Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/composite/Nik13-12-10.doc Дата изменения: Thu Jan 20 22:59:28 2011 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:45:54 2016 Кодировка: koi8-r

Аннотация докладов (13.12.10 и 20.12.10)
«НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ»
Никабадзе Михаил Ушангиевич
доц. кафедры механики композитов механико-математического факультета
МГУ имени М.В.Ломоносова

Приведены уравнения движения (равновесия) в тензорах напряжений и
моментных напряжений трехмерной и двумерной теорий упругости к форме
отсутствия объемных нагрузок и инерционных сил (объемных нагрузок).
Получена формула, выражающая тензор напряжений через произвольное
симметричное тензорное поле и тензор моментных напряжений. Введены в
рассмотрение тензоры-функции напряжений.
Уравнения движения в перемещениях и вращениях записаны в операторном
виде с помощью введенных четырех дифференциальных тензора-оператора. Кроме
того, введен в рассмотрение матричный дифференциальный тензор-оператор,
дифференциальными субтензорами-операторами которого являются введенные выше
тензоры-операторы и с помощью которого уравнения движения записаны в виде
одного матричного дифференциального тензорно-операторного уравнения.
Подробней изучен как случай изотропного материала с центром симметрии, так
и случай материала, не обладающего центром симметрии. В этих случаях
найдены выражения для дифференциальных тензоров-операторов алгебраических
дополнений и определителей введенных выше всех дифференциальных тензоров-
операторов кроме одного того тензора-оператора, определитель которого равен
нулю. При этом в случае матричного дифференциального тензора-опрератора
выражения для соответствующего матричного дифференциального тензора-
оператора алгебраических дополнений и определителя получены и в том случае,
когда внутренний тензор инерции материала является произвольным тензором
второго ранга, представленного в главных осях.
Введены в рассмотрение дифференциальные тензоры-операторы и матричные
дифференциальные тензоры-операторы, которые при применении к
соответствующим уравнениям позволяют расщеплять систему уравнений и по
отдельности получить уравнения относительно неизвестных векторов-функций
(векторов перемещений и вращения). При этом в отличие от представления
Галеркина в данном случае граничные условия краевых задач остаются
прежними. Даны и представления решений задач Галеркина. Аналогичные вопросы
как частные случаи рассмотрены и для классической теории упругости.
В отличие от распространенных в научной литературе условий
совместности (сплошности) деформации для линейной микрополярной трехмерной
теории получены различные эквивалентные формы представления условий
совместности деформации с помощью тензора несовместности и обобщенного
тензора несовместности (Победри Б.Е.) от несимметричного тензора второго
ранга, а также даны обобщенные условия совместности. Выведены
дифференциальные уравнения совместности в тензорах напряжений и моментных
напряжений с учетом объемных сил и моментов. Сформулированы классическая и
новая постановки задач в тензорах напряжений и моментных напряжений. Кроме
того, выведен аналог формулы Чезаро. Получены формулы для определения
антисимметричной части тензора деформаций (напряжений) через симметричные
части тензоров деформаций и изгиба-кручения (напряжений и моментных
напряжений) и антисимметричной части тензора изгиба-кручения (моментных
напряжений) через симметричную часть тензора изгиба-кручения (моментных
напряжений), а также интегро-дифференциальные уравнения движения
микрополярной теории упругости относительно симметричных частей тензоров
напряжений и моментных напряжений.
Даны представления тензоров деформаций и изгиба-кручения, а также
тензоров напряжений и моментных напряжений для различных видов двумерных
напряженно-деформированных состояний микрополярной среды (плоское
деформированное состояние, плоское напряженное состояние, обобщенное
плоское напряженное состояние, антиплоское деформированное состояние).
Исходя из трехмерных соотношений (уравнений, ОС, граничных условий),
получены соответствующие соотношения для рассматриваемых видов напряженно-
деформированных состояний. При этом ОС получены как для изотропных, так и
трансверсально-изотропных и ортотропных материалов. Кроме того, прямые и
обратные ОС в случае изотропного материала представлены в различных удобных
для пользования формах.
Получены условия совместности в тензорах деформаций и изгиба-
кручения, а также в тензорах напряжений и моментных напряжений в различной
форме. При этом показано, что из трех распространенных в научной литературе
условий совместности при плоском деформированном состоянии два являются
независимыми, а третье следует из них. При всех указанных выше напряженно-
деформированных состояниях получены уравнения одинаковой структуры. Даны
постановки задач. Относительно компонент тензора напряжений получено
неоднородное бигармоническое уравнение с учетом объемных сил и моментов.
Относительно компонент тензора моментных напряжений получено уравнение,
аналогичное уравнению в перемещениях при плоском деформированном состоянии
классической теории.
Рассмотрены три способа получения формул общего комплексного
представления в плоской микрополярной теории упругости с учетом объемных
нагрузок при неизотермических процессах. При этом в случае двух способов
представления формул даны с помощью двух аналитических функций одного
комплексного переменного и общего решения неоднородного уравнения
Гельмгольца, а при третьем способе посредством трех аналитических функций
одного комплексного переменного.