Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/probab/matstat2012.doc Дата изменения: Wed May 30 12:18:10 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:27:50 2016 Кодировка: koi8-r

Вниманию студентов групп 331-332.
Ответы студентов на приведенные ниже вопросы как в форме лекционного
курса Е.В.Чепурина, так и в форме, представленной в статистической учебной
литературе, принимаются экзаменаторами в бесспорном порядке. Это относится,
в частности, и к отсылкам, приведенным в перечне экзаменационных вопросов,
на «Литературу», явившуюся базой для содержания курса Е.В.Чепурина.


МЕХ-МАТ

Экзаменационные вопросы по курсу "Математическая статистика",
сентябрь-2011 - май-2012г. Лектор Е.В.Чепурин

1. Статистическая модель. Основные виды статистических выводов, решающие
функции, функция потерь и функция риска. См. [4, (1.2], [1, (1,3,7,8].
2. Эмпирическая функция распределений и ее свойства: несмещенность,
дисперсия и ковариация для разных значений аргумента, оптимальность в
классе несмещенных оценок непараметрических функций распределения,
поточечная состоятельность. См. [2, (1.2], [6, (2.2, (2.3].
3. Теорема Гливенко-Кантелли. См. [2, (1.2].
4. «P-P» вероятностные графики и их использование при проверке гипотез о
типе распределения и об однородности данных.
5. «П-П» вероятностные графики и их использование при проверке гипотезы
пуассоновости данных против альтернативы отрицательной биномиальности.
6. Оптимальная оценка среднего в классе линейных несмещенных оценок. См.
[6, (7.1]
7. Статистика Колмогорова в задаче проверки гипотез и построения
доверительных полос для порождающей функции распределения. См. [2, (1.8,
3.12], [6, (4.2].
8. Критерий Смирнова в задаче проверки гипотезы однородности данных. См.
[6, (4.3].
9. Достаточные статистики. Примеры. Полнота класса процедур, зависящих от
достаточной статистики. См. [4, (1.9, 1.8].
10. Достаточные статистики. Теорема факторизации. См. [4, (2.6], [1, (2].
11. Минимальные достаточные статистики. Критерий минимальности достаточной
статистики. [3, (2.2], [2, (2.13], [1, (2].
12. Полные семейства распределений. Примеры. Теорема Басу о независимости
статистик. См. [1, (2], [4, (4.3]; [3, (2.2].
13. Независимость выборочных оценок среднего и дисперсии в гауссовской
выборке. См. [1, (1, (2].
14. Семейства экспоненциального типа. Достаточные условия полноты. Доказать
полноту пуассоновского распределения. См. [4, (2.7, 4.3].
15. Состоятельность оценок по методу моментов, [2, (2.4].
16. Асимптотическая нормальность оценок по методу моментов, [2, (2.2].
17. Состоятельность оценок по методу квантилей, [2, гл.1, (8].
18. Асимптотическая нормальность оценок по методу квантилей, [2, гл.1, (8].

