Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/programs/ka_2012_w_3_1.pdf Дата изменения: Wed Jan 2 09:36:38 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:45:43 2016 Кодировка: Windows-1251

Программа курса "Комплексный анализ", часть I, 3 курс, 1 поток, 5 семестр, 2012-2013 учебный год. Лектор профессор П.В. Парамонов.
1. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма. Возведение в степень и извлечение корней. 2. Топология в C и C. Связность и линейная связность. Компоненты связности открытых множеств в C. 3. Предел последовательности и функции. Непрерывность. Определение и свойства функции ez . Показательная форма комплексного числа. 4. Пути и кривые в C. Теорема Жордана (б/д). Односвязные области в C. Ограниченная область с границей, принадлежащей односвязной области. 5. Приращение (полярного) аргумента вдоль пути. Индекс пути относительно точки и его свойства. Индекс замкнутого жорданова пути. 6. R и Cдифференцируемость. Условия КошиРимана. 7. Производная сложной и обратной функции. Производная по направлению. 8. Конформные отображения. Геометрический смысл комплексной производной. Голоморфные функции. 9. Группа дробнолинейных отображений (ДЛО). Конформность ДЛО. 10. Геометрические свойства ДЛО: круговое свойство, сохранение симметрии, свойство трех точек. 11. Дробнолинейные автоморфизмы круга, полуплоскости, C и C. 12. Степенная и показательная функции. Функция Жуковского. Их основные (максимальные) области конформности. 13. Многозначные функции, их непрерывные и голоморфные ветви. Корень степени n и логарифм. Их основные ветви и области конформности. Общая степенная и показательная функция. 14. Тригонометрические и гиперболические функции. Образы полосы {|Re(z)| < /2} под действием функций sin(z) и tg(z). Обратные тригонометрические функции. Функции arcsin(z) и arctg(z). 15. Спрямляемые пути и кривые. Интеграл по комплексному переменному вдоль пути. Теорема существования интеграла от непрерывной функции вдоль спрямляемого пути. 16. Вычисление интеграла по комплексному переменному вдоль непрерывно-дифференцируемого пути. 17. Кривые. Интеграл по комплексному переменному вдоль кривой. Корректность его определения и основные свойства. 18. Лемма Гурса (теорема Коши для треугольников). 19. Теорема Коши для односвязной области. 20. Комплексная первообразная. Теорема существования первообразной в односвязной области. Формула НьютонаЛейбница. 21. Интегральная теорема Коши для допустимых областей (б/д). Доказательство для простых областей. Обсуждение примеров.


22. Интегральная формула Коши для допустимой области. 23. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Основная теорема алгебры. 24. Формула Коши для производных. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций. Теорема Морера. 25. Равномерная сходимость внутри области. Теорема Вейерштрасса. 26. Теорема Коши о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора. 27. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. 28. Степенные ряды. Теорема Абеля. Формула КошиАдамара. 29. Почленная дифференцируемость разложения в степенной ряд. и интегрируемость степенных рядов. Единственность

30. Табличные разложения в ряд Маклорена. Пространства A(D) и Ap (D). 31. Теорема о нулях голоморфных функций. Теорема единственности. 32. Особые точки на границе круга сходимости степенного ряда. 33. Обобщенные степенные ряды. Кольцо сходимости. Единственность разложения в обобщенный степенной ряд. 34. Теорема Лорана. 35. Изолированные особые точки голоморфных классификация в терминах рядов Лорана. 36. Теорема Сохоцкого. 37. Лемма Шварца. Дробнолинейность конформных изоморфизмов круговых областей. 38. Вычеты и их вычисление. 39. Теоремы Коши о вычетах и о полной сумме вычетов. 40. Некоторые типы определенных интегралов, вычисляемых с помощью вычетов. функций (однозначного характера). Их

Лектор: д.ф.-м.н., профессор Заведующий кафедрой теории функций и функционального анализа академик РАН

П.В. Парамонов

/Б. С. Кашин/