Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/ZADACH.PDF Дата изменения: Wed Feb 20 20:52:34 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:06:53 2016 Кодировка:

pREDISLOWIE wWEDENIE 1 wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA
2

sODERVANIE

2 5 10

3

zADA^A kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ . . . . . . . . . 25 sME ANNAQZADA^A DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY . . . 30 oGRANI^ENNAQ STRUNA. mETOD fURXE . . . . . . . . . . . 34 kRAEWAQZADA^A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 zADA^A kO I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI . . . . . 45
50

uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGOTIPA uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA

kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ. hARAKTERISTIKI . . . . . . 16 kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^ . . . . . . . . . . . . . . 21
25

oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI

oBOB]ENNYE FUNKCII I FUNDAMENTALXNYE RE ENIQ . . 10 pROSTRANSTWA sOBOLEWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
16

4

39

5

rE ENIQ OTDELXNYH ZADA^ oTWETY |KZAMENACIONNYE WARIANTY
6

gARMONI^ESKIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 kLASSI^ESKAQPOSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^ . . . 56 oBOB]ENNYE RE ENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
71 109 113

uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA

1


pREDISLOWIE nIVE PRIWODQTSQ NEKOTORYE ZADA^I, PREDLAGAW IESQ STUDENTAM MEHANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu NA PISXMENNYH \KZAMENAH PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI I URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJFIZIKI W 1994{2003 GODAH. pRI PODGOTOWKE DANNOGO SPISKA BYLOUMENX ENOKOLI^ESTWO STANDARTNYH ZADA^, KOTORYE MOVNO NAJTI W SU]ESTWU@]IH U^E BNIKAH I U^E BNYH POSOBIQH. kROMETOGO, PRI NALI^II NESKOLXKIH BLIZKIH PO FORMULIROWKAM ZADA^ W SPISOK, KAK PRAWILO, WKL@^ALASX LI X ODNA IZ NIH. w ZADA^NIK TAKVE NE WKL@^ALISX TEORETI^ESKIE WOPROSY IZ PROGRAMMY KURSA (OPREDELENIQ, POSTANOWKI ZADA^, FORMULIROWKI I DOKAZATELXSTWA TEOREM), KOTORYE OBQZATELXNO PRISUTSTWOWALI W L@BOM \KZAMENACIONNOM WARIANTE. dLQ TOGO, ^TOBY U ^ITATELQ WOZNIKLO PREDSTAWLENIE OB \TIH \KZAMENAH, WKONCEZADA^NIKA PRIWEDENY NEKOTORYE WARIANTY S UKAZANIEM USLOWIJ PROWEDENIQ \KZAMENA I KRITERIEW OCENOK. w SOSTAWLENII WARIANTOW \KZAMENACIONNYH ZADANIJ U^ASTWOWALI PREPODAWATELI KAFEDRY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ MEHANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu IM. m. w. lOMONOSOWA: t. d. wENTCELX, a. `. gORICKIJ, a. s. kALA NIKOW, w. a. kONDRATXEW, s. n. kRUVKOW, e. m. lANDIS, e. w. rADKEWI^, g. a. ~E^KIN, a. s. {AMAEW, t. a. {APO NIKOWA. oTBOR ZADA^ 1994{1998 GODOWI IH REDAKTIROWANIE WYPOLNENY a. s. kALA NIKOWYM. wOKON^ATELXNOM SOSTAWLENII SBORNIKA PRINIMALI U^ASTIE t. d. wENTCELX, a. `. gORICKIJ, t. o. kAPUSTINA, o. s. rOZANOWA, g. a. ~E^KIN. zADA^I RAZDELENY NA PQTX TEMATI^ESKIH RAZDELOW. w KAVDOM RAZDELE KRATKO PRIWEDENY OSNOWNYE FAKTY, OTNOSQ]IESQ K DANNOJTEME. ~ASTX ZADA^ SNABVENA PODROBNYMI RE ENIQMI, I WSE ZADA^I (KROMEZADA^NA DOKAZATELXSTWO)| OTWETAMI. kURS URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI, KAK POKAZYWAET PRAKTIKA, QWLQETSQ TRADICIONNOODNOJ IZ SAMYH TRUDNOWOSPRINIMAEMYH MATEMATI^ESKIH DISCIPLIN NA MEH-MATE. nADEEMSQ, ^TO\TOT SBORNIK POMOVET STUDENTAM LU^ E OSWOITX MATERIAL KURSA.
04.04.04. 2


nEKOTORYE ISPOLXZUEMYE OBOZNA^ENIQ | MNOVESTWO WSEH NATURALXNYH ^ISEL. | MNOVESTWO WSEHCELYH ^ISEL. f0g | MNOVESTWO WSEHNEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL. += | MNOVESTWO WSEHDEJSTWITELXNYH ^ISEL. + | MNOVESTWO WSEHPOLOVITELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL. ; | MNOVESTWO WSEH OTRICATELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL. n | n-MERNOE DEJSTWITELXNOE LINEJNOE PROSTRANSTWO. (x1 ::: xn)| DEKARTOWY KOORDINATY W n. ( )| POLQRNYE KOORDINATY W 2. | OBLASTX (T. E. SWQZNOE, OTKRYTOE MNOVESTWO) W n, OGRANI^ENNAQ, ESLI NEOGOWORENO PROTIWNOE. @ | GRANICA OBLASTI . | EDINI^NAQWNE NQQ NORMALX K @ . n (x0 )= fx 2 n j jx ; x0 j 0.

NZ ZN RR RR

R

RR R

R

R

R RR R RR

R

3


C l ( ) | MNOVESTWO FUNKCIJ, l RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH W OBLASTI . Cb ( ) = C ( ) \ L1 ( ) | MNOVESTWO OGRANI^ENNYH NEPRERYWNYH W OBLASTI FUNKCIJ. C 1 ( ) | MNOVESTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH W OBLASTI FUNKCIJ. 1 D( ) = C0 ( ) | MNOVESTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH W OBLASTI FUNKCIJ, RAWNYH NUL@ W OKRESTNOSTI @ . 1 D( n)= C0 ( n) | PROSTRANSTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH FINITNYH FUNKCIJ W n. H 1 ( ) | PROSTRANSTWO FUNKCIJ, PRINADLEVA]IH PROSTRANSTWU L2 ( ) WMESTESOSWOIMI OBOB]ENNYMI PROIZWODNYMI W SMYSLE sOBOLEWA PERWOGOPORQDKA. 1 H 1 ( ) | POPOLNENIE MNOVESTWA C0 ( ) PONORME H 1 ( ). D0 ( n)| PROSTRANSTWO LINEJNYH NEPRERYWNYH FUNKCIONALOW NA D( n). 2 D0 ( n) | \DELXTA-FUNKCIQ", T. E. FUNKCIONAL, OPREDELQEMYJ FORMULOJ

RR RR R R

R

h

'i = '(0) 8'

x0 2 D0

( n), GDE x

0 2 n,| \SDWINUTAQDELXTA h x0 'i = '(x0) 8' 2 D( n):

R

2D

( n):

(x)| -FUNKCIQ hEWISAJDA: (x)= 1 DLQ x > 0 0 DLQ x< 0: x+ = maxfx 0g x; =maxf;x 0g: n !n | PLO]ADX EDINI^NOJ SFERY S1 (0) W n. @u ::: @u . r | OPERATOR GRADIENTA W n, ru = @x @x

R

R R R
(
1

-FUNKCIQ":

n

4


wWEDENIE uKAVEM NEKOTORYE OPREDELENIQ I TEOREMY, KOTORYE NEOBHODIMO ZNATX, ^TOBY RE ATX ZADA^I NASTOQ]EGOSBORNIKA, ATAKVE U^E BNIKI, W KOTORYH MOVNO NAJTI \TI FAKTY. nOMERA ZADA^, PRIWODIMYE W POSLEDU@]IH PUNKTAH, PRIWEDENY DLQ PRIMERA IMOGUT NEOHWATYWATX WSEHZADA^ NA DANNU@ TEMU.
1. wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA
1.

oPREDELENIE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, OSNOWNYH OPERACIJ NAD NIMI I FUNDAMENTALXNOGO RE ENIQ DIFFERENCIALXNOGOOPERATORA. 5, gL.II, xx 5{7] (ZADA^I 1.1{1.5, 2.17 B)) 2. oPREDELENIE PROSTRANSTW H 1 I H 1 . 20, gL. III, x 5] (ZADA^I 1.8{1.16, 1.19{1.21) 3. nERAWENSTWO fRIDRIHSA. 20], 22](ZADA^I 1.17{1.19)
2. oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI

kLASSIFIKACIQ LINEJNYH URAWNENIJ WTOROGOPORQDKA I PRIWEDENIE IH K KANONI^ESKOMU WIDU. 23, gL.I, x 6] (ZADA^I 2.1{2.4, 2.7{2.9, 2.14, 2.15, 2.17 A)) 2. oPREDELENIE HARAKTERISTIK. 23, gL.I, x 3] (ZADA^I 2.5{2.7,
1.

O SU]ESTWOWANII I EDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGORE ENIQ ZADA^I kO I. 23, gL.I, xx 10, 11] (ZADA^I 2.16, 2.22 a)) 4. kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^ DLQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. 23, gL.I, x 8] (ZADA^I 2.17{2.23)
3. uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA
1.

2.11{2.13, 3.3, 3.4) 3. tEOREMA kO I{kOWALEWSKOJ

pOSTANOWKA ZADA^I kO I DLQ ODNOMERNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ. fORMULa dALAMBERA. oBLASTX ZAWISIMOSTI. 23, gL. II, xx 11{13] (ZADA^I 3.1{3.2, 3.5{3.12)
5


zADA^A kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W SLU^AE DWUH I TREH PROSTRANSTWENNYH IZMERENIJ. fORMULY pUASSONA I kIRHGOFA. iSPOLXZOWANIE SIMMETRII W NA^ALXNYH USLOWIQH. oBLASTX ZAWISIMOSTI. 23, gL.II, xx 12, 13] (ZADA^I 3.13{3.23) 3. kRAEWYE ZADA^I DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY. uSLOWIQ SOGLASOWANIQ DLQ NA^ALXNYH I GRANI^NYH ZNA^ENIJ. mETOD PRODOLVENIQ NA^ALXNYH ZNA^ENIJ I SWEDENIE KRAEWOJZADA^IKZADA^E kO I. 29, gL.II, xx 2, 4] (ZADA^I 3.24{3.28, 3.31, 3.32) 4. pOSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^. |NERGETI^ESKOE TOVDESTWO DLQ RE ENIJ KRAEWYH ZADA^. 23, gL. II, x 18] (ZADA^I 3.33{3.36) 5. rE ENIE KRAEWYH ZADA^S POMO]X@ METODA fURXE. pERIODI^NOSTX RE ENIJ KRAEWYH ZADA^. 23, gL.III, x 20], 29, gL.II, x 3] (ZADA^I 3.37{3.40)
2.

4. uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA.
1.

4.3, 4.6, 4.7, 4.20, 4.21) 3. rE ENIE KRAEWYH ZADA^ METODOM fURXE. (ZADA^I 4.8{4.19) 4. pRINCIP MAKSIMUMA W SLOE. 23, gL.IV, x DA^I 4.27, 4.31) 5. tEOREMY O STABILIZACII DLQ RE ENIQ ZA ^I 4.33{4.36)

pOSTANOWKA ZADA^I kO I I OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^. 23, gL. IV, xx 38, 40], 21, x 4.3] 2. pRINCIP MAKSIMUMA W CILINDRE. eDINSTWENNOSTX RE ENIQ PERWOJ KRAEWOJZADA^I 23, gL.IV, x 38], 21, x 4.4] (ZADA^I 4.1,
23, gL. IV, x 39] 40], 21, x 4.4] (ZA-

DA^I kO I. (ZADA-

5. uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA.
1.

