Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/probab/matstat-chepurin/k_rab_1_ms.pdf Дата изменения: Mon May 25 11:46:34 2009 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:48:14 2016 Кодировка: Windows-1251

CHEPUR \ K_RAB \ N_1 \ k_rab_1.tex

Обозначим r , 1 r 100 , идентификационный номер студента (ИНС). Он присваивается студенту преподавателем. Значения величин параметров контрольной работы для студента с идентификационным номером r полагаются равными
r r l = n+ q , 0 = 0.25 + 100 , 1 = 0.01 + 1000 , 3 r m = 5 + (8r) mod 11, 2 = 1 + (-1)r 0.01, = 0.05 + 100 , r r r-1 rmod 2 n = m + (-1) 2, = 0.9 + (-1) 1000 , ч0 = (-1) {2(rmod 2) + 1 }. r r q = m+n , 0 = 2 + 20 , 2

Параметры задания l, m, n, q , r, 1 , 2 , , , , 0 .

Контрольная работа N1

Пусть x = (x1 , . . . , xm )T независимая выборка из стандартной нормальной совокупd ности, т.е. xi н.о.р. случайные величины, xi = N (0, 1) , i = 1, m ; y = (y1 , . . . , yn )T и z = (z1 , . . . , zq )T независимые выборки из равномерного распределения на [0,1], т.е. yi и z
j

независимые случайные величины, yi = U (0, 1) ,

d

i = 1, n ,

zj = U (0, 1) ,

d

j = 1, q ;

n, m, q целые положительные числа.

^ 1. Постройте графики эмпирической функции распределения Fk (u) и F0 (u) в одной и той же координатной системе для
1.1. данных x, k = m и F0 (u) = (u) , где (u) = 1.2. данных y , k = n и
u - 1 2

exp{- v2 }dv ;

2

0, u 0 u, 0 < u 1 F0 (u) = 1, u > 1.

^ 1.3. Прокомментируйте наблюдаемое различие в поведении графиков Fk и F0 .
2. При ошибке первого рода 1 на основе использования критериев Колмогорова или одностороннего критерия Смирнова проверьте 2.1. гипотезу 1 : x1 = N (0, 1) против альтернативы 2 : x1 = N (0, 1) ; 2.2. гипотезу 1 : x1 = N ( 1 , 1) против альтернативы 2 : x1 = N ( 1 , 1) ; r r 2.3. гипотезу 1 : x1 = N (0, 1) против альтернативы 2 : x1 = N (ч, 1) . 2.4. Вычислите наблюденный уровень значимости соответствующих критериев. 3. При ошибке первого рода 1 на основе использования двусторонних критериев Смирнова проверьте 3.1. гипотезу 1 об однородности выборок x и y ; 3.2. гипотезу 1 об однородности выборок y и z . 3.3. Вычислите наблюденные уровни значимости критериев. 1
d d d d d d


3.4. Прокомментируйте полученные статистические выводы. 4. Продолжим анализ данных x .Пусть для проверки гипотезы 1 : x1 = N (0, 1) d при альтернативе 2 : x1 = N ( 1 , 1) используется критерий Неймана-Пирсона с r ошибкой первого рода 1 . 4.1. Будет ли принята для данных x гипотеза 1 ? 4.2. Как часто будет приниматься гипотеза 2 этим критерием, когда 2 верна? 4.3. Каков наблюденный уровень значимости данных x для критерия отношения правдоподобий в задаче проверки 1 против 2 ? 4.4. Каков объем выборки m необходимо было бы взять, чтобы ошибка второго рода при проверке гипотезы 1 против гипотезы 2 не превзошла 2 ? 5. Постройте -доверительную полосу H (y ) для порождающего распределения выборки y . 5.1. Проверьте графически, накроется ли -доверительной полосой для порождающего распределения выборки y функция распределения случайной величины N ( 1 , 1) . r 5.2. Если такое событие произойдет, то как это объяснить в свете предположения о равномерной распределенности случайных величин yi , i = 1, n ? 5.3. Гипотезу 1 : y1 = U (0, 1) против альтернативы 2 : y1 = U (0, 1) будем проверять на основе следующего критерия:
d d d

