Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/unc/study/A5_1.doc Дата изменения: Fri Mar 14 17:39:54 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:56:43 2016 Кодировка: Windows-1251

В В Е Д Е Н И Е
Данная ?асть лекций является в некоторой степени подведением итогов
многолетней работы сотрудников кафедры " Газовой и волновой динамики "
механико-математи?еского факультета МГУ по динамике нити. Основы динамики
нити заложены в работах первого заведующего кафедрой Академика Уз.ССР,
профессора Х.А. Рахматулина [1-3] в сороковых годах. Именно в этих работах
полу?ены основные уравнения движения нити, описывающие распространение
возмущений, характеристики и условия на них [2]. Рассмотрена ставшая
класси?еской зада?а о попере?ном ударе по гибкой нити.
Дальнейшее развитие вопросов динамики нити проводилось у?ениками
Х.А.Рахматулина [4,6,7,8 ] и многими другими. Здесь следует прежде всего
отметить зна?ительный вклад в теорию волн в нити А.Л.Павленко [6,7]. В этих
работах полу?ены условия на сильных разрывах и вопросы их существования в
нити. Исследовано решение для разли?ных видов зависимости натяжения от
деформации. Из зарубежных авторов следует упомянуть работы [5,9] по
распространению слабых возмущений в нити.
Автор не претендует на полный обзор всех результатов по динамике
нити, ?то просто невозможно сделать в рамках данной работы. Основная цель -
систематизировать теорию и приложения динамики нити, сделав их более
доступными для студентов и специалистов. При этом мы пользуемся опытом
накопленным при ?тении специальных курсов кафедры, посвященных разли?ным
аспектам статики и динамики нити.
Основные уравнения движения нити.
1.Математи?еская модель нити.Уравнения движения.
Под идеальной нитью будем понимать механи?еский объект, характерной
особенностью которого является преобладание одного характерного линейного
размера над другими. При?ем, в отли?ие от балки, для идеальной нити будем
с?итать изгибную и крутильную жесткости пренебрежимо малыми.
Доминирующее преобладание одного характерного линейного размера (
длины нити ) над другими с кинемати?еской то?ки зрения позволяет
отождествлять нить в каждый момент времени с математи?еской кривой
составленной из материальных то?ек. Материальные то?ки нити отли?аются друг
от друга длиной дуги кривой при выбранных на?але и направлении отс?ета
дуги. Для нерастяжимой нити длина дуги неизменна. Для растяжимой нити
необходимо вводить в рассмотрение длину дуги в недеформированном состоянии
и текущую длину дуги нити в растянутом (деформированном ) состоянии. Длина
дуги в недеформированном состоянии является естественной лагранжевой
координатой данной то?ки нити.На рис.1 показано положение нити в два
разли?ных момента времени. При этом: то?ка А - на?ало отс?ета дуги; то?ка
М - произвольная то?ка нити; r - радиус вектор то?ки М; S - длина дуги АМ
в нерастянутом состоянии; s - длина дуги АМ в текущем состоянии; [pic]-
система координат наблюдателя с на?алом в то?ке О.
Поскольку введенная лагранжева координата S однозна?но определяет
материальную то?ку нити, кинематика нити задана полностью, если известен
закон ее движения
[pic] (S,t)
(1.1)
Скорость V и ускорение [pic]то?ек нити вы?исляются с использованием закона
(1.1)
[pic] ,
(1.2)
[pic] .
(1.3)



Z (1)

[pic] (2)

r(S,[pic])

[pic]



r(S,t)

О
у




\

х [pic] A




Рис.1 Положение нити (1),(2) соответственно в моменты времени [pic];
[pic]- положение то?ек нити в момент времени [pic]; А,М - положение тех же
то?ек в момент времени t; S - длина дуги АМ в недеформирован-ном состоянии
(лагранжева координата то?ки М); [pic] - соответственно длины дуг [pic] и
АМ в текущие моменты времени.

Поскольку введенная лагранжева координата S однозна?но определяет
материальную то?ку нити, кинематика нити задана полностью, если известен
закон ее движения
[pic]
(1.1)
Скорость [pic]и ускорение [pic]то?ек нити вы?исляются с использованием
закона (1.1)
[pic] ,
(1.2)
[pic] .
(1.3)

Относительное удлинение (деформация) в нити ( определяется текущей (s и
на?альной (S длиной элемента нити
([pic] .
(1.4)
В силу закона (1.1) и однозна?ного соответствия между длиной дуги и
материальными то?ками нити, зависимость s = s(S,t) существует, поэтому
выражение (1.4) для деформации вполне определено.
Отметим, ?то едини?ный вектор касательной к нити ( определяется
как отношение приращеняи радиуса вектора r к его текущей длине, т.е.
[pic] .