5.2, 5.3, 5.6, 5.7, 5.15, 5.42) 2. pRINCIP MAKSIMUMA. tEOREMA O NORMALXNOJPROIZWODNOJ. 23, gL.III, x 8], 21, x 3.5] (ZADA^I 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13, 5.28, 5.33, 5.18)

oPREDELENIE GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. tEOREMY O SREDNEM. tEOREMA lIUWILLQ. 23, gL.III, x 30], 21, xx 3.5, 3.9] (ZADA^I 5.1,

6


3.
xx x

4.

3.3, 3.5] (ZADA^I

fORMULA gRINA. tEOREMA O POTOKE. 23,
5.16, 5.17, 5.34, 5.35

oBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ I W SMYSLE sOBOLEWA. oBOB]ENNOE RE ENIE ZADA^I dIRIHLE. wARIACIONNYJ METOD RE ENIQ ZADA^I dIRIHLE. 21, x 1.3], 20, gL. IV, x 1] (ZADA^I 5.48, 5.49, 5.50, 5.52, 5.51)
6.

) 5. tEORIQ POTENCIALOW. 23, gL. III, x 34], 21, ^I 5.36, 5.37)

3.10] (ZADA^I

tEOREMA OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI. 23, gL III, x 30], 21,
x

5.29, 5.30, 5.31, 5.32, 5.43

)

xx

30, 33], 21,

3.12] (ZADA-

bIBLIOGRAFIQ 1. aRNOLXD w. i., lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mk nmu,1995. 2. bERS l., dVONf., {EHTER m. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1966. | 351 S. 3. bICADZE a.w., kALINI^ENKO d.f. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA, 1977. | 222 S. 4. bUDAK b.m., sAMARSKIJ a.a., tIHONOWa.n. sBORNIK ZADA^ PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: gOS. IZD-WO TEHNIKO{ TEORETI^ESKOJ LITERATURY, 1956. | 683 S. 5. wLADIMIROWw.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 5-OE IZDANIE.| m.: nAUKA, 1988. | 512 c. 6. wLADIMIROWw.s. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA, 1982. | 256 S. 7. wLADIMIROW w.s. oBOB]ENNYE FUNKCII W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. |2-OE IZDANIE | m.: nAUKA, 1979. | 320 c. 8. gILBARG d., tRUDINGER n. |LLIPTI^ESKIE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WTOROGO PORQDKA | m.: iZD-WO nAUKA, 1989. | 463 S. 9. gODUNOW s.k. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW FIZIKO{MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW. |2-OE IZDANIE.| m.: nAUKA, 1979. | 392 c. 7


10. gODUNOW s.k., zOLOTAREWA e.w. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE. | nOWOSIBIRSK: iZD-WO nOWOSIBIRSKOGO GOS. UN-TA, 1987. | 96 c. 11. gORICKIJ a.`., kRUVKOWs.n., ~E^KIN g.a. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PERWOGO PORQDKA (u^EBNOE POSOBIE) | m.: iZDATELXSTWO cENTRA PRIKL. ISSLEDOWANIJ PRI MEH-MAT F-TA mOSK. GOS. UN-TA, 1999. | 96 S. 12. eGOROW `.w. lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. dOPOLNITELXNYE GLAWY. u^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW, OBU^A@]IHSQ PO SPECIALXNOSTI \MATEMATIKA". | m.: iZD-WO mOSK. GOS. UN-TA, 1985. | 164 c. 13. iLXIN a.m., kALA NIKOW a.s., oLEJNIK o.a. lINEJ14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 8

NYE URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA PARABOLI^ESKOGO TIPA //umn.{ 1962.{ T.17, WYP. 3.{ S. 3{146 (SM. TAKVE tRUDY SEMINARA IM. i.g.pETROWSKOGO.{ 2001.{ T.21.{ S. 9{193.) kOME^ a. i., pRAKTI^ESKOE RE ENIE URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI (u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE DLQ STUDENTOW UNIWERSITETOW) | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK. GOS. UN-TA, 1993. kURANT r. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.: mIR, 1964. lADYVENSKAQo.a. kRAEWYE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI | m.: nAUKA, 1973. mASLENNIKOWA w.n. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. u^EBNOE POSOBIE. | 2-E IZDANIE. | m.: iZD-WO rudn, 2000. | 229 c. mIZOHATA s., tEORIQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1977. | 504 S. mIHAJLOW w.p. lEKCII PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI: U^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW WUZOW. | m.: fIZMATLIT, 2001. |206 S. mIHAJLOW w.p. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH. | m.: nAUKA, 1984. oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. I ^ASTX. | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK. UN-TA,
1976.


22. oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 2004. 23. pETROWSKIJ i.g. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. |3-E IZDANIE | m.: fIZMATGIZ, 1961. | 400 S. 24. sMIRNOW w.i. kURS WYS EJ MATEMATIKI (DLQ MEHANIKOMATEMATI^ESKIH I FIZIKO{MATEMATI^ESKIH FAKULXTETOW UNIWERSITETOW. | m.: fIZMATGIZ, 1959. 25. sMIRNOW m.m. zADA^I PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE. | 6-OE IZDANIE. | m.: nAUKA, 1975. | 126 c. 26. sOBOLEW s.l. nEKOTORYE PRIMENENIQ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. |3-E IZDANIE.| m.: nAUKA, 1988. | 336 c. 27. sOBOLEW s.l. iZBRANNYE WOPROSY TEORII FUNKCIONALXNYH PROSTRANSTW I OBOB]ENNYH FUNKCIJ. | m.: nAUKA, 1989. | 254 c. 28. sOBOLEW s.l. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 5-E IZDANIE.| m.: nAUKA,1992. |432 S. 29. tIHONOWa.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 6-E IZDANIE. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1999. | 798 S. 30. {ILOW g.e. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. wTOROJ SPECIALXNYJ KURS. | 2-OE IZDANIE | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1984. | 208 S. 31. {UBIN m.a. lEKCII OB URAWNENIQH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI | m.: iZD-WO mcnmo, 2001. | 302 S. 32. |WANS l.k. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | nOWOSIBIRSK.: iZD-WO tAMARA rOVKOWSKAQ, 2003.

9


1 wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA
STWA D ( ) (ILI D ( )), T. E. PROSTRANSTWA LINEJNYH NEPRE1 RYWNYH FUNKCIONALOW NAD D( n) = C0 ( n) (SOOTWETSTWENNO, 1 ( )). dEJSTWIE FUNKCIONALA f 2 D0 NA ' 2 D NAD D( ) = C0 OBOZNA^AETSQ f (') ILI (f '). w PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ WYDELQETSQ KLASS REGULQRNYH OBOB]ENNYH FUNKCIJ, TO ESTX OBY^NYH FUNKCIJ f (x) 2 L1 loc( n)(ILI f (x) 2 L1 loc( )), DEJSTWIE KOTORYH OPREDELQETSQ TAK: Z

oBOB]ENNYE FUNKCII I FUNDAMENTALXNYE RE ENIQ oBOB]0ENNYMI FUNKCIQMI NAZYWA@TSQ \LEMENTY PROSTRAN n 0

R

R

RR R

-

(f ')=

f (x)'(x)dx

8' 2 D

(INTEGRIROWANIE IDET PO PROSTRANSTWU n ILI PO OBLASTI SOOTWETSTWENNO). oBOB]ENNYE FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ REGULQRNYMI, NAZYWA@TSQ SINGULQRNYMI. pRIMEROM SINGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII QWLQETSQ {FUNKCIQ. pROIZWODNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII f 2 D0 POPEREMENNOJ xi NAZYWAETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM @f ' = ; f @' 8' 2 D: @xi @xi

pO INDUKCII OPREDELQ@TSQ PROIZWODNYE OBOB]ENNOJ FUNKCII PROIZWOLXNOGOPORQDKA. fUNDAMENTALXNYM RE ENIEM DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA L NAZYWAETSQ (WOOB]E GOWORQ, OBOB]ENNAQ) FUNKCIQ E TAKAQ, ^TO L(E )= , TO ESTX (L(E ) ')= '(0) 8' 2 D.

10


pRIWEDEM PRIMERY FUNDAMENTALXNYH RE ENIJ NEKOTORYH DIFFERENCIALXNYH OPERATOROW. fUNDAMENTALXNOE RE ENIE OPERATORA lAPLASA L = WPROSTRANSTWE RAZMERNOSTI n IMEET WID
En E2

@ dLQ OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI L = @t ; a TALXNYM RE ENIEM QWLQETSQ FUNKCIQ
E

(x)= ! (2 ; 1 )jxjn; n n 1 ln jxj (x)= 2

2

n>3 n =2:
2

FUNDAMEN-

; jxj ( (x t)= ; pt) n e 4a2t : 2a t
2

@ wOLNOWOJ OPERATOR L = @t2 ; a2 W ZAWISIMOSTI OT RAZMERNOSTI n, n = 1 2 3, PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ x IMEET SLEDU@]IE FUNDAMENTALXNYE RE ENIQ
E1 E2 E3

2

w OTLI^IE OT SLU^AEW ODNOJ ILI DWUH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH, E3 QWLQETSQ SINGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ, DEJSTWIE KOTOROJNA OSNOWNYE FUNKCII OPREDELENORAWENSTWOM Z1Z
(E3 ')=
3 dSx | \LEMENT PLO]ADI NA SFERE Sat (0).

(x t)= 21a (x t)= 2a (x t)= 4 1 a

(at ;jxj) ( pat2;jxj) 2 a t2 ;jxj 2 t (jxj; at)

n =1 n =2 n =3:

R

4 a2 t

jxj=at

'(x t) dSx dt

8

'(x t)

2D

( 4)

R

11


pUSTX u(x y) | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ KWADRATA @2u (;1 1) (;1 1). nAJTI @x @y W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ.
1.1. 1.2.

pRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 1 FUNKCIQ ( u(x t)= 1 PRI t 6 ax (x t) 2 2 0 PRI t > ax

R

R

QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ ut = ux W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ? pUSTX FUNKCIQ y(x) 2 D0 ( ) I UDOWLETWORQET URAWNENI@ KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ. dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ Cex , C = const.
y0 = y
1.4. 1.3.

R

nAJTI WSE FUNDAMENTALXNYE RE ENIQ OPERATORA
L

2u u(x)= d dx(2x) + du(x) : dx

1.5.

nAJTI FUNDAMENTALXNOE RE ENIE OPERATORA
L

u(x y)= uxx (x y) ; uyy (x y)

OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y< 0.
1.6.

dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ
p ( E (x x0)= ; cos4 rcr)

r = jx ; x0

j

QWLQETSQ FUNDAMENTALXNYM RE ENIEM OPERATORA
+c 12

GDE c = const > 0 n =3:


pROSTRANSTWA sOBOLEWA oBOB]ENNOJPROIZWODNOJ W SMYSLE sOBOLEWA FUNKCII
v(x)'(x) dx = u(x) @x dx i
1 8' 2 C0

POPEREMENNOJ xi W OBLASTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ v(x)(OBOZNA^ENIE: v(x) = @ u=@ xi ), UDOWLETWORQ@]AQ INTEGRALXNOMU TOVDESTWU Z Z @'(x)
;

u(x)

( ):

H 1( ) NAZYWAETSQ PROSTRANSTWO FUNKCIJ u(x), PRINADLEVA]IH PROSTRANSTWU L2 ( ) WMESTE SO SWOIMI OBOB]ENNYMI PROIZWODNYMI @u=@ xi , i = 1 ::: n, W SMYSLE sOBOLEWA PERWOGOPORQDKA. pROSTRANSTWO H 1( ) QWLQETSQ BANAHOWYM (T. E. POLNYM NORMIROWANNYM) PROSTRANSTWOM. nORMA W NEM OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
kuk2 1 ( ) H

pROSTRANSTWOM sOBOLEWA

= kuk2 2 L

()

