Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/Project.pdf Дата изменения: Mon Feb 25 17:23:30 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:09:57 2016 Кодировка: Windows-1251

Примерный рабочий план семинарских занятий по уравнениям с частными производными (преподаватели А.В.Боровских, А.Н.Царицанский); 2012/2013 уч.год; группы 302, 303
I семестр 1. Входная контрольная работа. Линейные уравнения 1-го порядка с частными

производными. Цель: Определить пробелы в предыдущем образовании с тем, чтобы за счет индивиду-

альных заданий их компенсировать. Знакомство и освоение непосредственных методов решения уравнений с частными производными, фиксация идеи произвольных функций как формы общего решения, использование метода рядов и метода замены независимых переменных, формирование первичного представления о характеристиках.

Содержание контрольной работы: Нахождение интегралов; первые интегралы систем оду; выполнение замен переменных в интегралах и в производных; переход к полярной и сферической системам координат; преобразование квадратичной формы к каноническому виду; формулы Гаусса-Остроградского и Грина. Схема занятия: Обсуждение уравнения ux = 0 для функции двух, трех, n переменных (появление произвольной функции вместо произвольной константы, произвольная константа как произвольная функция от 0 переменных). Решение уравнения ux - uy = 0 (с помощью рядов, гипотеза об общей формуле, доказательство гипотезы с помощью поворота системы координат). Решение уравнения aux + buy = 0 (переход к прямому написанию формулы решения). Обсуждение уравнения a1 ux1 + a2 ux2 + . . . + an uxn = 0 (формула общего решения). Примеры систем уравнений: ux = uy = 0 для u(x, y , z ), линейная однородная система (арифметические правила для количества произвольных функций и для количества аргументов у них). Уравнение a(x, y )ux + b(x, y )uy = 0 (характеристика и формула общего решения). Правило решения уравнения a1 (x)ux1 + a2 (x)ux2 + . . . + an (x)uxn = 0. Самостоятельное решение уравнений Ф.1167, 1189. Линейное уравнение (с u), сведение к неоднородному уравнению. Неоднородное уравнение подбор частного решения в виде полинома или функции, зависящей от одной переменной.
Системы уравнений, совместность простейших систем (ux = . . ., uy = . . .). Замыкание системы.
z z z z Задачи: Ф.1167: y x - x y = 0; Ф.1189: x x - y y = 0, z = 2x при y = 1. Домашнее задание: Ф.1169, 1171, 1174, 1175, 1190-1193, 1217-1219. Задачи: Найти общее решение уравнений: z z z z Ф.1169: x u + y u + z u = 0; Ф.1171: y x + x y = x - y ; Ф.1174: xy x - x2 y = y z ; x y z z z z z Ф.1175: x x + 2y y = x2 y + z ; Ф.1190: x + (2ex - y ) y = 0, z = y при x = 0; z z Ф.1191: 2 x x - y y = 0, z = y 2 при x = 1; Ф.1192: u + u + 2 u = 0, u = y z при x = 1; x y z Ф.1193: x u + y u + xy u = 0, u = x2 + y 2 при z = 0. x y z z z Решить систему: Ф.1217: x = x , z z Ф.1219: x = 2y z - x2 , y = xz . z y

=

2z y

; Ф.1218:

z x

= y - z,

z y

= xz ;

2. Квазилинейные и нелинейные уравнения и системы.

1


Цель: развитие понятия характеристики, идея редуцирования квазилинейного уравнения

к линейному, решение квазилинейных уравнений, демонстрация градиентной катастрофы, возникновения ударной волны и необходимости введения обобщенного понятия решения. Условие совместности для систем уравнений. Скобка Пуассона.

Схема: Дифференцирование вдоль характеристики. Неоднородное уравнение: пример

xux + y uy = ex , формулировка общей схемы. Квазилинейные уравнения: аналогия с оду и поиск решения в неявной форме, модификация представлений о характеристике.
Решение уравнения Хопфа ut + uux = 0, градиентная катастрофа, многозначные и разрывные решения, их интерпретация. Линейные системы дифференциальных уравнений. Условие совместности, скобки Пуассона и Якоби для дифференциальных операторов.

Домашнее задание: Вл.14.26 (5-8), Ф.1184, 1186, 1204, 1205, 1209, задача на решение
систем дифференциальных уравнений.

Задачи: Вл.14.26: Выполнив подходящую замену переменных, свести уравнение к одной производной и проинтегрировать его с заданными начальными условиями:
ut + (1 + x2 )ux - u = 0, ut + (1 + t2 )ux - u = 0, ut=0 = e-x ; ut = ux + ut=0 = 1;
2x 1+x2

u

t=0

= arctg x; 2tut + xux - 3x2 u = 0, ut=0 = 5x2 .

u,
u x

Ф.1184: (x + z )
x

Ф.1205 Ф.1209

z x

+(

z z + (y + z ) y = x + y x z xz + y ) y = z , x + y = 2z , xz z z : y 2 x + y z y + z 2 = 0, x - y z z : xy 3 x + x2 z 2 y = y 3 z , x =

; Ф.1186: (y + z ) = 1; = 0, x - y z = 1; -z 3 , y = z 2 ;

+ (x + z )

u y

+ (x + y )

u z

= u; Ф.1204:

Решить систему: 1) xux + y uu + z uz = x2 + y 2 + z 2 , y ux - xuy = xy ; 2) xux + y uu + z uz = x2 + y 2 + z 2 , y ux - xuu = x/y ; 3) xux + y uu + z uz = 2u2 , y ux - xuu = u; 4) xux + y uu + z uz = u2 , y ux - xuu = 2u; 5) ux + uy + uz = u2 , y ux - xuu = u. 3. Уравнение струны.

Цель: знакомство с уравнением, распространение на уравнения второго порядка понятия

характеристики, разложение на множители, формирование представлений об общем виде решений уравнений высоких порядков, введение принципа Дюамеля как математической формализации динамических отношений, переход к оперированию общими формулами.

Схема: Вывод уравнения, решение уравнения utt = uxx подбором, обоснование с помощью
поворота системы координат. Уравнения u = 0 и u = 0, разложение на множители дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Решение уравнения (самостоятельно) utt - 2uxt - 3uxx = 0. Нахождение решений, удовлетворяющих начальным условиям. Пример уравнения uxt - uxx = 0. Некорректность задачи Коши на характеристике. Задача Гурса. Динамические соображения, приводящие к принципу Дюамеля. Проверка того, что формула дает решение неоднородного уравнения (может перейти на дом).

Домашнее задание: Доказать формулу для решения неоднородного уравнения; Вл. 2.3,
12.36 (чет), 14.35, 14.37, 14.39, 14.41. 2


Задачи: Вл. 2.3 Найти общее решение уравнений с постоянными коэффициентами. 1) uxy = 0, 2) uxx - a2 uyy = 0, 3) uxx - 2uxy - 3uyy = 0, 4) uxy + aux = 0, 5) 3uxx - 5uxy - 2uyy + 3ux + uy = 2, 6) uxy + aux + buy + abu = 0, 7) uxy - 2ux - 3uy + 6u = 2e 8) uxx + 2auxy + a2 uyy + ux + auy = 0. Вл. 12.36 Решить задачи: 2) utt = 4u
u|
t=0

x+y

,

= sin x, ut |

t=0

+ xt, u|t=0 = x2 , ut |t=0 = x; 4) u = x + cos x; 6) utt = a uxx + sin x, u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0.
xx 2

tt

=u

xx

+ ex ,

Вл. 14.35 uxy + uy = 1 (x, y > 0), u

x=0 = (y ), uy =0 = (x); Вл. 14.37 2uxx - 2uy y + ux + uy = 0, u|y=x = 1, u|y=-x = (x + 1)ex ; Вл. 14.39 uxx + 6uxy + 5uyy = 0 (0 < x < y < 5x), u|y=x = (x), u|y=5x = (x); Вл. 14.41 uxy - ex uyy = 0 (x > 0, y < e-x ), u|x=0 = y 2 , u|y=e-x = 1 + x2 .

4. Задачи на полуоси и на отрезке.

Цель: Освоение идеи "разных формул" выше и ниже характеристики и идеи формального

продолжения данных в общей формуле. Интерпретация отражения волн как математического продолжения уравнения, решений и данных. Анализ проблемы согласования данных и ее решение в разных версиях.

Схема: Формальная подстановка формулы общего решения в уравнение. Условия, по-

лучающиеся для произвольных функций и интерпретация отражения волны. Построение формул для оси с "продолженными" начальными условиями. Условия согласования в начально-краевых задачах. Сильные и слабые разрывы решений.

Домашнее задание: Вл. 21.13, 21.16, 21.19, 21.20, 21.23; написать общую формулу ре-

шения неоднородного волнового уравнения с неоднородными граничными и начальными условиями на полуоси для случаев условий первого (u|x=0 = . . .), второго (ux |x=0 = . . .) и третьего ((ux + k u)|x=0 = . . .) рода.