В силу этого, справедливо соотношение
[pic][pic].
(1.5)
Если рассматривать в ка?естве искомых вели?ин вектор скорости V, деформацию
( и едини?ный вектор касательной к нити ( , они, в силу равенства смешанных
производных [pic] и соотношениям (1.2),(1.5), удовлетворяют векторному
уравнению
[pic] .
(1.6)
Уравнения (1.6) отражают в себе кинематику движения нити, поэтому
называются кинемати?ескими. Они справедливы в том слу?ае, когда радиус-
вектор то?ек нити [pic]является дважды непрерывно-дифференцируемой функцией
своих независимых переменных.
Введем в рассмотрение линейную плотность нити, как массу единицы
длины. Поскольку длину нити можно рассматривать в недеформированном
"на?альном" состоянии и в текущем растянутом состоянии, линейная плотность
нити также может быть измерена в на?альном и текущем состоянии:
[pic]
(1.7)

В силу закона сохранения массы эти плотности связаны зависимостью [pic],
которая с у?етом (1.4) принимает вид [pic]
Поскольку полу?енное равенство должно выполняться для произвольных [pic],
отсюда следует уравнение,связывающее на?альную [pic] и текущую [pic]
плотности нити
[pic].
(1.8)
Обсудим внешние силы, действующие на выделенный элемент нити
произвольной длины ( Рис.2). Это силы натяжения, действующие на концах
выделенного элемента нити, массовые силы и силы сопротивления движению нити
со стороны внешней по отношению к ней среды.
Пусть: [pic] - вектор силы натяжения нити; [pic]- плотность
массовых сил (сила, действующая на единицу массы нити); [pic]-плотность
поверхностных сил сопротивления движению нити (сила, приходящаяся на
единицу текущей длины нити).




[pic] Рис.2
Силы, действующие на

выделенный элемент нити .


[pic] - координаты границ

элемента нити, dm - элемент

массы, ds=(1+()dS - элемент
[pic]
текущей длины.
[pic]ds




[pic]dm


Запишем закон сохранения коли?ества движения для выделенного элемента
нити
[pic]
Предположим, ?то все, входящие в полу?енное соотношение вели?ины, являются
непрерывно-дифференцируемыми функциями независимых переменных S,t.
Тогда, с у?етом закона сохранения массы,полу?аем
[pic],
откуда в силу непрерывности функций и произвольности длины элемента следует
дифференциальное уравнение движения нити
[pic] .
(1.9)
К полу?енным уравнениям движения нити (1.6),(1.9) следует добавить
предположение модели идеальной нити о равенстве нулю изгибной жесткости,
которое сводится к тому, ?то натяжение направлено вдоль вектора,
касательного к нити. Таким образом
[pic],
(1.10)
где Т - скалярная вели?ина ( натяжение нити).
В результате проведенных рассуждений мы полу?или следующую систему
уравнений, описывающих движение идеальной нити:

[pic];
[pic];
(1.11)
[pic] ;
[pic] .
Как и следовало ожидать, искомых вели?ин [pic] больше, ?ем
уравнений. Недостает ровно одного скалярного уравнения - уравнения
состояния, определяющего материал нити. Коне?но нельзя одозна?но определить
все возможное многообразие существующих и появляющихся новых материалов из
которых может быть изготовлена конкретная нить. Поэтому, мы ограни?имся
здесь пере?нем класси?еских моделей, наиболее ?асто используемых на
практике.
1) Модель нерастяжимой нити [pic]
(1.12)
2) Модель линейно - упругой нити [pic]
(1.13)
3) Модель нелинейно - упругой нити [pic]
(1.14)
4) Модель вязко - упругой нити [pic]
(1.15)
( здесь то?ка озна?ает производную по времени).
5) Модель упруго - пласти?еской нити
[pic]
(1.16)
Под деформацией [pic] в (1.16) понимается максимальная деформация,
достигнутая в процессе предыдущего пласти?еского нагружения .
Пере?исленные модели коне?но не ис?ерпывают всего разнообразия
материалов, но дают некоторое представление о классах уравнений с которыми
можно столкнуться при моделировании нити, поскольку для каждой из
пере?исленных моделей по сути будет свой тип уравнений, а зна?ит и свои
методы их решения. Отметим, ?то замкнутая система уравнений движения
идеальной нити, состоящая из системы (1.11) и одного из уравнений состояния
(1.12-1.16), при условии коне?ности перемещений, всегда нелинейна ,
независимо от уравнения состояния. Это приводит к зна?ительным трудностям
при решении конкретных зада?. Общий анализ полу?еной системы уравнений
будет проведен далее для трех моделей из пере?исленных выше, ?то связано
прежде всего с их ?астым использованием на практике. Это модели
нерастяжимой (1.12), упругой (1.13-1.14) и вязко-упругой (1.15) нити. При
этом для определенности будет рассматриваться изна?ально однородная нить
[pic]

2. Общий анализ уравнений движения идеальной упругой нити.

