

Ê

È ÿÿÏ É ÌÈ

È É É È É

È

t



Ê

Ht È

È





È

È È

g gT = g È

È

d gt (x) = sgrad Ht (gt (x)). dt

Ä ÊÍÌÅ
Ham(M , )







Ä

Ê d(q , r) Ä ÊÍÌÅ (gt )
T

Ê Ham(M , )



È

É É

É Ê É Å gt È t [0, T ]È Ham(M , )È q r Ä Ê ÊÈ g0 = q È gT = rÅÊ É

(gt ) :=
0

max Ht (x) - min Ht (x) dt.
xM xM



d(q , r) q rÊ d(q , r) = 0 q=rÄ È
Ê Ê

È

È

È È ÅÊ
Ê É

Ê È È
T 1/p M

p > 1Ê



qÈ r

dp (q , r) := inf
gt 0

|Ht (x)|p dx

dt,

q

rÊ

È
d(q , r)

È dp (q , r) ÑÞÊ ÊÎÍÅÊ Ä

È Ä

È ?
e(A)

?Ê Ê
AM d(e, g ) gÈ

ÅÊ

É Ê É É É

Ê

È

É g (A) A = Ê


g

È

e(A) = +Ê r R p+
2 1 2 q1 2n

r2 Ê r < RÊ

Ê

?

È
ÎÍ

RR < r2

2n

=

j

pj dqj È

Ê d = Ê È L Ê HamÊ
xM


LÊ

R2n Ê ? LÊ a>0 a/ 2 Ê

ÍÉ

É É

RÊ

È e(L) ?

Ê
M = R2n Ê ?


g
t

max Ht (x) - min Ht (x) = 1.
xM

È
|a - b |Ê Å x- M È

g

t

È È
xM

È

aÈ b

È È

Ê È
t
xM

t d(ga , gb ) = Ham Ä gt É x+ È

max Ht (x) = Ht (x+ ),

min Ht (x) = Ht (x- ).

Ê

È

È

È

Ê

È

ÊÍ Ê  Ê
È ÍÎÌÈ É È ÍÈ Ï Ê È È





Ê

È

É Ê É É



Ê Ê



ÊÍ Ê 

Ä




Ê È

Ê

È

Ê Ê Ê ÅÈ
È
R
2n

Diff + (S 1 ) É È È É
É
2 p2 + qj = 1Ê j

ÎÍ

È
M x É

nÉ

L

2nÉ xL R2

L

Ê

È

Ê


? GLO

?Ê
(0, 1)Ê
2

È

È
2

R/2 ZÊ C (S 1 )
s-1

Diff (S 1 ) ÊÊÊ s

É

f1 , f

2s

=
0 0

sin

1 - 2 2

f1 (1 ) f2 (2 ) d1 d2 .

È s C (S 1 )
Ts (q ) f () = f (q ()) q ()(

Ê ÅÊ
1-s)/2

Ä
H

-s/2

È Diff + (S 1 )

É Vs É

Vs

.

È Ê ÿÊ Ê Ö æÍÈ

Ts (q ) Diff + (S 1 )

GLO(Vs )È

È

äèÊ ÞÑÈ ÿÑ Ê È ÍÌÌÈ Ê È Ê È È
s

ÎÈ

Ê

ÊÎÌÊ
CkÊ

È




È

Ê


ÅÊ

È

É É É

Ä ÍÅ Ê ÎÅ È s > n/ 2 + 1

Ê

ÍÊ

Ê

nÉ

É É

Rn È

Ê  È f / x
C ! M0 = 1È 1Ê

C

f x


C
M





È

Mj > 0È 2 È Mk Mk f x

É

-1

M

k+

C ! M

||

.

C

M

È





f C

M

Ê


È

Mk = (ln k )k
k =1 -1

Ê

jk

inf (j !Mj )1/j

= . C
M

È



Ê

É

ÊÎÍÊ

Ä

Å
+1

Ê
- Gk
+2

. . . - Gk - Gk

- . . . ,


G = lim Gk Gk
+1

k ÅÊ lim Gk

Ä È
Gk Ê g
j

-

Gk

È

Ê

-

È Gk Ä

É

Å Ê
Ê

È
Gk

g

j

É


g 0 0 Ê 1 gÈ

U(n)

U(n + 1)È

g U(n)

Ê
Ê

È

g-1 U(2n ) U(2
n+1

Ê È

È

)È

É

g 0 Ê Ê

0 Ê g

É


ãéÍÊ

ÊÎÎÊ

k

Ä

k +1



Å
+1

Ê
- Gk --

k +2

-- . . . - Gk - Gk -

+2

- ... --



k +3


G = lim Gk
-

k (gk ) = g

k -1

Ê

g

k

Gk È { hk }

È
{gk }

k { hk g k } Ê

É




G {gk } j Ê

GÈ GÊ

V Gj G
Ê

È

j j = j

-1

Ê

Gj È gj Ê
- j 1 (V )

Ê Å
Gk

Ê Å Ê

È È:K L K

É É È

KÈ L Gk GÊ

LÊ

Ê?

Ê
GÈ

È


È A < << G È g = g È È Ê Ê ãéÍÈ ÿÑÑÑÊ È ÍÌÎÊ G È

AÈ

É

É AÊ : G G È = Ê É {g G }È < Ê  É Ê È


È

AÈ

Ê
È Ê

É

ÊÎÏÊ
Ê

pÉ

Ê
. . . - Zpk - Zpk

Ê

É

+1

- . . .

ÄZ pÉ

pk

= Zpk+1 /pk Zpk+1 ÅÊ Ê Ê È

Ê
É

Z Z Ê



Z Ê

Ê

Ê

Ê

Ê

= 0 1 2 . . .

È

ÍÊ
. . . - /k - /
k +1


- . . .


k
Ê



k

/ k Ê

Ê
Ê k Ê 

È

É

É

Ê

È

È


Ê
AÊ Ê A È

= ZÈ k = pk ZÈ

Ê

É

Ê

È

É




È

È

Ê

È

É G

= lim / .

Ê



-



Ê

È Ê É 3Ê È Ê

É

?
Ê

?
pÉ

ÊÊ GL(n, Z)

n

É É É É Ê É É É Ä ÊÍÍÅ

j

pÈ

GL(n) Ê Í Ê GL(2, Z) È Ê ÍÌÎÊ



Ê

È Ê
G GÈ h

{G, H } { g , h} = h-1 g

-1

Å

hg È

È

ÈH Ä
HÊ

g

0 = , 1 = { , 0 } ,

2 = { , 1 } ,

3 = { , 2 } ,

...


j
j

Ê È

È Ê
lim / Ê
-

È

É

Ê Ê
F F Ä Ê ÊÈ F ÅÊ 

 Ê

 FÉ

Ä È
KÉ K

Å


Ì
FÈ KÈ GK
/F

KÈ


FÊ  GL GK /F Ê
/F



FÊ

 FÊ
KÄ

KÊ

FÈ K

GK/F LK L

É É É É

È

KÊ


GalK
/K

È QÅÊ GalK /K KÈ Ê Ê KÈ KÊ È  L Ê È GalK /K GalL/K Ê L FÈ KÊ L L È 
GL


É

/F

È
Ê

GL



/F

, lim GL
-


/F

Ê
GK
/F

È Ê È 

lim GL
-



/F

Ä 

?

É ?ÅÊ

È Ê Ê ÍÌ È ÍÌÎÈ ÍÍÊ ?

ÊÎ Ê ?
T
n



Ê


È





Ê

Ê

 È Aut(Tn ) É

n+1

Ê?



Ê Ê 
n=p Aut(Tn ) Ê

È

SL(2, R)È ÄÊ pÉ

É

ÅÊ SL(2, Qp )Ê ÌÈ Ö æÎÈ ÿÍÌÊ Ê Ê

È

Aut(Tp )

Ê ÍÌ È Ê Ê

È

a1 È a2 È a3 È Ê Ê Ê È aj È b j È Ê

Ê È

Abs(Jn )

È
a
j +k

É É È È É

a

j

a

j +1

Ê È

kZ

Ê

É

Ê

È


Í É ? Ê Ê È  É Ê È Ê É É É É É É É

Ê

Ê Ê È

Hier(Tn )Ê

Ê? È È Aut(Tn )

Hier(Tn )/Aut(Tn ) Aut(Tn )È Ê

Aut(Tn ) Hier(Tn )Ê Ê Hier(Tn )


n=p pÉ Ê
ÎÎ

È

Ê 

É Ê
T
2

Ê

É È É Ê É Ê É

Ê È Ê

È

Ê ÍÊ Å Å m ZÊ
[a 2
-k

É
PL
2

È É Ä Ê ÊÈ È Ê
PL2

R/ZÊ É É

2k Å


Ê

2m È

È

È , (a + 1)2 Ê

Ê? É Ê Ê? É É

-k

È

a<2

k

T2 Ê

Ê ÎÊ

È

È
T
2

É
ÎÎ 

É RP1 = RÊ

Ê

PPSL(2)È



x (ax + b)/(cx + d),
Ê

aÈ bÈ cÈ d ZÈ ad - bc = 1


Î

0

1

2

3

ÊÍ È

È
nÉ

PSL(2, Z)Ê nÉ

È Ê

È

Ê È

È È È Ê Re z = 0È Re z = 1 È ÊÊ
n+1 Ä Im z > 0

Ê

C1Ê

Ê ? È

È É É É ?É

Ê

È

È

È |z - 1 / 2 | = 1 / 2 Ê
Re z = n > 0 Re z = n < 0 É ac bÈ d Ä a+b Ê c +d

Ê
n + 1ÅÊ

É É Ê? É ÈÉ

Å í Ê
?-1 (x)Ê ?(x) R Ê ?-
1

È

Ê ÍÊ

È PPSL(2) È
PL2



Ê

R/ Z k+1 c = 2n d

PPSL(2) É É É È

k 2n

=

a , b

?-

1

?-

1

2k + 1 a+b = 2n+1 c+d


Ï Ä È ÅÊ
?(y )Ê

Ê



È

È
?-1 (Ç)

É

È
n j limj - v v T
n

Ê
vÊ ? d (x)



n+1 È 1/(n + 1)È È Ê Ê? wj È j ZÈ wj wj +1 = xÈ limj + = y Ê wj

È n+1

È

xÈ y Ê ? È wj (x, y ) vÊ

È

È

Abs(T ) f, g
s


:=
Abs(Tp ) Abs(Tp )



É È É s (0, n)

(x, y )-

n+s

f (x)g (y ) d (x) d (y ).

Hier(Tp )

Vs


n-s)/2

Vs Ê ,

Ê

É

Ts (q )f (x) = f (q (x)) q (x)( q (x)

È Ts (q ) Ê ÏÈ Î È È





q (x) Ä ÅÊ Ts (q ) GLO(Vs )È

È

É È

Ê

ÏÈ

È

ÌÊ
Z+ É

ÅÊ g = 1 g =
X g Ê Ä Ê ÏÏÈ
=1

ÊÎ Ê

Ä
S=

È
=1

g



X È

g Ê

Ê ÎÈ ÎÈ ÿÍ ÅÊ È U (g) = U (g) Ä U (g) È È z È z U (g) Ê
GÊ

U (g)

g


Xe
X

ÅÊ
U (g)Ê

g


Ä

ÎÈ ÿÎÍÈ ÍÌÍÅÈ Ê Ê
G

È

G Ê

É È Ä É É Ê ÏÏÈ

ÿÎÊ ÅÊ È gÄ

Ê U (g) U (g)
U (g) U (g) U (g).

È

Å

É

È

(X ) = X 1 + 1 X. G (z ) = z z .

U (g)È

É Ä ÊÍÎÅ Ê

 Ê È

È
n

Ê
Freen n n

Ê É
F
n

: Freen Freen Free
uÈ v

a1 È Ê Ê Ê È an Ê

È Ê ÊÈ Ê È

F

n

É

n

(aj ) = aj 1 + 1 aj . w u È

È

uÈ

È ab cd

È vÈ È

a1 È Ê Ê Ê È an Ê

È È É È

vÊ abcdÈ acbdÈ acdbÈ cdabÈ cadbÈ cabdÊ w = ai1 . . . aik Ê
È
w u vÊ

È

w

È

(w) =
uÈ v È w cw w Ä ÊÍÎÅ cw

u v. Freen Ê

É É Ä ÊÍÏÅ

cu cv =
w uÈ v

cw .

Ê?
ÎÏ

È
wÈ




Ä
c
w

Å

ÎÏ

É w

w
ÊÊ

w = uv


Ä Ê ÍÅ
pÈ n
1

Å ?Ê Ê Ê

È

Ä ÊÍÏÅÊ

Ê ÍÌÍÊ

É

Ê Ê Ê Äp /p+ ÎÅ ÏÅ

È

Ä Ê Î È È Í ÊÏÅÈ g1 È Ê Ê Ê È gr È p È gp È gp+1 È gr È È r - 1 / r /p+1 Å g n := g r Z

É / r È
m 1
1

...g

nr n

gmgk = g k(m, n) Ä ÊÍ Å g()Ê

k(m,n)

Ä ÊÍ Å Ê
mj È n G = G()È G/ 1

È

j

Rr Ê

É É É

È

È Ê ÊÈ G(1 ) G(2 )Ê Ê Ä ÊÍÍÅÊ
. . . - /l - /
l+ 1

È
2 p

È
- . . . , ) - . . .



È

ãÉ

ã

. . . - G(/l ) - G(/ . . . - g(/l ) - g(/ G()Ê

l+ 1 l+ 1

) - . . .

È Ê
nÈ

g()

È È xij = xj i Ä

Ê È
[xij , xik + xj k ] = 0 [xij , xkl ] = 0,

xij È 1 i, j n(n - 1)/2ÅÊ iÈ j È k È l

Ê i = jÈ

É É

[xij , xij + xik + xj k ] = 0 .

? ÅÈ Ä ?Ê Ê

Ê

È n ?Ê Ê

É É


sl(n) Ä?Ê ?Ê

ÅÈ Ê ÍÌÍÈ È ÌÈ ÍÍÊ Ä
f

GL(n, C) Ä

Ê Ê Å

ÌÅÊ
GÉ É

ÊÎ Ê

È ÅÈ

Ê
Å f (g1 g2 ) dÅ(g1 ) d (g2 )
G G

Ê

G

f (g ) dÅ (g ) =

Ä

Ê Ó æÈ ÍÌÊÍÈ ÐÚÍÈ ÿÍ ÉÎÌÅÊ Ê É È
a b = Ê?
a+b

É Ê Ê È É È
GÈ

Ê

RÈ Z

(Å) :=

(g ) dÅ(g ).

È
(Å1 + Å2 ) = (Å1 ) + (Å2 ), R (Å1 Å2 ) = (Å1 )(Å2 ).

È

Ä È È ÎÍÈ È Í Ê Ê
R
2

Ê ÅÊ

È È

É É

ÊÎ Ê 
pa p
Ê
b

Ê
È pc È
pc Ê È pa pb =

ÊÊ

Ê
|a - b | r

p

a

Ê

É aÊ a+b

a+b

h
|a-b|

a, b

(c)pc dc,


h

a, b

(c) =

2 c (a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)

1/2

.



È  Ê Ê?
V M(V )

Ê

É

É É É É É

VÊ

É
a b Å
a, b

V ç V M(V )È a Ê .

V a

Åa (Åb Åc )È Ê ÊÈ Å
V v ,c

È (Åa Åb ) Åc =

dÅ

a, b

(v ) =
V

Å

a, v

dÅb,c (v )

È
:V V ÅÊ È È

e È È È (a b ) = b a Ä È È a = b Ê Ä ÅÈ

È
e a = a e = a
b a

É É É É Ê

e

É È Ê È



ÈK
G//K G

Ê Ê È
È Ê G//K Ê G

G

È

KÊ KÊ

È



È

É

K

K \ G/K È Ê ÊÈ

Ê Ê

È
G

É
k1 , k2 K.

É

g k1 g k2 , K ç KÈ Ê É

Ê

È


Ê
Ê ÍÅ GçK ? k (k , k )Ê

È
G

Ê

GÊ

L L

É Ê É É É É



È

?

È

K

Ê i : K G ç KÈ G//K

i(K ) \ (G ç K )/i(K )Ê L ÎÅ

È

LG Ä

G

ÊÈ



Ê È Ó æÈ ÎÊ ÅÊ

L

G

L (L G)/LÊ

Ê Ê È
Ê

É K È Ê ÊÈ È É É É

È

C (K \ G/K )

fÈ

f (k1 g k2 ) = f (g ),

k1 È k2 K Ê

Ê

È

È

É

Ê È

È

È

Ê ?
n

É G = GL(n, Fq ) B



Ê

w

Ê Fq q Ê Sn GL(n, Fq ) Ê B \ G/B

Ê

Ä

B wB È


w Sn Ê (j, j + 1)Ê Tj

Ê

Hq = C (B \ G/B ) Ä ÅÊ Tj È È  Tj2 = q + (q - 1)Tj ; =T
j +1 T j T j +1

w Sn È È ÅÊ  È

É É Ê É É

Tj T

j +1 T j k

;

Tk Tl = Tl T

l = k Á 1Ê q=1

È

(j, j + 1) Tj2 = 1È

(Tj T

j +1

É É )3 = 1Ê


qÈ

Ê ?

È

È Ê ÍÈ

H1 

Hq

?Ê Ê È Ê K
K
n+1

q CÊ

É É È RÈ C



HÊ n

È

Ä

K=R G = U(1, n; K)È

-1 0 . . . 0 1 . . . Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê Ê Ê

K = RÅÈ

O(1, n)È U(1, n) Sp(1, n)Ê ? G K = U(1; K) ç U(n, K) a0 1+n È a 0D Ê È ÍÈ D U(1, n; K)/U(1; K) ç U(n, K) É K ht K È ... . . . . . . , ÊÊ Ê

È

ÅÊ



É È

Ê K \ G/K Ê

Ä

É

?

È

ch t sh t ht = 0 Ê Ê Ê



sh t ch t 0 Ê Ê Ê

0 0 1 Ê Ê Ê

t

0Ê

K \ G/K

t

0Ê

d := dim K,

= nd/2 - 1, [a, b, c; x] =
j =0

= d/2 - 1.

2 F1

(a)j (b)j j x (c)j j !


t+s



Ê

t s =
|t-s|

L(t, s, u)u du,

L(t, s, u) L(t, s, u) =



2-d(n+1)+2 (ch s ch t ch u)- -1 ç 1/2 ( + 1/2)(sh s sh t sh u)2 ç (1 - B 2 )-
1/2 2 F1

+ , - ; + 1/2; 1 (1 - B ) , 2


Ì

B :=

È
Q(d(x, y ))È G/K

ch2 t + ch2 s + ch2 u - 1 . 2 ch s ch t ch u L(s, t, u) Ê Ê? d(x, y )

s È tÈ u È


R(u) = K (t, s, u)P (t)Q(s) dt ds.

É P (d(x, y ))È xÈ y Ê É R(d(x, y ))È





È È 1/2ÅÊ


K

È
K \ G/K Ê

È Ê

Ä

É

nÈ O U(n) Ê

U(n)Ê = (1 , . . . , n ) È Ê?

É É É



Ê M Ê ? È

È

Ä

Ê Ï ÅÈ Ê Ê Ê

È

Ê

È

È Ä È

È È È

É Í Ï ÊÈ

Ö æÎÈ

Ê èã

È ÊÎÅÊ È

ÅÊ Í Å G = GL(n, R)È K = O(n)Ê Í Å G = U(n)È K = O(n)Ê Í Å G = O(n) Symm(n)È K = O(n)È Ê ? Í ÅÉÍ Å ÎÅ ?  È G = GL(n, Qp )È K = GL(n, O ÏÅ Ê K \ G/K ÏÅ G = GL(n, Qp )È K Ö æÎÈ ÿÍÌÊ ÅÈ È

Ê

Ä



É

Symm(n)

ÄÊ Ê + p)È Ê

Ê
O
p



ÅÊ
pÉ

Ä

Ê


Í
Op È p Ç Op È KÉ

O

Ê ÎÏÈ Ï È

ç p

:= Op \ (p Ç Op )Ê ? G Ê Ê



Ê

È

È

È

ÊÎ Ê

ÈK G

VÈ
Ê

P K G KÊ

È Û èÊÏÈ È Õ È ÍÌ Ê G Ê Ê HÄ Ê KÉ VÊ
KÈ

ÅÊ É Ê É

(K ) :=
K

(k ) dk PÊ g=

È
K gK Ä

Ê

È


Å

É
= K g

K gK

K

K gK

= (K )(g )(K ) = P (g )P.



