Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/opu/teorecstr-dem.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:55:13 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:20:23 2016 Кодировка: koi8-r

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
доц. В.Б. Демидович, ст. преп. А.С. Кочуров, м.н.с. А.В. Рождественский
1 год, вечернее отделение
Глава 1. Общие сведения по функциональному анализу.
1. Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность ЛП.
Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества в НП. В-
пространство. Подпространства линейных пространств.
2. Прямая сумма и прямое произведение ЛП. Нормировка для прямого
произведения НП. О банаховости прямого произведения В-пространств.
Факторизация ЛП по своему подпространству.
3. Плотные и компактные множества в НП. Сепарабельность НП.
Гомеоморфность, изоморфность, изометричность между НП.
4. Линейные функционалы (ЛФ) в ЛП. Алгебраические операции для линейных
функционалов в линейных пространствах. Непрерывные линейные функционалы
(НЛФ) в НП и их нормировка. Об ограниченности линейных функционалов в НП.
Гиперплоскости в НП. Формула расстояния от точки до гиперплоскости в В-
пространстве. Теорема Хана-Банаха для НЛФ в НП. Алгебраическое сопряженное
пространство к ЛП. Сопряженное пространство к НП. Аннуляторы в В-
пространствах.
5. Линейные операторы (ЛО) в ЛП. Алгебраические операции для линейных
операторов в линейных пространствах. Непрерывные линейные операторы (НЛО) в
НП и их нормировка. Об ограниченности линейных операторов в НП. О
сходящихся последовательностях НЛО в НП: сходимость, сильная сходимость,
слабая сходимость. Критерий Банаха-Штейнхауза для сходимости
последовательности НЛО в В-пространстве. Сопряженный оператор к НЛО в НП.
6. Обратный оператор для ЛО в ЛП. Понятия эпиморфности и мономорфности
для линейных операторов. Критерий обратимости ЛО в ЛП. Условие
непрерывности обратного оператора к НЛО в ЛП. Теорема Банаха о
непрерывности обратного оператора к НЛО в В-пространстве. Об обратимости в
В-пространстве НЛО, "близкого" к обратимому НЛО. Левый обратный и правый
обратный операторы для ЛО в ЛП. Свойства левых обратных и правых обратных
операторов для линейных операторов в линейных пространствах.
7. Предгильбертовы пространства: определение предгильбертова
пространства, простейшие факты для предгильбертовых пространств, Н-
пространства и дополнительные сведения о них, Е-пространства.
8. Топологические пространства: определение топологического пространства,
простейшие факты про топологические пространства, дополнительные сведения
из теории топологических пространств, отделимость и хаусдорфовы
пространства, метризуемость и метрические пространства, линейность и
линейные метрические пространства, нормируемость линейных метрических
пространств.
Глава 2. Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах.
1. Основные понятия о дифференцируемости 1-го порядка для операторов в
нормированном пространстве: дифференцируемость, строгая дифференцируемость,
слабая дифференцируемость, первая вариация.
2. Простейшие свойства дифференцируемых операторов.
3. О дифференцируемости суперпозиции операторов.
4. Формула конечных приращений для дифференцируемых операторов.
5. О строгой дифференцируемости операторов с непрерывными частными
производными и о выражении соответствующего полного дифференциала.
6. Касательные и полукасательные вектора к точкам множества из НП.
7. Основные понятия о дифференцируемости 2-го порядка для операторов в
НП.
8. Непрерывные билинейные операторы в НП. Об интерпретации второй
производной и второго дифференциала оператора в НП с помощью билинейных и
квадратичных форм.
9. О дифференцируемости 1-го и 2-го порядка:
а) конечномерных функций от многих переменных;
б) интегральных функционалов.
Глава 3. Основы выпуклого анализа в нормированных пространствах.
1. Аффинные, конические и выпуклые многообразия. Аффинные, конические и
выпуклые комбинации элементов НП. Аффинные, конические и выпуклые оболочки
для множеств в НП. Размерность аффинных, конических и выпуклых
многообразий. О задании аффинных, конических и выпуклых многообразий своими
оболочками от "базисных точек" рассматриваемых множеств. Понятие
размерности для произвольного множества нормированного пространства. О
специальных операциях для выпуклых множеств (выпуклое исчисление). О
детализации выпуклых множеств. О топологических свойствах выпуклых
множеств.
2. Характерные множества для функций со значениями на "расширенной"
числовой оси (верхняя и нижняя эффективные области, эпиграф и гипограф).