Задачи: Вл. 21.13 utt = uxx (t, x > 0), u|t=0 = x2 , ut |t=0 = x, u|x=0 = t2 ; Вл. 21.16 utt = uxx + 2 (t, x > 0), u|t=0 = x + cos x, ut |t=0 = 1, ux |x=0 = 1; Вл. 21.19 utt = 3uxx + 2(1 - 6t2 )e-2x (t, x > 0), u|t=0 = 1, ut |t=0 = x, (ux - 2u)|

-2 + t - 4t2 ; Вл. 21.20 utt = uxx (t, x > 0), u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0, (ux + u)|x=0 = 1 - cos t; Вл. 21.23 1) utt = uxx - 6 (t, x > 0), u|t=0 = x2 , ut |t=0 = 0, (ut + 2ux )|x=0 = -4t; Вл. 21.23 2) utt = 4uxx + 2 (t, x > 0), u|t=0 = 2 - x, ut |t=0 = 2, (ut + 3ux )|x=0 = 3t - et .

x=0

=

1-я самостоятельная работа:
Задание 1. Уравнения первого порядка. Найти: общее решение уравнения; поверхность (гиперповерхность), удовлетворяющую этому уравнению, и проходящую через заданную линию (поверхность); область, на которой решение, определяющее эту гиперповерхность, является классическим. Задание 2. Гиперболическое уравнение с начальными условиями на гиперболе с характеристическими асимптотами. Найти общую формулу решения задачи с данными на кривой; найти решение при указанных начальных данных; определить и изобразить на плоскости область, в которой для любых начальных данных классическое решение существует и единственно а) если данные заданы на обеих ветвях гиперболы, б) если данные заданы на одной ветви, в) если данные заданы на указанном фрагменте этой ветви. Задание 3. Смешанная задача на полупрямой для гиперболических уравнений с однонаправленными характеристиками Найти формулу решения смешанной задачи а) при t > 0

3


и указанных x б) при t < 0 и указанных x; выписать условия согласования данных; указать, где решение а) существует для любых данных и единственно, б) существует только при дополнительных ограничениях на данные и единственно, б) существует для любых данных, но не единственно, г) существует только при дополнительных ограничениях на данные и не единственно; при указанных данных найти соответствующее решение.

Задание 4. Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке. Найти общую формулу решения смешанной задачи; выписать условия согласования данных, при которых решение будет классическим; для заданных данных найти решение и вычислить его значение и пространственную производную в граничных точках отрезка; определить гладкость полученного решения; описать линии, на которых происходят разрывы решения и/или его производной и найти величину разрыва; объяснить, почему решение оказалось недостаточно гладким. Задание 5. Одномерное волновое уравнение (задачи качественного характера).
5. Уравнения Лапласа и Пуассона.

Цель: Знакомство с ключевыми представлениями, связанными с уравнениями Лапласа

и Пуассона: смысл уравнений Лапласа и Пуассона как уравнений потенциала поля, подчиняющегося закону обратных квадратов; взгляд на уравнение и формулу решения как на две эквивалентные формы выражения потенциала поля; переход к математическому понятию потока как расширению естественных представлений; интерпретация заряда как потока.

Схема: Закон обратных квадратов, дискуссия о природе гравитации и смысл результата
Ньютона. Сохранение потока как рудимент потоковых представлений о природе гравитации. Поток и заряд. Потенциал, смысл его использования, уравнение для потенциала (интегральная форма). Свертка как форма выражения потенциала распределенного заряда. Формула ГауссаОстроградского и дифференциальная форма уравнения для потенциала. Замечание Максвелла об отношении дифференциальной и интегральной форм. Двумерный случай. Логарифмический потенциал.

сфера радиуса R; б) F = (1, 0, 0) в R3 , S сфера радиуса R; в) F = (x, y , z ) в R3 , S единичный куб; г) F = (x, y , z ) в R3 , S сфера радиуса R; д) F = - (x,y,z) 2 n в R3 , S 2 2
x +y +z

Домашнее задание: См. список задач. Задачи: 1. Найти поток векторного поля F через поверхность S : а) F = (x, y ) в R2 , S

сфера радиуса R; е) F = (a, b) в R2 , S прямоугольник. 2. Вычислить дивергенцию векторных полей из задачи 1. 3. Выяснить, существуют ли потенциалы векторных полей и найти эти потенциалы: F = z (x, y , z ), F = (x2 , y 2 , z 2 ), F = - (x,y,z) 2 n , F = ( y , x , x ), F = (1, 0, 0), F = (y z , xz , xy ). z y 2 2
x +y +z

4. Для логарифмического и n-мерного потенциала найти: соответствующее векторное поле, поток этого векторного поля через окружность радиуса R, поток этого векторного поля через прямоугольник (параллелепипед), содержащий начало координат, дивергенцию этого векторного поля. 5. БК 132. Найти выражение оператора Лапласа а) в криволинейных координатах x = ( , ), y = ( , ) (в R2 ), б) в полярных координатах x = r cos , y = r sin (в 4


R2 ), в) в цилиндрических координатах x = r cos , y = r sin , z = z (в R3 ), г) в сферических координатах x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos (в R3 ), д) в сплюснутых сфероидальных координатах x = sin , y = ( 2 - 1)(1 - 2 ), z = cos (в R3 ).
6. Потенциал простого и двойного слоя.

Цель: Осознание происхождения и физического смысла потенциалов простого и двойного
слоя. Освоение идеи разного поведения потенциала снаружи и внутри области. слоя. Послойное интегрирование.

Схема: Проблема о законе тяготения внутри Земли. Слой, его потенциал снаружи и вне
Закон постоянства потенциала на проводнике. Железный ящик. Компенсация потенциала внешнего потенциалом зарядов, распределенных по поверхности проводника. Потенциал двойного слоя. Обобщенная свертка. Вычисление объемного потенциала с радиальной плотностью. (Вл. 18.6-1.). Связь между объемным потенциалом и потенциалами простого и двойного слоя.

Домашнее задание: Вл. 18.6 (нечет.), 18.10 (1,2,4,5,8,10,12), 18.17, 18.21(1,2), 18.23, 18.24. Задачи: Вл. 18.6 Вычислить объемный потенциал для шара |x| < R с плотностями: 1) = (|x|) C [0, R], 3) = |x|, 5) = x, 7) = 1+1x|2 , 9) = cos |x|; Вл. 18.10 Найти |

потенциал площади для круга r < R с плотностями 1) = (r) C [0, R], 2) = 0 = const, 4) = r2 , 5) = e-r , 8) = sin r, 10) = sin , 12) = (), (0) = (2 ); Вл. 18.17 В точке, лежащей на полярной оси = 0, найти потенциал простого слоя, распределенного по сфере r = R со следующими плотностями ч: 1) ч пропорциональна квадрату расстояния от плоскости = /2, 2) ч = sin 2 , 3) ч = e при 0 и ч = e2- при 2 ; Вл. 18.21 Найти потенциал двойного слоя в точке полярной оси = 0 для следующих плотностей : 1) = cos , 2) = sin 2 ; Вл. 18.23 Найти логарифмический потенциал простого слоя для окружности радиуса R с плотностями 1) ч = ч0 = const, 2) ч = cos2 (R = 2); Вл. 18.24. Найти логарифмический потенциал двойного слоя для окружности радиуса R с плотностями 1) = const, 2) = sin . 7. Краевые задачи и функция Грина.

Цель: Освоение идеи решения краевой задачи путем "добавки"к потенциалу; понятия
функции Грина, знакомство с ее свойствами, простейшими приемами построения.

Схема: Задача о потенциале поля, порожденного зарядом, внутри металлической оболоч-

ки. Краевая задача. Общая формула и функция Грина. Метод отражений для полуплоскости. Инверсия в уравнении Пуассона. Метод отражений для круга.

пространства, заключенного между двумя параллельными плоскостями z = 0 и z = 1; Вл. 17.4 Найти решение задачи Дирихле u = -f (x) в полупространстве (x3 > 0) с условием на границе ux3 =0 = u0 (x) для следующих f , u0 : 2) f = 0, u0 = cos x1 cos x2 , 4) 2 f = 0, u0 = (x2 - x1 ), 6) f = [x2 +x2 +(x3 +1)2 ]2 , u0 = 1+x1+x2 ; Вл. 17.13 Найти решение 2 1 2 1 2 уравнения u = 0 в первом квадранте x, y > 0 со следующими краевыми условиями: 2) ux=0 = 0, uy=0 = 1, 4) ux=0 = 0, uy=0 = (x - 1), 6) ux=0 = sin y , uy=0 = sin x.