È

È
V


g h = Å (g h ) = (Å
g,h g,h

È

VÊ É

).

È Ê Ê Ê ÊÎ Ê ?
U()
Î?



Ê

È VÈ

V = 0È

É

ÊÎ Ê

Ê
È
U(n + m)

U(n)Ê ?

?Î ÅÊ Ê È
ãàà è ãâÈ âã Ê

U(n + m)//U(m) Ä È

U(n + )È (n + ) ç (n + )È 10 Ê É 0u U(n + )//U()Ê ?

È É Ê É É m Ê É


Î
a c b pq d rt a c = 0 n+Ê b0 p0 d 0 0 1 01 r0 n + + È È È q ap 0 = cp t r b aq d cq . 0t

Ä ÊÍ Å

Ê
ÊÅ È Ê ÊÈ

É

È

+ = Ê

È É È È
a c b , d

Ä

Ê Å Ê Ê
g2 = p r q t

È

Å

É É


kÊ ? U(n + k ).

g1 =

?
a c L g1 = 0 0 b d 0 0

m = k+k+L n + k + k + LÈ 00 0 0 L , g2 = 1 0 01 b d 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



p r 0 0 0 1 0 0

q t 0 0

0 0 1 0

0 0 U(n + k + k + L). 0 1



a c g1 g2 := 0 0

p 0 r 0

q 0 t 0

0 0 U(n + k + k + L) 0 1

È ÅÈ ÄÊÊ

L L >0 N

É

U(n + k + L)//U(k + L)Ê g1 g2 N Ê N Ê  L0 È È 1 - Ê

È
L

É

L È

L

È
L
0

L >0 L L

È

Ä

È

Å

Ê

É


Ï È Ê È È
g= a c b d

? È È

? É

g () = a + b(1 - d)-1 c, CÊ

È



C

() = -d-1 Ê

È



g h

ÊÅ U(n + )//U()È

g1 È g2 È

É n ç nÊ |z | = 1 Ä Ê Ê d 1ÅÊ Ê

Å

È

() = g ()h (). g () || v

Å Å
|

È
1È

|| = 1 g () 1Ê È Ê Ê g ()v

ÊÍÍÊÍÊ 1È g ()

U(n)Ê

Ê

v Cn Ê



È

Ê

Ê
a c 0 eÄ

È
b0 d 0 , 0e

È

È

É Ä ÊÍ Å

Ê

È

È

e

ÅÊ

È
dÈ

È
Ê

È

Ä ÊÍ ÅÈ || = 1Ê

È

È


d

É



Ê È? È

È Ê



g () := det(1 - d).

Ê

g ()È

È È È



g ()



É É || > 1Ê ? É
M
g


È È Ê ÎÎÈ Ï È Ä

ÊÏÌÊ

g Ê È äè æ Í È Ö æÍÈ Ê È Ê Ê



Ê È Í ÌÅ ÍÊ



Ê

Ê Ê
+ ( - )É 10 , 0u

Ê

É É É

G = U() K []È uÉ

K [] \ G/K [ ], a c b d + ( - ) ç + ( - ) , a c b d 10 0u a c b d 1 0 0 . v

K [] \ G/K [ ] ç K [ ] \ G/K [ ] K [] \ G/K [ ]

Ê



Ä ÊÍ ÅÊ È

É É

?

ÅÊ

Ä
0 0 K [ ]. 0 1 p r



1 0 j [ ] = 0 0 rj := K [] Ç
Ê

0 0 1j 0

0 1j 0 0

a c

b d É

j [ ]

q Ç K [ ]. t

Ä ÊÍ Å É É

È

Ê


?


Ä

ÊÈ
K [] \ G/K [ ]

È

È

È Ö æÍÈ ÿÎÊ ÅÊ



Ê
U() K []É g U()

U() O()Ê HÊ P []

È

H [] É H []Ê

(g ) : H [ ] H [],



È
(g ) := P [](g )
H [ ]

.

Ä ÊÍ Å É H []È H [ ]È ?

gÈ

È gÊ k1 K []È k2 K [ ]

È

?

, (k1 g k2 ) = = , (k1 g k2 ) = , (k1 )(g )(k2 ) = (k1 )-1 , (g )(k2 ) = , (g ) = = , (g ) .

È
(g)È G/K [ ]Ê g

Ê È ?

É Ä Ê ÊÎ ÅÊ g K[] \ G/K [ ]È h K[ ] \ ?

È

(k1 g k2 )

(g )

È

(g h) = (g) (h).

ÿÎÊ ÅÊ

Ä

È

ÊÈ Ê ÊÎ ÅÊ Ê ==Ä
gÈ

È
É

Ö æÍÈ Ê

È

È
g= a c b Ê d

ÅÊ

Ä Å
ab q+ x c d = q- 0 x

É
p+ x . p- x

C

0 a c b d
t-1


pÈ q È xÊ q+ q- = g () p p
+ -

x ,

?



? g () È É È Ê

2 ç 2Ê

CÈ È

ÿÑ Ê ÅÊ È

È

È

È

È

Ê

É É Ö æÍÈ É

Ê

È

ØÊ È ÍÈ
K

ÿÿ ÉÍÍ Ê Ê È Ê È ÊÍÌÈ ÍÍÊ È ÌÈ Ê Ê

Ê

Ì Ê

Ê

Ê Ö æÍÈ

È

È È

È

ÊÏÍÊ
Ê
(g , g )È gÈ


g K

Ê

È Ä

G K

É É É

K []È ÍÈ ÎÈ Ê Ê Ê È ÅÊ K [] \ G/K [ ]Ê G 654321 654321


... ...

1 2 3 4 5 6 . . . 1 2 3 4 5 6 ...

gÈ g S


{1, 2, 3, . . . } {1 , 2 , 3 , . . . }Ê Ê

Ê
kÈ k


É Ê
k> > Ê lÈ l 1/2È

É l > Ê Ä ÅÈ
>

ÌÊ Ê? 1 È 2 È Ê Ê Ê È Ê ? 1 È 2 È Ê Ê Ê È Ê

Ê

Ê

É 1È 2È Ê Ê Ê È 1È 2È Ê Ê Ê È Ê


1/2 1 1 1 1

ÊÎ

Ä ÌÅÊ ?Ê Ä

È

È

É

ÍÊ ??

È

È È ÅÊ

Ê É

È

ÎÊ ?
k + 1/2È k 0

?Ê Ê

Ê Ê
1Ê

ÏÊ

Ê Í
Ê

ÍÊ È È

È É È Ä ÊÍ ÅÊ
É

Ê Å

Ê

È

Å ÅÈ Ê Ê ÏÊ Ä ÅÊ È Ê Ä

È

Ê

ÌÈ

ÊÏÎÊ
g = g0 g1 È

ÈÈ ÄÊ È ÎÈ ÍÊ Ä Ê

ÅÊ È

È

È

É

ÅÊ
gÈ

Ê


ÊÏ È Ê ÊÈ Ì È Ê ÊÈ

Ê
deg(x)Ê ? ÍÈ [x, y ]ÅÈ xÈ y

ÍÊ

gçgg Ä Z2 É

deg[x, y ] = deg x + deg y ,

ÎÊ

?
[x, y ] = (-1)d

?È Ê ÊÈ
e g x Çde g y

[x, y ].

ÏÊ
[x, [y , z ]] = [[x, y ], z ] + (-1)d g1 É
Ê
e g x Çde g y

È
[y , [x, z ]].

È

g

o

È

g0 È

Å?

gl(p|q )Ê ab X := cd 0È

g1 g1 ç g1 Ê É

(p + q ) ç (p + q )Ê 0 c b 0
e g X Çde g Y

a 0

0 d

1Ê

XÈ Y

É

È

Å?
J È È

É?

[X, Y ] = X Y - (-1)d

Y X. s - VirÈ ZÈ c Ä?

Ê

ZÈ [c , L n ] = 0 È [c , J ] = 0

Ln È

È

É ?

n nÈ ÅÈ

[L n , L m ] = L

n+m

+

m [L m , J ] = - J+m ; 2 1 [J , J ] = 2L+ + 2 - 1/4 Ç 2

n3 - n Ç 8

m+n,0

Ç c;

Ä ÊÍ Å Ä ÊÎÌÅ

+ ,0

Ç c.

Ä ÊÎÍÅ


È

Ê

-1/2È Ê

Ä ÊÍ Å Ä ÊÎ ÅÈ Ê Ä ÊÎÌÅ Ä ÊÎÍÅÈ Ê?

L

n

L J


n

e

in

(d)

in i -1/2

? e

É



-1/2Ê Ê

È Ê ?Ê  Ê
2 j = 0 .

É



Ê

Ê

È

ÅÈ

1 È 2 È Ê Ê Ê Ä i j = - j i ,

É É É

È È Ö æÍÈ ÿÑÑÊÍÅÊ g0 È y

l

Ê g1 Ê
bl ()yl ,
l

j È Ê ÊÈ = 0 1 È j È g = g0 g1 g() È ak () 0 È bl () 1 ,

Ä

0

Ê



1

ÊÈ É É

xk

ak ()xk +
k

Ä ÊÎÎÅ É

È

È

È

È [ak xk , am xm ] = ak am [xk , xm ], [b l y l , b j y j ] = b l b j [y l , y j ],

[ak xk , bl yl ] = ak bl [xk , yl ],

Ê

È

[Ç, Ç]

Ê
[Ç, Ç] g() È

Ê Ê?
gl(p|q ) 0 È A C

É Ê Ê É È





È

Ê

AÈ DÈ
Ê

ÅÊ Å

AB CD BÈ D B D

p + qÈ

GL(p|q , )È 1 Ä

Å



gl(p|q ; )Ê gl(p|q ) É gl(p|q ) gl(M |N )Ê É gl(p|q ; ) gl(M |N ; ) GL(p|q ; ) GL(M |N ; )Ê


Ì
Ê È gl(p|q ; ) gl(M |N ; ) Ê GL(p|q ; ) Ä È

? ?Ê
g0 g1 Ê gl()Ê

É GL(p|q ; ) GL(M |N ; ) É ? É R CÅÈ ? É
g= 0 È g+ ()È
+

È

+ 0

?
bl () X

?È É

> 0Ê ak () + È Ä ÊÎÎÅÈ 0 gl()

1

Ê
g
0

É
gl+ ()Ê





exp(X )È

G ()Ê g+ ()È

É

exp(X ) Ç exp(Y ) = exp ln(eX eY ) , ln(eX eY )
2 j = 0 Ê


0

È È
G+ () g
0

Ê

É

È
-1

G G0 G0

g1 Ä

g

g:Xg


-1

?
g G0 .

É Xg È ÅÊ

g : exp(X ) exp(g

X g ),

È G()

G()

Ä

G0

G+ ()Ê



È

É È É Ê Í È ÏÌÈ ÍÍÌÈ ÍÈ Î È

È Ê

É È G1 () G2 ()Ê É Ê È
G É

ÊÏÏÊ
dl (x, y )È

Ê
Ê

Ê

È Ê È Ê

Ê É gk g

È Ê
-1 l

È

É É É É

dr (x, y ) = dl (x-1 , y
-1 k gl

-1

)È

gj È

GÄ

È

1

g

1

k È l Ê Å

Ä


Í Ê É È dlr (x, y ) := dl (x, y ) + dr (x, y )Ê É È Gl Gr È É É
Î

ÅÈ

Å

Ä

È

É É Ê
GÊ

Ê

G

g g -1 s(xy ) = s(y )s(x)Ê ÊÅ N NÊ

È

Ê s : Gl Gr È
S


Ê

É É É


Ê

Å

U()

V V = 1Ê

Ê È Ê ÊÈ È

È

É È É É É


ÊÏ Ê
X

Ê

È
Ê

È
X

Ê

G É Ê

Î

Ä

Ê È

È

ÅÊ

Ê?

È

É É

Ä ÅÊ ÊÅ È
Ä  Ê

Ê Ê Ä





É Ams(M )È É É

Ê?
Î

ÅÊ

Ä
Å

É
È É È È É

Ê Ê

ãéÍÈ ÿÑÞÊÏ È È Ê Ê

Ä

Ê ?Ê
Î

È
G É

Å Ê

Ê


Î Å Iso(X )
g Iso(X ) Å  È
j

X gÈ

Ê Ê ÅÊ

È xX

Ê
gj x g xÊ

É

ÄÈ
g

É
j

Å Å? Å Å Å

gÈ

maxxX d gj x, g x) 0Ê È
Ams(M )È Gms(M )

Ê Ê È É Ê É

Ê È

È

Å Å

Ê

Ä É

G É

ÅÊ

Ê

Ä

Å Ê Ê É È

Ê

È ? È
GÈ H H

È
H

Ê Ê
HG Ä Ê ÒÊ Ø èè çÅÊ

G

Ê

É É

É
É

È

Ê ? È È Ê

É É Ê É É

É H GÄ

È ÅÈ

È

È Ê È
Ê

É

Ams(M )È

È


R RÊ

É Ê


Ï Ê Å ?
G

[- 1 , 1 ]



[- 1 , 1 ]Ê

?



ÅÊ Å Ê ÊÏ Ê Å 

Ä?Ê ?Ê È

É É Ê É É

È

È



Ê Ê

Ê

G

È È

È

É Ê

Å Å ÅÊ ÏÅ ?

È È
H

Ä Ê Ê

ÅÊ 1 + KÈ ÄÊ Ê

K É

LÈ È H /L ÄßÊ â çî îí ÅÊ

É

Ê Í È

ÍÈ

È ÍÌÏÈ ÍÍÏÊ ?

ÊÏ Ê


?


Ê
U

Ê
X R
k


XÄ D = D(X )

È ÅÈ
DÊ P F aU DÊ

É

ÍÅ ÎÅ

U R ÈV R
k

n

Ê ÏÅ
R:U X É Va È È DÊ D

È F :V U P :U X È
R

Ê

È
U
a

U


f PÈ

È
f P


XÈ

Ê


X

È È

É



Ê
DÈ

Ê F P D(Y )Ê

È
F :X Y

Ê

XÈ Y

È

P D(X )


DÈ

È P1 Ç P2 : U G
Ê

GÈ

È

È

È

È

Ê È

É P1 È P2 : U GÈ È È É É É UR R/ Q Ê É Ê

È
U R/ Q

R R/ Q Ê ? È

É Ê Ê

ÊÏ Ê
Å Ê

Ê ÍÍÎÈ

Ê
K

Ê?
K
S

È

È

SÉ K KS ÅÊ

È



Ê É S I KÊ É Ä È

Å ÄÐÊ ã æÅ Ê È ei Ê È I = RÈ K RÊ x KÈ fx (s) = eisx Ê KSÊ ? KSÈ BÅ Ê Ê R Ê ÍÅ f (x) ft (x) = f (x + t) È ÎÅ  B È L2 Ê L2 et (x) = eitx È È R BÊ È L2 (B )Ê R ÏÅ B GÊ
B\R

Ä

fx (s) : I

l k =1 c k

È exp(iak x)Ê È

É Ê
RÊ

È

É É É

B

È



Ä È

È ÅÊ

É


Å È Ê



?  Ê

?

È

É

Î

Ê È

Ê Í È Î È ÏÎÈ ÿÍ Ê Ê

ÊÏ Ê 
È A
B UÊ È A AU

Ê

U

È

È
A AU

B

Ê

É

È
UÈ

U UÊ

Ê

É É
U M

Ê

È

UÊ

È

M

È Ê É È

È Ê È

È

Ê

Ê

È

Ê È

É É É É É

?
N M M

?Ê ? Ê

NÊ

È È

G É

Ê

UÊ Ê

È È Ê È ÍÍ È ÍÍ Ê Ê?
È Ä È ÍÌ

É

ÊÏ Ê
Î

Ê
È

B(H ) HÊ
È È Ê È ÊÅÊ

É É
É È

Ê


U(H )
Ê

HÊ

B(H )

Å
B(H ) U(H )

B(H ) B(H )Ê (G) B(H )

È Ê

Ê
G (G) U(H ) A B

Å Å 

HÊ B(H )Ê È Ê

É Ê É

(gj )È (hj )

k l

lim

lim (gk hl ) = lim
k

k l l

lim (gk )(hl ) =
k k

= lim (gk ) lim (hl ) = lim ((gk )B ) =

lim (gk ) B = AB .

È AB Ê G

(G)È

(G) GÊ

É È É É Ê É É Ê
B(2 )

È

È

Ê

Ê ?

GÊ ?

È

ÊÅ
U() B(2 ) U()Ê Ê È Ö æÍÈ ÿÞÑÑÑÊÏÊ Å È Ê È B(2 )Ê Ê
Ê

È


S () S


È Ê È

È
Ê

Å

È

?Ê SÈ Ê È Ö æÍÈ ÿÞÑÑÑÊÍÉÎÊ Ams([0, 1]) PolÈ ÿÍÎÊ



È

É


Å

GLO(2 )È G = GLO(2 2 )È a c KÈ K \ G /K GLO(2 ) K \ G /K È b , d 1 0 0 È u u

Ê É Ä ÊÎÏÅ

Ä ÊÍ ÅÊ È Ê

Ê É È ÊÍÊÍÍÊ

È È B(2 ) O() Ä ÅÊ Ê?

É Ä ÊÎÏÅÊ É É É É

È Å?

Ê

È È

Ê
O() O()É

È

P []

È

Ä ÊÍ Å
(g ) = P [] (g ) P [ ], (g )Ê ?

È

(g ) H [ ] H [ ]


H [] H [] ,

(g ) 0 . 0 (g )

?

È

? È

Ê? Ä

È È È Ê È

?

É É É

ÅÊ

Ê? Ä È È Ê Å

É É


?



Ê
H


GÈ

Ê
: G U(H ) B(H )

É

?

B(H )È

Ê È
G=RÄ

G

Ä

Å
GÊ

È È È É

Ê Ê ÊÏ ÅÈ

Ê Ê ÎÈ Ö æÍÊ ?

ÊÏ Ê
Ê? Ê

Diff + (S 1 )



Vect(S 1 ) Vect(S 1 )C
.







È
Ln = e
in

Ê
É /i È

[Ln , Lm ] = (m - n)L VirÊ

m +n

È n3 - n . 12

?

[L n , ] = 0 , vÈ Vect(S 1 )C Ê ? È Ê ÊÈ

[Ln , Lm ] = (m - n)L

m +n

+

Ä ÊÎ Å
Vir/C ?

È È
Ln v = 0 L 0 v = hv , h È cÊ



É

É

È

n > 0; v = cv

Diff + (S 1 )È

(g1 )(g2 ) = (g1 , g2 )(g1 g2 ).

Å
[0, 1] L2 [0, 1]È s

Ê

Ê

R/ Z


2+is


.

sR

É

s (q )f (x) = f (q (x)) q (x)1/

Ä ÊÎ Å


Å

Å Ê È Å
q (x) = x + s (Diff )
1 n

sin nxÊ

Å q (x)Ê

q (x)Ê



È

È

Af (x) = f (x)a(x). x qn (x) = x + (sin nx)/nÅÊ q x (x, q (x))Ê Ê [0, 1 Ê x x [0, 1] ÊÅ È
È qn (x)

s (qn )È

qn (x)

[0, 1] [0, 1] ç (0, )È Å [q ] [0, 1] ç [0, ]È Rç Ê + x x È t dx (t) = 1,

Ä Ê

É É É

É

R

ç +

xÈ

qn

Å



È

Å[qn ] s (qn )
0



È

È Ê

qn (x)

É É

As, f (x) = f (x) Ç

t

1/2+is

dx (t).