+

kruk2L2( ))n (

=

Z

juj2

+

n X @u i=1

@xi

2

dx:

pROSTRANSTWOM sOBOLEWA H 1( ) NAZYWAETSQ ZAMYKANIE 1 PODPROSTRANSTWA C0 ( ) W PROSTRANSTWE H 1( ). nERAWENSTWO fRIDRIHSA. dLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI SU]ESTWUET KONSTANTA C ( ), TAKAQ^TO Z Zn 2dx 6 C ( ) X @u 2 dx 8u 2 H 1 ( ): juj @x
i=1 i

H( )

1

w SILU NERAWENSTWA fRIDRIHSA SLEDU@]IJ FUNKCIONAL W
kuk2

H1( )

=

kruk2L2( ))n (

=

Z X @u 2 n @x dx
i=1 i

ZADAET NORMU, \KWIWALENTNU@ ISHODNOJ NORME PROSTRANSTWA
H 1 ( ). 13


pROSTRANSTWO H 1( ) QWLQETSQ GILXBERTOWYM OTNOSITELXNO SKALQRNOGOPROIZWEDENIQ Z X @u @v n
u v]= (ru rv)(L2
( ))n

=

i=1

@xi @xi dx:

pROSTRANSTWO H 1( ) TAKVE QWLQETSQ GILXBERTOWYM SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM Z (u v)H 1 ( ) =(u v)+ u v] GDE (u v)= u(x)v(x) dx
| STANDARTNOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE W L2 ( ).

pUSTX f (x) 2 H 1( ), a(x) 2 C 1( ). dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f (x)a(x) QWLQETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W SMYSLE sOBOLEWA, I DLQ NAHOVDENIQ EE PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA SPRAWEDLIWA OBY^NAQFORMULA lEJBNICA. wERNOLI, ^TO f (x)a(x) 2 H 1( )? n n 1.8. pUSTX f 2 H 1(B1 (0)). wOZMOVNOLI, ^TO f 2 L1 (B1 (0)) = A) PRI n =3 B) PRI n =2 W) PRI n =1? 3 1.9. pUSTX u(x) | OGRANI^ENNAQ W B1 (0) FUNKCIQ, GLADKAQW 3 (0) nf0g. mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO u 2 H 1 (B 3 (0))? B1 1 ;(0 1) QWLQETSQ 1.10. A) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H 1 NEPRERYWNOJ. B) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE 0 1], ; TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0, PRINADLEVIT H 1 (0 1) ? 1.11. pUSTX u 2 C ( ) \ H 1( ) I u(x)= 0 PRI x 2 @ . dOKAZATX, ^TO u 2 H 1( ). 1.12. pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y)= ln(x2 + y2 ) PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1( ), ESLI 2 A) = B1=2 (0) 2 2 B) = B2 (0)nB1=2(0)?
1.7.

14


1.13. pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y)= ln(x2 + xy +2y2 ) PRINADLEVIT H 1( ), GDE =(;1=4 1=4) (;1=4 1=4) ? 1.14. A) pRI KAKIH I n FUNKCIQ f (x) = (ln jxj) =jxj2 PRINADn LEVIT PROSTRANSTWU H 1 (B1=2(0))? n B) tOT VEWOPROS DLQ PROSTRANSTWA H 1(B1 (0)). 1.15. pRI KAKIH FUNKCIQ f (x)= jxj cos x PRINADLEVIT 1;(;1 1) ? PROSTRANSTWU H 1.16. pRI KAKIH 2 FUNKCIQ f (x)= ln jxj cos( jxj), GDE n x =(x1 ::: xn), PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 (B1=2 (0))? 1.17. pUSTX

D = f(x1 ::: xn) 2 n j x2 + + x2 ;1 0 NAJDUTSQ TAKAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX D I TAKAQ FUNKCIQ f 2 H 1( ), ^TO

R

R

Z

f 2 (x) dx > C

Z

jr

f (x)j2dx:

1.18. 1.19.

sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE
= (x y) j 0 ;1


n pUSTX Q = B1 (0). sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C> 0 TAKAQ, ^TO ju(0)j 6 C kukH 1(Q) 8u(x) 2 C 1(Q)? ; 1.20. rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H 1 (;1 1) MNOVESTWO A GLADKIH FINITNYH FUNKCIJ '(x), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ '0 (0) + '(0) = 0, 2 . nAJDITEKORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ A ; MNOVESTWA A W H 1 (;1 1) . 1.21. pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ OBLASTI NA PLOSKOSTI 2, TAKOJ^TO FUNKCII C 1( ) NE SOSTAWLQ@T WS@DU PLOTNOGO MNOVESTWA W PROSTRANSTWE H 1 ( ), T. E. C 1( ) 6= H 1( ):

R

2

?

R

R

15


2 oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI

kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ. hARAKTERISTIKI
lINEJNOE URAWNENIE WTOROGOPORQDKA IMEET WID n n X X n
ij =1

aij uxi xj +

i=1

ai uxi + au = g(x)
n

x

2

wEKTOR = ( 1 ::: PRAWLENIE, ESLI

) IMEET

HARAKTERISTI^ESKOE NA

R

aij = aji: (1) -

n X ij =1

aij i j =0:

pOWERHNOSTX (x)= 0 NAZYWAETSQ HARAKTERISTIKOJ URAWNENIQ (1), ESLI NORMALX K \TOJPOWERHNOSTI = r IMEET HARAKTERISTI^ESKOE NAPRAWLENIE W KAVDOJTO^KE, T.E. n X @@

; eSLI MATRICU aij PRIWESTI K DIAGONALXNOMU WIDU, TO W SOOTWETSTWII SO ZNAKAMI DIAGONALXNYH \LEMENTOW, URAWNENIQ PODRAZDELQ@TSQ NA \LLIPTI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENULEWYE I ODNOGO ZNAKA), GIPERBOLI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENULEWYE I ROWNO ODIN OTLI^AETSQ PO ZNAKU OT OSTALXNYH), PARABOLI^ESKIE (KOGDA SU]ESTWUET ROWNOODIN NULEWOJ, A OSTALXNYE \LEMENTY ODNOGO ZNAKA). oSTALXNYE TIPY MY NE NAZYWAEM. u URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI
a11uxx +2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2 uy + cu = g(x y) HARAKTERISTIKAMI QWLQ@TSQ KRIWYE, KOTORYE NAHODQTSQ IZ

ij =1

aij @x @x =0: ij

URAWNENIQ
16

a11(dy)

2;

2a12dx dy + a22(dx)2 =0


NAZYWAEMOGO HARAKTERISTI^ESKIM. eSLI a11 6= 0, TO I]EM RE ENIE W WIDE y = y(x), GDE w ZAWISIMOSTI OT ZNAKA DISKRIMINANTA WOZNIKA@T TRI SLU^AQ.
dy = a12 D dx a11
p

D=a

2 ; a11a22 12

|

DISKRIMINANT

.

gIPERBOLI^ESKIJ SLU^AJ: D> 0, DWA SEMEJSTWA HARAKTERISTIK (x y)= C I (x y)= C . pRI ZAMENE
URAWNENIE PRIWODITSQ KO WTOROJ KANONI^ESKOJFORME u + MLAD IE ^LENY =0: w SLU^AE ZAMENY URAWNENIE PRIWODITSQ K PERWOJ KANONI^ESKOJFORME u ; u + MLAD IE ^LENY =0: pARABOLI^ESKIJ SLU^AJ: D =0, ODNO SEMEJSTWA HARAKTERISTIK (x y)= C . l@BOJNEWYROVDENNOJ ZAMENOJWIDA GDE (x y)| NEKOTORAQ FUNKCIQ OT DWUH PEREMENNYH, URAWNENIE PRIWODITSQ K KANONI^ESKOJFORME u + MLAD IE ^LENY =0: |LLIPTI^ESKIJ SLU^AJ: D < 0, DEJSTWITELXNYH HARAKTERISTIK NET, NO ESTX DWA SEMEJSTWA KOMPLEKSNO SOPRQVENNYH HARAKTERISTIK (x y) i (x y)= C . dLQ PRIWEDENIQ K KANONI^ESKOJFORME (TOLXKOK PERWOJ) NEOBHODIMOSDELATX ZAMENU
= (x y) = (x y): 17 = (x y) = (x y) =+ =; = (x y) = (x y):


w\TOM SLU^AE URAWNENIQ PRIWODITSQ K WIDU u + u + MLAD IE ^LENY =0:
2.1.

sU]ESTWUET LI URAWNENIE WIDA n X

QWLQ@]EESQ \LLIPTI^ESKIM NA NEPUSTOM MNOVESTWE D D 6= n, I GIPERBOLI^ESKIM NA EGODOPOLNENII nnD? 2.2. wERNY LI SLEDU@]IE UTWERVDENIQ: ESLI URAWNENIE n X n
ij =1

R

ij =1

aij (x1 ::: xn) uxixj =0

aij 2 C ( n)

R

R

aij (x1 ::: xn) uxixj =0

aij 2 C ( )

R

R

n,

| GIPERBOLI^ESKOE (\LLIPTI^ESKOE, PARABOLI^ESKOE) W TO^KE (x1 ::: xn), TOONO QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM (SOOTWETSTWENNO \LLIPTI^ESKIM, PARABOLI^ESKIM) TAKVEWNEKOTOROJOKRESTNOSTI \TOJTO^KI?
2.3.

dLQ KAKIHIZTREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTI
ut = uxx utt = uxx utt = ;uxx

SU]ESTWUET NEPOSTOQNNOE RE ENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMKNUTYMI LINIQMI UROWNQ? 2.4. pRI KAKIH (x y z ) 2 3 URAWNENIE
uxy +(3x + y ; z )uxz +(3x ; y + z )uyz =0 QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM? 2.5. nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx ; y2 uyy =0, PROHODQ]IE ^EREZ: A) TO^KU (1 2) B) TO^KU (1 0). 18

R


2.6.

A) nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQ

uxy ; uyy ; ux + uy =0: B) nAJTI EGOOB]EE RE ENIE. 2.7. A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ 2uxx + uxy =1. B) nAJTI EGO HARAKTERISTIKI. W) nAJTI EGOOB]EE RE ENIE. 2.8. A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ uxx ; 2 uxy ; 3 2uyy + uy + ux =0 (2) W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA . B) pRIWESTI URAWNENIE (2) KKANONI^ESKOJFORME. W) nAJTI OB]EE RE ENIE \TOGO URAWNENIQ. 2.9. A) nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET LINEJNAQZAMENA PEREMENNYH (x y) ! (t z ), PEREWODQ]AQURAWNENIE uxx +4uxy ; uyy =0 (3) | W URAWNENIE STRUNY utt = uzz | W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = uzz . B) tE VEWOPROSY OB URAWNENII uxx +4uxy ; uyy ; ux + 2uy =0: 2 W) pUSTX FUNKCIQ u(x y) 2 C 2(B1 (0)) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (3) PRI NEKOTOROM ZNA^ENII < ;10. wOZMOVNO LI PRI 2 \TOM u 2 C 1(B1 (0))? = G) tOT VEWOPROS DLQ > 10. 2.10. pUSTX = f(x y) 2 2 j x2 +(y ; 2l)2 < l2 g, FUNKCIQ u 2 C 2 ( ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ 2uxx + sign y uyy =0 W OBLASTI . 2 A) wOZMOVNOLI, ^TO u 2 C 3( ) W SLU^AE l> 0? = B) tOT VEWOPROS W SLU^AE l< 0. 19

R


2.11.

nA PLOSKOSTI (x t)

2

ut ; ux =0 (4) 2 utx +2 uxx =0: 2utt ; ( +1) (5) A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4). B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE RE ENIE u(x t) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I RE ENIEM URAWNENIQ (5)? dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P. B) ZNA^ENIJ PARAMETRA : W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5) G) UKAZATX NEKOTOROE RE ENIE u(x t) URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TOTAKOGO RE ENIQ NET. D) tOT VEWOPROS OB OGRANI^ENNOM RE ENII.
2.12.