Домашнее задание: Вл. 17.3, 17.4 (чет.), 17.13 (чет.) . Задачи: Вл. 17.3 Пользуясь методом отражений, построить функцию Грина для части

5


8. Решения уравнения Лапласа

Цель: Введение в рассмотрение граничных задач для уравнения Лапласа. Решение уравнения методом комплексификации и методом рядов. Формирование гипотезы аналитичности. Введение принципа максимума как принципа монотонности потенциала.

Схема: Постановка граничной задачи для уравнения Лапласа. Решение двумерного урав-

нения методом комплексификации и методом рядов. Гармонические функции. Решение трехмерного уравнения и трехмерные гармонические функции. Сферические гармоники как аналоги синусов и косинусов.

являются гармоническими: а) x3 + k x1 x2 , б) x2 + x2 + k x2 , 3 2 1 2 1 n д) |x1|k , |x|2 = x2 , |x| = 0; БК 145-147. С помощью i=1 i ния восстановить аналитическую в односвязной области D действительной части u(x, y ) = Ref (z ), если: 145. u = x3 u = sin x ch y .

Домашнее задание: БК 134, 145-150, задача. Задачи: БК 134. Найти значение постоянной k , для которой выписанные ниже функции

в) e2x1 ch k x2 , г) sin 3x1 ch k x2 , криволинейного интегрировафункцию f (z ) по заданной ее - 3xy 2 , 146. u = ex sin y , 147.

z 2u( z , 2i ) - u(0, 0) + iC , z = x + iy , (0, 0) D, позволяющей восстановить аналитическую в 2 односвязной области D функцию f (z ) по заданной ее действительной части u(x, y ).

БК 148-149. Найти гармоническую функцию u, если: 148. u = 3x2 y - y 3 , 149. u = x z ex (x cos y - y sin x) + 2z ; БК 150. Показать справедливость формулы Гурса f (z ) =
Задача. Решая уравнения Коши-Римана, найти гармоническую функцию, сопряженную к: а) u = 3x2 y - y 3 , б) u = e2x cos 2y , в) u 1, г) u = x5 - 10x3 y 2 + 5xy 4 .

9. Контрольная работа. 1. Квазилинейные уравнения 1-го порядка; 2. Задача Гурса; 3. Волновое уравнение на полуоси; 4. Гармонические функции и оператор Лапласа; 5. Функция Грина (метод отражений). 10. Уравнение теплопроводности.

Цель: Освоение основных идей моделирования тепловых и диссипативных процессов. По-

нимание математического уравнения как синтетического объекта. Свойства гауссовского распределения и -образная последовательность. Овладение приемами подбора решений из соображений масштабирования.

Схема: Вывод уравнения теплопроводности. Решение методом степенных рядов (расходимость ряда). Проблема теплорода. Доска Гальтона и уравнение диссипации. Вывод закона предельного распределения. Математическая идентичность процессов теплопередачи и диссипации. Доказательство формулы Пуассона: прием локализации особенности. Многомерный случай.

задачи (n = 2) 1) ut = u + et , ut=0 = cos x sin y , 3) ut 5) 2ut = u, ut=0 = cos xy ; Вл. 13.7 Решить задачи (n 2 sin(x - y - z ), 4) ut = u + cos(x - y + z ), ut=0 = e-(x+y-z) . ut = u, u|t=0 = u0 (x), x Rn для следующих u0 : 1) u0

Домашнее задание: Вл. 13.5 (чет), 13.6 (нечет), 13.7 (чет), 13.8. Задачи: Вл. 13.5 Решить задачи (n = 1) 2) ut = ux x+3t2 , ut=0 = sin x, 4) ut = ux x+et sin x, 2 2 ut=0 = sin x, 6) 4ut = ux x, ut=0 = e2x-x , 8) 4ut = ux x, ut=0 = sin xe-x ; Вл. 13.6 Решить
= u + cos t, ut=0 = xy e-x -y , = 3) 2) ut = 3u + et , ut=0 = Вл. 13.8. Решить задачу Коши 2 = cos n=1 xk ; 2) u0 = e-|x| ; 3) k
n k=1
2 2

u0 = (

n k=1

xk ) e-|

x|

2

4)u0 = sin

n k=1

xk e-|x| ; 5) u0 = exp - [
6

2

xk ]

2


11. Разделение переменных для волнового уравнения и для уравнения теплопро-

водности. Цель: Знакомство и освоение идеи разделения переменных. Установление cвязи с интегральными формулами.

Схема: Простые и сложные колебания струны. Формы и частоты колебаний. Математическая форма разложения по простым колебаниям. Принцип константы. Спектральные задачи и сопровождающие задачи. Дискуссия между Эйлером и Даламбером о понятии функции. Идея Фурье. Обоснование эквивалентности двух форм представления. Проблема сходимости для ряда Фурье.

Домашнее задание: Вл. 20.14 (1,2,3), 20.41. Задачи: Вл. 20.14 Решить следующие смешанные задачи: 1) utt = uxx - 4u (0 < x < 1),
u u u u u | | | = u|x=1 = x= = 0, u|t=0 x= = 0, u|t=0 t = uxx (0 < x |x=0 = u|x=l = 0
x=0

0, u|t=0 = x2 - x, ut |t=0 = 0; 2) utt + 2ut = uxx - u (0 < x < ), u|x=0 = = x - x2 , ut |t=0 = 0; 3) utt + 2ut = uxx - u (0 < x < ), ux |x=0 = 0, = 0, ut |t=0 = x. Вл. 20.41 Решить следующие смешанные задачи: 1) < 1), ux |x=0 = ux |x=1 = 0, u|t=0 = x2 - 1; 2) uxx = ut + u (0 < x < l), , u|t=0 = 1; 3) ut = uxx - 4u (0 < x < ), u|x=0 = u|x= = 0, u|t=0 = x2 - x.

2-я самостоятельная работа:
Задание 1. Гармонические функции (задачи качественного характера). Задание 2. Потенциалы. Найти потенциал объемных масс, потенциал простого и потенциал двойного слоя для уравнения Лапласа внутри и вне указанных областей. Задание 3. Функция Грина. Найти функцию Грина краевой задачи для оператора Лапласа в указанной области с заданным краевым условием. Задание 4. Многомерное волновое уравнение (задачи качественного характера). Задание 5. Уравнение теплопроводности (задачи качественного характера).
12. Разделение переменных для неоднородных уравнений.

Цель: Идея разложения правой части и суперпозиции получаемых решений. Принцип
аналогии форм правой части и решения. Идея превращения неоднородных граничных условий в однородные.

ента f (t) перед синусом. Представление f (t, x) = fn (t) sin nx. Идея разложения правой части и суперпозиции решений. Зависимость разложения от задачи (то же уравнение, но с нулями производных). Неоднородные граничные условия. 20.15 1), 20.45 1)

Схема: Решение уравнения utt = uxx + sin x (с нулями на концах). Введение коэффици-

Домашнее задание: Вл. 20.15 2); 20.16 1),3); 20.45 2),3); 20.46 3). Задачи: Вл. 20.15 Решить следующие смешанные задачи: 1) utt = uxx + x (0 < x < ),

u|x=0 = u|x= = 0, u|t=0 = sin 2x, ut |t=0 = 0; 2) utt +ut = uxx +1 (0 < x < 1), u|x=0 = u|x=1 = 0, u|t=0 = ut |t=0 = 0. Вл. 20.16 Решить следующие смешанные задачи: 1) utt - uxx + 2ut = 4x + 8et cos x (0 < x < /2), ux |x=0 = 2t, u|x=/2 = t, u|t=0 = cos x, ut |t=0 = 2x; 3) utt - 3ut = uxx + u - x(4 + t) + cos 32x (0 < x < ), ux |x=0 = t + 1, u|x= = (t + 1), u|t=0 = ut |t=0 = x. Вл. 20.45 Решить следующие смешанные задачи: 1) ut = uxx (0 < x < l), ux |x=0 = 1, u|x=l = 0, u|t=0 = 0; 2) ut = uxx + u + 2 sin 2x sin x (0 < x < /2), ux |x=0 = u|x=/2 = u|t=0 = 0; 3) ut = uxx - 2ux + x + 2t (0 < x < 1), u|x=0 = u|x=1 = t, u|t=0 = ex sin x. Вл. 20.46 Решить следующие смешанные задачи: 3) ut = uxx + 6u + 2t(1 - 3t) - 6x + 2 cos x cos 2x (0 < x < /2), ux |x=0 = 1, u|x=/2 = t2 + /2, u|t=0 = x.
7


13. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа.

Цель: Распространение метода за пределы динамических представлений. Схема: Метод для прямоугольника. Некорректность начальной задачи для уравнения

Лапласа. Метод для круга. Суммирование ряда и формула Пуассона. Аналитичность решения внутри круга. Разделение переменных в шаре и сравнение с разложением в ряд. Нумерация гармоник. Различные представления сферических гармоник и соотношения между ними. БК 523 а), Вл. 16.1-1).

