Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/terver/terver-geol.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:51 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:26:17 2016 Кодировка: koi8-r

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
доц. Е.Б. Яровая
1/2 года, 3 курс, для студентов геологического факультета
1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов.
1. Пространство элементарных событий с конечным числом исходов. Примеры.
2. События. Операции над событиями. Вероятности событий, их простейшие
свойства. Классическое определение вероятностей.
3. Условные вероятности. Формула произведения вероятностей.
4. Разбиение вероятностого пространства. Формула полной вероятности и
теорема Байеса.
5. Независимость событий. Примеры.
2. Случайные величины, заданные на дискретном вероятностном пространстве.
1. Определение случайной величины, заданной на дискретном вероятностном
пространстве. Распределение дискретной случайной величины. Примеры.
2. Определение математического ожидания дискретной случайной величины.
Формула для подсчета математического ожидания.
3. Cвойства математического ожидания.
4. Дисперсия. Ковариация. Cвойства дисперсии.
5. Индикаторы событий.
6. Независимость дискретных случайных величин.
7. Утверждение о математическом ожидании произведения независимых
случайных величин.
8. Некоррелированность. Коэффициент корреляции как мера зависимости
случайных величин. Соотношение между некоррелированнностью и
независимостью.
9. Дисперсия суммы. Случай независимых слагаемых.
10. Неравенства Чебышева.
11. Закон больших чисел.
12. Предельная теорема Муавра-Лапласа. Нормальное (гауссовское)
распределение.
13. Предельная теорема Пуассона. Пуассоновское распределение.
3. Случайные величины (общий случай).
1. Определение вероятностного пространства. Функция распределения
непрерывной случайной величины. Свойства.
2. Абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность. Примеры.
3. Формулы для математического ожидания и дисперсии абсолютно непрерывной
случайной величины.
4. Квантили распределений.
5. Нормально распределенные случайные величины. Правило "трех сигм".
4. Совместное распределение случайных величин.
1. Совместная функция распределения случайных величин. Совместная
плотность. Формула для подсчета вероятности попадания в область.
2. Математическое ожидание функции от нескольких случайных величин.
3. Независимые случайные величины (общий случай). Вид совместной функции
распределения и совместной плотности.
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.
5. Формула свертки.
6. Многомерное нормальное распределение.
7. Закон больших чисел.
8. Центральная предельная теорема.
5. Выборочные оценки.
1. Выборка. Репрезентативность выборки. Основные способы организации
выборки.
2. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.
3. Понятие оценки параметров распределения. Несмещенность,
состоятельность. Примеры.
4. Выборочное среднее и выборочная дисперсия, их несмещенность.
5. Понятие эффективности оценок. Сравнение несмещенных оценок. Примеры.
6. Метод моментов для получения оценок параметров. Примеры выборок из
нормального распределения. Состоятельность оценок, полученных методом
моментов.
7. Оценки наибольшего правдоподобия. Пример выборки из нормального
распределения.
6. Доверительные интервалы.
1. Понятие доверительного интервала. Метод построения доверительных
интервалов.
2. Распределения, связанные с нормальным: [pic]-распределение,
распределение Стьюдента. Понятие квантили.
3. Доверительные интервалы для параметра a в случае выборки из
нормального распределения [pic]: (a) при известном [pic]; (b) при
неизвестном [pic].
4. Доверительные интервалы для параметра [pic] в случае выборки из
нормального распределения [pic]: (a) при известном a; (b) при неизвестном
a.
7. Проверка статистических гипотез.
1. Понятие статистической гипотезы. Проверка гипотез. Критическое
множество. Простые и сложные гипотезы. Ошибка 1 рода.
2. Теорема Пирсона. Непараметрический критерий согласия Пирсона. Проверка
гипотезы [pic].
3. Понятие о проверке основной простой гипотезы [pic]: [pic] при
альтернативе [pic]: [pic]. Ошибки 1-го и 2-го рода. Критерий, основанный на
отношении правдоподобия.
8. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов.
1. Система нормальных уравнений.
2. Критерий значимости линии регрессии.
3. Точечные оценки, доверительные интервалы и проверка гипотез o
параметрах линии регрессии.
4. Сравнение двух простых линейных регрессионных уравнений.
5. Множественная линейная регрессия, множественная и частная корреляции.
9. Обработка данных. Элементарные статистические выводы.
1. Выбор статистической модели.
. Параметрические и непараметрические критерии.
. Проверка нормальности.
2. Анализ парных наблюдений.
. Парный [pic]критерий.
. Критерий Уилкоксона.
3. Анализ двух независимых выборок.
. Непарный [pic]критерий (случаи равных и неравных дисперсий).
. Критерий Манна-Уитни.
4. Таблицы сопряженности признаков.
. Точный критерий Фишера для таблиц сопряженности признаков 2(2.
. Критерий [pic].
5. Анализ повторных измерений.
. Дисперсионный анализ повторных измерений с использованием
параметрических критериев.
. Ранговый критерий Фридмана.
6. Анализ нескольких независимых выборок.
. Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства
средних.
. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с
применением критерия Краскала-Уоллиса.
. Множественный [pic]критерий, критерии Шеффе и Тьюки.