Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/komp/tenan2-nik.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:56:02 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:10:13 2016 Кодировка: koi8-r

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТЕОРИЯХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

доц. М.У. Никабадзе
3-4 курс
Тензорная алгебра в трехмерном евклидовом пространстве.
Ковариантные и контравариантные семейства базисов. Символы Кронекера и
Леви-Чивиты. Дискриминантный тензор. Некоторые свойства символов Леви-
Чивиты и компонент дискриминантного тензора. Представление вектора в
основном (ковариантном) и взаимном (контравариантном) базисах.
Тензор второго ранга и его базис. Единичный тензор второго ранга.
Разложение тензора второго ранга относительно базиса. Мультипликативный
базис. Представления тензоров в трехмерном евклидовом пространстве.
Некоторые обобщения на случай риманова пространства.
Определитель тензора второго ранга. Произведение тензоров. Обратный
тензор. Тензор алгебраических дополнений. Преобразование компонент тензора.
Инварианты тензора. Главные оси, главные значения тензора второго ранга.
Теорема Гамильтона-Кэли. Симметричный, кососимметричный и ортогональный
тензоры. Представления тензора суммой шарового тензора и девиатора, а также
суммой симметричной и кососимметричной частей.
Полярное разложение тензора. Изотропные тензоры. Изотропные тензоры
второго и четвертого рангов. Общее представление изотропного тензора
четвертого ранга.
Основы тензорного анализа.
Символы Кристофеля первого и второго рода в трехмерном евклидовом
пространстве. Деривационные формулы для базисных векторов и
мультипликативных базисов. Основные свойства символов Кристофеля. Символы
Кристофеля для риманова пространства произвольного измерения.
Набла-оператор Гамильтона. Ковариантные производные от ковариантных и
контравариантных компонент тензора первого ранга. Ковариантные производные
от компонент тензора любого ранга. Правила ковариантного дифференцирования
суммы и произведения тензоров. Дифференциал тензора. Абсолютная производная
тензора. Ковариантные производные базисных векторов, мультипликативного
базиса, компонент единичного и дискриминантного тензоров. Повторные
ковариантные производные. Тензор Римана-Кристофеля (тензор кривизны).
Основные свойства компонент тензора Римана-Кристофеля. Тождества Ляме и
число независимых компонент тензора Римана-Кристофеля. Тензор Риччи и
Эйнштейна.
Градиент, дивергенция (расходимость), ротор тензора. Формулы Гаусса-
Остроградского и Грина. Оператор Лапласа в криволинейных координатах.
Дифференциальный оператор несовместности и его обобщение.
Тензорные функции.
Группа симметрии тензора. Матричные функции. Линейная функция тензорного
аргумента. Общее определение тензорной функции. Скалярная функция
тензорного аргумента. Производная скаляра по тензору. Производная тензора
по тензорному аргументу. Изотропная скалярная функция тензора.
Элементы теории поверхностей. Тензоры поверхности.
Параметризация (координация) поверхности. Семейства базисов. Ковариантная
производная. Первая основная квадратичная форма поверхности. Единичные
тензоры поверхности.
Элемент площади поверхности. Угол между двумя касательными направлениями.
Деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена. Семейство символов Кристофеля
поверхности.
Геодезические линии. Инвариантность геодезических линий при изгибании
поверхности. Вторая основная квадратичная форма поверхности. Второй тензор
поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Геодезическое кручение.
Формулы Френе. Главные направления поверхности. Средняя и гауссова кривизны
поверхности. Эйлерова разность. Главные кривизны поверхности. Линии
кривизны. Уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци. Тензор кривизны Римана-
Кристофеля (тензор кривизны).

Параметризации оболочечной и многослойной оболочечной областей

трехмерного ([pic]мерного) евклидова пространства [pic] ([pic]).
Векторное параметрическое уравнение оболочечной области (ОО ) и система
векторных параметрических уравнений многослойной оболочечной области (MOO).
Различные семейства реперов (базисов) поверхностей и порожденные ими
соответствующие семейства параметризаций поверхностей. Различные семейства
реперов (базисов) ОО (MOO) и порожденные ими соответствующие семейства
параметризаций ОО (MOO). Условия существования параметризаций поверхностей,
ОО и МОО. Мультипликативные базисные тензоры. Различные семейства символов
Кристофеля. Деривационные формулы для базисных векторов и мультипликативных
базисов. Представления единичного тензора второго ранга (ЕТВР) и изотропных
тензоров четвертого ранга. Ковариантная производная от компонент тензоров
при рассматриваемых параметризаций.
Связи между различными семействами параметризаций ОО и МОО.
Связи между различными семействами базисов и мультипликативных базисов
при рассматриваемых параметризаций. Связи между различными семействами
символов Кристофеля. Связи между компонентами и ковариантными производными
от компонент многоточечного тензора. Основные компоненты ЕТВР при различных
параметризациях базовой поверхности, ОО и МОО. Выражения различных семейств
символов Кристофеля, компонент вторых тензоров, средних и главных
(гауссовых) кривизн поверхностей. Тензор Римана-Кристофеля. Выражения
введенных геометрических характеристик в случае тонких и пологих ОО и МОО
(областей класса TS).


Литература

1. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М., изд-во МГУ, 1986.
2. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии,
механике и физике. М., Физматгиз, 1963.
3. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М., Наука,
1978.
4. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., Наука, 1980.
5. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М., изд-во МФТИ, 1995.
6. Сокольников И.С. Тензорный анализ. М., Наука, 1971.
7. Спенсер Э. Теория инвариантов. М., Мир, 1974.
8. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы
и приложения. Т. 1. М., Эдиториал УРСС, 1998.
9. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М., Физматгиз, 1962.
10. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, т. 1, 1983, 528~с.
11. Никабадзе М.У. Параметризация оболочек на основе двух базовых
поверхностей.// Деп. в ВИНИТИ АН СССР от 12.07.1988. ? 5588-В88.
12. Никабадзе М.У. Параметризация оболочек на основе двух базовых
поверхностей.// Деп. в ВИНИТИ АН СССР от 12.07.1988. ? 5588-В88.
13. Никабадзе М.У. Пространственные реперы, связанные с линией и
порожденные ими параметризации области трехмерного евклидова
пространства.// Деп. в ВИНИТИ РАН от 12.05.1999. ? 1518-В99.
14. Никабадзе М.У. Некоторые геометрические соотношения теории оболочек с
двумя базовыми поверхностями.// Извест. РАН. МТТ. 2000. ? 4, с. 129-139.
15. Никабадзе М.У. К градиентам мест в теории оболочек с двумя базовыми
поверхностями.// Изв. РАН. МТТ. 2001, ? 1, с. 80-90.