Домашнее задание: БК 523 б),в) 524 а), Вл. 16.1 2), 16.13 1), 16.20 1). Задачи: БК 523 Найти решения u(x, y ) уравнения Лапласа в прямоугольнике 0 < x < p,

0 < y < s, удовлетворяющие соответственно краевым условиям а) u(0, y ) = ux (p, y ) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, s) = f (x); б) ux (0, y ) = ux (p, y ) = 0, u(x, 0) = A, u(x, s) = B x; в) x u(0, y ) = U , ux (p, y ) = 0, uy (x, 0) = T sin p , u(x, s) = 0; БК 524 Найти решения урав2 нения Лапласа в полуполосе 0 < x < +, 0 < y < l, удовлетворяющие соответственно краевым условиям а) u(x, 0) = uy (x, l) = 0, u(0, y ) = f (y ), u(+, y ) = 0; Вл. 16.1 Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что u|r=1 = f (), где 1) f () = cos2 ; 2) f () = sin3 . Вл. 16.13 Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса R с центром в начале координат и такую, что u|r=R = f (), где 1) f () = cos2 . Вл. 16.20 Найти функцию, гармоническую внутри единичного шара и такую, что 1) u|r=1 = cos 2 + sin2 . 3

14. Многомерное волновое уравнение и функции Бесселя.

Цель: Введение волнового уравнения как второго закона Ньютона. Напоминание формул
решения волновых уравнений и идеи спуска. Подбор решений в простых случаях. Освоение манипуляций с функциями Бесселя. шения и подбор решений. Разделение переменных. Два варианта уравнения Бесселя и свойства их решений.

Схема: Многомерное волновое уравнение как второй закон Ньютона. Формулы для реДомашнее задание: Вл. 20.21, 20.27, 20.51, 20.52. Задачи: Вл. 20.21. Найти решение смешанной задачи utt = urr + 1 ur + f (t)J0 (чk r), где r

чk положительный корень уравнения J0 (ч) = 0, 0 < r < 1, |u|r=0 | < , u|r=1 = u|t=0 = ut |t=0 = 0, если 1) f (t) = t2 + 1, 2) f (t) = sin t + cos t. Вл. 20.27 Решить смешанную задачу utt = urr + 1 ur - ru + et J1 (чk r), где чk положительный корень уравнения J1 (ч) = 0, 2 r 0 < r < 1, |u|r=0 | < , u|r=1 = u|t=0 = ut |t=0 = 0. Вл. 20.51 Найти решение смешанной задачи ut = urr + 1 ur + tJ0 (ч1 r), где ч1 положительный корень уравнения J0 (ч) = 0, r 0 < r < 1, |u|r=0 | < , u|r=1 = u|t=0 0. Вл. 20.52 Решить следующие смешанные = u задачи: 1) ut = xuxx + ux - 4x + tJ1 (чk x), где чk положительный корень уравнения J1 (ч) = 0, 0 < x < 1, |u|x=0 | < , u|x=1 = u|t=0 = 0; 2) ut = xuxx + ux - 9u , 0 < x < 1, 4x |u|x=0 | < , u|x=1 = 0, u|t=0 = J3 (чk x), где чk положительный корень уравнения J3 (ч) = 0.

15. Контрольная работа. 1. Разделить переменные (получить спектральные задачи и сопровождающее уравнение); 2. Найти собственные значения и собственные функции спектральной задачи; 3. Проверить ортогональность системы функций и разложить по этой системе функцию f (t, x); 4. Свести задачу к задаче с однородными граничными условиями.

8


II семестр 1. Метод двойственного действия в интегральных формулах.

Цель: Знакомство с идеей "вместо дифференцирования проинтегрировать". Использование формул Гаусса-Остроградского и Грина как универсального инструмента. Роль характеристик. Предварительное представление о гиперболических уравнениях.

Схема: Проблема гладкости правой части одномерного волнового уравнения в форму-

ле Даламбера. Использование при?ма "вместо дифференцирования проинтегрировать". Второй проход с использованием формулы Грина. Характеристики как линии, на которых формула Грина дает дифференцирование "вдоль".

Домашнее задание: 1. Интегрированием уравнения utt = u

по характеристическому прямоугольнику (прямоугольник, образованный отрезками четырех характеристик) вывести формулу среднего значения u(t1 , x1 ) + u( t2 , x2 ) = u(t3 , x3 ) + u(t4 , x4 ), где (t1 , x1 ) и (t2 , x2 ) одна пара диагональных вершин прямоугольника, а (t3 , x3 ) и (t4 , x4 ) другая пара. 2. Вывести методом двойственного действия формулу решения смешанной задачи на отрезке для уравнения utt = uxx + f (t, x): а) для f (t, x) 0, граничные условия Дирихле (нулевые), начальные условия ненулевые; б) для f (t, x) 0, начальные условия нулевые, граничные условия Дирихле заданные функции; в) для f (t, x) заданная функция, начальные условия и граничные условия Дирихле нулевые. 3. По какой области Вы будете проводить интегрирование, чтобы получить решение уравнения utt - 2utx - 3uxx = f (t, x)? Попробуйте вывести формулу этого решения (начальные условия заданы при t = 0). 4. По какой области Вы будете проводить интегрирование, чтобы получить решение уравнения utt - 3utx + 2uxx = f (t, x)? Попробуйте вывести формулу этого решения (начальные условия заданы при t = 0).
xx

3-я самостоятельная работа:
Задание 1. Метод Фурье для уравнения Лапласа в круге, вне круга, в кольце и в секторе. Найти представление решения двумерного уравнения Лапласа uxx + uyy = 0 в заданной области в виде ряда, выполнив разделение переменных в полярных координатах; просуммировать ряд, представить решение в интегральной форме; вычислить решение при указанных в таблице граничных значениях. Задание 2. Метод Фурье для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности в круге, вне круга и в секторе. Уравнение Бесселя и функции Бесселя. Найти представление решения однородного волнового уравнения в виде ряда, выполнив разделение переменных; найти соответствующее соотношение ортогональности между получившимися функциями Бесселя; свести неоднородное уравнение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, проинтегрировать ее и представить решение в виде ряда. Задание 3. Фундаментальное решение. Найти фундаментальные решения следующих дифференциальных операторов. Проверить, что они удовлетворяют (вне особенностей) однородному уравнению по основным переменным и сопряженному по двойственным. Задание 4. Вариационные задачи. Найти уравнение и краевые условия для функции, которая доставляет минимум функционалу; решить соответствующую задачу. Задание 5. Эволюционные уравнения (задачи качественного характера).
2. Функция Римана. Цель: Умножение перед интегрированием на подходящую функцию. Принцип подбора "подходящей функции". Понятие функции Римана. Вычисление функции Римана. 9


Схема: Уравнение utt = uxx + cu, функция Римана, условия для функции Римана. Сопряженное уравнение. Гиперболические уравнения и их характеристики. Домашнее задание:
1. Получить формулу решения смешанной задачи на отрезке для телеграфного уравнения (и начальные данные, и краевые условия неоднородные). 2. Получить условия для функции Римана уравнения utt = uxx + a(t, x)ut + b(t, x)ux + c(t, x)u + f (t, x). 3. Сведите эти условия к интегральному уравнению. 4. Докажите однозначную разрешимость этого интегрального уравнения. 3. Метод изоляции особенности.

Цель: Знакомство с идеей изоляции особенности для уравнения Лапласа и уравнения
теплопроводности.

Схема: Уравнение Пуассона. Интегрирование по частям. Расходящиеся интегралы. Идея
изоляции особенности. Предельный переход. Уравнение теплопроводности. Изоляция особенности на прямой.

Домашнее задание: 1. Методом двойственного действия получить представление про-

извольной функции u, заданной в области, в виде суммы трех потенциалов объемного, простого и двойного слоя. Для этого, умножив уравнение u = f (x), x R3 на фундаментальное решение и проинтегрировав его по области , применить формулы Грина. 2. Из этой формулы получить теорему о среднем для гармонических функций. 3. С помощью этой же формулы вывести обратную теорему о среднем для гармонических функций. 4. Методом двойственного действия получить формулу решения задачи Дирихле u = f (x), x Rn , u| = (x). Для этого умножить уравнение на функцию Грина G(x, ) задачи Дирихле и, проинтегрировав по области, применить формулу Грина. 5. То же задание для задачи Неймана. 6. Получить фундаментальное решение для оператора xx - 2xy + 2yy и обосновать формулу решения уравнения uxx - 2uxy + 2uyy = f (x, y ). 7. Обосновать с помощью метода двойственного действия формулу Пуассона для уравнения теплопроводности. 4. Метод сопряжения в интегральных формулах. Многомерные волновые урав-

нения. Цель: Распространение метода на многомерные волновые уравнения. Формирование
представления о роли бихарактеристик.