если -доверительная полоса H (y ) накрывает функцию распределения L(U (0, 1)) , то 1 принимается; в противном случае 1 отвергается в пользу 2 .
Определите, какова ошибка первого рода сформулированного выше критерия при проверке 1 против 2 . 6. Используя данные y , породите независимую выборку w = (w1 , . . . , wn )T из n наблюдений над пуассоновской случайной величиной с параметром 0 , т.е. wi = P OI S (0 ), i = 1, n . На основе полученных данных w 6.1. Проверьте гипотезу 1 : 0 = 1 против альтернативы 2 : 0 = 5 , используя равномерно наиболее мощный критерий (РНМ-критерий). Примите ошибку первого рода равной 1 . 6.1.1. Какова ошибка второго рода РНМ-критерия для сформулированной выше статистической задачи? 6.1.2. Каково значение функции мощности РНМ-критерия для значения параметра = 2 ? 6.2. Как Вы прокомментируете результат принятия гипотезы основе полученных Вами данных?
1

или 2 на

6.3. Постройте методом сечений -доверительный интервал для параметра 0 . Как будет изменяться длина этого интервала в зависимости от изменения значения доверительной вероятности . 2


6.4. Проиллюстрируйте графически процесс построения -доверительного множества для параметра 0 . 6.5. На основе полученного постройте -доверительный r P{P OI S (0 ) > 10 ; 0 } . доверительного интервал для интервала вероятности моментов для

6.6. Вычислите значения ОМП и оценки по методу r g1 (0 ) = D(; 0 ) и g2 (0 ) = P{P OI S (20 ) > 30 ; 0 } . 6.6.1. Являются ли полученные оценки несмещенными? 6.6.2. Найдите дисперсию ОМП для g1 (0 ) .

7. Используя данные y и z породите независимую выборку t = (t1 , . . . , tl ) , где d ti = B I N (1; ) , 0 < < 1 , i = 1, l . 7.1. Постройте методом сечений верхние -доверительные границы для параметра 0 и функции g (0 ) = P{B I N (40; 0 ) > 20} на основе полученных данных t . 7.1.1. Проиллюстрируйте графически процесс построения верхних доверительных границ для параметра 0 на основе метода сечений. 7.2. Будет ли принята простая гипотеза 1 : 0 = , 0 < < 1 , против сложной альтернативы 2 : 0 = критерием значимости с критической функцией ? ? 1, 1 ((t; ), (t; )) 2 (t) = 1 ? 0, 2 ((t; ), (t; ))

? Здесь ((t; ), (t; )) -доверительный симметричный по вероятности интервал для 0 , построенный для полученной выше выборки t .
7.2.1. Какова формула для ошибки первого рода рассматриваемого критерия? 7.2.2. Какой альтернативный критерий с ошибкой первого рода 1 для проверки гипотезы 1 против 2 можно предложить? Будет ли критерий на основе T (t) = l =1 ti несмещенным РНМ-критерием? i 8. Для x независимой выборки из нормальной совокупности с неизвестными d 2 средним и дисперсией, т.е. xi = N (ч0 , 0 ), i = 1, m ,
2 8.1. Найдите несмещенные оптимальные оценки для ч0 и 0 . Достигают ли они соответствующей нижней границы Крамера-Рао?

8.2. Постройте -доверительные симметричные по вероятности интервалы для 2 ч0 и 0 . 8.3. Считая, что ошибка первого рода равна 1 , проверьте гипотезы 8.3.1. 1 : ч0 = 1.5 против альтернативы 2 : ч0 = 1.5 ; 2 2 8.3.2. 1 : 0 = 2 против альтернативы 2 : 0 > 2 (для четных r ) или 2 против альтернативы 2 : 0 < 2 (для нечетных r ). 8.3.3. Прокомментируйте полученные статистические выводы. 3