R

2

RASSMATRIWA@TSQ URAWNENIQ

nAJTI HARAKTERISTI^ESKIE PLOSKOSTI URAWNENIQ

utt = uxx + uyy PROHODQ]IE ^EREZ PRQMU@ t =0, y = x.
2.13.

nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQ

uxx +2uyy +2 uyz + 2uzz + uz + u =1 PRI KAVDOM 2 .
2.14.

nAJTI OB]EE RE ENIE URAWNENIQ
uxx +2uxy +2uxz + uyy +2uyz + uzz ; u =0:

R

2.15. A) pRIWESTI K WIDU, NESODERVA]EMU NESME ANNYH PROIZWODNYH WTOROGOPORQDKA, SLEDU@]EE URAWNENIE:

uxx + uxy ; 2uyy +3(x + y)ux +6(x + y)uy +9u =0: B) nAJTI OB]EE RE ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ. 20


2.16. pRI KAKIH WE]ESTWENNYH I TEOREMA O SU]ESTWOWANII IEDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGO RE ENIQ NEHARAKTERISTI^ESKOJ OBOB]ENNOJZADA^I kO I PRIMENIMA K SLEDU@]EJ ZADA^E:

u S = ux S = uy S =0 GDE S ZADAETSQ URAWNENIEM x + y =1?
2.17. A) nAJTI WSE ZNA^ENIQ , DLQ KOTORYH SU]ESTWUET FUNKCIQ u(x y), PRINADLEVA]AQ C 1( 2) \ C 2(fx > 0g) \ C 2(fx 6 0g), UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ uxx + uxy + uyy =0 PRI x 6=0 I USLOWIQM

uxy +3uyy + u = xy

R

u x=0 =1 ux x=0 =0 2 NONE PRINADLEVA]AQ C 2(Ba (0 y0)) NI PRI KAKIH y0 2 I a> 0. B) nAJTI WSE , DLQ KOTORYH PRI L@BOJ f 2 L1 loc( ) FUNKCIQ u(x y) = f (x + y) UDOWLETWORQET W D0( 2) URAWNENI@ IZ PUNKTA A).

RR R

Lu = f c DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI Bj u = gj . |TA ZADA^A POSTAWLENA KORREKTNO W PARE LINEJNYH NORMIROWANNYH PROSTRANSTW E0 I E1, ESLI 1) DLQ WSEHNABOROW DANNYH (f gj ) 2 E1 SU]ESTWUET RE ENIE u 2 E0 2) \TO RE ENIE EDINSTWENNO 3) SU]ESTWUET TAKAQPOSTOQNNAQ K , NE ZAWISQ]AQOT (f gj ), ^TO kukE0 6 K k(f gj )kE1 : pOD^ERKNEM, ^TO PROSTRANSTWA E0 E1 NE OBQZANY BYTX BANAHOWYMI, T.E. POLNYMI.

kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^ oPREDELENIE KORREKTNOSTI. pUSTX ZADANOURAWNENIE

21


2.18.

rASSMATRIWAETSQ ZADA^A

utt = uxx (x t) 2 := (x t) j 0 6 t 6 2x 0 u t=0 =0 u t=2x = '(x) 0 6 x< 2( ) \ L ( ) 0 (0) = ' '2C + '(0) = ' 1+

kORREKTNA LI ONA W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE
E0 = C 2( ) \ L1 ( ) E1 = '(x) j ' UDOWLETWORQET (6)
2.19.
kukE k'kE
0

RR

6 x< +
+
1

1

00(0) = 0:

(6)

= sup ju(x t)

j

1

= sup j'(x)j?

R
+

kORREKTNA LI KRAEWAQZADA^A:
ut = u t=0 = u x=0 = uxx '(x) u x=1 =0 (x t) 2 Q := (0 1) (0 2] 06x61 06t62

W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE
2 E0 = u(x t) j u 2 Cxt1(Q) \ C (Q) kukE0 =max ju(x t)j Q 1(0 1]) '(0) = '(1) = 0 E1 = '(x) j ' 2 C k'kE1 =max j'(x)j? 0 1]

2.20.

kORREKTNA LI ZADA^A kO I DLQ URAWNENIQ

WPOLOSE Q := Q
22

R
T

utt = uxx (0 2

u t=0 = '1 (x)

R


W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE
E0 = u(x t) j u 2 C 2(Q) sup ju(x t)j < +
kukE
0

= sup ju(x t)j
Q

Q

1

E1 =

(x)= '1(x) '2 (x) j '1 2 C 2( ) '2 2 C 1( ) sup j'j (x)j < +1 (j =1 2) = sup j'1(x)j + sup j'2(x)j?

;

k kE1

R

R

R

R

R

2.21.

kORREKTNA LI ZADA^A kO I DLQ URAWNENIQ

ut = ;uxx WPOLOSE Q := QT (0
R

x

2

R

21 E0 = u(x t) j u 2 Cxt (Q) \ C (Q) \ L1 (Q)

p

2

2.22.

N

o n j E1 = '(x) d ' 2 C ( ) \ L1 ( ) (j =0 1 ::: p) dxj p X dj '(x) kukE0 =sup ju(x t)j k'kE1 = sup dxj Q j =0

RR
utt = ux

R

FIKSIROWANO? rASSMATRIWAETSQ ZADA^A kO I DLQ URAWNENIQ

S USLOWIQMI
u t=0 = '1 (x) ut t=0 = '2 (x): 23


1 E0 = u(x t) j u 2 Cxt2(Q) \ L1 (Q) Q := Q1 n o j E1 = =('1 '2) d 'ji 2 C ( ) \ L1 ( )(i =1 2 j =0 1 2) dx 22 X X dj 'i (x1 ) k kE1 = sup dxj ? kukE0 = sup ju(x t)j Q i=1 j =0

A) pRIMENIMA LI K NEJ TEOREMA kO I - kOWALEWSKOJ W SLU^AE ANALITI^ESKIH '1 I '2 ? B) kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE

RR

R

2.23.

ut + ux =0 (x t) 2 Q := + + u x=0 = g2(t) t 2 + : u t=0 = g1(x) x 2 + nAJTI WSE , PRI KOTORYH \TA ZADA^A KORREKTNA W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE E0 = C 1(Q) \ L1 (Q)g kukE0 = sup ju(x t)j E
Q 1( + ) \ L1 ( + =(0 g1 g2) j gj 2 C 1= 0 g1(0) = g2(0) g2(0) + k kE1 = sup jg1(x)j + sup jg2(t)j:

rASSMATRIWAETSQ KRAEWAQZADA^A

R

R RR R

R

RR

R
+

R
+

) (j =1 2) 0 g1(0) = 0

2.24.

rASSMOTRIM ZADA^U kO I W POLOSE = 1 0 y0] W x u + u =0 W u 2 C 2 ( ) \ C 1( )
u y=0 = '(x) uy y=0 = (x)

'(x) (x)| OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA 1: kORx REKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW u 2 E0 (' ) 2 E1 GDE E0 = C ( ) kukE0 =sup ju(x t)j E1 = C ( 1) C ( 1) x x 24

R

R

2 xy

RR

k kE

1

=sup j'(x)j +sup j (x)j?

R

R


3 uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA
2 sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u 2 C 2(B1 (0) nf0g), UDOWLETWORQ2 @]AQW B1 (0) nf0g URAWNENI@ ux1x1 = ux2 x2 INEOGRANI^ENNAQ 2 (0)nf0g? W B1 3.2. pUSTX FUNKCIQ u(x) 2 C 2( 2) UDOWLETWORQET URAWNENI@ 2 ux1 x1 = ux2 x2 W 2, I u(x)= 0 PRI WSEH x 2 B1 (0). nAJTI NAI2, NA KOTOROMNEOBHODIMO u(x)= 0. BOLX EE MNOVESTWO W 3.3. rASSMOTRIM ZADA^U kO I NA PLOSKOSTI (x t) S DANNYMI NA HARAKTERISTIKE ft = xg DLQ WOLNOWOGOURAWNENIQ

3.1.

RR

R

u t=x = '(x) ux t pRIDUMAJTE TAKIE GLADKIE FUNKCII '(x), ZADA^A NEIMELA RE ENIQ. 3.4. pRIWESTI PRIMER FUNKCIJ ' 2 C 2(

utt = uxx

=x

kO I

R

= (x): (x), ^TOBY DANNAQ

) TAKIH, ^TOZADA^A

uxx +5uxy ; 6uyy =0 u y=6x = '(x) uy y=6x = (x) A) IMELA BYRE ENIE. eDINSTWENNOLI \TO RE ENIE? B) NEIMELA BY RE ENIJ. 3.5. pUSTX Q = 0 1] 0 1], f 2 C 2(@Q). eDINSTWENNO LI REENIE u(x t) 2 C 2(Q) SLEDU@]EJ ZADA^I: utt = uxx (x t) 2 Q u @Q = f ?

zADA^A kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ
utt = a2 xu + u t=0 GDE '(x), (x), f (x t CIQ u(x t) 2 C 2(x 2

kLASSI^ESKIM RE ENIEM ZADA^I kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ

R

f (x =' )| nt

t) (a> 0) x 2 n t> 0 (x) ut t=0 = (x) ZADANNYE FUNKCII, NAZYWAETSQ FUNK> 0) \ C 1(x 2 n t > 0). 25

R

R


'(x) 2 C 2( 1) (x) 2 C 1 ( 1) f (x t) 2 C 1 ( 1 + ) (n = 1) '(x) 2 C 3 ( n) (x) 2 C 2( n) f (x t) 2 C 2( n + ) (n = 2 3), TO RE ENIE ZADA^I kO I SU]ESTWUET, EDINSTWENNO I ZADAETSQ: PRI n =1 FORMULOJ dALAMBERA
x+at 1 h'(x + at)+ '(x ; at)i + 1 Z ( ) d + u(x t)= 2 2a x;at

eSLI WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ

RR

RR

RR RR

1Z + 2a

a t x+Z(t; )

PRI n =2 FORMULOJpUASSONA Z p 2( ) d u(x t)= 2 1 a
@ + @t 2 1a
j ;xj
0 x;a(t; )

f(

)d d +

PRI n =3 FORMULOJkIRHGOFA Z 1
u(x t)= 4 a2t +

p '2( ) d 2 + (at) ;j ; xj j ;xj )
j ;xj=a(t; )

"

Z

(at)

;j ; xj2

#

j2

Z
0

t

j ;xj=at
;

j ;xj=at

'( ) dS +

#

1 2 (t 4a

f(

) dS d : -

zAME^ANIE. rE ENIE ODNORODNOGO WOLNOWOGO URAWNENIQ W L@
BOJTO^KE (x PRI n =1 PRI n =2 PRI n =3 INE ZAWISIT
26 t) ZAWISIT OT ZNA^ENIJ NA^ALXNYH FUNKCIJ ' I | NA OTREZKE x ; at x + at] | W KRUGESCENTROMW TO^KE x RADIUSA at | NA SFERE S CENTROMW TO^KE x RADIUSA at. OT IH ZNA^ENIJ WNE DANNOGOMNOVESTWA.


3.6.

pUSTX u(x t), (x t)

2

utt = uxx u t=0 =0 ut t=0 =(1 + x2) e x2 : nAJTI WSE , PRI KOTORYH sup ju(x t)j < +1.
3.7.