Å Å Å


-

Ê
C C = C |z | 1 È |z | |z | = 1 Ê È f DÁ C

D+ È D

Ê

È

1È



S

1

È

DÁ f : DÁ C Ê È

É È


Ì

p D
+

+

p D
+

+

0 p
-

q D D
- -

p

-

Å Ê Å ÊÅ

Å
Ê


D
+

D- È È Ä
e

Ê
i

D+

È

ÅÊ
qÊ
Ê

q : S1 S1Ê q (ei ) D- Ê Ê È É É

Ê?
|x - y | |x - z |

È

È

É
f

t

|f (x) - f (y )| |f (x) - f (z )|

(t), [0, ] [0, ]È Ê

(t) (0) = 0Ê ? È

È D + CÈ D - CÊ Ê |z | = 1 Ê È

È D + CÈ p - : D - CÈ p+ (D+ )È p- (D- ) -1 q := p+ p- È
D- C

p+ : É

Ê



C

Ê

p + : D + CÈ p - :


Í

Ê
(C, p+ , p- ) È (C, p , p ) +- w : C CÈ

Ê

pÁ w Ê

È

È p = Á É É )È È

Ê Ê ÊÈ
g
(j )





Ê
(C, p

(C, p+ , p- )È (C, r+ , r- ) Ê 0 0 C \ p- (D- )È C \ r+ (D+ )È È p- (ei ) q+ (ei WÈ p+ q- È Ê È Ê

(j ) +

), p

(j ) -

)Ê

È
(C, q+ , q- )

ÅÈ È
p È
(j ) +

É É

É ÊÊ
D
-

Ä
(j ) -

D

Á





q+ È p

q- Ê

È

È

È

c

-1

Ê p+ (0) = 0È p (0) > 0Ê + p- () = È
-1

Ê
D
-

É È É É

p- (z ) = c

-1

z + c0 + c1 z

+ ...

Ê ÿÑÑÊ Ê Ê ÈÈ Ê Diff + (S 1 )


Ä

È ÎÅÊ È

È

Ê

É È

Ê

È

É

È


Î Ê È Diff + (S 1 )È Ê s 1Ê
s (0, 1)Ê s=0 0 Ä s=1

Ê ? Ê ÊÍ Diff + (S 1 )È

È

É É É

Ê

Ê ÊÎ ÅÈ
Diff + (S 1 ) ÅÊ È Ê

É Ä ÊÎ ÅÈ É W W È W Ä É È Ê È
Diff + (S 1 )È

s0

Ö æÍÈ ÿÑ Ê Ê Ê ÎÈ Ö æÍÈ

Ê ÞÑÑÈ ÿÑ Ê È ? ?

Ê

Ê ÌÊ 
Ê Ê

Ê?
È ?Ê ? ßÈ È È É ? Ê

É É

È ÍÊ È

È

É Ê È É

Ê ÍÊ È ÿÿÍÌÉÍÍ

È

Î

È

Ê

É

Ê? È Ä Ê È ÎÊ È ÎÅÊ È

È È Ä Ê Ø æ ààÅÊ

È
pÉ

É


Î

ÍÌ Ê

Ê

È

Ê

ÊÊÊ

[0, 1]

C 2È

É Diff 2 [0, 1]È É + (0) = 0È (0) = 1Ê

Ê

É


Ï È
F : F (0) = 0Ê ? È Ê C 3Ê

,

Ê Ê ÅÊ È

Diff 2 [0, 1] . Diff 2 [0, 1]È . È É



?



Ä

ÊÈ

F É

É É É

? ? ÏÊ ÍÍÈ

È

È

È È

Ê Ê È Ê È ÎÈ ÍÊ



È
Ê

È È Ê

ÏÈ È ÅÊ È

È ÎÈ

Ê

Ê

ÿÿ É

ÿÿ É

Ä È

Ê

ÿ

È

È

É È


Í ÛÊ à ê æ ãÈ ÚÊ Ð? æ äæ ç âè è ãâç ã ä è Î Ï à ãéç Ê ì â ÍÍÍ Ê ØÊ ÍÉÍ Ê Ê ?Ê ? È Î ÄÍ éá Ê Øæã

ÉÓæã âÈ Ê Ü çè æ éâ æãéäçÊ ÒÊ éâ èÊ â àÊÈ ÄÍ à èí â æ à è

Ê Þ æç Ê èãæ à ÏÅ ÍÄÍÅ ÍÍ ÍÏÍÊ Ê ÞÊ

èãä çÊ Ô èÊ Öãè ç Õ è Ê Í È ?Ê ?Ê Ê

È ?Ê ÅÈ

Ê? Î

Ê

Ê

Ê

Ê



ääà

à èí ãâ ãáä è æãéäçÊ Ûäæ â æÈ ÎÌÍ èçÊ Ê á âç ãâ ââÊ ÑâçèÊ Ê ÏÊÈ Ê ÏÉ

æâãà È ÞÊ Ûéæ à ÅãáÅèæ Åæ âè à à ç æãéä ç Ô â â è ç ç ääà è ãâç àà í æã íâ á åé ç é çä æ ãéæ æ Ä æ âã à Å Í Í ç Ê ÍÈ ÏÍ ÉÏ ÍÊ ?Ê Ê È ÎÌÌÌÊ Ê ?Ê Ê Ê ÈÍ Ê

? ?


? ÍÌ

Ê

?Ê ÊÈ È ÎÌÌ

Ê?Ê

Ê àã æ ãáãàã íÊ Ûäæ â æÈ ÎÌÍ Ê æâ ç ã

é âÈ ÕÊÈ

á âÈ ÕÊÈ Õãæç è ãæí â

êæãâÈ ÒÊ Ê Û áãâÈ Ê Û èéæâÊ Ø íçÊ Ú êÊ Ô èèÊ Ê Ê? È

àáãçè ä æ ã Ð à àÃç åé è ãâ â è ÄÍ ÍÅÈ âãÊ Í È ÍÍ ÉÍÍ Ê Ê È ÎÌÍÏÈ ÍÄ Ì ÅÈ ÏÉ Ê

ÍÍ  ÍÎ ÍÏ Í éâ

âí È Ê Ûéæ à çèæé èéæ é æãéä ç Åãáãæä çá ç åé äæÅç æê âè ãæá çíáäà è åé Ê ãáá âèÊ Õ è Ê Ð àêÊ Ï ÄÍ ÅÈ âãÊ ÎÈ Í ÉÎÎ Ê çèæé èéæ ã à çç à ãáãæä çá æãéäçÊ Óàéë æÈ

âí È Ê Ü ãæ æ èÈ Í

ççÈ ÐÊ Õ àâãæÈ ÒÊ Û ææ È ÒÊÉØÊ Ûãàéè ãâ ã è ãâ æé â çé æãéä äæã à á ãæ SLn Ä 3Å â Sp2n Än 2ÅÊ ÑâçèÊ Ð éè ç Å èé ç Û Ê Øé àÊ Õ è Ê ÖãÊ ÏÏ ÄÍ Å ÉÍÏ Ê Ê?Ê Ê?Ê ? Ê ãÊÈ ÊÄ Ê ÎÉ Å ÊÈ

Í Í Í Øé à ç â Í Í Í ÎÌ

È ÈÍ Ï æ î â Ê Ê Ñâèæã é è ãâ èã çéä æ â àíç çÊ ãæ æ èÈ Í Ê ç æ äè ê ç è è ãæí ã Øãà ç áæ ÈÍ Ê Ê Ê ÊÈ Í Ï

ÊÚ

É à

æÈ ÐÊÈ Ó æ çÈ Ê ÛÊ Ü áæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Ê

æãéä è ãâçÊ

ãé æãàÈ Ø ÊÈ ÒÊ Ô æã ì Øæã é èç ã Ú â ãá Õ èæ ç ë è èã Û æ? â æ ×ä æ èãæçÊ æ ?éç æÈ ãçèãâ Í ã Ê

ääà è ãâç

æ â æÈ Ê Õ â á à ã ç ç ãâ æãéäç ã êãàéá Éäæ ç æê â á äç â â æ à î çãàéè ãâç ã è éà æ åé è ãâçÊ ãááÊ Øéæ ääàÊ Õ è Ê Î ÄÍ ÅÈ âãÊ È ÍÍÉ ÎÊ æ é àà æ È ÊÈ Ú â ãá ë à ç ãâ Ô ÊÊ È È ÏÏ ÄÎÌÎÅ ÄÍ æãéäçÈ ÅÈ Í ÍÉÍ É ääà è ãâçÈ Õãç Ê Õ è Ê Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ

ÎÍ ÎÎ  ÎÏ Î

é çè æ ÞÊ ÕÊÈ nÉê àé ÒÊÈ Í ÄÎÌÌ ÅÈ É

æãéäç è ãæí â æãéäçÊ

á æãâÈ ØÊ ÒÊ Ø æáéè è ãâ áæ ÈÍ Ê

áæ


Î

ââãâÈ ÒÊ ßÊ àãí È ßÊ ÒÊ Ø ææíÈ ßÊ ÚÊ ÄÍ ÅÈ è Ñâèæã é èãæí âãè ç ãâ Ú æ Ü ãáäçãâÃç æãéäçÊ Ôà âç â á âè Õ è Åá è åé Ê Ú êé Ñâè æâ è ãâ à Ê ÑÑ ÛÅæ Î ÄÏÅ ÎÍ ÉÎ Ê æá à È ÊÈ çç â àà È ÊÈ Üã ãÈ ÊÈ Þ æ æ âÈ ÞÊ ÛÊ Ýâ è æí Ú äæ ç âè è ãâç ã Ûéä æ Ô æãéäç â ääà è ãâç èã è à çç è ãâ â Õéàè äà è Ûèæé èéæ ã Ûéä æ Ø æè à çÊ ãááéâÊ Õ è Ê Ø íçÊ Î ÏÈ ÎÍ É Î ÄÎÌÌ Å ÊÈ  Ê ?ÊÈ ÈÍ ÎÊ ÊÈ  Ä ÊÈ  ? ÅÊ ÊÈ ?ÅÊ ÊÉ Ê Ê

Î

Î

Î

Ê

ãæ éâ âéÈ

àáãçè ä æ ã éâ è ãâçÈ ß à í ÄÍ

Î Ô éæ â ÊÈ æ âà Ê ØÊ Ú äæ ç âè è ãâç ã Ö àäãè âè Ô æãéäç â è æ ääà è ãâç Þãàéá ÍÈ Ø æè ÍÈ ç Ü ãæí â ì áäà çÈ áæ Ýâ ê æç èí Øæ çç ÄÎÌÌ ÅÊ ÏÌ ÏÍ ÏÎ ÏÏ Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ì Í ß èèÈ Ê Ûéä æá â ãà çÊ Ê Ê C É Ê íáÈ ÐÊ Ô â æ à Øæãê â È ÚÑÈ ÎÌÍÏ æ â è ãâÊ áæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Í Ê Ê ÊÈ Ê Ê Ê ÈÍ ÈÍ ÎÊ Î Ê ÈÍ Ê

á æ â Õ è á è à Ûã èíÈ ã âè ãæ èçÊ Ô â æ áãè ãâ ã ÑÑÊ â É

ããà íÈ Ê ÐÊ Ú ä È ÒÊ ß à â Õéàè à â æ à æ Ï ÄÍ

æ æÈ ÖÊ ÒÊ Ûéáç ã ÏÅÈ âãÊ ÎÈ ÉÍÌÍÊ

âÈ Ê Ê Õ æç âÈ ÒÊ æãéäç ã ãáãæä çáç â è â ãáäæ çç à é Ê ââÊ ã Õ è Ê ÄÎÅ Î Í ÌÈ ÍÌÎÉÍ ÏÊ ÊÈ ÊÊ ÈÍ ÊÊ

â

à ãéæÈ ÕÊ ÊÈ ãà ç ãÈ ÒÊÉØÊ Û ä ç â ääà Õ è á è ç ÄÛÑ ÕÅÈ Ø à

ãá èæ çÊ Ûã èí ãæ Ñâ éçèæ à àä È Ø È ÎÌÌÍÊ à çç æãéäçÊ Øæ â èãâ æç á â

æ È Ê Õ æ à èÈ Ê äæ á æ ãâ á ää â Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Øæ â èãâÈ ÖÒÈ ÎÌÍÎÊ ÉÜ à á â È ÊÈ Ûè Øæ ççÈ Ö ë ãæ È Í æÈ ÜÊ Ð æáãâ

â àíç ç ãâ èæ çÊ à

æ ää è ÔÊÈ Û ææ âã ÊÈ Ûãæ ØÊ çéä æ à æ çÊ á Øæ çç Ñâ ÊÈ Û â

è ãâ æí ãâ Ô ãÈ ÄÎÌÌÌÅÊ


Î  Ï

Ê Ê

È

Ê ÊÈ  Ê É

Ê ÊÈ É Ê É ÈÍ

É

ÊÊ



Ê

íç Å ÊÈ Û æ ç é ÞÊÈ Ûéæ éâ æãéä æ á æåé à æ à È ãáá âèÊ Õ è Ê Ð àêÊ Î ÄÍ ÅÈ Í ÎÏ Ê Ê Ê Ê Ê  ÈÍ Ê

Åãáãæä çá ç é É



Ð àà æÈ ÛÊ Þ îá âÈ Ê ÖãâÉà â æ æ ççá ââ âç ç ã ã âè ãæ èçÈ è æ ê æç ãâ ç äé à ç Õ è Ê ââÊ ÏÎ ÄÎÌÌ ÅÈ âãÊ È ÍÉ Øæ äæ âè æ ê á è ËÌÏÌ Ì Ð ç áãèãÈ ÚÊÈ ÉÊ Ê? È Í ÍÊ çãà èãâ ãâ êãæè ì à á âèÈ ÒÊ àé É Õ â ç Í ÄÍ ÎÅÈ Ê ÕÊ

Ðãë È ÚÊ Ê Õããæ È Ê Ê çíáäèãè äæãä æè ç ã éâ è æí æ äæ ç âè è ãâçÊ ÒÊ éâ èÊ â àÊ ÏÎ ÄÍ ÅÈ âãÊ ÍÈ ÎÉ Ê Ñ à ç çÉ ááãéæÈ ØÊ ãàã íÊ á æÊ Õ è Ê Ûã ÊÈ Øæãê â È ÚÑÈ ÎÌÍÏÊ

Ì Ñá æè ÕÊ Ûéæ àà çãáãæä çá é æãéä Ú æ Ü ãáäçãâ ê à æãéä ØèãàÅáÅ Ê Ñâ ãá èæ àã ç è ãâçÈ ÎÈ çÊ Û â äç ÔÊÈ Ôã ØÊÈ á æã Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Í Ê Í Ñâ È ÐÊ Ó ää à æÈ ÜÊ Üãä àãêÈ ØÊ ×â è æ éà æ èí ã è ãáäãç è ãâ ã ãáãæä çáçÊ Õ áÊ á æÊ Õ è Ê Ûã Ê ÎÎ ÄÎÌÍÏÅÈ âãÊ ÍÌ ÎÊ Î
G = SU(2)Ê

Ê

Ê

Ê

ÊÈ ÍÌÌÄÍ ÎÅ ÍÄ Å ÄÍ

ÅÈ ÍÍ ÉÍÏÍÊ

C0 (X, G)È

Ï Ñçá àãêÈ ÚÊ ÛÊ Ú äæ ç âè è ãâç ã Øæãê â È ÚÑÈ Í

â â è É á âç ãâ à

æãéäçÊ

ÕÛÈ

Ñê âãêÈ ÖÊ ÞÊ Õ ää â à çç æãéäçÊ â Ð â ãã ã ÎÏ ÏÏÈ Öãæè ÉÐãàà â È áçè æ áÈ ÎÌÌÎÊ Ñë ãæ È ÖÊ ×â è çèæé èéæ ã Ð æâ ã âè à Ê ÒÊ Ê Û Ê Ýâ êÊ Üã íã Û èÊ Ñ ÍÌ Í

ãá èæ èãäãàã íÈ

ê à à í æãéä ãê æ È ÎÍ ÉÎÏ ÄÍ ÅÊ

Ñë ãæ È ÖÊ Õ èçéáãèãÈ ÐÊ ×â çãá æé è ãáäãç è ãâ â è çèæé èéæ ã è Ð æ â ç ã äÉ ê à à í æãéäçÊ ÑâçèÊ Ð éè ç èé ç Û Ê Øé àÊ Õ è Ê ÖãÊ Î Í ÉÊ Ò ë èèÈ ÚÊ ÑÊ Ûä ç ë è â çèæ è ãâêãàéè ãâ ã á çéæ çÊ Õ è Ê Í ÄÍ ÅÈ âãÊ ÍÈ ÍÉÍÌÍÊ ê â ç â


Ó äãé âÈ Ê Þ æ çãæãÉèíä ìè âç ãâç ãæ è Ð á âÉÜ ãáäçãâ â Ö æ è â æãéäçÊ ÙÊ ÒÊ Õ è Ê ÏÈ ÖãÊ ÏÈ Î ÉÏÍ ÄÎÌÌÎÅÊ Ê Ê Ê ÊÈ Ê ÈÍ Ê ÎÊ Ê Ê ÏÉ ÊÈ

Ì Ó ç êÈ ÚÊ Ùé âè î è ãâ ã Ü áéà à æ çä ç â åé âèéá ? Ô èèÊ Õ è Ê Ø íçÊ ÏÄÎÅÈ ÍÌ ÉÍÍ ÄÍ Å Í Ó æ çÈ Ê ÛÊ à çç à

àã æ è áÊ Ê

ç æ äè ê ç è è ãæíÊ Ûäæ â æÈ Ö ë ãæ È Í

Î Ó ç âÈ Ê Ü æãéä â Ð á àèãâ â ç æ äè ãâç ã í æã íâ á à çíçè áçÊ Ñâ Ô èéæ ç ãâ èãäãàã à é á â çÈ ÍÏ ÉÍ È Ô èéæ Öãè ç â Õ è ÊÈ Í ÏÈ Ûäæ â æÈ æà âÈ ÎÌÌ Ê Ï Ê?ÊÈ ? È ÎÌÍ Ê  éì æãéä ç Ê Ê É

Óã âãÈ ÜÊ ÛÅæ Øã â æÅ Óãçîéà ççã Ñâê âèÊ Õ è Ê Î ÄÍ ÅÈ

èæ çç ç äéæ çÊ

Óããæâë â æÈ ÜÊ ÐÊ Ò ã éâ è ãâç â â àíç ç ãâ âãâ ãáä è ç á ç áäà Ô æãéäçÊ â Ûä à éâ è ãâç æãéä è ãæ è à çä èç â ääà è ãâçÈ ÍÉ È Õ è Ê ääàÊÈ Ú àÈ ãæ æ èÈ Í Ê Óæ à ÊÈ Õ ãæ ØÊßÈ Ú â æ Ê Ü ãâê â âè ç èè â ãæ åé ç â àíè â ãí æà á â æ âè à á ää â çÊ ÒÊ éâ è ãâ à â àíç ç Î ÍÈ ÄÎÌÍÍÅ Í ÉÍ Ï Ê Óé ä æÈ ÖÊ ÐÊ Ü ãáãèãäí èíä ã è Üãäãàã í Ï Í Í ÉÏÌ éâ è æí æãéä ã Ð à æè çä Ê

Õ é È ÊÈ Û à áãâÈ Ê Ñâèæã é è ãâ èã çíáäà è èãäãàã íÊ ×ì ãæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Ö ë ãæ È Í Ê Õ æç âÈ ÒÊ ß âçè âÈ Ê ã ã âè ãæ èçÈ êãæè çÈ â à ç ê æ ãæ â ãáäæ çç à é çÊ Ø íçÊ ÄÍ ÏÅÈ âãÊ ÍÉÏÈ ÏÌ ÉÏÎÏÊ àç

Ì Õ ãæ ØÊßÊ Ûãá ãá èæ êãàéè ãâ åé è ãâç æ ç â ç ã ç åé è ãâç ãâ æãéäç ã ãáãæä çáÈ âÊ Øæã æ çç â Öãâ Ô â æ æ âè à åé è ãâç â Ü æ ääà è ãâçÈ ÞãàÊ Ê æ éç æ Þ æà ÎÌÌ Ê Ø ç ÍÏÏÉÎÍ Ê Í Õ ãæÈ ØÊ ßÊ Õéá ãæ È Ê â ãê æê ë ã è Ú á ââ â á èæ ç ãâ çä ç ã éæê ç éç â è Ð á àèãâ â ääæã Ê ääàÊ ãáäéèÊ Ð æáãâÊ â àÊ ÎÏ ÄÎÌÌ ÅÈ âãÊ ÍÈ ÉÍÍÏÊ Î Ê ?Ê  Ê Ê ÊÈ Í Ì ÄÍ ÅÈ Ï É Ê É