Собственные функции. Полунепрерывность и полукомпактность собственных
функций. Классификация собственных функций, основанная на понятиях
аффинности, конусности и выпуклости. Выпуклые и вогнутые собственные
функции. Возможность сведения изучения вогнутых собственных функций к
соответствующим выпуклым функциям. Свойства выпуклых собственных функций.
Признаки выпуклости для дифференцируемых собственных функций. Первая и
вторая сопряженные функции для собственной функции. Основные свойства
сопряженных функций. О совпадении собственной функции со своей 2-ой
сопряженной как критерии ее выпуклости и полунепрерывности снизу. Опорные
функции для собственной функции. Критерий Минковского для выпуклости и
полунепрерывности снизу собственной функции. Субградиенты и субдифференциал
собственной функции. Сведения из субдифференциального исчисления:
выпуклость и замкнутость субдифференциала, правила субдифференцирования, о
критериях принадлежности субдифференциалу элементов сопряженного
пространства, субдифференцируемость выпуклых функций.
Глава 4. Дополнительные сведения из абстрактного анализа.
1. Общий вид НЛФ в прямом произведении НП.
2. О банаховости фактор-пространства при факторизации В-пространства по
своему подпространству.
3. О нетривиальности правого аннулятора для собственного подпространства
В-про-странства.
4. О правом обратном операторе для эпиморфного НЛО в В-пространстве.
5. О замкнутости образа НЛО в прямом произведении В-пространств.
6. О правом аннуляторе ядра для эпиморфного НЛО в В-пространстве.
7. Обобщенная теорема о неявной функции с параметром.
8. Теорема Люстерника о касательном подпространстве в В-пространстве.
Глава 5. Основные принципы теории экстремальных задач.
1. Основные типы экстремальных задач (ЭЗ): выпуклые экстремальные задачи
(ВЭЗ), гладкие экстремальные задачи (ГЭЗ), экстремальные задачи
вариационного исчисления (ЭЗВИ), экстремальные задачи с управлением (ЭЗУ).
Функция Лагранжа и множители Лагранжа. Идея общего принципа Лагранжа для
анализа ЭЗ. Сведение задач "максимизации" к соответствующим задачам
"минимизации".
2. Выпуклая экстремальная задача без ограничений (ВЭЗ б/о). Критерий
минимизации для ВЭЗ б/о. Выпуклая экстремальная задача с ограничениями (ВЭЗ
с/о). Теорема Куна-Такера о необходимых и о достаточных условиях
минимизации для ВЭЗ с/о.
3. Гладкая экстремальная задача без ограничений (ГЭЗ б/о). Необходимые
условия 1-го порядка для минимизации в ГЭЗ б/о. Об условиях 2-го порядка
(как необходимых, так и достаточных) для ГЭЗ б/о. Гладкая экстремальная
задача с ограничениями (ГЭЗ с/о). Необходимые условия 1-го порядка для
минимизации в ГЭЗ с/о. Об условиях 2-го порядка (как необходимых, так и
достаточных) для ГЭЗ с/о.
4. Экстремальная задача вариационного исчисления без ограничений (ЭЗВИ
б/о). Необходимые условия 1-го порядка для минимизации ЭЗВИ б/о. Об
условиях 2-го порядка (как необходимых, так и достаточных) для ЭЗВИ б/о.
Экстремальная задача вариационного исчисления с ограничениями (ЭЗВИ с/о).
Необходимые условия 1-го порядка для минимизации ЭЗВИ с/о. Об условиях 2-го
порядка (как необходимых, так и достаточных) для ЭЗВИ с/о.
5. Общая ЭЗУ с ограничениями типа равенств, неравенств, включения и
дифференциальной связи. Формулировка необходимых условий минимальности для
общей ЭЗУ. О достаточных условиях минимальности для общей ЭЗУ.
"Понтрягинский подход" к исследованию общей ЭЗУ. Обоснование необходимых
условий минимальности для общей ЭЗУ в "частном случае" (скалярная ситуации,
с фиксированными концами интегрирования, отсутствием терминального члена у
минимизируемого функционала, отсутствием ограничений-неравенств, наличием
лишь простейшего краевого условия на левом конце интегрирования). Идея
обоснования соответствующих условий минимальности в "общем случае".

Литература
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В.Оптимальное управление. М.,
Наука, 1979.
2. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.,
изд -во МГУ, 1989.
3. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сбоник задач по оптимизации.
М., Наука, 1984.
4. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи. М.,
Наука, 2000.
5. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения.
М., Эдиториал УРСС, 2000.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. М., Наука, 1981.
7. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980.
8. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.