19. Информационная функция Фишера и ее свойства. См. [3, (4.8]; [2, (2.16,
2.17].
20. Информационная функция Кульбака-Лейблера и ее свойства. См. [2, (2.21];
[1, (6].
21. Состоятельность подстановочных оценок. См. [2, (2.3, 2.4]; [1, (6].
22. Единственность несмещенной оценки, зависящей от полной достаточной
статистики. Несмещенные оценки и способы их построения.
23. Теорема Блекуэлла-Рао-Колмогорова. См. [3, (8.4]; [2, (2.14]; [1, (5],
[6, (3.3].
24. Оптимальность несмещенной оценки при выпуклой вниз функции потерь. См.
[1, (3].
25. Эллипсоид рассеяния, обобщенная дисперсия. См. [1, (5].
26. Неравенство Крамера-Рао. См. [3, (8.3]; [2, (2.16]; [1, (5], [6, (3.2].
27. Эффективность оценок. Необходимые и достаточные условия эффективности
оценок. См. [1, (5, 9], [2, (2.16].
28. Асимптотическая нормальность оценок максимума правдоподобия. См.
[3, (9.2]; [2, (2.25]; [1, (9].
29. Поправки Ле-Кама. См. [2, (2.26]; [1, (9].
30. Асимптотическая эффективность по Леману. См. [5, (5.2].
31. Центральная функция. Доверительное оценивание на основе центральных
функций. Доверительное оценивание параметров одномерного нормального
распределения. См. [3, (7.2]; [2, (2.31].
32. Построение доверительных множеств методом сечений. Доверительное
оценивание параметра биномиального распределения. См. [2, (2.31].
33. Доверительное оценивание функций. Построение доверительных границ для
квантиля одномерного нормального распределения. См. [2, (31, (32]
34. Доверительное оценивание на основе асимптотически нормальных оценок.
Построение асимптотического доверительного интервала для параметра
пуассоновского распределения. См. [2, (2.31].
35. Гипотезы простые и сложные. Статистики критерия. Статистики,
чувствительные к отклонениям от нулевой гипотезы. Примеры.
См. [4, (3.1]; [3, (3.2].
36. Критическая область. Функция критерия. Рандомизированные и
нерандомизированные критерии. Ошибки первого и второго рода. Функции
мощности. Равномерно наиболее мощные критерии. Привести примеры РНМ
критериев. См. [4, (3.1]; [1, (7].
37. Критерии отношения правдоподобия и связь их с достаточными
статистиками. Лемма Неймана-Пирсона. [4, (3.2]; [2, (3.2]; [1, (7].
38. Распределения с монотонным отношением правдоподобий. Структура
соответствующих им РНМ критериев. См. [4, (3.3]; [2, (3.5].
39. Наблюденный уровень значимости и его свойства. Способ использования
наблюденного уровня значимости при проверке гипотез. См. [3, (3.2].
40. Связь критериев значимости и доверительных выводов. См. [4, (3.5].
41. Асимптотически нормальные оценки в качестве статистик критериев
значимости. Состоятельность соответствующих критериев. См. [3, (9.3]
42. Асимптотическое распределение статистики отношения максимумов
правдоподобий. См. [3, (9.3].
43. Критерий хи-квадрат при проверке простой полиномиальной гипотезы. [1,
§10].
44. Критерий хи-квадрат при проверке сложной полиномиальной гипотезы. [1,
§10].
45. Линейная модель. Метод наименьших квадратов. Существование решения у
системы нормальных уравнений. См. [1, (14].
46. Линейная модель. Метод наименьших квадратов. Несмещенность и
состоятельность параметров линейной модели полного ранга. См. [1, (14].
47. Теорема Гаусса-Маркова [1, §14].
48. Гауcсовская линейная модель полного ранга. Оптимальность оценок метода
наименьших квадратов. [1, §15].
49. Независимость оценки наименьших квадратов дисперсии и вектора
неизвестных параметров для гауссовской модели [1, §14, (15].
50. Проверка гипотез о значении линейной оцениваемой функции параметров в
гауссовской линейной модели, [1, §15].
51. Доверительные интервалы для линейной функции параметров линейной
модели, [1, §15].
52. Доверительный эллипсоид для вектора параметров линейной модели [1,
§15].
53. Достаточные статистики в гауссовской линейной модели. Распределение
оценок ОНК в гауссовской линейной модели. См. [1, (15].
54. Обобщенная обратная матрица и свойства оценок наименьших квадратов для
модели неполного ранга, [1, (14].
55. Байессовская статистическая модель. См [2, гл.2].
56. Байесовское решающее правило при проверке двух простых гипотез. См [2,
§3.2].
57. Байесовская оценка при квадратичных потерях [2, §2.11].
58. Гистограмма как геометрический образ плотности распределения.
Состоятельность гистограммы как оценки плотности распределения. См [5,
(9.6].



ЛИТЕРАТУРА
1. Беляев Ю.К., Чепурин Е.В. Основы математической статистики, часть 1-3.
М., МГУ, 1982-1983.
2. Боровков А.А. Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка
гипотез. М., Наука, 1984.
3. Кокс Д., Хинкли Д., Теоретическая статистика. М., Мир, 1978.
4. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М., Наука, 1979.
5. Леман Э. Теория точечного оценивания. М., Наука, 1991.
6. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. М.,
УРСС, 2010.