Ï

Ê ?Ê Ê Ê ?Ê  Ê ?Ê

Ê ? Ê Ê Ê

Ê Ê

ÊÈ ÊÈ Í

ÄÍ ÄÍ

ÎÅÈ ÍÌ ÎÉÍÌ ÅÈ Ï

É É Ð à æè

Ê



? È ÎÍ ÄÍ

ÅÈ ÍÏ

ÍÍ

Ö æ è âÈ éÊ Ê æãéäç ã æ æ ãáãæä çáç ã èæ ç â æ à è çä çÊ ÒÊ éâ èÊ â àÊ ÎÌÌÈ ÖãÊÎÈ Ì É Ï ÄÎÌÌÏÅÊ

Ö æ è âÈ éÊ Ê éçç æ î â âè æ à ãä æ èãæç â çä âãæç ãê æ çéä æ æãéäç OSp(2p|2q )È â Ô æ â â çéä æÉ æ çá ââ âçÈ Øæ äæ âè æ ê Ì Ì ÊÌ ÌÊ Ö æ è âÈ éÊ Ê Õéàè Éãä æ èãæ ãà à è ãâç â áéàè ê æ è éâ è ãâçÊ â àÊ Õ è Ê Ø íçÊ Í ÄÎÌÍÍÅÈ âãÊ ÎÉÏÈ ÍÎÍÉÍÏ Ê ÊÈ Ê ?Ê É Ê Ê æ Ê æ è æ çè É

Ï ÄÎÌÍÍÅÈ

Ì Ö æ è âÈ éÊ ×â èãäãàã ç ãâ Õ à ê ãáäà è ãâç ã Õ è Ê ÒÊ ÍÎ ÄÎÌÍÎÅÈ âãÊ È ÌÏÉ Î Í Ö æ è âÈ éÊ ×â ãâ âèæ è ãâ ã ãâêãàéè ãâç ã á âç ãâ à à á èÊ æ ê ÍÎÍÍÊ Í Î ÍÌ Ï Í ÌÊ Ê ?Ê  Ê ?Ê Ê Ê ? Ê äÉ

æãéäçÊ Õãç Ê

ãé à ãç èç è â â è É É ÄÎÌÍÏÅÈ È

Ê

ÊÈ

Ê

Ê

ÊÈ ÎÌ

ÄÎÌÍ ÅÈ Í

Ö æ è â éÊ Ê Ü çä L2 ãâ ç á É â â è êÊ Õ è Ê Î Ì ÄÎÌÍ ÅÈ ÏÎÌÉÏ ÌÊ  Ê ?Ê  Ê Ê ? Ê Ê ÊÈ
pÉ

æ ççá ââ â ãê æ â è È ÉÍÏÌÊ

àÊ

Ï ÄÎÌÍ ÅÈ

Ö æ è â éÊ Ê Ñâ â è çíáá èæ æãéäç â ãá â èãæ à ãâçèæé è ãâç ã èãäãàã à à è ãæí èíä Ê æ ê Í ÌÎÊÌÏ ÎÈ èã ää æ â Ê Í Ê Ê È ÍÍ ÍÈ ÏÎ Î 

É

Ê

Ê

ÊÈ




Ê

Ê U(p, )È SO0 (p, )È Sp(p, ) Ê Ê ÊÈ ÍÎ Ï ÄÍ

É ÅÈ ÏÎ

×àç âç íÈ Ê ÑÊ Ýâ è æí æ äæ ç âè è ãâç ã è â â è çíáá èæ æãéä ç á æãéä ääæã Ê Ñâ Ú äæ ç âè è ãâç ã Ô æãéäç â Ô à æç Ä é ä çèÈ Í ÍÅÈ Í ÍÉÍ È Ê Ó ãÈ é ä çèÈ Í Å Ê Ì ÄÍ ÅÈ Í ÉÎÌ Ê Ê Ä ÈÓÅÉ S ()Ê ? È ÈÍ

Í ×àç âç íÈ Ê ÑÊ Ýâ è æí æ äæ ç âè è ãâç ã â â è É á âç ãâ à ä æç (G, K ) â è ãæá à çá ã ÚÊ Ðãë Ê â Ú äæ ç âè è ãâ ã Ô æãéäç â æ à è èãä çÈ Î É ÏÈ ãæ ãâ â æ È Ö ë ãæ È Í ÌÊ Î ×àç âç È Ê ÑÊ ×â ç á æãéäç æ à è èã â â è É á âç ãâ à æãéäçÊ Ñâ Üãä ç â æ äæ ç âè è ãâ è ãæíÊ Ä Ê Ê Ó æ ààãêÈ ÊÅÈ á æÊ Õ è Ê Ûã ÊÈ Øæãê â È ÚÊÑÊÈ Í ÍÈ ÉÍÌÍÊ Ï Ø çèãêÈ ÞÊ Üãäãàã à æãéäç ë æ èã æãá ÄÍ ÅÈ Ûéáá æÈ ÎÍÉ ÌÎ ÄÎÌÌÍÅ æ Üãäãàã í Øæã Ê Î Ú áç íÉ

Ø çèãêÈ ÞÊ íâ á ç ã â â è É á âç ãâ à æãéäçÊ Ü êãæ èî íÉÕ àá â ä âãá âãâÊ ÕÛÈ Øæãê â È ÚÑÈ ÎÌÌ Ê

Ø æ ààÈ Ê Û ä æ à æ äæ ç âè è ãâç ãæ éèãáãæä çá æãéäç ã â â è çíáá èæ çä çÊ ÒÊ éâ èÊ â àÊ Ì ÄÍ ÌÅÈ âãÊ ÍÈ ÍÉÎ Ê Ø æ à Ê Õ í â àíç ç ã â â è É á âç ãâ à áãè ãâ æãéäçÊ Ø Ê ÒÊ Õ è Ê Í ÍÊ ÞÊ Í ÌÈ Ö ÍÊ ØÊ ÍÏ ÉÍ Ê Ê ?Ê ÊÈ ÈÍ Í ?Ê Ê ? æãéä ã çíáäà è Ê ãáãæä çáçÊ

Øãàè æãê È ÔÊ Ü ãá èæí ã è æ éç æÈ ç àÈ ÎÌÌÍÊ

Øãàè æãê È ÔÊÈ Úãç âÈ Ê éâ è ãâ è ãæí ãâ çíáäà è á â ãà çÊ á æ â Õ è á è à Ûã èíÈ Øæãê â È ÚÑÈ ÎÌÍ Ê ÍÌÌ ÊÈ Ê  Êæ à çç Ô à Ê Ê ÈÍ ÌÊ ãæ È

ÍÌÍ Ú éè â é æÈ Í ÏÊ ÍÌÎ Ú ÍÌÏ â çÈ ÔÊ

æ çÊ ×ì ãæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Ö ë æãéäçÊ Ûäæ â æÉÞ æà È

È ØÊ Øæã â è

æà âÈ ÎÌÍÌ

Ê Úãç â àÈ È Ûãà ÛÊÈ éèãá è ãâè âé èí ã ãáãáãæä çáç ì äã âèç ãâ á èæ ãáä è È Ñçæ à ÒÊ Õ è Ê Í Î ÄÎÌÌ ÅÈ Ï ÉÏ ÍÊ


ÍÌÌ ÍÌ Ú? æÈ ÕÊ Øãç è ê ãâêãàéè ãâ çèæé èéæ ãæ à çç ã Ð á âÉ×ä á ãçà íä æ ãá èæ éâ è ãâç ã èíä Ê ÒÊ éâ èÊ â àÊ Î ÄÎÌÍÌÅÈ âãÊ È Î ÉÎ ÌÌ ÍÌ ÍÌ ÊÉ Ê ÊÉ Ê  Ê Ê Ê Ê ÈÍ ÈÍ Î È

ÍÌ Û ææ È ÒÊÉØÊ Üæ çÊ Ûäæ â æ Õãâã æ ä ç â Õ è á è çÊ Ûäæ â æÉÞ æà æà âÈ ÎÌÌÏ ÍÌ Û à È Ê Ô â æ çíáá èæ ç ã æ ÍÌÏ Í Î Í Í Ê ÍÌ ÍÍÌ ÄÍ Ê Ê ?Ê Ê
Gl(n, m)

ãçãâ

à çÊ Üæ âçÊ

á æÊ Õ è Ê Ûã Ê É

ÊÊ ? È ÎÍ ÄÍ

ÅÈ Í

ÎÌ
Q(n)Ê

ÅÈ ÎÎÉ ÏÌ

Ê â

ÊÈ ÍÎÏÄÍ

ÅÏ

ÍÍÍ Û â æÈ ÑÊ ÕÊ Ûè æâ æ È ÛÊ Ü â âè èæ âç è ê æãéäçÊ ÒÊ â àíç Õ è Ê Í Í

æãéäç ã Ô Í ÍÍ Ê

æè âÊ ÑÊ Ü

ÍÍÎ Ûãéæ éÈ ÒÊÉÕÊ æãéä ç Åæ âè àçÊ â æ âè à ãá èæ à á è ã ç â á è á è à ä íç çÈ ääÊ Í ÍÎ È Ô èéæ Öãè ç â Õ è ÊÈ Ï È Ûäæ â æÈ æà âÉÖ ë ãæ È Í ÌÊ ÍÍÏ Üç â ãêÈ ÜÊ éèãá è ãâè âé èí ãæ è Õ è Ê Ûã Ê Í Í ÄÎÌÍÏÅÈ âãÊ ÍÌÈ Ï ÏÉÏ Ì éâ è æí æãéäÊ Øæã Ê éâ è ãâçÊ á æÊ æ Ê

ÍÍ Þ îá âÈ Ê Ñâ é æ âè à ãæáç ãâ á â ãà ç ã Õ è Ê Ä æâãÅ ÄÎÌÍÍÅÈ âãÊ ÏÈ ÎÌÍÉÎÍ

ÍÍ Ýæíçã â ØÊ ÛÊÈ Ûéæ éâ çä á èæ åé éâ ê æç àÈ éààÊ Û Ê Õ è ÊÈ Í ÄÍ Î ÅÈ Í Ï Ê Ê Ê ÊÈ ÈÊÊ È È Ê ÎÈ  È ÊÈ Í ÍÈ ÉÊ ÍÍ ? ÍÍ ? ÑÊ È Ê ?ÊÈ ?Ê ÊÈ È
R

Ê

?Ê ?Ê Ê

Ê ÉÍÌ Ê È Ê Ê Ê ÈÎ

ÈÏ

ÄÎÌÍÍÅÈ ÏÏÉÍÏ Ê

É É

È

ÎÄÏ Å ÄÎÌÌ ÅÈ Ê Ê

ÍÍ ?Ê Ê ? SL(2, R)È ÍÍ ? ÎÏ Ê

ÄÍ ÏÅ ÄÍ

ÏÅÈ Ï ÍÎ Ê Ê

Ê ÊÈ  È Ê Ê

?Ê ?ÊÈ Ê

?Ê ÊÈ É ÏÈ È ÍÈ ?

È

ÊÈ Í

ÌÈ


Ê

ÍÌÍ È æà âÈ ÎÌÍÌÊ

ÍÎÌ

ãéâ çÈ ÔÊ Û ä ç â

ãáãæä çáçÊ Ûäæ â æÉÞ æà

É Ê
È È Ê ÊÍÏÊ È È È Ê Ê É É È ÅÊ
G

Ê



ÊÍÊ
H

Ä
G HÈ (g )v , w Ä È

Ê

G

É É

Ä

Ê Ê Ê ÅÊ

vÈ w H ÊÅ Ê

Å

É GÊ É È É É

Å
Ê

ej É (g )ek , e
Ê
l

HÊ

Ê È

Ä

È Ê ÍÈ ÿÎ È

ÎÅÊ



Ê

ÊÎÊ
ÍÅ

Ä

È È
G

Å Ä
Î

Ê
Å Ê
M G

Ê

É Å L2 (M , Å)

T (g )f (x) = f (xg ).

ÎÅ
Î

È
GÊ

G

Ä

Å

Ê

M
È ÊÊ

Å

É
É Ä Ê

AÈ B M È

Ê Ê ÅÊ

È



g Å(Ag B ) G Ams(M )

Ê

È

Ê


Ê

ÍÌÎ
ÏÌ

g (x) sR


G Ts (g )f (x) = f (xg )g (x)1/
2+is

g L2 (M , Å)

xÊ

É

.

Ê

GÊ
2

Ê È
L2 (G)

È


ÏÅ ?
L

É

È

Ê

É

Lh f (g ) = f (h

-1

g)

È

Ê?
Rh f (g ) = f (g h).

É

Å Å

È GÈ È

È
G ç XÈ c(x, g1 g2 ) = c(xg1 , g2 ) c(x, g1 )

Ê

È c(x, g ) Ä

É É Ä ÊÍÅ

|c(g , x)| = 1Ê


T (g )f (x) = f (xg ) g (x)1/2 c(x, g )

Ä

ÅÊ
(g )Ê Ê G V

ÊÏÊ
G

HÊ

Ê
V H GÉ

È É

0

HÊ ? V


È È

Ê
V Ê H È

È É
H





G (g )(v ) = ((g
-1

)v ),

v H, H .

HÈ HÈ
ÏÌ

Ê È
Rn È



È

Ê
i
Ê

H



È É É
-iÈ

Ê ÊÊÈ


Ê

ÍÌÏ É É É

Ê
ÏÍ

È È

1 È 2 1 (g ) 2 (g ) H1 H2 Ê GÊ 1 È 2 1 (g1 ) 2 (g2 ) 1 È J : H1 H2 È G H H

Ê
G H
1

Ê

Ê? 1 (g ) 2 (g )
G1 G2 Ê

H2 G

H 1 H2 Ê

É É
H1 È H
2

2

È

G1 ç G2 Ê G È

2 (g ) = J 1 (g )J
2

-1

. 1 È
2

1

Ê

Ê È

É
J : H1 H
2

2 (g )J = J 1 (g ).

ÊÊ ÊÍ

Ê
H1 H H1 È
Ê
2

Ê
im J J v = 0Ê

ker J H2 Ê

É

J 1 (g )v = 2 (g )J v = 0,

Ê ÊÈ 1 (g )v w Im J È w = J v Ê
im J

ker J Ê

(g2 )w = (g2 )J v = J 1 (g )v Im J.

Ê Å Å
ÏÍ

È

ÊÎ Ä

È
Ê

1 È GÊ

Å
2

È
È Ê

Ç 1È

Ê


Ê

É ÌÊ É

È


Ê

ÍÌ É J É
P È Ê ÊÈ

È

Ê



Ê

Ê? È

ÈJ
P Ä J Ê ÚÛÍÈ ÿÞÑÑÊÏÅÊ JÈ Ê

J = Ç 1Ê S+S

Ê

P

S


i(S - S )

È Ê
JJ


È È

Ê Ê

È

Å

1

ÅÊ

Ê Ê
J

S

É



Ê?

J J = t Ç 1Ê J

È

J J É J J = s Ç 1È s s t = 0È J = 0Ê


1 È

s = tÈ È
2

s Ç J = J J J = t Ç J .

Ê

Ès

-1/2

Ê É Ê

Ê Ê


1 È 2 È
1 3 3

2

3

Ê Ê? Ê

1

1 2

1 1 1 1 1 Ê G vH
-1





Fv (g )

GÈ



HÊ Fv (g ) = v , (g

HÊ

É
É

) .



GÈ

J J v (g ) = Fv (g )Ê

H

ÊÏ

J : H C (G) J ((h)v )(g ) = J v (g h).
Ê

J ((h)v )(g ) = (h)v , (g v-w È

-1

) = v , (h

-1

)(g

-1

) = v , (g h)-1

|J v (g ) - J w(g )| = v - w, (g

-1

) < ,

Ê


Ê

ÍÌ

? ?

Ê È


È

H L2 (G)Ê HÈ È

È

Ê

J J

É C (G) L2 (G)È H L2 (G)Ê È È É Ê Ê É É
G

Ê ÊÊ
Ä
HÊ

Ê

Ê


G vÈ w H

Å



rv,w (g ) = (g )v , w .

Ê
G

G
2

Ê
L2 (G)

Ê È

É É É

Å Å

1 1

2 Ê 1 v1 , v2 Ç w1 , w2 dim

rv1
G

,w1

(g ) rv2

,w2

(g ) dg =

Ä ÊÎÅ É

Ê

Å
Ê

1 È 2 Ê

S (v1 , w1 , v2 , w2 ) :=
G

1 rv1

,w1

2 (g ) rv2

,w2

(g ) dg . w1 È

Ä ÊÏÅ

?

v2 È rv1
G ,w1

S (v1 , w1 , v2 , w2 ) w2 Ê È (g ) rv2 =
G ,w2

v1 È

(g ) dg =
G

rv1

,w1

(g h) rv2

,w2

(g h) dg =

(g h)v , w Ç (g h)v , w dg = S (1 (h)v1 , w1 , 2 (h)v2 , w2 ).

È
S (v1 , w1 , v2 , w2 ) = S (1 (h)v1 , w1 , 2 (h)v2 , w2 )

ÄÊÅ


Ê

ÍÌ

?

È

È
S (v1 , w1 , v2 , w2 ) = S (v1 , 1 (h )w1 , v2 , 2 (h )w2 )

ÄÊÅ

?

v1 È v2 Ê

Ä Ê Å
AÊ



w1 È w2 Ê v1 , Av2

v1 , Av2 = 1 (h)v1 , A2 (h)v2 = v1 , 1 (h)-1 A2 (h)v2

È 1 ÅÊ 1

A
2

È È

Ê
A=0 A

S = 0È

É

2

A = c(w1 , w2 ) Ç 1, c(w1 , w2 ) c(w1 , w2 ) c(w1 , w2 ) = w2 , B w1 ., B w1

È

w2

Ê

É

Ê

È

Ê?

ÄÊÅ

B

È ÄÊÅ Ê
e1 È

S = Ç v1 , v2 Ç w1 , w2 , ? Ê Ê Ê È eN Ê

Ê
v

Ê
| (g )v , ej |
2

1.

jN

Ê
| (g )v , ej |2 dg = Ç (g )v , (g )v Ç ej , e 1Ê N
-1 j

Ä Ê ÅÈ
= Ç 1 Ç 1,

G

Å

N Ç Ê

È Ê ÊÈ
ej Ê

Ê

| (g )v , ej |2 = 1

È

dim Ç = 1È

ÅÊ
L2 (G)Ê

Ê
G

É


Ê

ÍÌ Ê ÊÍÌÊ

G = U(n)Ê

L

È

L

Ê

È

Ê

É É É

1 (g )v1 , w1 Ç 2 (g )v2 , w2 = (1 (g ) 2 (g )) (v1 v2 ), w1 w2

LÊ U(n)È

È
gg

Ê

È
U(n)

É É

È È

g gÊ C (G)Ê

?
ÏÎ

L2 (G)Ê O(n) Sp(n)È

Ä
g1 = g2 Ê

È
È

j È

Ê

(g1 ) = (g2 )ÅÊ

È Ê ÊÈ

Ê?
e (g )e
() k


() k

()

Ê



,e

() l

L2 (G)Ê

Ê Ê Ê
È È Ê Ê
VÈ

Ê
É É É É

ÊÊ Ê
HÊ ? Ê Ê Ê

V V È È È
Ê

L2 (G)
È

H

È

J : H L2 (G) J : L (G) H Ê ?
2

Ê
g=1 (g )

É É VÈ

ÏÎ

Ê


Ê

ÍÌ

J



HÊ

Ê

J V W1 HÈ

È

È

Ä

ÊÊ È

ÅÈ



É Ê?

É É Ê Ê É É

Ê
R Åk l È

R

Ê È È
R



È

È
Ê

Ê



É
R = Åk È R R R .