RR

+,|

RE ENIE ZADA^I kO I

pUSTX u(x t), (x t)

2

utt = uxx

nAJTI WSE

u t=0 =0 ut t=0 =(x3 + 2x4 )(1 + x2 ) : , PRI KOTORYH SU]ESTWUET KONE^NYJ t!+1 u(0 t). lim u t=0 =0 ut t=0 =(1 + x2)Im a eax
2

RR

RR
+

+,|

RE ENIE ZADA^I kO I

3.8. nAJTI WSE KOMPLEKSNYE a, PRI KOTORYH OGRANI^ENORE ENIE u(x t) WPOLUPLOSKOSTI + \ADA^I

utt = uxx
3.9.

pUSTX u(x t a), (x t)
utt = a2uxx

1 u t=0 = 1+ x2 ut t=0 =0: dOKAZATX, ^TO u(x t a) UBYWAET PO a. 3.10. pUSTX u(x t), (x t) 2 +,| RE ENIE ZADA^I kO I utt = a2 uxx u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) PRI^EM '(x)= (x)=0 DLQ jxj > 1. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO x0 SU]ESTWU@T TAKIE ^ISLA t0 I c, ^TO u(x0 t)= c PRI WSEH t > t0. nAJTI \TI ^ISLA. ,| RE ENIE ZADA^I kO I utt = a2 uxx u t=0 = '(x) ut t=0 =0 PRI^EM j'(x)j 6 1 DLQ WSEH x 2 , '(x)=0 DLQ jxj > 1. nAJTI NIVN@@ GRANX MNOVESTWA TAKIH ZNA^ENIJ , ^TOPRI WSEH t > , x 2 I L@BYH ' S UKAZANNYMI SWOJSTWAMI WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO ju(x t)j 6 1=2. 27
3.11.
2

RR RR RR RR R

2

+,|

RE ENIE ZADA^I kO I

pUSTX u(x t), (x t)

+

R


3.12. pUSTX fuk (x t)g (k = 1 2 ::: ) | POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ KLASSA C 2, UDOWLETWORQ@]IH SOOTNO ENIQM

@ 2 uk = k @ 2 uk x2 06t6k @t2 @x2 uk t=0 > 0 PRI k 0, > 0 NAJDETSQ TAKOE x0, NE ZAWISQ]EE OT k, ^TO uk (x t)= 0 DLQ (x t) 2 (;1 x0] 0 k](k =1 2 ::: )?
3.13.

nAJTI RE ENIE u(x y t) W

utt = uxx + uyy
3.14.

2 u t=0 = e;x + arctg y

R RR
2

R

+

ZADA^I:
ut t=0 =cos x + sin y:

nAJTI RE ENIE u(x t), x =(x1 x2 x3), W
utt = x u

u t=0 =0 ut t=0 = jxj7:
3

3.15.

nAJTI RE ENIE u(x t), x =(x1 x2 x3), W

utt = xu u t=0 =0 ut t=0 = 1+(x +1x + x ) 1 2 3
3.16.

RR RR
3 2

+

ZADA^I: ZADA^I:
x
2

+

R

3:

utt =4 uxx + uyy + uzz

t > 0 u t=0 = '(x y z ) ut t=0 =0 PRI SLEDU@]IH FUNKCIQH '(x y z ):

nAJTI RE ENIE ZADA^I kO I ;
2z

A) ' = sin x + e
3.17.

B) ' =(yz )

2

pUSTX u(x t)| RE ENIE W

utt = x u u t=0 =0 nAJTI t!+1 u(0 t). lim 28

RR
3

W) ' =(3x ; y + z )e3x;y+z :
+

ZADA^I kO I:

ut t=0 =(1 + 4jxj2);1=2:


3.18.

pUSTX u(x1 x2 t)| RE ENIE W

utt = ux1 x1 + ux2x2 u t=0 =0 ut t=0 = (x1 x2) 2 C 2 ( 2) 2 2 GDE (x1 x2) > 0 W B1 (0), (x1 x2)=0 W 2 n B1 (0). A) pRI KAKIH (x1 x2 t) FUNKCIQ u(x1 x2 t) RAWNA NUL@? B) nAJTI t!+1 tu(x1 x2 t) W SLU^AE, KOGDA lim (x1 x2)=(1 ; x
3.19.
2 ; x2)3 1 2+ 2

RR R
2

+

ZADA^I kO I:

R

pUSTX u(x1 x2 t)| RE ENIE W

utt = ux1 x1 + ux2 x2 u t=0 =0 ut t=0 = (x1 x2) 2 C 2 ( 2) GDE (x1 x2) = 0 PRI (x1 x2) 2 0 1] 0 2], (x1 x2) > 0 PRI OSTALXNYH (x1 x2). A) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEHZNA^ENIJ (x1 x2 t) 2 2 + , DLQ KOTORYH u(x1 x2 t)= 0. B) nARISOWATX \TOMNOVESTWO.

RR
:
+

+

ZADA^I kO I:

RR

R

3.20.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W

utt = xu u t=0 =0 ut t=0 = (x) GDE (x)=0 PRI 0:9 6 jxj 6 1, (x) > 0 DLQ OSTALXNYH x. pRI KAKIH (x t) FUNKCIQ u(x t) RAWNA NUL@?

RR
3

ZADA^I kO I:

pUSTX fu"(x y t)g (0 < " 6 1 ) | SEMEJSTWO FUNKCIJ 2 KLASSA C 2, UDOWLETWORQ@]IH SOOTNO ENIQM
3.21.
2 2 2 " @@tu" = @ u2" + @ u2" (x y) 2 2 0 6 t 6 ";m 2 @x @y u" t=0 =0 (x y) 2 2 @u" =0 PRI x2 + y2 6 ";q @u" > 0 PRI x2 + y2 >";q: @t t=0 @t t=0 pRI KAKIH m> 0, q> 0 NAJDETSQ TAKOE > 0, NE ZAWISQ]EE OT ", ^TO u" (x y t)= 0 DLQ x2 + y2 6 2 ,0 6 t 6 ";m (0 <" 6 1 )? 2

RR

29


3.22.

pUSTX u(x t)| RE ENIE ZADA^I kO I

; ; pUSTX u(x t) 2 C 2 3 (0 +1) \ C 1 RE ENIE ZADA^I kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ
3.23.

utt = u x 2 n t > 0 u t=0 =0 ut t=0 = (x) PRI^EM (x) > 0. pRI KAKIH n 2 f1 2 3g SPRAWEDLIWO UTWERVDENIE: ESLI MNOVESTWO fx 2 n j (x)=0g SWQZNO, TOI MNOVESTWO f(x t) 2 n + j u(x t)= 0g TAKVESWQZNO?

R R RR

R

R

3

0 +1) |

1 u t=0 =0 ut t=0 = '(x) 2 C0 ( 3): mOVET LI NOSITELX FUNKCII u LEVATX W CILINDRE 3 BR (0) 0 +1)?

utt = u

R

sME ANNAQZADA^A DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY
utt = a2uxx (a> 0) NA^ALXNYM USLOWIQM PRI t =0 x> 0 t> 0 x> 0

sME ANNOJ ILI NA^ALXNO{KRAEWOJZADA^EJ DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x t) UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@

u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) I GRANI^NOMU USLOWI@ PRI x =0

ILI (ux ; w SLU^AE KOGDA (t) 0, KRAEWOE USLOWIE NAZYWAETSQ ODNORODNYM. rASSMATRIWA@TSQ I DRUGIE WIDY GRANI^NYH USLOWIJ. dLQ SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGO RE ENIQ u 2 C 2 ( + +) NUVNY DOPOLNITELXNYE USLOWIQ SOGLASOWANIQ NA^ALXNYH I GRANI^NYH USLOWIJ W TO^KE (0 0). nAPRIMER, KLASSI^ESKOE RE ENIE

ILI

u x=0 = (t) ux x=0 = (t) u) x=0 = (t)

(USLOWIE I RODA), (USLOWIE II RODA), (USLOWIE III RODA).

RR

30


ZADA^I S GRANI^NYM USLOWIEM I RODA SU]ESTWUET, ESLI

0 (0) = (0) (= ut(0 0)) (0) = '(0) (= u(0 0)) 00(0) = a2'00 (0) (utt(0 0) = a2uxx (0 0)):

oB]EE RE ENIE ODNORODNOGOURAWNENIQ STRUNY IMEET WID
u(x t)= f (x ; at)+ g(x + at) f (x ; at)| WOLNA, BEGU]AQ WPRAWO, g(x + at)| WLEWO. fUNKCII f ( ) I g( ) PRI POLOVITELXNYH ZNA^ENIQH ARGUMENTA OPREDELQ@TSQ IZ NA^ALXNYH USLOWIJ, ITEM SAMYM PRI x> at

RE ENIE NAHODITSQ POFORMULE dALAMBERA i 1 xZ+ 1h
u(x t)= 2 '(x + at)+ '(x ; at) + 2a

at

dLQ NAHOVDENIQ RE ENIQ PRI 0 < x < at I]EM FUNKCI@ f ( ) PRI < 0 IZ GRANI^NOGO USLOWIQ PRI x = 0. nAPRIMER, W SLU^AE USLOWIQ PERWOGORODA IMEEM
< 0: w SLU^AE GRANI^NOGOUSLOWIQ WTOROGO ILI TRETXEGORODA FUNKCIQ f ( ), < 0, QWLQETSQ RE ENIEM OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ PERWOGOPORQDKA I ZAWISIT OT ODNOJPROIZWOLXNOJPOSTOQNNOJ, KOTORAQNAHODITSQ IZ USLOWIQ NEPRERYWNOSTI RE ENIQ u(x t) NA GLAWNOJ HARAKTERISTIKE x = at. zAME^ANIE. eSLI URAWNENIE QWLQETSQ NEODNORODNYM, TO SLEDUET NAJTI L@BOE ^ASTNOE RE ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ w(x t) PREDSTAWITX ISKOMOE RE ENIE u(x t) W WIDE SUMMY u(x t)= v(x t)+ w(x t) I PODSTAWITX u(x t) W URAWNENIE, NA^ALXNYE I GRANI^NOE USLOWIQ. tOGDA DLQ NOWOJ NEIZWESTNOJ FUNKCII v(x t) POLU^ITSQ ODNORODNOE URAWNENIE S NOWYMI NA^ALXNYMI I GRANI^NYMI DANNYMI. u x=0 = f (;at)+ g(at)= (t) f ( )= (; =a) ; g(; )

x;at

( )d :

~ASTNYE SLU^AI

dLQ ODNORODNOGOGRANI^NOGO USLOWIQ PERWOGORODA
u x=0 =0 31

.


OB]IJ METOD DAET TOT VE REZULXTAT, ^TO I METOD NE^ETNOGO PRODOLVENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ. fUNKCI@ u(x t) MOVNO NAJTI PO FORMULE dALAMBERA KAK RE ENIE ZADA^I kO I (x 2 ) S NE^ETNO PRODOLVENNYMI W OBLASTX x< 0 FUNKCIQMI ' I '(x) x > 0 (x) x > 0 ~(x)= '(x)= ~
;

R

'(;x) x< 0

;

(;x) x< 0

POLU^ENNOE RE ENIE SLEDUET RASSMATRIWATX TOLXKOPRI x > 0: w SLU^AE ODNORODNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ WTOROGORODA
ux x=0 =0 UDOBNO PRIMENITX METOD ^ETNOGO PRODOLVENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ. fUNKCI@ u(x t) MOVNO NAJTI PO FORMULE dALAMBERA KAK RE ENIE ZADA^I kO I (x 2 ) S ^ETNO PRODOLVENNYMI W OBLASTX x< 0 FUNKCIQMI ' I

R

'(x)= ~

'(x) x > 0 '(;x) x< 0:

~(x)=

POLU^ENNOE RE ENIE RASSMATRIWATX TOLXKOPRI x > 0: uSLOWIQ SOGLASOWANIQ ZDESX PEREPISYWA@TSQ W WIDE USLOWIJ NA GLADKOSTX W NULE FUNKCIJ ' 2 C 2 ( ) I ~ 2 C 1( ). ~

R

(x ) x > 0 (;x) x< 0

R

3.24.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W

utt = uxx ux x=0 =0 3x
(

RR
+

+

ZADA^I:

A) nAJTI MNOVESTWO f(x t) 2 + + j u(x t) 6=0g. B) nARISOWATX \TOMNOVESTWO. W) nARISOWATX GRAFIKI u(x 32 ) u(x 52 ).
32

RR


DA^I:

C 2(

3.25. +

RR

pRI KAKIH = const I '(x) SU]ESTWUET FUNKCIQ u(x t) 2 + ) QWLQ@]AQSQ RE ENIEM W + + SLEDU@]EJ ZA-

RR

(ut + ux ) x=0 =0 u t=0 = '(x) nAJTI \TU FUNKCI@.
3.26. u 2 C2

utt = uxx

3.27. W+

u x=0 =cos !t nAJTI \TORE ENIE.
3.28.