Схема: Двумерное волновое уравнение, особенности под интегралом в формуле решения. Домашнее задание: 1. Проверьте, что функция
(t, x, y ; , , ) = 1 2 (t - )2 - (x - )2 - (y - )2

Дифференцирование сингулярных интегралов. Интегрирование по характеристическому конусу, бихарактеристики.

удовлетворяет уравнению - - = 0. 2. Проверьте формулу решения трехмерного волнового уравнения методом прямого дифференцирования. 3. Проведите обоснование формулы решения трехмерного волнового уравнения методом двойственного действия 5. Фундаментальное решение. Свертка. 10


Цель: Знакомство с понятием фундаментального решения. Свертка как универсальный

способ представления решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Схема: Обращается внимание на то, что все обсуждавшиеся формулы являются сверт-

ками. Физический смысл сверток как инвариантность уравнений относительно сдвигов координат. Решение уравнения с постоянными коэффициентами с помощью свертки. Понятие фундаментального решения. Фундаментальные решения уравнений Лапласа, теплопроводности, волнового в n-мерном пространстве. Сведение к двумерному уравнению. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу. Уравнения с постоянными коэффициентами: подавление членов с первыми производными, сведение к каноническому виду. Переход от исследования отдельных уравнений к исследованию классов уравнений.

Домашнее задание: 1. Вл. 2.1 (кто сколько сможет) 2. Попробовать свести к уравнению

с одной или двумя переменными и найти его фундаментальные решения: u + u = f , utt = u + u + f , ut = u + u + f .

Задачи: Вл. 2.1 1) uxx + 2uxy - 2uxz + 2uyy + 6uzz = 0; 2) 4uxx - 4uxy - 2uyz + uy + uz = 0; 3)
uxy -uxz +uz +uy -uz = 0; 4) uxx +2uxy -2uxz +2uyy +2uzz = 0; 5) uxx +2uxy -4uxz -6uyz -uzz 0; 6) uxx + 2uxy + 2uyy + 2uyz + 2uyt + 2uzz + 3utt = 0; 7) uxy - uxt + uzz - 2uzt + 2utt = 8) uxy + uxz + uxt + uzt = 0; 9) uxx + 2uxy - 2uxz - 4uyz + 2uyt + uzz = 0; 10) uxx + 2uxz -1 2uxt + uyy + 2uyz + 2uyt + 2uzz + 2utt = 0; 11) ux1 x1 + 2 n=2 uxk xk - 2 n=1 uxk xk+1 = k k n n 12) ux1 x1 - 2 k=2 (-1)k uxk-1 xk = 0; 13) k=1 k uxk xk + 2 l
= 0; - 0; +

6. Вариационные задачи. Связь между уравнением и вариационным интегралом.

Цель: Введение нового типа постановок задач и установление связи вариационных задач
с уравнениями с частными производными. механики. Законы Ньютона и вариационный принцип в динамических задачах. Функция Лагранжа. Задачи на отыскание минимумов и критических точек функционалов. Пример 1 задачи для 0 (y )2 (x) dx min при условиях y (0) = y (1) = 0 и при других условиях. Лемма Дю Буа Реймонда. Дополнительная гладкость как следствие экстремальности.

Схема: Принцип минимума энергии и вариационный принцип в стационарной задаче

Домашнее задание: Вл. 19.20-19.24, 19.26-19.29, 19.33, 19.34. Задачи: Вл. 19.20. Найти функцию v0 , реализующую минимум функционала
1 0

(v + v 2 ) dx + 2
0

2

1

v dx

в классе H 1 (0, 1). Вл. 19.21. Доказать, что для всех v C 1 ([0, 1]) справедливо неравен1 41 ство 0 (v 2 + 2xv ) dx + v 2 (0) + v 2 (1) - 270 . Имеет ли место знак равенства для какойлибо функции? Вл. 19.22. Доказать, что для всех v C 1 ([0, 1]), v (1) = 0 имеет место 2 (0) 1 1 5 неравенство 0 v dx 24 + v 4 + 1 0 v 2 dx. Найти функцию из этого класса, для кото4 рой достигается равенство. Вл. 19.23. Найти inf 1 [(grad v )2 + 2 sin x1 sin x2 v ] dx, где Q

Q = {0 x1 , 0 x2 }. Вл. 19.24. Найти inf

v H (Q)


x = (x1 , x2 ). Вл. 19.26. Найти inf |x|<1 | grad v |2 dx на множестве функций v H 1 (|x| < 1), x = (x1 , x2 ), x1 = |x| cos , x2 = |x| sin , удовлетворяющих условию v ||x|=1 = 2 , - < . Вл. 19.27. Может ли заданная на окружности |x| = 1, x1 = cos , x2 = sin ,
11

v H 1 (|x|<1)

|x|<1

[(grad v )2 + 2|x|2 v ] dx, где


функция () быть граничным значением какой-либо функции из H 1 (|x| < 1), если: 4 а) () = sign , - < ; б) () = 2-n cos 22n ; в) () = cos n . Вл.19.28. n=0 n=1 n5 Пусть Q квадрат {0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1}. Доказать, что для любой f H 1 (Q) имеет 1 место неравенство Q f 2 dx 22 Q | grad f |2 dx и установить, что постоянная в неравенстве точная. Вл. 19.29. Пусть Q куб {0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, 0 < x3 < 1}. Доказать, что
1 для любой функции f H 1 (Q) справедливо неравенство f 2 2 32 grad f 2 2 . L L Вл. 19.33. Доказать, что для всех функций u C 1 (0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1), удовлетворяющих граничным условиям u|x1 =0 = u|x2 =0 = 0, u|x1 =1 = x2 , u|x2 =1 = x1 справедливо 11 неравенство 0 0 (grad u)2 dx1 dx2 2 . Имеет ли место равенство для какой-нибудь из этих 3

функций? Вл. 19.34. Доказать, что для всех функций u C 1 (|x| < 1), x = (x1 , x2 ) имеет место неравенство |x|<1 x1 x2 u(x) dx 1152 + |x|<1 (grad u)2 dx. 7. Метод сопряжения в спектральных задачах.



Цель: Знакомство и освоение идеи сопряжения спектральных задач, биортогональности
систем функций, алгоритмов решения несамосопряженных задач методом Фурье.

Схема: Метод Фурье для уравнения utt = u

+ f (t, x) с нулевыми граничными условиями с умножением на собственные функции и интегрированием. То же для utt = uxx + 2ux + f (t, x). Фиксация проблемы. Умножение на неизвестную функцию и интегрирование. Условие для неизвестной функции и сопряженная спектральная задача. Разложение задачи решения методом Фурье на задачу нахождения собственных функций прямой и сопряженной спектральных задач, задачу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений и задачу о полноте и базисности системы собственных функций.
xx

Домашнее задание: Найти собственные функции прямой и сопряженной спектральной
задачи и u|x=0 = ux |x=l = utt = uxx представить решение u|x=l = 0, u|t=0 = sin 0, u|t=0 = x; 3. utt - ut l + x sin t, 0 u(s) ds = в виде ряда 2x, ut |t=0 = = uxxx + 1, l su(s) ds = 0

Фурье для задач: 1. utt - ut = uxx + 2ux + t sin x, sin 3x; 2. ut - 2u = uxx + ux + cos t, ux |x=0 = u|x=0 = ux |x=0 = u|x=l = 0, u|t=0 = ut |t=0 = 0; 4. 0, u|t=0 = ut |t=0 = 0.

8. Преобразование Лапласа.

Цель: Знакомство с преобразованием Лапласа как средством алгебраизации задачи.
Обратное преобразование и контурное интегрирование. Границы применимости преобразования Лапласа.

Схема: Характеристическое уравнение как способ подстановки et . Формула смещения и
формула решения с экспонентой в правой части. Прием "умножить на экспоненту и проинтегрировать". Преобразование Лапласа. Простейшие свойства. Применение преобразования Лапласа к обыкновенному дифференциальному уравнению. Передаточная функция. Нахождение прообраза по преобразованию Лапласа: метод разложения и метод контурного интегрирования. Преобразование Лапласа от свертки. Преобразование Лапласа от функции Коши. Преобразование Лапласа от сдвига функции. Полуфинитные функции. Преобразование Лапласа от единицы (тета-функции). Преобразование Лапласа от производной и интеграла. -функция и ее преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа в уравнениях с частными производными. Предположения о характере роста решения и свойства убывания образа.
+ fk n=0 k!