Запишем уравнения (1.11) в следующей форме
[pic]
(2.1)
[pic]
(2.2)
и выделим полный дифференциал вектора скорости. Для этого достато?но
умножить уравнение (2.1) на [pic] , уравнение (2.2) на [pic] и сложить. В
результате полу?им
[pic]
Будем искать в плоскости независимых переменных S,t кривые [pic], вдоль
которых уравнение (2.3) можно записать в полных дифференциалах. Для упругой
нити [pic], поэтому [pic]. У?итывая это, введем следующие бозна?ения
[pic].
(2.4)
Тогда вдоль избранных направлений [pic]с у?етом (2.4) уравнение (2.3)
можно представить в следующей форме
[pic]
Заметим, ?то производная едини?ного вектора перпендикулярна самому вектору,
поэтому при скалярном умножении полу?енного уравнения на вектор [pic]
имеем
[pic], (2.5)
а при векторном умножении на [pic]
[pic] (2.6)
Легко видеть, ?то уравнение (2.5) записывается в полных
дифференциалах вдоль направлений [pic]
[pic] , (2.7)
а уравнение (2.6) вдоль направлений [pic]
[pic] . (2.8)
Таким образом для пространственного движения нити существуют два
типа
характеристи?еских направлений в плоскости независимых переменных (S,t),
соответствующих типам волн в упругой нити.
Соотношения (2.7) соответствуют продольным волнам, поскольку
полу?ены проецией уравнений на направление касательной к нити, а
соотношения (2.8) соответсвуют попере?ным волнам, поскольку полу?ены
проектированием
уравнений движения нити на плоскость ортогональную вектору касательной.
Отметим, ?то (2.7) это два скалярных уравнения, отли?ающихся
только направлением распространения продольных волн по нити. В тоже время
соотношение (2.8) позволяет записать ?етыре скалярных уравнения ( два в
одном направлении и два в другом), поэтому кривые [pic] в слу?ае
пространственного движения нити называются бихарактеристиками.
Действительно, соотношения (2.8) факти?ески озна?ают коллениарность двух
векторов
вектора [pic] и вектора [pic]. В любой выбранной системе координат это
дает два скалярных уравнения.
Пусть в декартовой системе координат (x,y,z) векторы имеют
компоненты :
[pic]
где [pic] векторы базиса системы. Тогда соотношение (2.8) дает два
уравнения [pic] [pic]
[pic]
вдоль каждого из направлений [pic].
Как и в плоском слу?ае движения нити более удобной является
естественная подвижная система координат, связанная с то?ками нити. Выберем
в ка?естве базиса разложения следующую тройку векторов [pic], где :

[pic] (2.10)

Введенные углы [pic] определяют тройку едини?ных ортогональных векторов
( [pic]- вектор, касательный к нити) Рис 3.

Z (
(


М





y




(


x




Найдем приращения векторов [pic]:


[pic]
Из полу?енных выражений следует, ?то
[pic] (2.11)
С другой стороны мы знаем, ?то по определению
[pic], где [pic] нормаль к нити.
Отсюда, сравнивая с (2.11), полу?им:
[pic]
(2.12)
Определим кру?ение пространственной кривой, воспользовавшись выражением
[pic] где [pic]кру?ение.
Из (2.12), полу?им:
[pic] (2.13)
где для сокращения записи штрих озна?ает производную по переменной
[pic]Таким образом введенные углы позволяют определить все основные
характеристики пространственной кривой. Разложим вектор скорости по базису
[pic] [pic]
и подставим в уравнения движения нити (2.1),(2.2). В результате с у?етом
(2.11) полу?им:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] (2.14)
[pic]
[pic]
Система (2.14) может быть легко приведена к характеристи?ескому виду
[pic]
[pic] (2.15)
[pic]
Таким образом в слу?ае натянутой нити уравнения движения гиперболи?еские.

Л И Т Е Р А Т У Р А.
1. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. " Про?ность при интенсивных
кратковременных нагрузках ". Гл.2, ГПФМЛ, 1961.
2. Рахматулин Х.А. " О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при
нали?ии трения ". ПММ, т.1Х, ? 6, 1945.
3. Рахматулин Х.А. " Об ударе по гибкой нити ".ПММ, т.Х1, ? 3, 1947.
4. Рябов Е.В. " Попере?ный удар с переменной скоростью по гибкой нити
".Вестник МГУ, ? 10, 1953.
5. Craggs J.W. " Wave motion in Plastic-Elastic strings ". Journ.of the
Mech . and Phys of Solids, ? 4, 1954.
6. Мороз Г.С. "Переходные этапы движения гибкой нити коне?ной длины при
попере?ном ударе". ПММ,т.ХХ, вып.6, 1956.
7. Павленко А.Л. "О распространении разрывов в гибкой нити ". Изв.АН СССР,
ОТН, ?4, 1959.
8. Павленко А.Л. "Обобщение теории попере?ного удара по гибкой нити ".
Изв.АН СССР, ОТН, ?2,1960.
9. Кристеску Н. " О волнах нагрузки и разгрузки, возникающих при движении
упругой или пласти?еской гибкой нити ".ПММ, т.ХV111, вып.3, 1954.
9. Cristescu H. " Rapid Motions of extensible strings ".Mathematical
Institute, Bucharest, Rumania,1964.

-----------------------
Рис.3 М - то?ка нити;( -вектор, касательный к нити в то?ке М.