RR RR
utt = uxx

pRI KAKIH ' 2 C 2( ) I ( 2) W 2 ZADA^I:
utt = uxx

R

2

C 2( ) SU]ESTWUET RE ENIE ut t=x = (x)?

R

ut t=0 =0 ?

u t=x = '(x)

pRI KAKIH A I ! SU]ESTWUET RE ENIE u 2 C 2( + KRAEWOJZADA^I:

RR
+

+

)

w ^ETWERTI PLOSKOSTI

utt = 1 uxx (ux ; u) x=0 = (t) u t=0 = '(x) ut t=0 =0: 4 A) pUSTX '(x) I (t)| 2 {PERIODI^ESKIE FUNKCII, RAWNYE NUL@ NA OTREZKE =2 3 =2]. nAJTI I NARISOWATX MAKSIMALXNOE MNOVESTWO, NA KOTOROM FUNKCIQ u(x t) ZAWEDOMO RAWNA 0. ; ; B) pUSTX '(x)= cos+ (x) , GDE f+ (x)= max(0 f (x)) : nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE NA FUNKCI@ (t) IKONSTANTU > 0, PRI KOTORYH SU]ESTWUET KLASSI^ESKOE RE ENIE \TOJZADA^I.

RR
+

u t=0 = Ae;x
+

2

ut t=0 =0 ?

RASSMATRIWAETSQ ZADA^A

pRI KAKIH k, I SU]ESTWUET RE ENIE u(x t) 2 C 2(D ) W D = f(x t) j kt 6 x< +1 0 6 t< +1g SLEDU@]EJ ZADA^I
3.29.

u x=kt = t eDINSTWENNOLI ONO?

utt = uxx

u t=0 = ut t=0 =0? 33


3.30.

i]ETSQ RE ENIE u(x t) ZADA^I

utt = uxx

zDESX '(k) (0) = (k) (0) = 0 DLQ k =0 1 2. A) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEHZNA^ENIJ (x t) 2 2, DLQ KOTORYH ODNOZNA^NO OPREDELENORE ENIE u(x t) \TOJZADA^I. B) nARISOWATX \TOMNOVESTWO. W) nAJTI RE ENIE u(x t) RASSMATRIWAEMOJZADA^I.

R

u t=x = '(x) 2 C 2(0 1]) u t=2x = (x) 2 C 2 (0 1=2])

06x61 0 6 x 6 1=2:

oGRANI^ENNAQ STRUNA. mETOD fURXE zADA^A {TURMA{lIUWILLQ
@ L := @x p(x) I p(x) > p0 > 0 L u]= ; u ujx=0 =0 ujx=l =0: @ @x
;

rASSMOTRIM SPEKTRALXNU@ ZADA^U DLQ DIFFERENCIALXNOGOOPERATORA {TURMA{lIUWILLQ
q(x)u

GDE q > 0 NA 0 l] 8 < :

NA 0 l], SLEDU@]EGO WIDA: PRI x 2 (0 1)

1) oPERATOR L QWLQETSQ SIMMETRI^ESKIM OTRICATELXNO OPREDELENNYM, T.E. (L u] v)L2 (0 1) =(u L v])L2 (0 1) L Xk ]= ; k Xk k > 0: pRI \TOM, j k j ;! +1, ESLI k ! +1. 2) eSLI L u] = u L v] = v, TO u I v | LINEJNO ZAWISIMY ESLI L u]= u L v]= v I 6= , TO (u v)L2 (0 1) =0. 3) mNOVESTWO fXk g OBRAZUET POLNU@ ORTOGONALXNU@ SISTEMU W L2 (0 1). 34

tEOREMA

.


iZU^ENIE SOBSTWENNYH KOLE BANIJ OGRANI^ENNOJ STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI PRIWODIT K ZADA^E
x 2 (0 l) t > 0 ujx=0 = ujx=l =0 (7) u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) (8) |TO TAK NAZYWAEMAQSME ANNAQ, ILI NA^ALXNO{KRAEWAQ, ZADA^A DLQ URAWNENIQ STRUNY. rE ENIE \TOJ; ZADA^I I]ETSQ W KLASSE ; FUNKCIJ u(x t) 2 C 2 (0 l) + \ C 1 0 l] + . kRAEWYE USLOWIQ W (7) W KAVDOM IZ KONCOW x = 0 I x = l MOGUT BYTX ZAMENENY (NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA) NA USLOWIQ ODNOGO IZ TREH WIDOW, UKAZANNYH DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY. sOOTWETSTWENNO, DLQ SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGORE ENIQ ZADA^I (7){(8) NEOBHODIMO WYPOLNENIE USLOWIJ SOGLASOWANIQ W DWUH TO^KAH:(0 0) I (l 0). rE ENIE NA^ALXNO{KRAEWOJ ZADA^I NA OTREZKE, KAK PRAWILO, STROITSQ STANDARTNYM METODOM fURXE WWIDERAZLOVENIQ W RQD PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM Xk (x) SOOTWETSTWU@]EJ ZADA^I {TURMA{lIUWILLQ. wSLU^AE ODNORODNYH KRAEWYH USLOWIJ I I II RODA NA OBOIH KONCAH BAZISNYE FUNKCII Xk IME@T WID: Xk (x) = sin kx (k 2 ) W SLU^AE u x=0 = u x=l =0 l X0 (x) 1 Xk (x)= cos kx W SLU^AE ux x=0 = ux x=l =0 l utt = uxx

mETOD fURXE

R

R

N

W SLU^AE u x=0 = ux x=l =0 l ;k ; 1 x 2 Xk (x) = cos W SLU^AE ux x=0 = u x=l =0 l nAPRIMER, RE ENIE ZADA^I (7){(8) DAETSQ FORMULOJ 1 X u(x t)= Ak cos kat + Bk sin kat sin kx l l l Z l k=1 kx Zl 2 2 kx
Xk (x) = sin Ak = l
0

;

k

1 ;2

x

'(x)sin l dx Bk = 2 ka

0

(x) sin l dx: 35


DA^I NAZYWAETSQ FUNKCIQ Z l h1
E (t)=

iNTEGRALOM\NERGII DLQ RASSMATRIWAEMOJSME ANNOJZA

-

i 2 u2(x t)+ a u2 (x t) dx: t 2x 02 w SLU^AE, ESLI W OBOIH KONCAH x =0 I x = l IME@TSQ ODNORODNYE KRAEWYE USLOWIQ I ILI II RODA, WYPOLNENO \NERGETI^ESKOE TOVDESTWO: E (t) const DLQ L@BOGO KLASSI^ESKOGORE ENIQ u(x t) \TOJZADA^I.

3.31.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W

utt = uxx ux x=0 =0 3x
RR
+

+

ZADA^I:

(

ux

A) nARISOWATX GRAFIK u(x 2 ). B) tOT VEWOPROS DLQ SLU^AQ, KOGDA URAWNENIE RASSMATRIWAETSQ DLQ x 2 0 2 ], t 2 + I STAWITSQ DOPOLNITELXNOE USLOWIE
=2

W) tOT VEWOPROS DLQ SLU^AQ, KOGDA POSLEDNEE USLOWIE ZAMENQETSQ USLOWIEM ux x=2 =0.
3.32. uKAZATX WSE ZNA^ENIQ POSTOQNNYH , I , PRI KOTORYH SU]ESTWUET RE ENIE u 2 C 2(Q) SME ANNOJ ZADA^I

=0.

R

utt = uxx u x=0 = u t=0 = x4 + x3 +sin x W KWADRATE Q = 0 ] 0 ]. nAJTI \ 36

u x= =0 ut t=0 = cos x

TORE ENIE.


3.33.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W 0 1]

utt =4uxx u x=0 = u x=1 =0 3x u t=0 = 4 sin ut t=0 =30x(1 ; x):

R

+

SME ANNOJZADA^I

A) nAJTI f ( 1 ), GDE f (t)= 3 B) nAJTI u(x 2).
3.34.

Z

1 0

u2(x t)+4u2 (x t) dx. t x

pUSTX u(x t)| RE ENIE W 0 ]

utt = uxx u x=0 = u x= =0 u t=0 =sin100 x ut t=0 =0: wERNO LI, ^TO jut(x 2 )j > 100 NA MNOVESTWE, MERA KOTOROGO BOLX E 1?
3.35.

R

+

SME ANNOJZADA^I

pUSTX u(x t)| RE ENIE W 0 1]
u x=0 = u x=1 =0

utt = uxx

nAJTI t!+1 lim
3.36.

Z

u t=0 =0

R R

+

SME ANNOJZADA^I
ut t=0 = x2(1 ; x):

1 0

u2 (x t)+ u2 (x t) dx. t x

pUSTX u(x t)| RE ENIE W 0 1]
u x=0 = u x=1 =0

+

SME ANNOJZADA^I

utt = uxx

nAJTI t!+1 lim
3.37.

Z

u t=0 =0 ut t=0 = x2(1 ; x)2 :

1=2

0

u2(x t)+ u2 (x t) dx. t x

pUSTX u(x t)| RE ENIE W 0 ]

utt = uxx +sin x cos 5x sin !t u x=0 = u x= =0 u t=0 = ut t=0 =0: nAJTI WSE !, DLQ KOTORYH sup ju(x t)j < +1.
Q

R

+

SME ANNOJZADA^I

37


3.38.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W 0 1]
Q

utt = uxx

u x=0 =0 u x=1 = sin t u t=0 =0 ut t=0 = x nAJTI WSE , DLQ KOTORYH sup ju(x t)j < +1.

R

+

SME ANNOJZADA^I

3.39. A) nAJTI WSE k> 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII ; '(x) 2 C 1 (0 ) SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE RE ENIE W 0 ]
+

; ; pUSTX u(x t) 2 C 2 (0 ) (0 +1) \ C 1 0 ] 0 +1) | RE ENIE W 0 ] + KRAEWOJZADA^I:
3.40.

utt =9uxx u x=0 =(ux ; ku) x= =0 u t=0 =0 ut t=0 = '(x): ; B) dLQ k = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 (0 l) , DLQ KOTORYH RE ENIE u(x t) \TOJZADA^I OGRANI^ENO.

R

ZADA^I

utt = uxx u x=0 = f (t) u x= =0 u t=0 = ut t=0 =0 f (t) | GLADKAQ FUNKCIQ I f (t) ! 0 PRI t ! 1: mOVET LI RE ENIE \TOJZADA^I NEOGRANI^ENNO WOZRASTATX POWREMENI, TO ESTX POPEREMENNOJ t?