Домашнее задание: 1. Составить таблицы преобразований Лапласа от простейших
функций (ex , cos x, sin x, xn , f (x) = 12

xk , J (x)). 2. Составить таблицы выра-


^ жения через преобразование Лапласа f () функции f (x) преобразования Лапласа от: x cx (n) e f (x), f (x), f (x), 0 f (s) ds, f (x - a), xf (x), xn f (x), f (x)/x. 3. С помощью преобразования Лапласа решить уравнение y + 2y - 3y = t2 ex cos x, y (0) = A, y (0) = B (двумя способами: разложением в простейшие дроби и использованием таблиц; контурным интегрированием с использованием вычетов). 4. С помощью преобразования Лапласа по t решить задачу utt = uxx , u|t=0 = 1, ut |t=0 = sin x, u|x=0 = 0, u|x= = 0. 5. Вл. 10.19. t Докажите формулу sin t = 0 J0 (t - )J0 ( ) d .
9. Преобразование Фурье.

Цель: Знакомство с преобразованием Фурье как еще одним средством алгебраизации задачи. Обратное преобразование. Связь преобразований Лапласа и Фурье. Границы применимости преобразования Фурье.

Схема: Разложение света на цвета, звука на тоны, электромагнитного сигнала по ча-

стотам. Формула представления f (t) = 1 F ( )eit d . Сравнение с обратным преоб2 разованием Лапласа ( = i ), приведение преобразования Лапласа к интегралу по оси от полуфинитной функции, формула вычисления F ( ). Преобразование Фурье. Теорема Лебега (об аннуляции на бесконечности), несобственный характер сходимости интегралов в обратном преобразовании Фурье. Действие ПФ в L2 , изоморфизм. Условный характер соотношения e-it dt = 21 ( ) и преобразований Фурье от всех элементарных функций. Проблема обоснования.

Домашнее задание: 1. Составить таблицы преобразований Фурье от простейших функ-

ций (et , cos t, sin t, tn , f (t) = +=0 fk tk , J (t)). 2. Составить таблицы выражения через n k! преобразование Фурье F (p) функции f (t) преобразования Фурье от: ect f (t), f (t), f (n) (t), t f (s) ds, f (t - ), tf (t), tn f (t), f (t)/t. 3. С помощью преобразования Фурье решить урав0 нение y + 2y - 3y = t21 , y (t) L2 (R). 4. С помощью преобразования Фурье по t решить +1 t задачу utt = uxx + t2 +1 , u|x=0 = 0, u|x= = 0, u L2 ([0, ] Ч Rt ).

10. Контрольная работа. 1. Привести дифференциальное уравнение к каноническому виду, указать соответствующую замену переменных. 2. Продифференцировать сингулярный интеграл (после дифференцирования вернуться к исходным переменным). 3. Для одномерной спектральной задачи найти сопряженную спектральную задачу, собственные значения и собственные функции исходной и сопряженной задачи. 4. Найти прямое/обратное преобразование Лапласа от заданной функции. 5. Найти прямое/обратное преобразование Фурье от заданной функции 11. Обобщенное дифференцирование и обобщенные функции. Пространства D, D , S , S . Дифференцирование в пространствах обобщенных функций.

Цель: Знакомство с идеей обобщенного дифференцирования и формирования пространств обобщенных функций.

Схема: Измерение как интеграл. Функция как функционал. Обобщенная функция, как

преодоление запрета: представление интегралом функционала, который интегралом от обычной функции не выражается. Естественные предположения о пространстве основных функций. Предельный переход в пространстве основных функций и в пространстве обобщенных функций. Вл. 6.1, 6.10, 6.15. Единая природа -функции (производная от скачка, нуль-бесконечность с единичным интегралом, предел аппроксимаций).
1 Задачи: Вл. 6.1. Пусть D. Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) k (x); 2) 1 1 (k x); 3) k ( x ); k = 1, 2, . . . сходящиеся в D и объяснить, почему. Вл. 6.10. Пусть S . k k

13


1 1 1 Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) k (x); 2) k (k x); 3) k ( x ); k = 1, 2, . . . k сходящиеся в S и объяснить, почему. Вл. 6.15. Доказать, что: 1) (x - ) 0 при в (D) (R ); 2) SR (x) 0 при R в (D) (R\ ).

Домашнее задание: Вл. 6.2-6.4, 6.17-6.21, 6.24, 6.30.
1, при |x| 2 , Показать, что функция 0, при |x| > 2 . + (x) = - (y ) (x - y ) dy , где "шапочка", является основной из D(R ), причем 0 (x) 1, (x) 1 при - x и (x) 0 при |x| > 3 . Вл. 6.3 Пусть G2 = xG U (x; 2 ) 2 -окрестность ограниченной области G Rn и (x) характеристическая функция области G2 , т.е. (x) = 1, x G2 , (x) = 0 x G2 . Доказать, что функция (x) = Rn (y ) (x - y ) dy основная из D(R\ ), причем 0 (x) 1, (x) 1 при x G и (x) 0 при x G3 . Вл. 6.4 Пусть функция (x) удовлетворяет условиям задачи 6.2,

Задачи: Вл. 6.2 Пусть x R1 и (x) =

+

H (x) =
=-

(x - ),

e(x) =

(x) . H (x)

Доказать, что H C (R1 ), H (x) 1; e D(R ), 0 e(x) 1, e(x) 1 при x , e(x) 0 при |x| 3 ; . +=- e(x - ) = 1. Вл. 6.17 Доказать, что: 1) ex D (R ), ex S (R ); 2) e1/x D (R ); 3) ex sin ex 1 S (R ). Вл. 6.18 Доказать, что функционал P x , действующий по формуле

1 P , x

+

=Vp
-

(x) dx = lim +0 x

-

+

+
-

(x) dx, x

D,

сингулярная обобщенная функция.

Вл. 6.19 Вычислить пределы в D (R1 ) при
2)
(x2 + 2 )

; 3)

1 2

e

-x2 /(4 )

; 4)

1 x

sin x ; 5)

x

2

sin

2x

1/(2 ), |x| , 0, |x | > ; . Вл. 6.20 Доказать формулу Сохоцкого +0: 1) f (x) =
ixt -ixt

1 e i (x) + P x . Вл. 6.21 Вычислить пределы в D (R1 ) при t +: 1) x-i0 ; 2) e -i0 ; x e-ixt m ixt n 4) x+i0 ; 5) t e . Вл. 6.24 Пусть D(R ), 0, (x) dx = 1. Доказать, что (x) при +0 в D (Rn ); в частности, (x) (x) при +0 в D (Rn ). Вл. 6.30. Доказать, что обобщенная функция 1 = x+i0 eixt 3) x+i0 ; x -n

Pf =
x2 +y 2 1

1 , (x, y ) x + y2
2

= (x, y ) dxdy x2 + y 2

(x, y ) - (0, 0) dxdy + x2 + y 2
1 x2 +y
2

x2 +y 2 >1

удовлетворяет уравнению (x2 + y 2 )P f

= 1 в D (R2 ).

4-я самостоятельная работа:
Задание 1. Метод Фурье для одномерных эволюционных уравнений. Найти собственные функции и собственные значения соответствующей спектральной задачи, дать представление решения однородной смешанной задачи (с нулевой правой частью и граничными условиями) в виде ряда; подобрать частное решение неоднородной задачи при указанных в таблице правой части и граничных данных; написать формулу общего решения
14


неоднородной задачи и найти это решение (в виде ряда) при указанных в таблице начальных данных; найти собственные функции сопряженной спектральной задачи; проверить биортогональность собственных функций исходной и сопряженной спектральной задачи; свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решить эту систему при указанных в таблице правой части, начальных и конечных данных и получить представление решения в виде ряда; сравнить полученные решения.

Задание 2. Преобразование Лапласа. Решить смешанную задачу с помощью преобразования Лапласа. Задание 3. Преобразование Фурье. Решить смешанную задачу с помощью преобразования Фурье. Задание 4. Функциональные пространства и особенности функций. Выяснить, при каких значениях параметра данная функция принадлежит указанному функциональному пространству. Задание 5. Функциональные пространства и ряды. Найти и обосновать, какому функциональному пространству (указать норму) соответствует сходимость указанного ряда. В случае ряда по функциям Бесселя k нули соответствующей функции Бесселя. В случае, когда взаимно однозначного соответствия найти не удается, указать два наиболее близких пространства, принадлежность одному из которых является необходимым условием для сходимости ряда, а другому достаточным.
12. Дифференцирование и дифференциальные уравнения в пространствах обоб-

щенных функций. Цель: Освоить исчисление обобщенных функций и решение дифференциальных уравнений.