È È ÄÊÅ

R=

È

ÊÍÌ
RÊ R
ÊÍÌÊ

É

R=

R =

R

ÄÊÅ
R È

Ê Ê

R Ä

I : R RÈ = 0 R R Ê È

È

Ç I Ç = Ê È =

Ä Ê ÅÊ È

É ÅÊ É

R = Vj È R = Wk È Vj Ê ?

Wj É

È

Ê

È
I

È É É Ê É Ê?
R

R Ê Ê ÊÈR = R Ê

IÈ


Ê

ÍÌ ÄÊÅ É

È
R Ê


ÊÊ

dim R / dim Ê

È

ÊÊ
c e È

Ê
e Ê  c CÊ a e Ç C[]


e eÅ = e Å È a

-1

É É

bÅ eÅ =


b



e .

? Ä
f1 f
2

f1 È f

2

È

Ä?

Å

ÅÊ

GÊ

?

f1 f2 (g ) =
Ê

f1 (g h
G

-1

) f2 (h) dh =
G

f1 (h) f2 (h

-1

g ) dh.

Å È È

È

Å Å Ê
Ê




L1 (G) L1 (G)Ê L1 (G)Ê

Ê

É



j F

Uj G Uj È
1

È

G

F L

j (g ) dg = 1Ê F j F j L2 Ê


F

È
C (G)Ê F L1 (G) (g ) G

É

É É

ÊÊ
HÊ F L1 (g ) (F ) :=
G

Ê

F (g )(g ) dg . QÈ

vÈ w H Qv , w =
G

È

F (g ) (g )v , w dg .

È

Qv , w Ê

È

Ê



v È wÈ

É


Ê

ÍÍÌ

H Qek , el =
G

F (g ) (g )ek , el dg .

F (g ) = F (g Å (F ) = (F )È F (F ) Å È


ÊÍÍ Å (F1 ) (F2 ) = (F1 F2 )Ê
-1

Ê

L1 (G) Ê

Ê

Å
L1 (G)

Ê Ê È
Å v

Å
F

Å(F )v È Ê Å Ê Ó æÈ ÍÌÊÎÈ ÍÈ ÿÎ Ê Ê (h) (h)Å(F )v = Å(Lh F )v Ê Å(Lh F1 )v , Å(Lh F2 )w = Å(F1 )v , Å(F2 )w Ê È ÅÊ

Ê L1 (G)È GÊ

ÊÍÌÊ
L(F )f (g ) =
G

Ê

ÊÊ
F F (g
G -1

L

Ê

É É HÈ É É È É È (h)È Ê É

F (h) f (g h) dh =

q ) f (q ) dq .

È L(F )
L(F ) F
Ê


-1

Ê È
F pG

Ê

É

È F (hg h

) = F (g )Ê

L(F )L(p) = L(p)L(F ).

È F = FÊ


F F (g L(F )

F

È




-1

) = F (g ). L(h)Ê

ÄÊÅ É É

Ê

È

L(F )f = sf È L(F )L(h)f = L(h)L(F )f = s Ç L(h)f .


Ê

ÍÍÍ
Fj Ê

?
L(Fj )

U2 . . . Fj È 1Ä L(Fj ) ÅÊ j ker(Fj ) = 0Ê È

L(h)É È È È
L2 (G)

Ê

Ä Ê ÅÈ

Fj

È È j ker(Fj )Ê U1 É Fj = Uj È É

Ê Ê

È

Ê É
V GÊ

ÊÍÎ

V GÊ
Ê

Ê
f

VÊ

VÊ





Ê g (f ) = f (g )Ê

f (g ) = g (f ) = f , g . e È

È

L(h)g = h

-1

ÊÍÍÊ

Ê

g

? Ê Hom(V )
A, B = tr AB .

V GÊ Hom(V ) V

VÊ ?

È

V Eij GçG (g1 , g2 ) : A g G GÈ
-1 1

È
G Ag2 . VÊ

Hom(V )Ê Hom(V )

Ê

G

ÅÈ
GÈ

È

È
H
()

Ä L2 (G) L2 (G)Ê
L(G)È
()

É É È É É

() Ê

B

()

Hom(H

).


Ê

ÍÍÎ É


B

()

È

L(G) dim() tr B


L2 (G)È
()

(B

()

) < ,

dim() := dim H

()

Ê?

L2 (G) dim() tr B
()


(C
()

B, C =

).

G L1 (G) L(G),


F f () =
()

(f ) =
G h

f (g )

()

(g ) dg .

ÊÍÏ Å

L


()



()

(h)-1 È

F (Lh f )() =

(h)-1 F f (),
()

?

È
F (Rh f )() = F f () (h).

Å
F (f1 f2 ) = F (f1 ) F (f2 ).

È

Å Å Å

f (g ) := f (g F

-1

)Ê

(F (f ))(

)

= (F f

()

)Ê L2 (G) L2 (G)Ê

L2 (G) L2 (G) f (g ) =




d() tr B

()

(g )-1 .

Ä ÊÍÌÅ

Å Å
Ê

F : L1 (G) L(G) Ê G R/2 /Z Ê

Ê È È É É

Ê


È

G = Zn


Ê

ÍÍÏ Ê Ä ÊÍÌÅ Ê

Ê

?
L2 (G)È Ê ÊÈ

? Ä ÊÍÌÅ

Ê

ÊÍÎÊ

FÊ

È

Ê



Ê
(g ) = tr (g ) = (g )ej , ej ,

(g )

É

e

j

Ê
G
()



()

ÊÍ
Å Å Ê

G

Ê É



()



()

=

1 dim

()



()

;

Ä ÊÍÍÅ Ä ÊÍÎÅ
( R
)

()



( )

=0

= Ê R
() -1

 =


È

()

()

Å
(F

R = 0Ê () R = (dim
()

)

RÊ

É

)=

0,
1 dim (
)

, Å

= ; = ; G

Å
(dim
() () -1

)

Å(

()

) ÅÈ

Ê Å


É

()



,
Ê

()

Ê

GÊ



()

,

( )

=



Ê


Ê

ÍÍ

?
1 (h
G -1

g )v1 , w1 Ç 2 (h)v1 , w2 dh =

G

1 (g )v1 , (h)w1 Ç 2 (h)v1 , w2 dh. 1 = 2 = È

È

Ê

Ê

1 È

2

v1 , v2 Ç (h)w1 , w2 .



()

ÅÄ
( )Ê Ê
( )

ÅÊ

( )

È

É

tr

()

(

( )

) = tr
G



( )

(g )

()

(g ) dg =
G

tr F (

( )

(g ) Ç tr

()

(g ) dg =



.

ÅÊ Å ÅÊ

ÅÊ

()

)

Ê Å ÅÊ

É L2 (G)È

ÊÍÏÊ ÊÍ

É
GÈ H GçH Å È

Ê
Ê
ÅÈ VÈ W

G

H

Ê

V

Ê WÊ

Ê Hom(V , W ) V

Ê

É É

Hom(V , W ) V W.

Ä ÊÍÏÅ È w WÊ Í

? È w VW

V




Av = (v )w.

pi V È qj W È qj È Hom(V , W )

Ê
pi qj V W

Ê È È È È
p
i

É È



Ê?

È Ê


Ê

ÍÍ
G Ê

WÊ C
k

Ê
k

VÊ

Ck W È V W Ê HÈ

È

Ê

È
SÊ
Ê

A1

É

È
N

GçH

S=
k =1

(Vk Wk )

Wk



Wk G

ÅÈ

Vk

H HÉ

Ê

HÄ

È

N k =1

(Ak (g ) 1), G ç HÉ È N = 1Ê GÈ

Ak (g ) Hom(Wk ).

Vk Wk

È

Ê
A(g )

É É Ê
L2 (G)

ÊÍ

É

É

G ()

GçG
()

.

Ê

È
Hom(H
G ()

ÊÍÏÊ È
,H
()

É

).

ÊÍ Ê ÊÍ
Å Å
k1 È Ê Ê Ê È kp GÊ

È



Ê

ÊÍÏÊ Ê
GÊ G

G

2 2 k1 + Ç Ç Ç + kp =

G


ÍÍ
Ê

Å?

Å
Ê

ÊÍ Ê È

Ê

ÊÍ Ê

Ê

É È Ê Ó æÈ ÿÍÍÊÍ
É

Ê

Å

É

Ê Ê È È È

Å
A4 A5 Ê S4 È

É

Å

p2 È

Ä p

È

Ê

ÅÈ
p

3

É

ÊÍ Ê

È

()

GÈ H G

()


() K

()

Ê

Ê
É

È

ÊÍ
H
()

ÈK
G

Ê È



()

G dim H
G

H KÊ

L2 (G/K )

() K

Ç

()

.

L (G)È
2

Ê

L2 (G/K ) f (g h) = f (g ).

KÈ

É

Ê
Hom(H
G ()

,H

() K

) KÉ

È



()

Ê



()

Ê ÏÈ

ÍÈ ÿÿÎ ÉÏÌÈ

Ó æÈ ÊÍÈ ÊÎÈ ÍÍÊÍÈ ÍÎÊÍÉÍÎÊÎÈ ÐÚÎÈ ÎÈ ÿÎ È ÎÊ

Ê È

È

Í Î

Ê?Ê ÊÉ Ê

Ê

Ê

ÈÍ È Ê ÈÍ Ì




ÍÍ



ÊÍÊ
È Ê

Ê ?

Ê
È
0 1 2 ...

È

U(n)Ê e

i

1

È ÊÊÊÈ e Ê

i

É
n

É

n < 2 .

Ä ÊÍÅ Ê É Ä ÊÎÅ
j Ê

R

n

g

: U(n) ,

ÊÍ
1 (2 )n e
k k

É Ä ÊÏÅ È gÈ

-e

il 2 k

dk =

2

n(n-1)/2

(2 )n

sin
k
k - l 2
i
1

2

dk .
k

?

È

H H (g ) = h e
2 2 i
1


e ,...,e
i
n

U(n)È Ê Ê È Ê Ê Ê È ein

.

1 H (g ) dg := (2 )n n!
U(n)

...
0 0

he

i

1

,...,e

i

n

e
k
i

k

-e

il 2 k

dk .

e
k >l

i

k

-e

i

l

ÊÎÊ
eÊ

e e = det


i(n-1) i(n-2)
1 1

Ê Ê Ê 1

e e

i(n-1) i(n-2)

2 2

Ê Ê Ê 1

... ... ÊÊ Ê ... Ek
l

e e

i(n-1)

i(n-2)

Ê Ê Ê 1

?
n n

ÄÊÅ

È ÊÊ

È
Tx M Ê

Ê

Ê Ê Ä := (1 , . . . , n )
nÉ kl

.

ÄÊÅ

ÍÈ
M x

É

Fl Cn Ê

n

È Fl

nÉ
n

ÅÈ
U(n)É Tn Ê



È

É É

l := {Ce1 , . . . , Cen },




ÍÍ
Fln U(n)/.

Ê ÊÈ

nÉ hl = Ê Ê ? È È ÏÊ Ê

hÈ h

ÏÊÎÈ Ê
U

ÏÏ

È É

dÊ

È È
1 < 2 < Ç Ç Ç < n < 2 .


È

É É





0

(1 , . . . , n )

Ê Ê



j Ê

d S : Fln ç U .

? U(n)È

È È U(n)Ê
e
i
k

(, )

Ê
Fl
n



k

È È
U(n) U(n)

nÉ h U(n)

È





hg h

-1

Ê

g

È

Fln S (h, ) = h exp(i) h U(n) S
-1 -1

È

.

Fln ç Ê ?

U(n)É

È
Q() d d,

U(n)É

Ê

Q()

Ê Fln ç Ê
ÏÏ Ï
Ê

Ê

U(n)

È

Ê S È Fln ç Ê?








É d dÊ È
È Ï É

È È

ÿÏÊ

U(n) Ä

È

È

Å




ÍÍ
= lÊ ? U(n).

S

Ä (l, ) Fln ç Ä
Tl Fln ç T T

ÅÈ ÅÊ

É

exp(i)

ÄÊÅ

Ê

ÊÎ

ÄX = -X Å
Ê

Ê

Te U(n)

U(n) U(n)

?

X

()

Ê

Ê

1 = () () = (1 + X + O(2 )) (1 + X + O(2 )) = 1 + (X + X ) + O(2 ),

È

È X + X = 0Ê È () = exp(X )Ê

X

È

() () = exp(-X ) exp(X ) = 1.
Ê

n

2



? Ê?

Ê Te U(n) Fln U(n)/È È



Ê

Ê

g È Ê Ê g g - 1 = 0È È

È


Ekl - Elk È i(Ekl + Elk )È iEkk Ê Te U(n)/Te È Ê ÊÈ Rn È

Tl Fl(n)


Rn Ê

Ekl - Elk È i(Ekl + Elk )Ê Ekk Ê Ê ei
-1

É É É

?

È

È Ä Ê ÅÊ ? Ê
,

È g exp(-i)g È

Ê?

(h, ) exp(-i)h exp(i)h

ÄÊÅ

Tl Fln ç T Te U(n).

Ê
1ç1 2 ç 2ÅÊ

Ä

É É




ÍÎÌ Ä
(Tl Fln )C ç (T )C (Te U(n))C . v :=
k =l

ÅÈ

É ÄÊÅ

tkl Ekl (Tl Fln )C

u=

k Ekk (T )C . O(2 )

È

Ä Ê ÅÊ

È

exp(-i)(1 + v ) exp(i)(1 + iu)(1 - v ) =

= 1 + -v + exp(-i)v exp(i) + iu + O(2 )

È
-v + exp(-i)v exp(i) + iu = (e
k =l i(l -k )

- 1)tkl Ekl +

k Ek
k

k

È

Ê

È ÍÈ ÿ ÎÈ ÏÈ ÿ Ê È ÚãçÈ ÿ ÊÏÈ Ðé È ÿÏÊÎÊ
1 (2 )n
2 2

ÄÊÅ ei(

l

- k )

-1

Ê

n

Ê

Ê

É

ÊÏÊ ?

Ä Ê ÅÊ

Ê

É

...
0 0 k
e

i

k

-e

il 2 k

dk .

Ê
k
(e

i

k

-e

i

l

)

ÊÊ

Ê

Á1È

Ä Ê ÅÊ
2 ... z z



È n !Ê

Ê?

É É É Ê É

1

n ... ... ÊÊ Ê ... z z

(z ) := det{z

k +n-k j

z z } := det

1 +n-1 1 2 +n-2 1 n 1

Ê Ê Ê

1 +n-1 2 2 +n-2 2 n 2

Ê Ê Ê

1 +n-1 n 2 +n-2 n

z

z

z

n n

Ê Ê Ê



.




ÍÎÍ È
0 (z ) 0 (z ) =
k
?
(zk - zl ).

È

s (z )


s (z ) = (z ) . 0 (z )
1 ,...n

È
s
1 +1,...,n +1

(z ) = z1 . . . zn Ç s

(z ). z1 ÈÊ Ê Ê È z

ÄÊÅ
z1 ÈÊ Ê Ê È zn Ê
n

ÊÏ
n j Ê z 0
Ê

s (z )

k +n-k 1

- z2 k + (z1 - z2 )Ê ?

n-k

?

È

È
nÉ Tn

È

(z1 - z2 )Ê zk - zl È È Ê

Ê?

É (z ) 0 (z )Ê É

|z 1 | = |z 2 | = Ç Ç Ç = |z n | = 1 . L
2 sy mm

(Tn )


2 i

Tn

f, g =

1 (2 )n n! (Tn )Ê
Ê

T

n

f (z ) g (z ) |0 (z )|

dj ,

zj = e

j

.

Ê
L

2 sy mm

É

s (z ), s (z ) =

(z ) (z ) 0 (z )0 (z ) Ç 0 (z ) 0 (z )

dj = (z ) (z )

dj . (z )


L2 É (z ) z
1 1

Ê

É É

...z

n n

=e

i1

1

...e

in

n

. U(n)Ê



ÊÊ

È




ÍÎÎ ÄÊÅ
L
2 sy mm

?

e

i

È ÊÊÊÈ e
1

i

1

Ê

Tn Ê

(Tn )Ê U(n)

Ê
?



Ê È Ê

È
Ê

È

É

ÊÊ
È
p (z ) :=

ÊÊ
Ê
zi1 zi2 . . . z
i1 <ÇÇÇ
Ê



Ê?
VN



p

È


N

Õ Å

Å



Ê Ê?

z1 ÈÊ Ê Ê È zn Ê

È
z
j

VN Ä ?Ä

É Ê

m (z ) = z

1 1

...z

n n

+

,

1

...

n

0,

j = N

Ä ÊÍÌÅ Ê É


m
N ,0,...,0

=

N zj .

(z1 . . . zn )k p (z ),
VN []

N = k n + p. m È

Ä ÊÍÍÅ

VN []
Ê

Å

È

m Ê c


s (z ) = m (z ) + c Å? s (z )

m (z ),

Ä È
s (z ) VN []

ÅÊ
j = N

VN È




ÍÎÏ
U(n)Ê gg c
i1 <ÇÇÇ
p

nÉ

pÉ

U(n)Ê

É

Ç Ç Ç eip .

Ê


0Ê

È

p (z )Ê
n

É

É

n

p
p=1

(p -p

+1

)

,

Ä ÊÍÎÅ

n+1 := 0Ê (z ) :=
p

p (z )p

-p

+1

.

Ê

È
(z ) = m (z ) +


b



m (z ),

b



Ê Ê
Ê

Ê

s (z )

È



È

N

Ä ÊÍÍÅÈ Ä Ê ÅÊ
, s


É É

(z ) := (z ) -



Ç s (z ) s È ÅÊ (z ) É

Ä
(z ) s (z )Ê
VN [ ] (z )

VN [ ]Ê

(z ) = m (z ) +


a



m (z ).

? s , s



(z ) = s (z )È = 1È È s (z ) È

s (z ) Ê n z1 . . . zp È

Ê
0Ê

(k , . . . , k )È

Ê Ä Ê ÅÊ



(g )

det(g )k È

É

ÊÊ




ÍÎ
Ê

U(n)Ê





È Ê ÍÈ Ê ÑÈ ÏÈ

Ä ÊÍÎÅ

Ê

È È Ê È Õ È ÿÑÊÏÊ

É Ê É É

Ê ÞÑÑÈ ÚãçÈ ÿ Ê È

ÊÊ

Ä ÊÏÅÊ

Ê
e
Ái

É É

k

È

Ê k = 1 È Ê Ê Ê È nÊ
k - l 2

SO(2n, R)

CÇ

sin2
1 k
sin2

k + l 2

. e
Ái
1

ÍÊ

?

SO(2n + 1) k - l 2 k + l 2

È ÊÊÊÈ e

Ái

n

È

CÇ

sin2
1 k
sin2

sin2
1kn

k . 2

È
e CÇ

Ái

1

È ÊÊÊÈ e

Ái

n

È
sin2

Sp(2n) k + l 2 K

sin2
1 k
k - l 2

sin2 k .
1kn

HÊ

Ê
d = dim K.

RÈ C



Hermn (K)

KÊ C (K) Ç

Ê
|k - l |d .

Ä

n KÅ

1 k
?



È ? Ê È

Ê Ê É ÍÈ ÿÍÎÏÈ Ðé È ÏÈ ÍÊ Ê

É

Ê



Ê ÏÈ




ÍÎ

ÊÊ
X

Ê

X Hermn (K) p ç pÊ p1 p2

Ê

[X ]
pp

É
p

...

Ê
[X ] (
p+1)1 p

[X ]

p+1

È
(
p+1)3


... pp

È
( .

É

p1

(

p+1)2

p2 È

p+1)(p+1)


R

Ê

kj È

1

X Hermn (K) [ X ]p Ê É k nÈ 1 j k È

Ê
|(

: Hermn (K) Rn
j -1)

d() =



n(n-1)d/2

n(n-1)/2

(d/2)

Ç

2jn

1 j -1, 1 p j 1 < j

- j p |

d/2-1

2 j n-1

(j - j )d
1jn

-2

ç dj .

ç X e
k

1 p
(nq - np )

1j

Rn Ê [X ]
p

vpj Kp È vpj , e
1

Ä 1 + dÅÊ
> 0.