R

38


4 uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA
pERWOJ SME ANNOJ, ILI NA^ALXNO{KRAEWOJ, ZADA^EJ DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x t) 2 C 2(QT ) \ C (Q T ), T > 0 ILI T =+1, UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQM
u x2@ =0 u t=0 = '(x) 2 C ( ) GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ. kRAEWOE USLOWIE MOVET BYTX I NEODNORODNYM. eSLI WMESTO USLOWIJ NA ZNA^ENIQ FUNKCII u PRI x 2 @ ZADANY ZNA^ENIQ EE NORMALXNOJPROIZWODNOJ ILI LINEJNOJKOMBINACII SAMOJ FUNKCII I EE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ, ZADA^A NAZYWAETSQ SOOTWETSTWENNO II I III KRAEWOJ. pRINCIP MAKSIMUMA W CILINDRE. eSLI FUNKCIQ u(x t) 2 C 2(QT ) \ C (Q T ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI W CILINDRE QT , TO SWOE MAKSIMALXNOE (I MINIMALXNOE) ZNA^ENIE W QT ONA PRINIMAET LIBO NA NIVNEM OSNOWANII CILINDRA t =0, LIBO NA EGOBOKOWOJPOWERHNOSTI x 2 @ . rE ENIE DANNOJZADA^I, KAK PRAWILO, STROITSQ METODOM fURXE. nAPRIMER, RE ENIE ODNOMERNOJPO PROSTRANSTWENNOJPEREMENNOJ x 2 (0 l) ZADA^I ut = a2 uxx ut = a2 x u

kRAEWAQZADA^A

DAETSQ FORMULOJ 1 X;
u(x t)=
k=1

u x=0 = u x=l =0
ka 2 t l

u t=0 = '(x)

Ck e

sin kx l

2 Z l '(x) sin kx dx: Ck = l l 0

39


4.1. mOVET LI OTLI^NOE OT POSTOQNNOJ RE ENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI PRINIMATX NAIMENX EE ZNA^ENIE WO WNUTRENNEJ TO^KE? 21 4.2. pUSTX u 2 Cxt (Q)| RE ENIE W Q := 0 1] 0 1] ZADA^I

Z1 mOVET LI FUNKCIQ f (t):= u2 (x t) dx IMETX MAKSIMUM WNUT0 RI INTERWALA (0 1)? 21 4.3. pUSTX u 2 Cxt (Q) \ C (Q)| RE ENIE W Q := (;1 1) (0 1] URAWNENIQ ut = uxx + q(x t) u GDE q 2 C (Q): oBOZNA^IM M := max u m := max u, GDE ;:= Q n Q. ; Q wOZMOVNOLI, ^TO M > m, ESLI: A) q(x t) 0 B) q(x t) > 0 W) q(x t) < 0, M > 0? 4.4. pUSTX Q := (0 1) (0 1]. sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u(x t) 2 SO SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: u 2 Cxt1(Q) \ C (Q)
ut = uxx (x t) 2 Q u t=0 = 2 sin x u t=1 =3 sin x u x=0 =sin t u x=1 =sin t +2 sin t
4.5.

ut = uxx

u x=0 = u x=1 =0 u t=0 > 0:

pUSTX Q = f(x t) 2 2 j x2 + t2 6 1g: sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u 2 C 2(Q), UDOWLETWORQ@]AQURAWNENI@ ut = uxx +1 W Q IUSLOWI@ xux = tu NA @Q?
2 pUSTX FUNKCIQ u(x t) 2 Cxt1(Q) \ C 3(Q) QWLQETSQ RE ENIEM W Q := (0 3) (0 1] KRAEWOJZADA^I

R

06x61 0 6 t 6 1?

4.6.

ut = uxx u x=0 = e;t=4 u x=3 =2e;t= wERNOLI, ^TO u(x t) W Q UBYWAET PO t? 40

64

u t=0 = x +1

p


2 pUSTX FUNKCII uk (x t) 2 Cxt1(Qk ) \ C (Qk ), k =1 2, QWLQ@TSQ RE ENIQMI W Qk := QT;k k) KRAEWYH ZADA^ ( (uk )t =(uk )xx uk x= k =0 uk t=0 = '(x) jxj 6 k: zDESX ' 2 C 1( ;2 2]) '(x) > 0 PRI jxj 6 1 I '(x) = 0 PRI 1 6 jxj 6 2 ' 6 0. dOKAZATX, ^TO u1 (x t)
4.7.

Z nAJTI t!+1 u(x t) dx: lim 0 4.9. pRI KAKIH USLOWIQH NA FUNKCI@ ' 2 RE ENIE u(x t) WPOLUPOLOSE Q1 1) ZADA^I (0 A) ut = uxx u x=0 = ux x=1 =0 B) ut = uxx ux x=0 = ux x=1 =0 OBLADAET SWOJSTWOM u(x t) ! 0 PRI t ! +1? 21 4.10. pUSTX u 2 Cxt (Q)\C (Q)| RE ENIE W

ut = uxx

ux

=

=0

u t=0 = sin2 x:

1; C0 (0 1) L@BOE

u t=0 = '(x) u t=0 = '(x)

Q := Q1 1) ZADA^I (0 ut = uxx + u u x=0 = u x=1 =0 u t=0 = '(x): nAJTI WSE TAKIE 2 , ^TO DLQ L@BOJNA^ALXNOJ FUNKCII ' 2 C (0 1]), '(0) = '(1) = 0, WYPOLNENO lim t!+1 u(x t)= 0 8x 2 0 1]:

R

4.11.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W Q1 ) KRAEWOJZADA^I (0
u x= =0 u t=0 = '(x) ( ) = 0. uKAZATX KLASS WSEH TAKIH t)= 0
8x 2

ut = uxx u x=0 = GDE ' 2 C 1(0 ]), '(0) = ' FUNKCIJ '(x), DLQ KOTORYH lim t t!+1 e u(x

0 ]: 41


4.12.

ut = uxx u x=0 = GDE ' 2 C 1(0 3 ]), '(0) = ' FUNKCIJ '(x) DLQ KOTORYH A) SU]ESTWUET KONE^NYJ B) SU]ESTWUET KONE^NYJ W) SU]ESTWUET KONE^NYJ
4.13.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W POLUPOLOSE Q1 (0
pt

u x=3 =0 u t=0 = '(x) (3 )=0. uKAZATX KLASS WSEHTAKIH lim t!+1 lim t!+1 lim t!+1 e et et u(x t) u(x t) 2 u(x t):
=2)

3)

ZADA^I

pUSTX u(x t)| RE ENIE W Q1 (0

KRAEWOJZADA^I

u x=0 =1 nAJTI t!+1 u(x t). lim
4.14.

ut = uxx

u x= =2 =4 u(x 0) = cos4 x + 4 sin5 x:

ut = ux1 x1 + ux2 x2 u x1 =0 = u x2 =0 =0 u x1 =1 = x2 u nAJTI t!+1 u(x1 x2 t). lim 4.15. pUSTX u(x t)| RE ENIE W POLUPOLOSE ut = uxx u x=0 = u x=l = t ut 1(0 l]), '(0) = '(l)=0. GDE ' 2 C nAJTI t!+1 t;1 u(x t): lim
4.16.

2 pUSTX u 2 Cxt1(Q) \ C (Q) | RE ENIE W Q := Q1 , GDE = (0 1) (0 1), ZADA^I

x2 =1

= x1:

Q1 l) ZADA^I (0 =0 = '(x)

uk t=0 =sin2 x ; sin4 x (k =1 2) u1 x=0 = u1 x= =0 (u2)x x=0 =(u2 )x x= =0 0 6 t< +1:

pUSTX FUNKCII u1 I u2 UDOWLETWORQ@T SOOTNO ENIQM (uk )t =(uk )xx 06x6 0 6 t< +1

pRI KAKIH SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
lim t!+1 u1 (x t) < t!+1 u2 (x t) lim 42

8x 2

0 ]?


4.17.

1 pUSTX FUNKCIQ u(x t)| RE ENIE W Q(0 2) ZADA^I

ut = uxx ux x=0 = ux x=2 =3 nAJTI t!+1 u(x t). lim
4.18.

u t=0 = x

3;

3x2 +3x:

1 pUSTX FUNKCIQ u(x t)| RE ENIE W Q(0 2) ZADA^I

ut = uxx ux x=0 =1 nAJTI t!+1 u(x t). lim
4.19. A) '(x) 2 C

ux x=2 =13

u t=0 = x3 + x:

nAJTI WSE l> 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE RE ENIE W Q1 l) (0 KRAEWOJZADA^I
1 ;(0 l)

ut =2uxx u x=0 =(ux ; 3u) x=l =0 u t=0 = '(x): ; B) dLQ l = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 (0 l) , DLQ KOTORYH RE ENIE \TOJZADA^I OGRANI^ENO. 4.20. A) fUNKCIQ u(x t) 6 const UDOWLETWORQET URAWNENI@ ut = uxx W OBLASTI T = f(x t) j 0 0 0 1; GDE '(x) 2 C0 (0 4) . dOKAZATX, ^TO ju(x t)j ; e;t=4 .
W PREDPOLOVENII, ^TOTAKOE RE ENIE SU]ESTWUET.
43

x2(05;exp(;t))

max

u(x t) >e;t

8

t> 0


4.21.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W Q1 ) ZADA^I (0

ut = uxx+v(x t) u x=0 = u x=1 =0 u t=0 = '(x) 2 C 1 0 1] v(x t) | OGRANI^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ OCENKE jvj 6 C , C> 0| ZADANNAQPOSTOQNNAQ. mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ v(x t) ^TO u(x t) 0 PRI WSEH t>t , t | NEKOTORAQPOLOVITELXNAQPOSTOQNNAQ? 4.24. pUSTX u(x t) 2 C 2 (Q) \ C 1 (Q)| KLASSI^ESKOE RE ENIE W Q := Q1 1) KRAEWOJZADA^I (0 u x=0 = u x=1 =0 ut = uxx +3u dOKAZATX, ^TODLQ u(x t) IMEET MESTONERAWENSTWO C =const > 0: u(x t) 6 Ce;6t

ut = uxx u x=0 = ux x= =0 u t=0 = '(x) GDE '(0) = '0 ( )= 0. A) dOKAZATX, ^TO sup ju(x 1)j 6 sup j'(x)j: 0
;

pUSTX u(x t) 2 C 2(Q) \ C 1 (Q) | RE ENIE W Q := Q1 (0 KRAEWOJZADA^I 1;
4.25.

1)

ut = uxx

ux x=0 =1 ux x=1 = ;1 u t=0 = '(x) 2 C0 (0 1) : oGRANI^ENOLI \TORE ENIE NA Q?(T.E. RASTET LI TEMPERATURA?) 44


4.26.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W Q := Q1 1) ZADA^I (0

ut = uxx u x=0 = f (t) u x=1 = g(t) u t=0 = '(x) f g ' | GLADKIE FUNKCII, PRI^EM f (t) ! a PRI t ! 1 g(t) ! b PRI t ! 1: kAKOJPREDEL PRI t ! 1 W PROSTRANSTWE C 0 1] (ESLI TAKOWOJ WOOB]E ESTX) IMEET RE ENIE u(x t) \TOJZADA^I?

zADA^A kO I

kLASSI^ESKIM RE ENIEM ZADA^I kO I 2DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ u 2 Cxt1( T ) \ C ( T ), OPREDELENNAQ W SLOE T = f(x t) 2 n+1 j x 2 n 0 < t 6 T g I UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@
ut = a2 xu + f (x t) (a> 0)

R

R

I KRAEWYM USLOWIQM

GDE '(x) f (x t)| ZADANNYE NEPRERYWNYE OGRANI^ENNYE FUNKCII. rE ENIE ZADA^I kO I W KLASSE OGRANI^ENNYH FUNKCIJ SU]ESTWUET, EDINSTWENNO I WYRAVAETSQ INTEGRALOMpUASSONA Z 2 1 u(x t)= ; p n exp ; jx4;2 tj '( ) d + a
2a +

u t=0 = '(x) 2 Cb ( n)

R
4

(x t)

2

T

Zt Z

t

zAME^ANIE. pUSTX
(

0n

R

;p1
2a (t

n R

;

)

n

exp

;

u(x t)| RE ENIE ZADA^I kO I x
2

ut = u W n + u t=0 = '1(x1 ) ::: 'n(xn )

RR

jx ; j2 a2 (t ;

) f(

)d d :

R

n

45


'k (xk ) 2 C ( ) \ L1( ) k =1 ::: n. tOGDA u(x t)= uk (x t), k=1 GDE uk (x t)| RE ENIQ ZADA^kO I

RR

(

(uk )t =(uk )xx uk t=0 = 'k (x)

W

x

2

dLQ OGRANI^ENNYH RE ENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI SPRAWEDLIW PRINCIP MAKSIMUMA WSLOE: ESLI FUNKCIQ u(x t) 2 C 2( T ) \ Cb ( T ) UDOWLETWORQET W SLOE T ODNORODNOMU URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2uxx , TO inf u(x 0) 6 u(x t) 6 supn u(x 0) 8(x t) 2 T : x2 n dLQ OGRANI^ENNYH RE ENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI SPRAWEDLIWY TEOREMY O STABILIZACII: pUSTX u(x t)| OGRANI^ENNOE RE ENIE ZADA^I kO I ( ut = uxx W +

RR R

n Q

+

k =1 : :: n:

R

x2

R

u t=0 = '(x) x2 '(x) 2 C ( ) \ L1 ( ): tOGDA 1. eSLI lim '(x)= A TO t!+1 u(x t)= A+ + A; : lim x! 1 2 Zl 1 '(x)dx = A TO lim u(x t)= A : 2. eSLI lim t!+1 l!+1 l 2 ;l 3. eSLI '(x) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO lim u(x t)= '0 t!+1 GDE '0 | NULEWOJKO\FFICIENT RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) WRQD fURXE, PROSTRANSTWENNOE SREDNEE.

