Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/terver/3terver-glad.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:48 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:29:17 2016 Кодировка: koi8-r

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

доц. Б.В. Гладков
1/2 года, 2 курс, химический факультет
1. Правило умножения и правило сложения комбинаторики. Выборки из
генеральной совокупности. Выборки упорядоченные и неупорядоченные, с
возвращением и без возвращения. Размещения частиц (различимых и
неразличимых) по различимым неупорядоченным ячейкам (с запретом и без
запрета). Подсчет их количества.
2. Множество. Подмножество. Множество всех подмножеств. Операции над
множествами и их свойства. Примеры.
3. Отображения множеств. Образ и прообраз. Полный прообраз.
Эквивалентность множеств. Счетные и континуальные множества. Примеры.
Алгебра и сигма-алгебра множеств. Примеры.
4. Разбиение множества. Число разбиений конечного множества на заданное
число подмножеств с фиксированным числом элементов в каждом подмножестве.
5. Случайный эксперимент. Стохастическая устойчивость частот.
Формализация вероятностной задачи. Вероятностное пространство. Дискретные и
произвольные пространства элементарных исходов (ПЭИ). Примеры. Случайные
события. Операции над событиями. Связь вероятностной терминологии с
теоретико-множественной терминологией. Алгебра и сигма-алгебра событий.
Примеры.
6. Вероятность (вероятностная мера) в дискретном ПЭИ. Аксиомы. Примеры
задания вероятности в дискретном ПЭИ. Классическое определение вероятности.
Теорема сложения и ее обобщения. Примеры.
7. Произвольное ПЭИ. Вероятность (вероятностная мера) в произвольном ПЭИ.
Аксиомы теории вероятностей. Аксиома непрерывности. Геометрические
вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности, вытекающие
из аксиом.
8. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимость событий.
Независимость событий в совокупности. Пример С.Н. Бернштейна. Формула
полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
9. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами (схема
Бернулли). Вероятностное пространство для схемы Бернулли.
Последовательность независимых испытаний с [pic] ([pic]) исходами
(полиномиальная схема).
10. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная
предельная теорема Муавра (без док-ва). Интегральная предельная теорема
Муавра-Лапласа (без док-ва). Примеры применения теорем.
11. Сигма-алгебры числовых множеств на [pic] (борелевские алгебры).
Случайная величина (определения). Функция распределения. Распределение
вероятностей. Свойства функции распределения (поведение в бесконечности и
непрерывность слева - без док-ва). Индуцированное вероятностное
пространство.
12. Дискретные случайные величины (распределения). Функция распределения.
Примеры: вырожденное, дискретное равномерное, бернуллиевское, биномиальное,
пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое распределения;
распределение Паскаля. Содержательный смысл указанных распределений.
Предельные значения для гипергеометрических вероятностей.
13. Абсолютно непрерывные случайные величины (распределения). Функция
распределения. Плотность распределения. Примеры: равномерное распределение
на отрезке, нормальное распределение с параметрами [pic], стандартное
нормальное распределение, показательное распределение (свойство отсутствия
последействия), распределение Коши. Содержательный смысл указанных
распределений.
14. Многомерные распределения. Функция распределения случайного вектора и
ее свойства (без док-ва). Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные
распределения. Плотность распределения. Примеры: равномерное распределение
в области на плоскости, двумерное нормальное распределение, дискретное
распределение на конечном множестве точек плоскости. Связь маргинальных
(одномерных) распределений с совместным распределением. Примеры. Условные
распределения.
15. Независимость случайных величин (определения). Необходимые и
достаточные условия независимости дискретных и абсолютно непрерывных
случайных величин (без док-ва).
16. Функции (борелевские) от случайных величин. Преобразование n-мерного
случайного вектора в [pic]мерный. Пример: нахождение плотности
распределения квадрата нормальной стандартной случайной величины
(распределение хи-квадрат с одной степенью свободы). Формула композиции
(свертка). Распределение суммы двух независимых нормально распределенных
случайных величин. Пример: нахождение плотности суммы двух независимых
случайных величин, одна из которых имеет равномерное распределение на
отрезке [pic], [pic], а другая - нормальное распределение с параметрами
[pic].
17. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание.
Формулы для вычисления математического ожидания функций от случайных
величин. Свойства математического ожидания. Вычисление математического
ожидания биномиальной и гипергеометрической случайных величин с помощью их
представления в виде сумм бернуллиевских случайных величин. Дисперсия,
ковариация, коэффициент корреляции. Их свойства. Дисперсия линейной
комбинации [pic] произвольных случайных величин. Примеры. Связь между
независимостью и некоррелированностью. Примеры. Условное математическое
ожидание. Формула для вычисления полного математического ожидания.
18. Неравенства Маркова и Чебышева. Примеры применения неравенства
Чебышева: оценка вероятности успеха в схеме Бернулли по частоте, оценка
доли брака в партии изделий по доле брака в контрольной выборке. Сходимость
по вероятности. Закон больших чисел. Теорема Маркова (достаточное условие
применимости закона больших чисел). Теоремы Чебышева и Бернулли. Примеры.
19. Сходимость по распределению (слабая сходимость). Центральная
предельная теорема (различные достаточные условия выполнения теоремы - без
док-ва). Примеры применения. Понятие асимптотической нормальности.
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа как частный случай
центральной предельной теоремы.
20. Теорема Слуцкого и теорема о сходимости (без док-ва).
21. Элементы математической статистики: выборка из распределения [pic];
эмпирическая функция распределения; характеристики выборочных
распределений; оценка (статистика); несмещенность и состоятельность оценок;
методы получения оценок; приближенные доверительные интервалы для
вероятности успеха в схеме Бернулли; распределения хи-квадрат и Стьюдента;
критерии согласия (хи-квадрат и Колмогорова); точные выборочные
распределения, точные доверительные интервалы для параметров нормального
распределения; различение гипотез, критерий Неймана-Пирсона; задачи
регрессии, метод наименьших квадратов.


Литература

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1969.
2. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Агар, 1996.