È

pj Ê Ê

É É pj Ê

u

pj

:=

vpj , e | vpj , e

p+1 p+1

|

K.

K=R

È |upj | = 1Ê Ê ÊÈ
d 1 + dÅ

Ä

u

pj

= Á1Ê



S

d -1

Ê? È

É

: Hermn (K) Rn ç S

d-1 (n-1)(n-2)/2

.

Ê


ÍÎ

Ê



Ê

ÊÊ d()

Ê ÎÊ

Í Î Ï ?

ÊÊ Ê ?Ê Ê É Ê È

Ê Ê

È ÎÌÍÎÊ ÊÈ Í ÄÎÌÌÏÅÈ É Ê

ÈÍ

Ê

ÊÍÊ 

Ê
(2 )- e

R
1/2 -x2 /2

dx

Ä

È
(R , Å) :=

ÍÅÊ
- x 2 /2

É
1 dx ç R, e 2
- x 2 /2

1 R, e 2

dx ç . . .

AR



x = (x1 , x2 , . . . )Ê È

A = A1 ç Ç Ç Ç ç Ak ç R ç R ç . . . Aj Ê f Å(A) É

È

É Ê É


f (x1 , . . . , xk ) dÅ(x) =
R


È f (x) = f (x1 , . . . , xk )Ê
1 (2 )k
-(x2 +ÇÇÇ+x2 )/2 1 k

È

/2 R
k

f (x1 , . . . , xk ) e

dx1 . . . dxk .


ÍÎ

1 2 1 2
R


- -

x2k e ez x e

- x 2 /2

dx = (2n - 1)!! dx = e
z 2 /2

Ä ÊÍÅ
z C;
n j =1

- x 2 /2

,

Ä ÊÎÅ
-

f1 (x1 ) f2 (x2 ) . . . fn (xn ) dÅ(x) =
Ê

1 2

fj (x) e

- x 2 /2

dx.

Ä ÊÏÅ

ÊÎÊ
?

È

?



f1 (x1 )È f2 (x2 )È Ê Ê Ê

Ê

Ê



Ê

È Ê

Ì

2 Ê k > 0È
Ê

ÌÊ
k x2 k

ÊÍ

k < Ê

Ê È Ê

 È
xR
n

ÊÎ

|xk | lim sup = 1. 2 ln k k


A1 È A2 È Ê Ê Ê

?ÅÊ

Ä?
(X, )

ÊÏ

Ê?

È ÊÈ
k =1 (1+) 2 ln k

È

(Aj ) = Ê

Aj È

È

È

É (Aj ) < È

Ê

È ÞÑÊÍÌÊ

ÊÎÊ

È
k =1 (1-) 2 ln k

e

- x 2 /2

dx < ,

e

- x 2 /2

dx = .

ÄÊÅ

J (u) :=

u

e

- x 2 /2

dx = -

u

1 e x

- x 2 /2

d(e

- x 2 /2

)=
u

1 =- e x

- x 2 /2

-

u

1 e x2

- x 2 /2

dx.


ÍÎ È
J (u) = 1 e u
-u2 /2

u

-2

J (u)Ê
-2

È
u Ê

1 + O(u

)

(1Á) 2 ln k

e

- x 2 /2

dx

1 e (1 Á ) 2 ln k

-(1Á)2 (2 ln k)/2

=
-(1Á)
2

=

1 k (1 Á ) 2 ln k

ÄÊÅ

Ê

ÊÏÊ Ê


|aj |2 < Ê

Ê

aj xj

Ê È È È È È
aj É xj

È
Ê L2 |a j | < Ê
2

È Ê

È
xj

Ê

Ê
È Ê
j

j Dj < Ê j z = (z1 , z2 , . . . ) z (x) = exp
2

Ê

É Ê

È ÿÑÞÊÎÊ

È

zj xj .

Ê

È
ex p


zj xj dÅ(x) = exp
1 2

È
z
2 j

È
.

ÄÊÅ

ÊÊ

Ê

Ê


ÍÎ

Ê
Å

b = (b1 , b2 , . . . ) 2 È bj RÊ È (x, b) = exp - bj xj -
1 2

Tb : x x + b b2 . j

ÄÊÅ É
Ê Ê

ÅÊ
É g:XX È

Ä

Ê

X X

È A
(A) =
A

È

(x) d (x).

g

gÊ

È
Ê



È
(x, b)

È

È

È

ÍÊ

A (x, b) dÅ(x) = Å(Tb A) =
A b+A

dÅ(x).

È È
R

È


Ê È
e
- (xj +bj )2 /2

È
Å

Ê



È

É É É

d(xj + bj ) dxj

e

-

x 2 /2 j

. S x R È

Ê Ê?

Ê

È

Ê s s S x :=

Ê
11 21

Ê
s s
12 22

Ê Ê Ê

Ê Ê Ê

. . Ê

. . Ê

. . Ê

x1 s11 x1 + s12 x2 + . . . x2 = s21 x1 + s22 x2 + . . . . Ê Ê Ê Ê Ê Ê
j

É

Ê

É

s

2 j

S

= 1È È È ÊÊ x Sx R

É
R Ê




ÍÏÌ

Ê
R


Å

Å S1 È S

x Sx
2

ÅÊ

Ê

x

(S1 S2 )x = S1 (S2 x).

Ê

Ê ?

É

Ê
Å
1 U

X Ê

X L2 (X )È

É É f (x) =

Ê È

È
U 1 = 1È

È S : X XÈ
U f (x) = f (S x).



Å S : X XÈ

È

È

U f (x) = f (S x) S (x)1/2 . h(x)È È Ê Ê

È

hÈ K

0

h(x) 1-h A

1Ê

Ê

Å
U

K

É É É É

ÅÊ

A

AXÄ A (x) L2

K



U A =

B

Ä

ÈA

B UÈ (B ) =
B 2

ÅÊ ?
=
2

B

= (A).

B = (A)Ê È È (A1 A2 ) = (A1 ) (A2 )È Ê È XÈ È ÊÈ È ã È := U 1Ê X Å
Ê
x



É


Ê ÊÍÊ [0, 1]Ê

X

q (x) =
0

2 (t) dt.


ÍÏÍ

V f (x) = f (q (x)) q (x)1/

2

Å ÊÊ
O()ÅÊ

1

È È O
f in

ÅÊ ()

ÈV

-1

U

Í

ÍÊ

É
SÈ

Ê È

È O()
S


S-1

Ä
O O
f in

O ()

f in

()

Ê

Ê

ÊÍÌ
Ê

f in

() L2 (R ) O()Ê

z L2 (R )


zj xj ), z 2 (C).

ÄÊÅ

z (x) = exp( L2 (R )Ê z ,
u

È
zj uj +
1 2 2 zj + 1 2

= ex p

u

2 j

.

S O() z S ,
uS

= z , u . R(S )

È

z

É

R(S )z = zS .
Ê

Å È
R(S ) SÊ

Ê


Å

Ê
ÊÊ



É

S R(S )f (xt ) = f (S xt )

È



S O()Ê

È Í ÍÊ ? R(S )

É

x (x) = 1 (x1 , x2 , . . . ), 2 (x1 , x2 , . . . ), . . . ,

Ê Ê? È

È

j L2 (R )Ê

É É


ÍÏÎ
x z (x)t = (z S )xt
j



z

z S È

z
jk

2

zj j (x) =
k j

zj s

xk


L (R )È S
2

L2 Ê

Ê È

È
xk z 2 È

É É

zj s
k j

jk

xk =
j

z

j k

sj k xk

È
L2 É 1 (x) =

z (x)t = z (S xt ), s1j xj Ê zÊ z = (1, 0, . . . )È

É

ÊÊ ÊÍÍ

j

Ê
k > -1È 2 < Ê k Å

É

(x1 , x2 , . . . ) (1 + 1 )x1 , (1 + 2 )x2 , . . . ,


k =1 1 exp - 2 (2 + 2k )x2 (1 + k ). k k

ÄÊÅ

Ê


e
-(1+k )2 x2 /2 k

e

- x 2 /2 k

d(1 + k )xk . dxk

ÄÊÅ Ê È

ÄÊÅ
k =1

È
k =1

exp - 1 (2 + 2k )x2 k k 2

(1 + k ). j < È

È

(1 + k ) 2 < Ê j


ÍÏÏ
Ê



Ê

È

È

ÄÊÅ

É

k

1 - 2 (2 + 2k )x2 + ln(1 + k ) . k k

ln(1 + k )È

?

k

k 2 Ê k
k

È

ln(1 + k ) = k - k . k

1 - 2 2 x2 - k (x2 - 1) - k x2 . kk k k


1)

Ê

Ê

Ê È
1 2 kÉ

Ê

k (x2 - 1) k

È (x2 - k É Ê É

ÄÊÅ
e
R -(1+k )2 x2 /2

k Ê

k (x) e
R

- x 2 /2

1 dx = 2 e
R

(1 + k )

e

- x 2 /2

e

- x 2 /2

dx = dx = 1.

1 = 2

-(1+k )2 x2 /2

1 d(1 + k )x = 2 1 dx = 2 k (xk )

e
R

- x 2 /2

?

È
1 2 k (x) e
(1+k )A - x 2 /2 A

AR e
- x 2 /2

dx.

Ä ÊÍÌÅ
L1 (R )Ê

ÊÍÎ
?

n k =1 k =m +1

ÍÊ

Í (xm , xm+1 , . . . )Ê A1 È Ê Ê Ê È Am R

ÊÍÎÊ

? k (xk )

È Ê?

R



k =1

k (xk ) É

Ä ÊÍÌÅÈ

m

Å((1 + 1 )A1 ç Ç Ç Ç ç (1 + m )Am )
m

k (xk ) dxk ==
k =1 - A
1 2 k 2 k

=
A1 çÇÇÇçA
m

k (xk )e
k =1

x

dx1 . . . dxk Ç 1 =
m

=
A1 çÇÇÇçAm çRçRç... k=1

k (xk )

k =m +1

k (xk ) dÅ.


ÍÏ ÊÊ ÊÍÎ Ê
n k =1

ÊÍÏ
ÊÍÏÊ

k (xk )

L2 (R )Ê



Ä?

?ÅÈ L2 (R )Ê ?

É

n

n+m

k =1

k (xk ) -
-
n+m 2

k (xk )
k =1 n

2

=
n+m 2
n+m k =1

= (2 )

k (xk )
R
n+m

2 k=n+1 n

k =1
n 2

k (xk ) - 1
-
n k =1

e

-

x 2 /2 k

n+m

dxk =
k =1

= (2 )- ç (2 )-
m 2

k (xk )2 e
Rn k =1 n+m

x 2 /2 k

n

k =1

dxk ç
n+m

R

m

k=n+1

k (xk )2 - 1

e

-

n+m k =n+1

x 2 /2 k

dxk , Ä ÊÍÍÅ
k=n+1


1 Ik := 2 k (xk )2 e
-x
k 2

Ä ÊÍÌÅÊ
/2

É

dxk

?

Ä ÊÍÍÅ
n k =1 n+m

Ik Ç

k=n+1

Ik - 1 .

Ä ÊÍÎÅ

È Ik
Ik =

È
(1 + k )2 = 1 + O(k )2 1 + 4k + 2 k
n+m k=n+1 Ik

?

n Ê ? È n Ê

È

Ä ÊÍÎÅ Ä ÊÍÍÅ

ÍÊ

É

ÊÊ

Ê
A A = U (1 + T ),

GLO(H )

HÈ

É

U
Ê

È È

T

 Ê

Ê



ÍÏ

V1 (1 + )V2 È

ÊÍ

V1 È V2
Ê

A

È

GLO(2 ) > -1Ê

É

A= É A Ê

GLO(2 )È A = U P È

P

È

U

P 2 = P P = (1 + T )U U (1 + T ) = (1 + T )(1 + T ) = 1 + T + T + T T T + T + T T É T + T + T T = W D W -1 Ê A = V W 1 + D W -1 Ê ?  ÅÊ x AxÈ

Ê P = U 1 + DW Ä
L2 (R ) Ê

-1

È

ÊÍ 
Ê

GLO(2 ) Å A

È A = V1 (1 + )V2

x V2 x (1 + )V2 x V1 (1 + )V2 x.

Ê

È

È
V1 (1 + )(V2 x) = V1 (1 + )V2 x.

xR



É É Ä ÊÍÏÅ

ÊÊ È
L T )È e T
- A x , A x /2 2

Ä ÊÍÏÅ
Ê

È xj L2 (R )Ê

É
A = U (1+

È


- U (1+T )x,U (1+T )x /2


d U (1 + T )x = dx

e

- x /2

2

e d(Ax) = dx

e

- x 2 /2

=e T Ê L1 (R ) Ä (T + T + T T )x, x È

- ( T + T + T T ) x , x /2

| det U (1 + T ) |.

È

È
H

È ÅÊ

Ê

1 + HÈ

È É det(1 + H ) Ä ÊÍ Å

È

É É

| det U (1 + T ) | =

det (1 + T ) (1 + T ) .


ÍÏ È
Ê U (1 + T )È

Ê
T

Ê
2 È

É

Ä ÊÍ ÅÈ

Ê

È

| det(Ç)|È

| det(A)| Ç | det(B )| = | det(AB )|.

ÊÊ
(AB )x = A(B x)Ê (X, ) x gx xX È

Ê
È

È
G È 

È

É È É xÊ

È

ÏÊ

g1 (g2 x) = (g1 g2 )x O() Ê

È

ÊÍ
Ê Å T

Å

O() O2 () 1 + TÈ É Ê



Ê

O2 ()

ÊÍ
Ä ? È Ê ÊÊÅ

È

É
Ams

Ê È
R/2 ZÊ

É
O()Ê

ÊÊ
HÈ xj ej È xj R R È (H, ej ) H ÅÈ Ê

Ê
e
j

È Ê È È



Ê

É (H, ej ) Ä É É É

(H, ej )È (H, e )
j

È
H

Ê ÊÈ

Ê

Ê

HÊ H

É Ê É É


ÍÏ
Ê

È

Å

cn = 1 2



S 1 = R/2 ZÊ

() e
S
1

-in

d kÈ

cn = O(nk )

Å cn e Å

n ÁÊ

È Ê ÊÈ
c
n

È
() =

-in



Ê Ê

È È s RÊ
H s (S 1 ) c2 (1 + n2 )s < . n



H s (S 1 )È



È

s0 s<0 È nÉ L2


H
-n

Ê Ê

È

H nÈ 2 L Ê ? nÉ

nN

È



Ê

Ä
cn sin n.
n>0

L2 [0, ]

Ê Å

ÊÍÈ

c

n

Ê
1/2-

c2 (1 + n2 )- n L2 [0, ]Ê ? H- Ä
1 0 1/2-

È 

W

Ê ? [0, 1]È

È ÅÊ ? È
f (0) = 0.

É É

f (x)2 dx < ,

Ä ÊÍ Å

?
1

f1 , f

2

=
0

f1 (x) f2 (x) dx.

Ä ÊÍ Å


ÍÏ
0.5/2n/ k /2n (k + 1)/2n H 1 [0, 1]Ê WÊ ? W 1 sin(2 nx). 2 n
Ê
2

Ê ?

H

1/2-

Å

Å
x0

Ê W L
f W

W
2

d dx

É Ê

È È f (x0 )Ê È ÿ Ê È
a 2n

È ÍÅÊ
n 0

Ê
È

Ê
[0, 1] -2
a 2n n/2

É ,
a+1 2n

2

n

È

WÊ  e
k -t2 /2



+ , a2n1 Ê 2 L [0, 1]Ê n = 0È ÍÈ ÎÈ ÏÈ Ê Ê Ê Ê Sk (x) W



ÌÄ È ÊÊ
R W


L2 É

Ê É 2n/2 È É

ck Sk (x)È

c

È Ê ÊÈ c = (c1 , c2 , . . . )

ÊÍ

Ê ÊÎÈ Ê C ln k Ê
Ê

É ÊÍ É

?

|c k |

C ln k Ê ck Sk (x)

ÊÍ

Ê

|c k |


2n
+1

Fn (x) =

-1

ck Sk (x)

k=2n


ÍÏ Ä ?
ck Sk (x)È

È

È Sk (x)


-n/2-1

S

k

È

[a 2

-n

nÅÊ , (a + 1)2

-n

]

É Ê

max |Fn (x)| = 2

2n k 2n

max+

1

Èc
n

k

Fn (x)
Ê

Ê È
x1 x2 [0, 1] |x1 - x2 |
1/2

2 ln k Ê C1 È C2 È

-1

|c k |.

È È

?

W |f (x1 ) - f (x2 )|

C1 + C2 ln |x1 - x2 | .



Ê

È

[0, 1]È 

ÊÍÌÊ Ê
G

G = Diff [0, 1] L2 [0, 1]

Ê

C É





É


T0 (q )f (x) = f (q (x)) q (x)1/2 ,

q GÊ

 L [0, 1] GÈ
2

Ê

L

2

È
W f

Ê Ê
T1 (q )f (x) = f (q (x)) q (x)-
1/2

. GLO(W )Ê

Ä ÊÍ Å É Ê È
T1 (q ) T1 (q ) - 1 L1/2+ ÅÊ
2W 1 f1 0

ÊÎÌ
Ê

T1 (q ) T1 (q ) A

?
GLO(H )

A A - 1

AÅÊ


Ê

Ä

?

Ä

È

È
2W

È

J (f1 , f2 ) := (T1 (q ) T1 (q ) - 1)f1 , f
1

= T1 (q )f1 , T1 (q )f
1/2

=
0

f1 (q (x)) q (x)-

1/2



- f1 , f

2W

=

Ç f2 (q (x)) q (x)-

dx -

(x) f2 (x) dx.


ÍÌ
1 0

Ê
1 0

É

f1 (q (x)) f2 (q (x))q (x) dx =

f1 (y ) f2 (y ) dy .

y = q (x), r(y )
1

x = r(y ),



Ê

Ê

É
1 q (x) dx+ 2 q (x)2

J (f1 , f2 ) =
0

f1 (q (x)) f2 (q (x)) + f1 (q (x))f2 (q (x)) q (x) Ç - 1

+
0

f1 (q (x))f2 (q (x)) Ç

1 q (x)2 dx. 4 q (x)3

È
J (f1 , f2 ) = S q (x) S q (x) = f1 (1)f2 (1)q (1) 1 + 2q (1)2 2
1 0

f1 (q (x)) f2 (q (x))S q (x) q (x)-1 dx, Ä ÊÍ Å

È
q (x) 3q (x)2 - 2. q (x) q (x) y = q (x)Ê È S ( ) = (S ) Ç ( )2 + S .

?

Ê
J (f1 , f2 ) = -

= q È = rÊ Ê Ê r(q (x)) = xÈ Ä ÊÍ Å 1 r(1) f1 (1)f2 (1) - 2r (1)2 2
1

f1 (y ) f2 (y ) S r(y ) dy .
0

ÍÊ

È

È


1





H (f1 , f2 ) :=
0

f1 (y ) f2 (y ) dy

WÈ S r(y ) WÈ

1 / n2 Ê




J (f1 , f2 )

É Ê


ÍÍ
Ê

f (0) = f (0) = 0
1

Y

[0, 1]È

É

f1 , f

2

=
0

f1 (x) f2 (x) dx.



Ï

YÊ
5/2

È

É

T2 (q )f (x) = f (q (x)) q (x)- GLO(Y )Ê
Ê

nÉ

Ä ÊÍ ÅÈ [0, 1]



Ê H [0, 1] Rn È Ä ÊÍ ÅÊ O(n)Ê È
A(g )f (x) = g (x)f (x)

gÉ

É É

Ê ?

GLO(H )Ê Ê ÊÍ È ÊÎ Ê



Ê
e dxÊ È 1È xÈ x2 È Ê Ê Ê Ê
- x 2 /2

ÊÍÍÊ

Ê

È

L

2


Hk (x)È
2

Hk (x)




.

È

É

k =0

zk 2xz - z Hk (x) = exp k!
k

È

H

È
H
k 2

È

= k!

