Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/difgeompr/difgmet-iv.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:56:15 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:30:14 2016 Кодировка: koi8-r

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
проф. А.О. Иванов
1 год, 3 курс, экономический поток
Плоские кривые, регулярные кривые, способы задания кривых, натуральный
параметр, кривизна плоской кривой. Формулы Френе на плоскости, кривизна
кривой в произвольной параметризации, касание кривых, соприкасающаяся
окружность. Натуральное уравнение плоской кривой. Эволюты и эвольвенты
плоских кривых. Кривые в пространстве. Кривизна и кручение, формулы Френе.
Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации. Натуральное
уравнение пространственной кривой. Теорема существования и единственности
решения. Примеры.
Регулярные координаты в области евклидова пространства. Координатные
линии. Канонический базис. Примеры.
Поверхности, Неособые поверхности, способы их задания. Регулярные
координаты на поверхности. Координатные линии, касательное пространство и
канонический репер на неособой поверхности. Длина гладкой кривой на
поверхности, первая квадратичная форма, скалярное произведение векторов в
касательном пространстве. Скалярное произведение векторов в касательном
пространстве к поверхности, угол между кривыми на поверхности, объем
области на поверхности. Риманова метрика в области евклидова пространства.
Скалярное произведение, углы между кривыми и объем области в римановой
метрике. Метрика сферы в координатах стереографической проекции. Изометрии
поверхностей. Изометрии евклидовой метрики. Вторая квадратичная форма
поверхности. Кривизна плоского сечения поверхности. Теорема о паре форм.
Теорема Менье. Главные кривизны и главные направления поверхности. Их
геометрический смысл. Формула Эйлера. Средняя и гауссова кривизна
поверхности. Геометрический смысл гауссовой кривизны. Теорема Лапласа-
Пуассона. Вычисление средней кривизны.
Деривационные формулы Вейнгартена-Гаусса. Символы Кристоффеля. Теорема
Гаусса. Ковариантная производная касательного векторного поля. Ковариантная
производная и первая квадратичная форма. Геодезические на поверхности. Три
определения геодезических. Теорема существования и единственности
геодезических. Геодезические на плоскости, сфере, и плоскости Лобачевского.
Геодезические на поверхности вращения. Теорема Клеро. Экстремальные
свойства геодезических. Формула первой вариации длины кривой. Нормальные
координаты на поверхности. Лемма Гаусса. Первая квадратичная форма
поверхности и символы Кристоффеля в нормальных координатах.
Полугеодезические координаты на двумерной поверхности. Теорема об изометрии
двумерных поверхностей одинаковой постоянной гауссовой кривизны.
Псевдоскалярное произведение и псевдосфера. Метрика псевдосферы в
координатах стереографической проекции. Гауссова кривизна двумерной
псевдосферы.
Модели геометрии Лобачевского. Разные представления группы изометрий
плоскости Лобачевского. Площадь треугольника на плоскости Лобачевского.
Метрические пространства. Примеры. Операция взятия внутренности и
замыкания. Открытые и замкнутые множества. Топологические пространства.
Примеры. Открытые и замкнутые множества. Операции взятия внутренности и
замыкания. Непрерывные отображения. Критерий непрерывности. Гомеоморфизмы.
Равномерная сходимость непрерывных функций на топологическом пространстве.
Связность топологического пространства. Признаки связности. Непрерывные
отображения и связность. Линейная связность. Хаусдорфовы и нормальные
топологические пространства. Нормальность метрических пространств.
Компактные пространства. Нормальность компактного пространства.
Компактность и непрерывные отображения. Теорема Вейерштрасса-Коши.
Функциональная отделимость. Разбиение единицы.
Локально евклидовы пространства. Многообразия. Гладкие многообразия.
Гладкие многообразия. Гладкие структуры. Гладкие отображения,
диффеоморфизмы. Размерность многообразия. Инвариантность размерности при
диффеоморфизмах. Задание многообразий уравнениями. Три определения
касательного вектора к многообразию. Их эквивалентность. Касательное
пространство к многообразию, касательное расслоение. Дифференциал гладкого
отображения. Субмерсии. Локальное устройство субмерсий, теорема о прообразе
регулярного значения. Иммерсии и вложения. Локальное устройство иммерсий.
Подмногообразия. Задание многообразия с краем системой уравнений и
неравенством. Существование вложения компактного гладкого многообразия в
евклидово пространство. Теорема Сарда. Теорема Уитни.
Риманова метрика на подмногообразиях евклидова пространства. Римановы
многообразия. Теорема существования римановой метрики(для компактных
многообразий). Длина кривой. Индуцированная метрика (общий случай).
Изометрии. Два определения ориентируемого многообразия, их эквивалентность.
Ориентируемые многообразия с краем. Классификация двумерных компактных
замкнутых многообразий. Связная сумма и Эйлерова характеристика.
Координатное и инвариантное определения тензора. Ихэквивалентность.
Линейное пространство тензоров. Его размерность. Алгебраические операции
над тензорами. Пространство кососимметрических тензоров, его размерность.
Внешние дифференциальные формы. Внешнее произведение. Формы и отображения.
Внешнее дифференцирование. Интегрирование дифференциальных форм на
ориентируемых многообразиях. Интегрирование формы по подмногообразию.
Теорема Стокса.
Формулы Грина, Гаусса-Остроградского и Стокса как следствия общей теоремы
Стокса.
Евклидова связность. Аффинная связность. Ковариантная производная по
направлению. Теорема единственности операции тензорного дифференцирования.
Риманова связность. Теорема существования аффинной связности. Параллельный
перенос. Геодезические. Отображение [pic], нормальные координаты.
Геодезические и кратчайшие. Тензор кривизны произвольной аффинной
связности. Инвариантное определение тензора кривизны для
симметричнойаффинной связности. Тензор кривизны римановой связности. Тензор
кривизны двумерной поверхности. Теорема Гаусса.
Определение групп когомологий де Рама. Когомологии прямой и окружности.
Когомологии [pic]. Лемма Пуанкаре. Когомологии и гомотопии. Понятие степени
отображения. Примеры использования степени.