Схема: Принцип "свойство-определение". Определение производной. Вл. 7.3. Алгебраические и дифференциальные уравнения. Вл. 7.22. 1), 5), 7.25 (сколько получится). 1) (x) (x) = - (0) (x) + (0) (x), где (x) C (R1 ); 2) x (m) (x) = -m (m-1) (x), m = 1, 2, . . .; 3) xm (m) (x) = (-1)m m! (x), m = 0, 1, 2, . . .; 4) xk (m) (x) = 0, m = 0, 1, . . . , k - m j +m j (m-j ) 1; 5) (x) (m) (x) = Cm (0) (j ) (x), где (x) C (R1 ); 6) xk (m) (x) = j =0 (-1) k (-1)k k !Cm (m-k) (x), m = k , k + 1, . . .. Вл. 7.22 Найти общие решения в D (R1 ) следующих уравнений: 1) xy = 0; 5) x(x - 1)y = 0. Вл. 7.25. Найти общие решения в D (R1 ) уравнений: 1 1) xy = 1; 2) xy = P x ; 3) x2 y = 0; 4) x2 y = 1; 5) y = (x); 6) (x+1)y = 0; 7) (x+1)2 y = 0; 8) (x + 1)y = 0.

Задачи: Вл. 7.3. Показать, что в D (R1 ):

Домашнее задание: Вл. 7.5, 7.6, 7.10, 7.11, 7.17, 7.18, 7.22 (ост.), 7.25 (ост.) Задачи: Вл. 7.5. 1) Показать, что в D (R1 ) имеет место равенство ((x)(x)) =
(x)(0) + (x) (x), где (x) C (R1 ). 2) Показать, что в D (R2 ) имеет место равенство ( ((t)(x, t)) = (t)(x, 0) + (t) x,t) , где C (R2 ). t t (x - x0 (sign x) , m 1; 5) (xsign x) ; 6) |x|(m) , ((x)xm+k )(m) , m 1, k = 0, 1, 2, . . .; 10) ((x)ex )(m) , m 1. Вл. 7.10 Доказать: 1) d 1 1 1 6.18; 2) dx P x = -P x2 , где P x2 определена + x 1 1 d P 1 = -2P x3 , где P x3 = V p - (x-x3 dx x2
(m) (m)

Вл. 7.6. Вычислить: 1) (-x); 2)
4) 9) 11) че 4)

), m 1 целое; 3) (m) (x0 - x), m 1; m 2; 7) ((x) sin x) ; 8) ((x) cos x) ; ((x)xm-k )(m) , m 1, k = 1, 2, . . . , m; 1 1 d ln|x| = P x , где P x определена в задаdx d1 1 в задаче 6.25; 3) dx x+i0 = (x) - P x2 ; (0)) dx, D(R1 ). Вл. 7.11. Показать,

15


что ряд

ak (k )(x - k ) сходится в D (R1 ) для любых ak . Вл. 7.17. Доказать, что + + + 1 2 = k=- e k=- (x - 2k ). Вл. 7.18 Доказать, что k=- cos(2k + 1)x = 2 + k 1 k=- (-1) (x - k ). Вл. 7.22. Найти общие решения в D (R ) следующих уравнений: 2) (x)y = 0, где (x) C (R1 ) и имеет единственный нуль в точке x = 0 порядка 1; 3) (x)y = 0, где (x) C (R1 ) и (x) > 0; 4) (x - 1)y = 0; 6) (x2 - 1)y = 0; 7) xy = 1; 1 8) xy = P x ; 9) xn y = 0, n = 2, 3, . . .; 10) x2 y = 2; 11) (x + 1)2 y = 0; 12) (cos x)y = 0.
+ - ikx

13. Прямое произведение, свертка, фундаментальное решение, преобразования

Фурье и Лапласа в пространствах обобщенных функций. Цель: Освоить формализацию работы в пространствах обобщенных функций с известными уже объектами.

Преимущества свертки в S . Вл. 8.2, 8.4, 8.5, 8.13. Фундаментальное решение. Вл. 11.2 1)-2), 11.5.

Схема: Введение свертки и прямого произведения в пространстве обобщенных функций.

Задачи: Вл. 8.2. Доказать, что в D (Rn+1 (x, t)): 1) (u1 (x) ћ (t), ) = (u1 (x), (x, 0)); 2) (u1 (x) ћ (t), ) = -(u1 (x), t (x, 0)). Вл. 8.4. Показать: 1) (x1 ) ћ (x2 ) ћ . . . ћ (xn ) = n 1 ,x (x1 , x2 , . . . , xn ); (x1 ) ћ (x2 ) ћ . . . ћ (xn ) = (x1 , x2 , . . . , xn ). Вл. 8.5. Показать: (1x x22 ,...,xn ) = x ... xn (x1 ) ћ (x2 ) ћ . . . ћ (xn ). Вл. 8.13. Показать: 1) f = f = f ; 2) (x - a) f (x) = f (x - a);
3) (x - a) (x - b) = (x - a - b); 4) (m) f = f (m) ; 5) (m) (x - a) f (x) = f (m) (x - a). Вл. 11.2. Доказать, что функция E (x) является фундаментальным решением оператоd2 d a; 2) E (x) = (x) sinaax , dx2 + a2 . Вл. 11.5. Доказать, что ра: 1) E (x) = (x)e+ax , dx E (x) = 21 ln |x| фундаментальное решение оператора Лапласа в R2 .

Домашнее задание: 1. Вл. 8.8, 8.10, 8.14-8.17; 8.33, 8.37 2. Доказать, что решение уравнения с -функцией в правой части является фундаментальным в старом смысле, то есть его свертка с правой частью дает соответствующее решение. 3. Вл. 11.2-3),4), 11.6-1),2), 11.10 1), 11.12 1), 11.13, 11.15, 11.16-1) 4. Сформулировать определение преобразований Фурье и Лапласа в пространствах обобщенных функций. 5. Вл. 9.6, 9.7, 9.9, 9.10, 9.11, 10.7

(t) (at + x) - (t) (at - x); 3) (tt (at - |x|), ) = -a( (at - |x|, t ); 4) (xx (at - |x|), ) = -((t) (at + x), x ) + ((t) (at - x), x ). Вл. 8.10. Пусть g (y ) S (Rm ) и S (Rn+m ). Доказать, что: 1) (x) = (g (y ), (x, y )) S (Rn ); 2) D (x) = (g (y ), Dx (x, y )); 3) если k , k , в S (Rn+m ), то k , k , в S (Rn ); 4) если f S (Rn ) и g S (Rm ), то f (x) ћ g (y ) S (Rn+m ). Вл. 8.14. Вычислить в D (R1 ): 1) (x) (x); 2 2 2) (x) (x)x2 ; 3) e-|x| e-|x| ; 4) e-ax e-ax , a > 0; 5) (x)x2 (x) sin x; 6) (x) cos x (x)x3 ; 7) (x) sin x(x) sh x; 8) (a-|x|)(a-|x|); Вл. 8.15-8.17. Доказать утверждения: 8.15. Ес-1 2 2 1 ли f (x) = (x) x ) e-x , > 0 целое, то f f = f+ . 8.16 Если f (x) = alpha2 e-x /(2 ) , ( > 0, то f f = f2 + 2 . 8.17. Если f (x) = (x2 2 ) , > 0, то f f = f+ . Вл. +

Задачи: Вл. 8.8. Доказать, что в D (R2 ): 1) t (at - |x|) = a (at - |x|); 2) x (at - |x|) =

8.33. Вычислить в D (R2 ): 1) (t)x (x)t; 2) (t - |x|) (t - |x|); 3) (t)(x) (t - |x|). 2 2 2 (t () Вл. 8.37. Вычислить в D (R2 ): 1) ex (t) 2a) t e-x /(4a t) ; 2) (t)et x (t) 2tt e-x /(4t) ; 2 ) 3) (x) (t) 2(tt e-x /(4t) . Вл. 11.2 Доказать, что функция E (x) является фундаментальd d ным решением оператора: 3) E (x) = (x) shaax , dx2 - a2 ; 4) E (x) = (x)e+ax (x -1)! , dx a , m m = 2, 3, . . .. Вл. 11.6. Доказать: 1) E (x) = - 41|x| фундаментальное решение оператора Лапласа в R3 ; 2) E (x) = - (n-2)1 |x|n-2 фундаментальное решение оператора Лаn
2 m-1

m

пласа в Rn , где n =

S1

dS =

2 n/2 (n/2)

площадь поверхности единичной сферы в Rn . Вл. 16


(t Доказать, что: 1) E (x, t) = 2a) t ect-(x+bt) /(4a t) фундаментальное решение оператора t - a2 xx - bx - c. Вл. 11.15. Доказать, что: 1) E1 (x, t) = 21a (at - |x|) фундаментальное (at-|x|) 2 2 2 фундаментальрешение одномерного волнового оператора a ; 2) E2 (x, t) =
2 2

11.10. Доказать, что фундаментальными решениями оператора - k 2 являются функ-k|x| 2 2 ции: 1) E (x) = - e4|x| в R3 . Вл. 11.12. Доказать, что: 1) E (x, t) = (2a(t)t)n e-|x| /(4a t) фундаментальное решение оператора теплопроводности t - a2 в Rn . Вл. 11.13.