È

k := (k1 , k2 , . . . ) kj = 0 Hk (x) :=
j =1

Ê
Hkj (xj )

Ä
L2 (R )È

È Ê Ê H0 (x) = 1ÅÊ

ÊÎÍ
H
k

Hk (x)
2

É
kj !
È É

= k! :=

Ï

Ê

È


ÍÎ
n Hk Ê z = (z1 , z2 , . . . ) z (x) = e
2xz t -z z
t

È

L (R )Ê
2

Ê L2 (Rn , e

- x 2 /2

)È

Ê
z
2 j

2 Ê = ex p 2 xj zj - .

Ä ÊÍ Å


z (x) =
k

zk Hk . k!

Ä ÊÎÌÅ Ê

È
z ,

È
=e
z ut

u L 2 (R



)

.

Ä ÊÎÍÅ
C

ÊÍÎÊ 
È

1 -| | e



2

d d Ê È

Ê
C Ê R

É ÅÊ È C R ç RÈ Ê É

C





k = (k1 , k2 , . . . )

È
k :=



Ä

C



j j .

k

L (R )È
2

ÊÎÎ

z

k

Ä
= kj !

Å

É


Ê

k2

k,

l

=
j

1

C

j j j e

k

l

j

-|j |

2

dj d

j

Ä
1 k e
C l -| |
2

ÅÊ
d d = 1
0 0 2

r

k+l+1 i(k-l) -r

e

e

2

d dr,

Ê
F È ÊÊ
k

L2 (C )È ck k , k! |ck |2 < .

É Ä ÊÎÎÅ

F ( ) =


ÍÏ Ä Ê Ö æÎÈ ÿ ÊÍÅ Cn Ê È Cn È
|f ( )|2 e Fn È

C



F

n

É

-| |

2

C

n

d d < .





F

z


= ex p j z
j

z ( ) = e

=
k

zk k . k!

Ä ÊÎÏÅ

È
z ,
u

= euz . FÈ

ÊÎÏ

u 2 Ê
k



Ä ÊÎÎÅÈ

Ê ÊÈ

ck u = uÊ  F (u) = F,

k

È
u L 2 (C


)

. F , u È


F,
u

Ê

kÈ uk k!
k

É

=

ck k ,
k

=
k

c

k

uk k k , , = k!

ck u k .
k


Ê

ÅÊ
2 Ê

Ä

Ê

É

È


È





F 2 Ê F ÅÊ È



È

Ê Ö æÍÈ ÿÞÑÊÍÊ Ä È



É É É

Ê
2



Ê

C

È

È





2

C Ê

F ( )

L2 (R ) Ä ÊÎÏÅÊ

ÊÍÏÊ



z È


F


É

z 2 Ê

Ê

È z È

Ê Ä ÊÍ ÅÈ


Í

ÊÎ

Å



Å
S : L2 (R ) F ,

Ä

É

È Å Å
S z = S S C C Ê È Ê Ê C R2 È Ê
z

z. H
k

kÊ O()Ê

É
O(2)È

O()

Ê

z È z ,
u

z

Ê

=e

uz

= z , u . SÈ

ÅÊ
S Hk = k .

Ê È

Ä ÊÍ ÅÈ Ä ÊÎÏÅÈ

S z = z Ê

SÈ F (z ) = F,
zF





F

f L2 (R )Ê ?



= f,

z L 2 (R



)

Ê ÊÈ
F (z ) =
R



f (x) exp 2xz - z
2

dÅ(x).

É È Ê Ö æÎÈ
F

Ä Ê Ê

È

É Å Ê É
L2 (R )Ê

ÊÍ Ê
nÊ

È
F


Fk =

È
k F .

k =0

Ä ÊÎ Å
k?
k F Ê É

?

È

È
Sk
2

2 Ä


Í

k 2

ÅÊ
L2 (R )È

È 
O()É
k =0

É
L2 (R ) F Ê

É

L2 (R ) Wk Pk L2 (R ) mj j xj

Wk , Hl (x) lj = k Ê Wk Ê

kÊ

Ê
Pk
Ê

È

È

É
Pk

È O()É
-2

È

ÊÎ
?

Ê È

12 (x + Ç Ç Ç + x2 ) 1. N N1 L2 É H2 (x) = 2(x - 1)Ê
2

È

Ê?
N

12 1 (x1 + Ç Ç Ç + x2 ) - 1 = N N 2N L2 É (2N )-2 N H2 2 Ê P2 P0 Ê m q (x) = j =1 xj j Ê q (x) Ç q (x) 1 N
m +N m +1

H2 (xk ).
k =1

È

É Ê

x2 - 1 . j

È
P0 P2 P4 . . . ,

Ê
P1 P3 P5 . . . ,



Ê
Pk Ê



Äf (x) = f (-x)ÅÈ
Wk

É

ÊÎ
Pk
-2


Í
Ê

2 mÊ
m j =0

?

W2j Pm Ê
p j =0

Ä

Ä

Å È

Å

È
2p 2 mÊ 2m

È
P2m Ê

k= É

È W2j P2m Ê

m j =0

É

W2j = P2m .

Ê

ÊÍ Ê

ÅÈ Ê

Ê
G

ÊÊ

È È Å
GÉ G

M M È Ì

É É ÍÊ
M L2 (M )Ê L2 (M )

É É É

ÊÎ Ä Ê
È
G G

HÊ H

É

HÊ

? Ê

È

G=Z A

AÊ

É É É
1

È
VÈ H È

Ê W
H

V

È WÊ
R GÉ


VÊ ? p x2 + Ç Ç Ç + x2 1 p GÉ G

= HÊ H
k

Ê

Ê

ÊÎ
G

1 È

2

V1 È V2 Ê

Ê
V1 V2 È È V2 Ê
Ê

È
V1 V2 Ê Ä ÊÍÏÅÊ

V1

1 V2

2

É G É É É É É Ê

TÊ

TT



ker(T T - ) ÅÊ

Ä

Ê

Ê


Í

ÊÎ

1 È

2

V1 È V2 Ê

È V1 È V2 Ê

G 1 2

É É É

V1 V2 Ê W W (V1 V2 ) W


Ê

W W WÊ

È

Ê

É G W Ê Ä ÊÍÏÅ É É

È Ê

È (V1 W ) V2 Ê È Ê?

(V2 W ) V1 Ê H HÈ È

È É

Í  Î ?Ê ?Ê  È Ï

?Ê Ê  È ?Ê Ê È ÎÌÌ È ÌÎ Ê

ÈÍ È

È

Ê È É éçç â

Ê à çâ æÈ Ê Üç æ àçãâÈ Ê ß ççÈ Ü éèãáãæä çá æãéä ã è á çéæ ââãè è äã âèë ç È Ñçæ à ÒÊ Õ è Ê Í ÄÎÌÌ Å ÏÌ ÉÏÎ Ê

Ö æ è â éÊ Ê Ûãá æ á æ ç ãâ åé ç É âê æ âè è ãâç ã àããä æãéäç â è æãéä ã ãáãæä çáç ã è æ à Ê ãááÊ Õ è Ê Ø íçÊ Í ÄÍ ÅÈ âãÊ ÏÈ ÎÊ Ê ÊÈ Ê Ê ÈÍ Ê Ê È ÈÍ

?Ê Ê ?

ÊÍÊ
MÄ AM k (A) È =
M

Ê

É (M ) È (k (A)) =

ÅÊ

M

É ÅÊ É Ê Ä ÊÍÅ

È

Ê
A
Å(A)


k

Å(A)k e- k!

.


Í È È (A) Ê Í È È Ê
k =0

(k (A)) = 1È È Ä ÊÍÅ È M

Ê? È

È


È ÍÊ
M k

A

É É

Ê

A1 È Ê Ê Ê È An M
j

È

kj (Aj ) kj (Aj ) .
j

Ê

kj (Aj ) =

Ê M M = M1 M2 Ê M 1 = M 1 È 2 = M 2 Ê
Ê

È È
M

(M ) (M1 ) ç (M2 ).

ÊÎÊ

Ê
(M ) = k (M )
-Å(M )

Ê
k =0

É

k (M ).



kÉ

Mk = M ç Ç Ç Ç ç MÈ k! Å ç Ç Ç Ç ç Å. (x1 , . . . , xk ) k M k k (M ) È

Ê

e

MÊ k (M )È

È
Ê

È k (M )Ê
=
M

É

(M )Ê

Ê

È
M

Ê
M

...È Mj Ê ? Mj Ê

MÊ

È

j +1

É É M1 M2 M3 (Mj +1 ) (Mj )È É É

Mj
+1

È

É
) - . . .

. . . - (M

j -1

) - (Mj ) - (M

j +1


Í Ê È Ä ÊÍÅ
A

Mj È
Ê

Ä ÊÍÅ
A MÊ

Ê

ÊÏÊ

Ê
h L1 (M )Ê h ( ) =
xj

ÊÍ

(1 + h(xj ))

Ê Ê (M )
h ( ) dM ( ) = exp
(M ) M

h(x) dÅ(x) . M

Ê

ÍÅ
k

Ê

É

(1 + h(xj )) d ( ) =
k (M ) xj

e

-Å(M )

k!
k

(1 + h(xk ))
M
k

dÅ(xk ) =
k

j =1

=

e

-Å(M )

k!

(1 + h(x)) dÅ(x)
M

=

e

-Å(M )

k!

Å(M ) +
M

h(x) dÅ(x)

kÈ =e
k k (M ) -Å(M )

exp Å(M ) +
M

h(x) dÅ(x) .

ÎÅ

h(x) M1 M2 . . .

0Ê ?



È
(1 + h(xj ))

MÊ

É

p ( ) =
xj Mp

p ( ) dM ( ) = exp
(M ) Mp

h(x) dÅ(x) .

Ê ÏÅ
p ( )Ê -1 h(x) < 0È

È È È

É É


ÍÌ Å?
h(x) < -1, - ( ) =
xj M-

M -1 h(x) < 0, h(x) 0.

ÈM

--

È M- È M+ È

(1 + h(xj )),

+ ( ) =
xj M+

(1 + h(xj ))
--

È

h

È

M

--

Ê

( ) d ( ) =
(M ) --

=
(M-- )



( ) d ( ) Ç
(M- )

- ( ) d ( ) Ç
(M+ )

+ ( ) d ( ),

Ê
Ê

Å

h1 È h

? M


h d
M M

2

h
M1 h
1

M1 È M2 Ê
M1

Ê M =M

1

M2 Ê

=

d

Ç


M2

h

2

d

M2

.



Å Å Ä Å?
Ê

M M

È È

h h

È

Ê ÅÊ Ê É

Ê ?

h(xj ) d ( ),
(M ) xj (M )

h(xi )h(xj )h(xk ) d ( ) xi , xj , xk

(M )

xj

h2 (xj ) Ç

h3 (xj ) d ( ).
xj



ÊÊ
Å

Gms(M )È gÈ

Ê
Ê?

M MÈ

GÈ

É É

(g (x) - 1) L1 (M ).


ÍÍ
Ê

È

G

Ê
j

È

(g ) =
M

(g (x) - 1) dÅ(x) = lim (Å(g Mj ) - Å(Mj )), RÊ g GÊ Sg ( ) = e
Ê
- (g ) xj

M

j

G

È

É
(M )

ÊÎ

È
g (xj ).

Sg : g

È A1 È Ê Ê Ê È Am
Å(g Aj )e- kj !
Å(gAj )

É k1 È Ê Ê Ê È km

j

kj (Aj )

kj

Sg ( ) d ( ) =
j

=
j

kj (g Aj ) .


k1 (A1 ) ç Ç Ç Ç ç
km

(Am ) ç (M \ Aj ) ,

g (xi )
i:xi A
j

jÈ
i:xi A\Mj

g (xi )

e

- (g )

e
j

-Å(Aj )

kj

kj !

g (x) dÅ(x)
A
j

ç =

g (xi ) d
(M \Aj ) i:xi ( M \Aj )

M \A

j

ç

çe ç ex p

- (g )

e
j

-Å(Aj )

Å(g Aj )kj ç kj ! (g (x) - 1) dÅ(x) ,

M \A

j

(g (x) - 1) dÅ(x) ç exp -

M

È

È

h

Ê È
h f =

ÊÊ

Ê
h +f +h f


.

É


ÍÎ
h Ê ( ) = exp - h L1 (M ) L2 (M )Ê
M



É

h(x) dÅ(x) Ç h ( ).

È
h ,
Ê
f

= ex p
M

h(x)f (x) dÅ(x) . h
h

Ä ÊÎÅ É È É É É

È

È L2 (M ) L2 ((M ))Ê L2 ((M )) L2 (M )

Ä ÊÍ Å L2 È
G

Ä ÊÎÏÅÈ Ê

Ê
L2 (M )
Ê



T (g )f (x) = f (g (x))g (x)1/2 + g (x)1/2 - 1

Ä
L
2

È
L2 (M )Ê

ÅÊ È G L2 (M )Ê

Í Î Í Ï ? Ì

Ê Ê ?Ê
L
2

Ê Ê

Ê Ê

È ÎÌÌ Ê ÊÈ Í ÍÍ ÄÍ É ÅÈ

?Ê ÊÈ 



Ê ÊÈ  È ÏÌ ÄÍ Å ÄÍ

ÊÊ ÅÈ ÏÉ Ì

ÍÌ

?
Ê
Sn S
n-1

ÍÌÊÍÊ
n

È

Ê
n n-1

S : Sn S .

n


Ê

n-1

n = 8Ê 34 41 56 63 78 58

È
12 73 34 61 5 8 67 25 8 4

12 37


ÍÌ

?

ÍÏ
12 37 34 41 56 63

?

Ê
7 5 12 73 34 61 S7 Ê ? È 12 73 34 61 5 4 5 67 25 5 67 25 i = j 4

?

È

Ê

È

Å Å Ê

i È j < nÈ i = n i < nÈ Ê È

Ê Sn Ê i = j Ê i = nÊ Sn-1
S

n

É


ÍÌÊÍ
S
n-1

Ê

n

É

È
Ê


Sn È 1 È 2 S
n-1

Ê

Ê


Ê

- - (1 2 1 ) = 1 ( )2 1 .

ÍÌÊÎÊ
n

Ê

Ê

Ê

Ê

É

Ê
(17584)(236).

É É

?
(134)(2756)(8)

(134)(2756)

(1754)(236)

È
t>0

Ê
{ } Å
n t

È Ê È

É É

S

n

t { } . t(t + 1) . . . (t + n - 1)

ÍÌÊÎ


Å

n t

ÅÊ
n t

Ê

Å

n+1 t


ÍÌ

?

Í
Ê

nÊ

Sn Ê (n + 1)Ê (n + 1) nÈ { } = { } (n + 1) = n + 1È { } = { } + 1Ê È



ÊÊ

t Ç t { } t { } n Ç t { } + = , t(t + 1) . . . (t + n) t(t + 1) . . . (t + n) t(t + 1) . . . (t + n - 1)

ÍÌÊÏÊ ?
n

Ê

Ê
Ç Ç Ç - Sn - S
n+1

SÊ

Å

n+1 t

Ån Ê t

- . . .



S SS S
n

Åt È

È

È
n Å
t

Ån Ê t

Ê
m Sm , S

É
n = n-1 Ê

È

É É

Ä Ê
Sk Ê Sm Ê

Ê S

SÅÊ

É É



È

?

Ê S Ê m k ( ) = ( )È Ê
m Sm È m Sm Ê

È

S

É É
SÈ É
-1

Ê È

m

k + 1Ê

È

È

Ê? m = m-1 Ê ( m ) = m
m = kÊ

ÍÌÊ Ê ÍÌÊÏ

Ê Ê
S = (i1 j1 ) . . . (ik jk ), j1 < j2 < Ç Ç Ç < jk i
m n

Ê

É

ÄÍÌÊÍÅ
mÊ

< jm


ÍÌ

?

Í
Ê

= Ç (n) Ç (n)Ê S
n-1

Ê ?

Sn Ê Ç (n) Sn-1 È Ê



-1

n = < nÈ Sn- ÄÍÌÊÍÅÈ
1

-1

n = nÈ :S
n

É

È?

É ÅÊ É Ê Ê

Ä

(n)

ÍÌÊ Ê


SÄ

Ê
È È

ÅÊ Ê Ê È? È
W



Ê



È
W ??

È

È ?
Ê

È

?Ê ?È Ê? È

È

É É È

?

W

?È È

Ê É É É



S

n

È
N Ni È

Ê

{ 1 , . . . , n}

Ä
n

Å

Sn Ê ? { 1 , 2 , . . . , n} Sn Ê

Ê
> nÊ

É É

È
Ê

Å

È

Sn Ê S




É Ê È Ê


Å Ê

?

? Ê

Ê È

Ê Ê

m Sm m È
1 t+m t t+m

É É m m+1

È È
Ê

m + 1Ê

È

Í

Í

Ê É


ÍÌ

?

Í
Q/Z Ä È xÈ y È z



xÈ z N

i

yÈ

È

ÅÊ É É É É

?
Sn È

È Ê

Ê È Ê
t > 0Ê

ÍÌÊ Ê ?

Ê

?Ê

É É É
i

x1 È x2 È Ê Ê Ê Ê ? ÍÊ ÅÊ ? È

?ÅÊ 

Ä

x>0 ÊÿÅ

ÍÊ Ä? te-x /xÊ È xj /

xi È

ÄÊÊ Ê Ä Ê Í N Ê

È Ê Å

É É É

ÍÌÊ
Ê ÏÊ

SÊ S ç S Ê Ê

ÍÌÊ Ê
Ê



Ä
sÉ Sn Ê n j n

È Ê Ê È

È
sÊ

È È ÅÊ
n

Ê

É É È É

S È

È

È Ê
jÊ j

É
jÊ

?

Ê


Í
S
Ê

Ê Ê Å È
an (s)Ê c( , s) = an ( s) - an (s),
Ê



S

É È

Å

È Ê Ê
s s s SÊ



È
nÊ

È

c( , s) Z Sn .

s s

t

c( ,s)

È

Ê È

È



É
S


Ê

çS



S

É

ÍÌÊ Ê 

S


È Ê Ê ÊÍÌÊ

Ê
Ê

S

É Ê ÊÊ È É

? Í

L2 (S)Ê

Í Ó æãêÈ ÛÊ ×àç âç È Ê Þ æç È Ê Ð æáãâ çíáá èæ æãéäÊ Ñâê âèÊ Õ è Ê Í ÄÎÌÌ ÅÈ âãÊ ÏÈ Î Ê ?ÊÈ È ÎÎÏ ÄÍ Ï Ê Ê ?Ê Ê Ê âç È èæ á è è ÊÈ Í Ê ?Ê ÅÈ Í ÎÉÍ Ì È ÎÎÏ ÄÍ ÅÈ Í Í ÍÊ

â àíç ç ãâ è ÍÉ ÎÊ Ê Ê

â âè

Ê

Ê Ê

×àç çíáá áè âÕ

Ê â âèæã é è ãâ èã æáãâ â àíç ç ãâ è â âè æãéäÊ çíáäèãè ãá â èãæ ç ë è ääà è ãâç èã à ä íç ç ÄÛèÊ Ø è æç éæ È ÎÌÌÍÅÈ ÍÎ ÉÍ ÌÈ Ô èéæ Öãè ç Í È Ûäæ â æÈ æà âÈ ÎÌÌÏÊ æ è æç ã è çíáá èæ æãéäÊ êÊ Õ è Ê ÎÍÎ

Ûèæ ãêÈ Ê â æ àî ÄÎÌÌ ÅÈ âãÊ ÍÈ ÍÌ ÉÍ ÎÊ


ÍÍ

?

Í

ÍÍ

?
nÈ
n+m n

ÍÍÊÍÊ

U(n + m)Ê n + mÊ

Ê
U(n + m) = - (1 + )-1 .
n+m n

É É

ÄÍÍÊÍÅ

ÍÍÊÍ Å
Å Å Å =
q r p q

g U(n + m)È h1 È h2 U(n)È U(n)Ê
p r n+m n

g U(n)Ê

(h1 g h2 ) = h1

n+m n

(g )h2 .
n+m n

U(n + m)

Ê

Å
q -x = p , x

p È q Cn È

x Cm Ê

q = p + x; -x = p + x. xÈ x = -(1 + )-1 pÊ

È È È
q q
2

É

q = - (1 + )-1 )p p
2

xÈ

qÊ

È
2

= p 2È

+ -x

=p

2

+x

2

Å Ê


Ê? ÅÊ

È
d

- (1 + )-1 Ê È

É Ê É

ÍÍÊÎÊ

Ê
1-g = 1 + 2(1 + g )-1 . 1+g nçn rÊ

r = C (g ) =

ÿÈ [ r ]n

Ê


ÍÍ

?

