Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/tffa/prtffa-smol.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:42 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:16:36 2016 Кодировка: koi8-r

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

спецкурс естественно-научного содержания
проф. О.Г. Смолянов
1. Реализация ограниченного самосопряженного оператора в комплексном
гильбертовом пространстве, обладающего циклическим вектором, как оператора
умножения на аргумент в пространстве определенных на спектре оператора
комплекснозначных функций, квадратично интегрируемых относительно
подходящей счетноаддитивной конечной борелевской меры.
2. Реализация ограниченного самосопряженного оператора в сепарабельном
комплексном гильбертовом пространстве как не более чем счетной прямой суммы
операторов из предыдущего пункта.
3. Теорема фон Неймана (о том, что всякий ограниченный самосопряженный
оператор в комплексном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен
оператору умножения на аргумент в некотором замкнутом подпространстве
пространства определенных на спектре оператора и принимающих значения во
вспомогательном комплексном гильбертовом пространстве функций, квадратично
интегрируемых по норме относительно некоторой счетноаддитивной конечной
борелевской меры).
4. Унитарная эквивалентность ограниченного самосопряженного оператора в
комплексном гильбертовом пространстве оператору умножения на измеримую
существенно ограниченную функцию в пространстве определенных на
вещественной прямой комплекснозначных функций, квадратично интегрируемых
относительно подходящей счетноаддитивной конечной борелевской меры.
5. Спектральное разложение ограниченного самосопряженного оператора.
6. Сопряженные к неограниченным линейным операторам в (комплексном)
гильбертовом пространстве. Замкнутые и замыкаемые операторы.
Самосопряженные и существенно самосопряженные ( = самосопряженные в
существенном) операторы в гильбертовом пространстве. Доказательство того,
что второй сопряженный к линейному оператору существует в точности тогда,
когда последний обладает замыканием и что в этом случае замыкание оператора
и второй сопряженный к нему совпадают.
7. Критерий самосопряженности симметричного оператора.
8. Методы построения локально выпуклых пространств (ЛВП): проективные и
индуктивные пределы, суммы и прямые произведения, тензорные произведения
ЛВП.
9. Слабая топология в векторном пространстве, задаваемая векторным
подпространством пространства линейных функционалов на нем.
10. Индексы дефекта симметричного оператора.
11. Формула фон Неймана, описывающая действие оператора, сопряженного к
симметричному.
12. Описание всех симметричных расширений симметричного оператора.
Примеры.
13. Критерий (фон Неймана) равенства индексов дефекта симметричного
оператора.
14. Спектр симметричного оператора.
15. Преобразование Кэли.
14. Спектральные теоремы для неограниченных самосопряженных операторов.
15. Теоремы Троттера и Чернова.
16. Формула Фейнмана для уравнений теплопроводности и Шредингера.
17. Формула Фейнмана-Каца.
18. Аксиомы квантовой механики.
19. Открытые квантовые системы.
20. Неравенства Белла и несуществование классической вероятности модели,
описывающей квантовые эксперименты.
21. Телепортация.


Литература

1. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. М.,
Мир, 1977.
2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.,
Мир, 1978.
3. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.,
Мир, 1966.
4. Dаvies Е.В. One-Parameter Semigroups. Academic Press, New York, 1980.
5. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М., изд-во МГУ,
1990.
6. Alicki R., Fannes M. Quantum Dynamical Systems. Oxford University Press,
2001.
7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М., Физматгиз, 1959.
8. Богачев В.И. Гауссовские меры. М., Наука, 1997.
9. Смолянов О.Г., Трумен А. Вероятностные модели квантовых систем и
неравенства типа Белла.\\ ДАН, 397, 1, 2002.