ное решение двумерного волнового оператора a , x = (x1 , x2 ). Вл. 11.16. Доказать, что: t) 1) E3 (x, t) = 4(a2 t Sat (x) фундаментальное решение трехмерного волнового оператора n i( ,x0 ) ; 2) F ( ) = 1; a , x = (x1 , x2 , x3 ). Вл. 9.6. Доказать в S (R ): 1) F ( (x - x0 )) = e 3) F [1] = (2 )n ( ); 4) F

2 a

a t -|x|

n = 1. Вл. 9.7. Доказать в S (R ): 1) F (D ) = (-i ) ; 2) F [x ] = (2 ) (-i) D ( ). 1 1 Вл. 9.9. Доказать (n = 1): 1) F [(x)e-ax ] = a-i , a > 0; 2) F [(-x)e-ax ] = a+i , a > 0;
||

(x-x0 )+ (x+x0 ) 2 n

= cos x0 , n = 1; 5) F

(x-x0 )- (x+x0 ) 2i n

= sin x0 ,

3) F [e-a|x| ] = a22a2 , a > 0; 4) F x22aa2 = 2 e-a|| , a > 0; 5) F [(x)e-ax x ) ] = (a+1 ) , a > 0, + + ( i > 0. Вл. 9.10. Воспользовавшись формулой Сохоцкого (см. задачу 6.20) и результатами задач 9.5 и 9.9 1),2), доказать: F [(x)] = ( ) + iP 1 ; 2) F [(-x)] = ( ) - iP 1 . Вл. 9.11. Вычислить преобразования Фурье следующих обобщенных функций (n = 1): 1) (k) , 1 1 1 k = 1, 2, . . .; 2) (x - a); 3) sign x; 4) P x ; 5) x+i0 ; 6) |x|; 7) (x)xk ; 8) |x|k , k = 2, 3, . . .; 9) xk P x , 1 k = 1, 2, . . .; 10) xk , k = 1, 2, . . .; 11) xk (m) , m k ; 12) P x2 , которая определена в задаче + 1 6.25; 13) P x3 , которая определена в задаче 7.10; 14) k=- ak (x - k ), |ak | C (1 + |k |)m ; 15) 1/2 (x) (определение дробных производных см. 8.) Вл. 10.7. Доказать утвержде1 ния: 1) (t) 1; 2) (m) (t - ) pm e- p , 0, p любое, m = 0, 1, . . .; 3) (t) p , p 1 1 Rep > 0; 4) (t)eit p-i , Rep > 0; 5) (t)e-it p+i , Rep > 0; 6) (t) cos t p2 +2 ,
Rep > 0; 7) (t) sin t p2 +2 , Rep > 0; 8) 9) (t)J0 (t) 1 2 , Rep > 0. 1+p (t)tm- (m)
1

-1

e

t



1 (p-)m

, Rep > 0, m = 0, 1, . . .;

14. Соболевские пространства.

Цель: Знакомство с соболевскими пространствами как еще одним формализмом для обоснования разрешимости задач и манипуляций с решениями.

Схема: Обобщенное дифференцирование по Соболеву. Наличие второй производной при

отсутствии первой (Вл. 4.59). Понятие обобщенного решения. Несовпадение решений уравнений ut + uux = 0 и uut + u2 ux = 0. Сходимость рядов Фурье (Вл. 4.69). Неравенство Стеклова (Вл. 4.71). Построение решений в H n . Вл. 4.81.

Задачи: Вл. 4.59. Показать, что из существования обобщенной производной D f не слеУказание. Рассмотреть функцию f (x1 , x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ), где fi (xi ) не имеют обобщенных производных первого порядка.


дует существование обобщенных производных D f при i i , i = 1, . . . , n, | | < ||.

ства H 1 (0, 2 ), состоящее из всех функций f (x) H 1 (0, 2 ), для которых f (0) = f (2 ). Доказать следующее утверждение: для того, чтобы функция f (x) (из H 1 (0, 2 )) принадлежала H 1 (0, 2 ), необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд с общим членом 2 2 n2 (a2 + b2 ), где an = 0 f (x) cos nx dx, bn = 0 f (x) sin nx dx, n = 0, 1, 2, . . .. Равенство n n f 2 = k=0 (a2 + b2 )(k 2 + 1) определяет одну из эквивалентных норм в H 1 (0, 2 ). Вл. k k
H 1 (0,2 )

Вл. 4.69. Обозначим через H 1 (0, 2 ) подпространство простран-



4.71. Для любой f H 1 (a, b) имеет место неравенство (одномерный вариант неравенства
17




Стеклова)

b a

f 2 (x) dx

b-a 2

b a

f 2 (x) dx.


Домашнее задание: Вл. 4.70, 4.73, 4.74, 4.79-4.84, 4.97, 4.98, 4.103, 4.104*, 4.118*. Задачи: Вл. 4.70. Для того, чтобы функция f (x) L2 (0, )) принадлежала H 1 (0, ),
H 1 (0, )

необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд с общим членом k 2 b2 , bk = 0 f (x) sin k x dx, k n = 0, 1, 2, . . .. При этом f 2 = 0 (f 2 + f 2 ) dx = (k 2 + 1)b2 . Вл. 4.73. Доk k=1 2 казать, что для любой функции f H 1 (0, 2 ), для которой f (0) = f (2 ), имеет место неравенство
2 0 2 0 b a

f 2 dx

b a

f 2 (x) dx +
2 0 k

1 2 2

2 0

f (x) dx . Вл. 4.74. Доказать, что для лю-

2

бой f H 1 (0, 2 ) имеет место неравенство (одномерный вариант неравенства Пуанкаре)

f 2 dx 4

f 2 (x) dx +

и функция через ak , bk bk sin k ) и такая, что функция f

f (x) = a20 + (ak cos k + bk sin k ) принадлежит H 1 (|x| < 1). Выразить интеграл <1 (| grad f |2 + f 2 ) dx. Вл. 4.80. Пусть () = a20 + (ak cos k + k=1 k (a2 + n2 ) < . Доказать, что существует функция f (x1 , x2 ) H 1 (|x| < 1) k k k=1 f |=1 = (), x1 = cos , x2 = sin . Вл. 4.81. При каких значениях = |x|- sin |x| принадлежит H 2 (|x| < 1), x = (x1 , x2 )? Вл. 4.82. Доказать,


1 2 k=1

f (x) dx . Вл. 4.79. Пусть x = (x1 , x2 ) = ( cos , sin )

что |x1 |(|x|2 - 1) H 1 (|x| < 1), x = (x1 , x2 , x3 ). Вл. 4.83. При каких значениях функция f = |x|- ex1 -x2 принадлежит H 1 (|x| < 1), x = (x1 , x2 , x3 )? Вл. 4.84. Пусть f (x1 , x2 ) = ak sin k x1 e-kx2 , 0 < x1 < , x2 > 0. При каких ak функция f (x) принадk=1 лежит H 1 (0 < x1 < , x2 > 0)? Вл. 4.97. С помощью результата задачи 4.71 показать, что скалярные произведения (f , g )I = 0 (f g + f g )dx, (f , g )I I = 0 f g dx в пространстве

H 1 (0, ) эквивалентны. Вл. 2 изведения (f , g )I = 0 (f g + f H 1 (0, 2 ) эквивалентны. Вл. x1 = |x| cos , x2 = |x| sin . f (x) постоянная c > 0, что



g )dx, (f , g )I I = 0 f g dx + 0 f dx ћ 0 g dx в пространстве 4.103. Пусть f H 1 (|x| < 1), x = (x1 , x2 ) и f (x||x|=1 ) = h(), Доказать, что существует такая не зависящая от функции 2 f 2 dx c 0 h2 () d + |x|<1 | grad f |2 dx . Вл. 4.104. |x|<1


4.98. Доказать с помощью задачи 4.74, что скалярные про2 2 2

Доказать существование такой постоянной c > 0, что для любой f H 1 (Q) имеет место неравенство Стеклова Q f 2 dx c Q | grad f |2 dx. Вл. 4.118. Показать, что существует такая постоянная c > 0, что для любой функции f H 1 (Q) ( Q C 1 ) имеет место неравенство (неравенство Пуанкаре)
Q

f 2 dx c

Q

f dx

2

+

Q

| grad f |2 dx .

15. Контрольная работа. 1. Для каждого из пространств D, D , S , S указать те функции из предъявленного списка, которые принадлежат этому пространству, а для тех функций, которые этому пространству не принадлежат указать, почему. 2. Решить дифференциальное уравнение в обобщенных функциях. 3. Найти свертку обобщенных функций. 4. Найти преобразование Фурье (в S ) от заданной функции. 5. Доказать, что заданная функция является фундаментальным решением некоторого (многомерного) дифференциального оператора.

18