Í

ÍÍÊÎ

g U(n + m) [C (g )]n = C (
n+m n

(g )).

È

Ê
a c b d

Ê

È
= 1 bd- 0 1
1

É É
a - bd-1 c 0 0 d 1 d-1 c 0 1

Ä
-1

È
a c b c =

È
(a - bd-1 c)- 0
1

ÅÊ
-bd- 1
1

1 0 -d-1 c 1

0 d
-1

1 0 =

=
1

(a - bd-1 c)- ...

... . ...

?
- 1 0 0 +2 1 1 0 0 + 1
-1

g=

a c

b È c
1

=

-1 + 2(1 + - (1 + )-1 )- ... Ê C

... , ...



Ê
en È
Ï
k

ÍÍÊÏÊ
È

C

n

È
i

k

Ê

É È É

ÍÊ
- 1) x, v , x yÊ

S [v , ei ]x = x + (e
Ê

v , v = 1È 0 < < 2 Ê

xÈ y

È

Ê


en È S 2n-1 È

È È
v Ck Ê en Ê g g = S1 S2 . . . Sn , U(n) Sj L j .
Ê È ? ?
C
1

L

k



ÍÍÊÏ

É

Ï

Ê


ÍÍ

?

ÍÌ
Ê

g en = en È È Å


g en = y Ê ? Sn È g U(n - 1)Ê

e

n

ÊÊ

y

en = y Ê  g := g S

-1 n

Ê

Ä
2n-1

U(n) S 1 ç S 3 ç Ç Ç Ç ç S

.

È



Ê

U(n)

É

ÍÍÊ
g = S1 S2 . . . S
n

g



n n-1

(g )

0

0 . -1

Ä

Ê

?

È SO(n + m)
Ê

È É (g ) = a + b(1 - d)-1Ê ?
SO(n)ÅÊ È 0 - 1 = 1. -1

É


rk g

-1



n n-1

(g )

0

Í


È
- (1 + )-1 0 = 0 -1

È
(1 + )-1
1

-

=

1+
1

= (1 + )

1+

(1 + )- 0

0 (1 + )-

È

ÍÊ

É

È

É

ÍÍÊ Ê

Ê
. . . - U(n - 1) - U(n) - U(n + 1) - . . . ,

ÄÍÍÊÎÅ
U

È Å

È È

Ê È

U() U() ç U()Ê

Ê


ÍÍ

?

ÍÍ È È (g1 , g2 )È -1 È È
diag U() g1 g
-1 2

Å Å
g1 g

Ê

É É É

-1 2

È

Ê



Ê

Å Å? Ê Ê

U() ç U()

È Ê?

Ê ÊÊÊ É É



È

j =1

S

2j -1

È

Ê É

È ÄÍÍÊÎÅÈ È

È

È

. . . - AHermn - AHermn+1 - . . . , nÉ

È Ê Ê

(1 + T T )-n dT Ä

Ê ÿ ÅÊ ÊÈ

È

È
U(n)È

È Ê É É
-1

ÍÍÊ Ê

Ê
-1 Å

É
,

n,Å (g ) = det(1 + g ) det(1 + g È Å

) := lim det (1 + tg ) Ç det (1 + tg
t1-0

)

È Ä

Ê Å ,

Ê

Å = È

Å

È Re( + Å) > -1Ê ? È È È Ê (g ) dn (g )È dn (g ) Ê

É
(1 + tg )

É

ÍÍÊ

Å

n,Å (g ) dn (g ) (n)( + Å + n) n-1 Ç dn-1 . ( + n)(Å + n) ,Å



n n-1

È

È
det(1 + g ) det(1 + g

È
n -1 Å

) dn (g ) =
k =1

U(n)

(k )( + Å + k ) . ( + k )(Å + k )


ÍÍ

?

ÍÎ

U(n) U(n - 1) ç DÈ

ÍÍÊ

D

|z |
n n-1

1 ).

CÊ

É

g (
-1

g, g

nn

dn-1 (g ) Ç

(n - 1)(1 - |z |2 )n-2 dz dz .

ÄÍÍÊÏÅ
U(n - 1)È Ê

Ê

?É

È

È


S
2n-1

dn-1 (g ) Ç h(z ) dz dz .

È



g

nn

Ê

h(z )Ê

È
).

U(n)
nn

g ge

nn

= (g1n , . . . , g

È

È
S
2n-1

È
Cn Ê



Ê

É Ê

Ê

È

Ê U(n) U(n - 1) ç D U(n)Ê È det(1 + g ) ÄÊÅ



É

det

10 + 01



=
n n-1

= (1 + ) det(1 + - (1 + )-1 ) = (1 + ) det 1 + det(1 + g ) det(1 + g
Å -1 Å

(g ) .

) dn (g )

ÄÍÍÊÏÅ

det 1 + h) det 1 + h dn-1 (h)ç ç
-1

(n - 1)(1 + z ) (1 + z )Å (1 - |z |2 )n-2 dz dz . U(n - 1) ç D

È È

-1

Ê

(n - 1)

| z | <1

(1 + z ) (1 + z )Å (1 - |z |2 )n-2 dz dz ,


ÍÏ Ê Ê
L
2

Ê ? ÍÌ È ÅÊ

ÄÍÍÊÎÅ U() ç U() È È Ä Ê È
L
2

É

Í

ãæã âÈ Ê ×àç âç È Ê Ð æáãâ â àíç ç ãâ è â â è É á âç ãâ à éâ è æí æãéä â è æá â âè à äã âè äæã çç çÊ ââÊ ã Õ è Ê ÄÎÅ Í Í ÄÎÌÌ ÅÈ âãÊ ÏÈ ÍÏÍ ÉÍ ÎÎ

Î Ö æ è âÈ éÊ Ê Ðé Éèíä âè æ àç ãê æ éâ è æí æãéäç â ãê æ äæã è ê à á èç ã éâ è æí æãéäçÊ é Õ è Ê ÒÊ ÍÍ ÄÎÌÌÎÅÈ âãÊ ÎÈ ÎÏ ÉÎ Ê Ï ×àç âç È Ê Ü äæã à á ã æáãâ â àíç ç ãâ è â â è É á âç ãâ à éâ è æí æãéäÊ ÒÊ éâ èÊ â àÊ ÎÌ ÄÎÌÌÏÅÈ âãÊ ÎÈ ÉÎÊ Ê ?Ê ?Ê  Ê Ê Ê È Ï Ì ÄÎÌÍÍÅÈ ÎÏ ÉÎ æ ççá ââ á â ãà çÊ ÒÊ

Ø æ àà Ê Õ çéæ ç ãâ â â è É á âç ãâ à éâ èÊ â àÊ Í Ê ÞÊ ÌÈ Ö ÎÊ ØÊ ÏÎÏÉÏ Ê Ê Ö æÎÈ ÿÿÎÊÍÌÈ ÏÊ

ÍÎ

ÍÎÊÍÊ


È

Ê

È

È È Ê
(N , ) Å Ê [a , b ] ÄÊ

È ã È ÿ Ê ÅÊ È ÅÈ É

È (M , Å)È (N , ) Ä È ÅÊ M ç NÈ È ÍÅ ÎÅ

Ê

(M , Å)

M çN M M çN N


ÍÎ

Í
Ê

Å

Ê (m, (m))Ê Ä

:M N È : M M çNÈ Å ÅÊ





Å m

Å? Å Å



Ê

È
Åç

N MÈ



ÅÈ

s(m, n)



Ê
M ç NÈ s(m, n) d (n) = 1.

É

s(m, n) dÅ(m) = 1,
M M

s(m, n) d (m, n)

MÊ Ê Ê

Ê È

Ê É
T : L (M , Å) É
2

Å
L2 (N , )

Pol(M , N ) N È

ÍÎÊÎÊ

Ê

È

ÍÅ T ÎÅ T





Ê

ÈT



ÍÎÊÍ
Ê



Ê A
AÄ ÅÊ

É É É



Ê

È :M NÊ L2 (M , Å) ç L2 (N , )
B (f , g ) =
M çN

IA

f (m)g (n) d (m, n).


|B (f , g )| =
M

È
1/2 N

M

|f (m)|2 d (m, n)
1/2 N

|g (n)|2 d (m, n)
1/2

1/2

= Çg
L 2 (N )

|f (m)|2 dÅ(m)

|g (n)|2 d (n)

=f

L 2 (M )

ÄÍÎÊÍÅ


ÍÎ

Í ÅÊ

Ä

T : L2 (M ) L2 (N )

1È

È

B (f , g ) = T f , g

L 2 (N )

È
0È

T fÈ g C

È
B (1, g ) =
M çN

Ê

B (f , g ) È

Ê 0Ê

Tf B (f , IC ) <

g (n) d (m, n) =
N

g (n) d (n) = 1, g

L 2 (N )

,

T

Ê

Í ÍÊ

L 2 (N )

M çN ,



Ê

T

É

(A ç B ) = T IA , IB

A È B N .

Ê

Ê Ê È
-

È


M N

É É

M = lim Mj ,

N = lim Nj .
-

Ä
Mi Nj È

È
2

j

[0, 1]È ÅÊ
-

2 T

j



ij :

:= lim ij . T ( )Ê

È È
sÈ T ( )f (n) =
M



È

Pol(M , N )È

s(m, n)f (m) dÅ(m).

ÍÎÊÎ
Ê

ÍÊ

ÍÎÊÏÊ


Ê

È j A MÈ B N



Ê

È

ÄÍÎÊÍÅÊ j È Pol(M , N )

É

j (A ç B ) (A ç B ).

ÄÍÎÊÎÅ


ÍÎ

Í

È

ÍÎÊÏ
T (j )
Ê

T ( )

Ê

j



ÄÍÎÊÎÅ

Tj (j ) IA , IB Tj ( ) IA , IB , T (j ) T ( )Ê

ÍÎÊ
Ê

Ê È
T
j

M N

Ê Ê ÊÊ T
j

È
T
j

1È

Ê
Ê

Ê
Pol(M , N )Ê M Pol(M , M )Ê

= É

Å È

È



É

Å Ams(M )



ÍÎÊ Ê
:M N M çn M çN (V ) =



Ê
Ï



{n} È V W

Ê


N

{n}

V (M ç a) d (n) h h(m, n) d
N M {n}


h(m, n) d (m, n) =
M çN

(m) d (n).

h(m, n) = f (m)g (n) T ( )f (n) =
M

f (m) d

{n}

(m)

?

È

ÍÎÊ Ê

: (M , Å)

nN



Ê

Ê

{n} È

MÊ

É É É

(N , ),

: (N , )

(K, ).

T ( ) = T ( )T ( )
Ï





Ê


ÍÎ

Í Ê É É È É É É


Ä Å
Ê

1

Å

Ê : M NÈ : N K ÊÍÎÊÍÅÊ È

È



È = Ê Pol(M , N )È Pol(N , K ) s(m, n)È t(n, k )Ê
s(m, n) t(m, k ) d (n).
N

u(m, k ) =



È

N

È
(n)

Ê Ê

Ê? É É

Pol(M , N )È Pol(N , K )Ê È

( )(k) (m) =

(m) d

(k )

(n).

ÍÎÊ Ê

Ê

É

(M , Å)

Ê
Ê
G Ams(M )

È Å

G



Ê È

Ä
Pol(M , M )ÅÊ Z RÈ

É Ê É Pol(M , M ) É Ä

ÍÎÊ Ê
È Å ÿÊ

Ê

Ä
O() O()

È ÏÅ
R


Ê

Ê

É

ÍÎÊ

Å
B R


çR



È


1 2 1 Tt
È

2 T BÈ
Ï



1Ê

ex p -
Ï

T 1



t t

.
Ê

ÄÍÎÊÏÅ
Ê


ÍÎ

Í
Ê

? Ê ÊÍ È
O()


L2 (R ) 2 Ê 2 Uj Sk Uj O() jÊ
f in

É

L2 (R )Ê BÊ BÊ j = 0 O()

É É

TÈ Sk T Ê R
f in

(1 , 2 , . . . )È

j R [Å ; , ]



R ç R Ê R [ ; , ] =

f in

çR


È


d (x, y ) = T [ ]e
i x
t



e
R


i( xt + y t )

,e

i y

t

L 2 (R



)

.

çR

?

È

È
e
R


UÊ



Ê


U È



É É
U :R


R È dÅ(x) =

É

[U ; , ] =
çR


i( x+ y )

dU (x, y ) =
R


e

i( xt + U xt )

1 1 = exp - ( + U )( + U )t = exp - ( t + t - U t - U t = 2 2 1 1U t = ex p - . ÄÍÎÊ Å t U 1 t 2

ÄÍÎÊ Å

ÄÍÎÊÏÅÊ

Uj

TÈ

È

ÍÎÊ Ê Ê
R
ç

Ê? Ê

È Ê
t (N , )

É
É

(M , Å)È (N , ) È Rç É ç RÈ È M ÍÊ

(M , Å) Å

Rç Ê Ê M çN ç

ÎÊ

tÇ

M

Ê


ÍÎ

Í
Ê



È

M=N

[0, 1]

Ê
m (m, q (m), q (m)).

ÅÈ q Ê q (m) É M M ç M ç Rç È R
ç

Ê

Å



Ê




(m, n) u
m, n

M çN (A ç B ç C ) =

M ç N ç Rç È du
A B C m, n

Rç Ê (t) d (n) dÅ(m).

È A MÈ B N
Å(A) =
A N R
ç

du t Ç du

m, n

(t) d (n) dÅ(m); (t) dÅ(m) d (n).

(B ) =
B M R
ç

m, n



Rç É

Ê

Ê

Ê È ?

?È ?
É É

?

ÈR É
ç

Ê È
Rç É

Ê



È

R

ç

Ê Ê A MÈ B M A ç B ç Rç [ A ç B ]Ê Rç É j A MÈ B M
t Ç j [A ç B ] t Ç [A ç B ].

É
Rç Ê

j [A ç B ] [A ç B ],



u

È Ê È vn,k Ê Ê
M NÈ N
m, n


K Rç É

É É É

m, n

w(m, k ) =
N

u Rç Ê

vn,k d (n),




ÍÌ

ÍÎÊ

È
G

Ê È Ê? È È Ê

É É É



Í

à çâ æÈ Ê æ ã è ãæí ê Øæãê â È ÚÑÈ ÎÌÌÏÊ æ ã Ü ãæ áçÈ æ Õæã

ã â â çÊ

á æ â Õ è á è à Ûã èíÈ

Î Óæ â à ÝÊ Ï Ö àçãâÈ Ê Ü

æéíè æÈ Í à Ê ÒÊ éâ èÊ â àÊ ÍÎ ÄÍ ÏÅÈ ÎÍÉ ÎÎ Ê

éÊ Ê Ö æ è â Ûäæ â á äç Ääãàíáãæä çáçÅÈ çíáá èæ ç ã Øã ççãâ äæã çç çÈ â á è â çéáá è ãâÊ Ê Ê Ê È Î Î ÄÎÌÌÎÅÈ ÎÉ ÍÊ è ãâçÊ

Ö æ è âÈ éÊ Ê Ûíáá èæ ç ã éçç â á çéæ ç â ãä æ èãæ ãà à ÒÊ éâ èÊ â àÊ Î Ï ÄÎÌÍÎÅÈ âãÊ ÏÈ Î ÌÎ ? Ä Í Ê ?Ê ?Ê ?ÊÈ È ?Ê ÈÎ É Í Ê Ê Ê ÊÈ ÎÌ È È È È ÄÎÌÍÏÅÈ Ï ÍÍ Ê Ê ÊÈ Í Ï Ï ÄÍ Ê Ê

É ÎÅÈ ÍÏÏ Í Ì È ÎÈ

Å

Ê
Ê È
(M , Å) Ê [0, 1]
Ï



È

É È É Ê
Ï

ÊÍÊ
Ä


ÅÊ
É

Ê
È

È
?

È

ÄÅ(M ) = 1ÅÈ Ê Ð àÈ ÿ ÍÈ
Ê

Ä
È ?

Ê

ãÈ

(M , Å) ÊÏÊ ÅÈ



É


ÍÍ È
Z2

1/2Ê Ê

È Í Ï ÉÍ ÎÊ ÊÅ

È



È
Z 2

Z 2

Z2 [0, 1] [0, 1]Ê

É É

Ê ÊÈ Å
[0, 1]N Å

a = (a1 , a2 , . . . ) 0 , a1 a2 . . . Ê

È Z 2 Ê [0, 1] Ê

Z ç Z Z È 2 2 2 [0, 1]2 È Z2 p



[0, 1]

ÊÎÊ
Ê È È È Ê ÍÈ Ð àÈ ã È ÿ Ê È ÍÊ Å

Z 2

È È

pÈ 1 - pÊ Ê

È


Ê

Ä?

?ÅÈ

É É É É É É È

É

È

Ä

È

Ê ÚÛÍÈ
É

ã ÅÊ ? Ê

È
É

Ê

Ê

ÊÏÊ ?

(M , Å)Ê


È
Bj M Bn È B
[0] j

Ê
xÈ y M Bj È 1 B j=
[j ] j

Ê É É

Ê

Ê
Bj È

Ê

M

(mod, 0)

Bj È

Bj = (1 , 2 , . . . ) È M Ê È

[1]

M Bj È

É

È

MÈ Bj = Bj M Ê

È Ê

M \M



(mod0)

ÊÊÊ

ÊÊ

Ê

Ä
j : Xj X . . . - Xk - X - --

k

Å
j -1
k +1

Ê
- X --

k +2

È

È É ÍÈ Ê X1 È X2 È

k +1

k +2

- ... -- X



k +3


ÍÎ
j : X Xj È

xÈ y

È
X

j j = j jÈ

-1

È Ê

x2 X2 È Ê Ê Ê È

X1 ç X2 ç X3 . . . Ê È È j xj = xj -

X
1

jÉ

jÊ

xj Ê

j (x) = j (y )Ê É É x1 X1 È j

È

j

ÊÊ
Å ÅÈ
- j 1 (A) M

: X Xj : X X È



Ê

È

È
j

Ê

Ê

j = j Ê

È

X



È

(Mj , Åj ) j : Mj Mj j Mj Ê
- Å(j 1

-1

Å M j

j -1

Ê

È
Åj Ê

È M

É É

È

Å j (A)) = Å(A)Ê È
j -1

É È É
Ì

Aj M É

É
Ê
j : L2 (M j -1

MÈ j : Mj M ) L2 (Mj )Ê

j

Ê

Ê É É

. . . - - L2 (Mj ) - L2 (M - -



j -1

j +1

) - - L2 (M -



j +1

j +2

) -- ... - L2 (M)Ê (M , Å)È (N , ) È É n NÈ É È Å É



j +2

È

ÊÊ
Å Ê



È:M N M È

Ê
n

È

Ê
M
Ì
n

È Mn Ê ?
AM
Ê? ã È ÿ Ê ÅÈ
Mj Mi Ê Åj Å

M

Ä Ån È A Mn M

n


jÉ

Ä È

ÊÈ

É È

Åj Mj M1 ç Ç Ç Ç ç Mj È

M1 ç Ç Ç Ç ç Mj (j - 1)Éã Ê Mk É j 1 := i+1 Ç Ç Ç j È M1 ç Ç Ç Ç ç Mj



x (j 1 (x), j 2 (x), . . . , x). Åj Ê


ÍÏ
Å n Å(A) =
A

n

Ån (A Mn ) d (n). Ån É



È
M
n



M

f (m) dÅ(m) =
M N Mn

f (m) dÅn (m) d (n).

Ê



h : [0, 1] R

È

Ê

Ê

Ê ÍÈ

ã È ÿ Ê È ÿÍÌÊ Ê ÈÊ

Í

ÿÊ

Í ÄÍ

?Ê ?Ê ÅÈ ÍÌ Í ÌÊ

Ê

Ê

ÊÈ Î Ä

ÅÍ