RR

RR R

46


ut + x u =0 WTOMVE WIDE, WKAKOMON SPRAWEDLIW DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI? 4.28. dOKAZATX, ^TORE ENIE u(x t) ZADA^I kO I DLQ URAWNENIQ ut = uxx BUDET NE^ETNYM PO x, ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ u(x 0) | NE^ETNAQ. 4.29. pRI KAKIH t> 0 SU]ESTWUET INTEGRAL, WHODQ]IJWFORMULU, KOTORAQ DAET RE ENIE ZADA^I kO I ut = uxx u t=0 = '(x) ESLI TRE BOWANIE OGRANI^ENNOSTI '(x) ZAMENQETSQ PREDPOLOVE-

4.27.

sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA W SLOE DLQ URAWNENIQ

NIEM

j

'(x)j 6 MeKx

4.30. dOKAVITE (ISPOLXZUQ INTEGRAL pUASSONA), ^TO SU]ESTWUET RE ENIE u(x t) 2 C 2 ( +) W + SLEDU@]EJ ZADA^I: ut = uxx u(x t) ! '(x) W L2 ( ) PRI t ! 0 GDE '(x)| ZADANNAQ FUNKCIQ IZ L2( x)(NE OBQZATELXNONEPRERYWNAQ!) 4.31. eDINSTWENNA LI FUNKCIQ u(x t) SO SLEDU@]IMI SWOJST2 WAMI: u 2 Cxt1( (0 h])

ut = uxx lim u(x t)= 0 8x 2 t!0

4.32. pUSTX G = f(x t) j x 2 t 2 ; g. nAJTI WSE FUNKCII 2 u(x t), PRINADLEVA]IE Cxt1(G) OGRANI^ENNYE W G IUDOWLETWORQ@]IE W G URAWNENI@ ut = uxx . 4.33. pUSTX u(x t)| RE ENIE W + ZADA^I kO I 2 + sin ut =4uxx u t=0 = x1+2x2x : nAJTI t!+1 u(x t): lim

R R R RR R R R RR RR RR
x2

2

M >0

K > 0?

(x t) 2 (0 h] sup ju(x t)j < +

1 8t 2

(0 h]?

47


4.34.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W

ut = uxx nAJTI t!+1 u(x t): lim

u t=0 = arcctg x:

RR

+

ZADA^I kO I

kO I

4.35.

pUSTX u(x t)| OGRANI^ENNOE RE ENIE W
ut = uxx

u t=0 = '(x) 2 C ( ) \ L1 ( ): 1 Z l '(x) dx = A: nAJTI t!+1 u(0 t), ESLI l!+1 l lim lim ;l
4.36.

RR RR

+

ZADA^I

nAJTI t!+1 u(x y t) GDE u(x y t)| RE ENIE W lim ZADA^I kO I
u t=0 = '(x y) PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH: x A) '(x y)= 1+ 2x
4.37.
2 2

RR
2

+

ut = uxx + uyy

x sin B) '(x y)=sin2 y W) '(x y)= (1+ 2y)2 : x u t=0 = e;(x1 +x2 +x3 ) :

2

A) rE ITX ZADA^U kO I W
ut = u ; 3u

RR
3

+

B) nAJTI tlim u(x t): !1 4.38. pUSTX u(x t)| RE ENIE W nAJTI tlim !1
48

Z
0

ut = uxx
1

u t=0 = e;x2 :

RR

+

ZADA^I kO I:

u(x t) dx:


4.39. pUSTX u(x t)| RE ENIE W + ZADA^I kO I URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S \POTENCIALOM":

RR

u t=0 =sin2 x: dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A, TAKAQ, ^TO ut = uxx ; u u(x t) ; Ae;t 6 (t)e;t

GDE FUNKCIQ (t) ! 0 PRI t ! 1. nAJTI POSTOQNNU@ A. 4.40. pUSTX POLOVITELXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ ut = u WSLOE 3 (0 1) I u0 WKUBE (0 1) (0 1) (0 1) (0 1): wERNOLI, ^TO u 0 WSLOE 3 (0 1)? 4.41. pUSTX u 2 C 2 (QT ) \ C (Q T )| RE ENIE W POLOSE QT ZADA^I kO I ut = uxx u t=0 =0 I ju(x t)j 6 C jxj:

R

R

R

R

R

dOKAZATX, ^TO u 0 W QT . 4.42. pUSTX := + n f(0 1)g | POLUPLOSKOSTX S ODNOJ \WYKOLOTOJ" TO^KOJ u(x t)| RE ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W I ju(x t)j ut = uxx (x t)
2+

RR RR R R RR
R

u x=0 =cos 5t t sup ju(x t)j < 1:

2

R

49


5 uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA
fUNKCIQ u 2 C 2( ) NAZYWAETSQ GARMONI^ESKOJ W OBLASTI , ESLI FUNKCIQ, TO

gARMONI^ESKIE FUNKCII tEOREMA O SREDNEM.

u =0: eSLI u | GARMONI^ESKAQ W OBLASTI

Z u(x0)= jS n 1x )j u(x) ds R( 0 n
SR (x0 )

pRINCIP MAKSIMUMA. pUSTX u GARMONI^ESKAQW INEPRERYWNAQW FUNKCIQ I u(x0)= M max, x0 2 , TOGDA u M W: tEOREMA lIUWILLQ. eSLI u | GARMONI^ESKAQW n OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ, TO u const.

Z u(x0)= jB n1x )j u(x) dx: R ( 0 Bn (x ) R0

pUSTX GARMONI^ESKAQ W ARE B FUNKCIQ u(x) | OTLI^NA OT POSTOQNNOJ, u 2 C (B ) I PUSTX u PRINIMAET NAIMENX EE (NAIBOLX EE) ZNA^ENIE W TO^KE b 2 @B . eSLI W TO^KE b SU]ESTWUET @u PROIZWODNAQ @ , GDE | NAPRAWLENIE, OBRAZU@]EE OSTRYJ UGOL SWNE NEJ NORMALX@ K GRANICE ARA @B WTO^KE b, TO

lEMMA hOPFA{oLEJNIK O NORMALXNOJ PROIZWODNOJ.

R

nERAWENSTWO hARNAKA. pUSTX u | GARMONI^ESKAQW ARE n BR (0) INEPRERYWNAQW B n (0) NEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ, TOGDA R
50
j j u(0)Rn;2 (RR ;jjxn;1 6 u(x) 6 u(0)Rn;2 (RR +xjjxn;1 : + jx ) ;j )

@u < 0 @

@u > 0 : @


u | GARMOI u(x) 6 (x) En (x) GDE (x) ! 0 PRI x ! 0, A En | FUNDAMENTALXNOE RE ENIE OPERATORA lAPLASA, TO FUNKCI@ u MOVNODOOPREDELITX W 0 TAK, ^TOBY u BYLA GARMONI^ESKOJWEZDEW : tEOREMA O POTOKE. eSLI u | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W u 2 C 1 ( ) TO Z @u

NI^ESKAQ FUNKCIQ W

tEOREMA OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI. eSLI
nf0g

GDE | WEKTORWNE NEJ NORMALI K @ :

@

@ dS =0

RYH

5.1.

nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W

L2 ( n):

5.2.

RYH

5.3.

R

uy (x y)= 3xy

nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W
ux (x y)
5.4.

pUSTX = (x y)
u =0 W

2

u y=0 = u y=1 =0 PRI 0 6 x 6 1:

R

R R R

2

FUNKCII u(x y) DLQ KOTO:

2 ; x3

n

FUNKCII, PRINADLEVA]IE FUNKCII u(x y) DLQ KOTO-

2

8

(x y )

2

2

0
R

2:

mOVET LI FUNKCIQ f (x) := u2 (x y) dy IMETX TO^KUPEREGIBA WNUTRI INTERWALA (0 1)?
0

Z1

51


n 5.5. pUSTX u(x) { GARMONI^ESKAQ W Ba (0) I NEPRERYWNAQ W n Ba (0) FUNKCIQ, u(0) = 0. nAJTI SWQZX MEVDU ^ISLAMI

Z

B

u(x) dx I

Z

+

B

u(x) dx

;

n n GDE B + = x 2 Ba (0) u(x) > 0 B ; = x 2 Ba (0) u(x) < 0 :
5.6.
2 pUSTX u { GARMONI^ESKAQW B1 (0) FUNKCIQ. nAJTI Z2 0

u (1 ) d :

5.7.

2 2 pUSTX u(x) 2 C 2(B1 (0)) \ C (B1 (0))

nAJTI
5.8.

Z
B (0)
2 1=2

u(x)= 0 u(x)= x2 2 u(x)= x2 u(x) dx:

2 x := (x1 x2) 2 B1 (0) 2 (0) x2 > 0 x 2 S1 2 x 2 S1 (0) x2 < 0:

pUSTX

2 S1 (0)

Z @u Z @u ( ) ds ILI @ @ ( ) ds?
2 S2 (0)

2 2 u(x)= 1 x 2 B2 (0)nB1 (0): ~TO BOLX E:

5.9.

uk 2 C 2 ( k ) \ C ( k ) uk (x)= 0 x 2 k uk (x)= fk (x) x 2 @ k (k =1 2) f1 (x1) 1 2

pUSTX

x

02 1

{ PROIZWOLXNAQTO^KA. ~TO BOLX E: u1(x0 ) ILI u2(x0 )?

52


5.10.

2 2 pUSTX u 2 C 2 (B1 (0)) \ C (B1 (0))

2 ux1 x1 + ux1 x2 + ux2 x2 =1 x := (x1 x2) 2 B1 (0): 2 mOVET LI u(x) IMETX WNUTRI B1 (0) A) MAKSIMUM B) MINIMUM?

5.11.

pUSTX u 2 C 2 ( ) \ C ( ) q 2 C ( )
2

u(x)+ q(x) u(x)= 0 x

M =max u(x) m =max u(x): @

wOZMOVNOLI, A) q(x) 0 B) q(x) > 0 W) q(x) < 0 G) q(x) < 0 5.12. pUSTX

^TO M > m, ESLI
M >0 M < 0? = (x y )

2

u(x y)= 0 u(x y)= x + y @u(x y) +(1 ; x)u(x y)=0 @ nAJTI max u(x y) :
5.13.

R

2

1 6 x2 +2y2 6 2

u 2 C 2( )

(x y ) 2 x2 +2y2 =2 x2 +2y2 =1:

(0) uk 2 C 2( 1 ) \ C ( uk(x)=0 x 2 1 (k =1 2) u1(x)
pUSTX 1 :=

R

3nB 3 1

1)
8x 2

@ 1:

@:

W DWUH TO^53


3 pUSTX B+ := x =(x1 x2 x3) 2 B1 (0) x3 > 0 FUNKCIQ u(x) OPREDELENA I NEPRERYWNA W B + , RAWNA NUL@ PRI x3 =0 I QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ W B+ . wERNO LI, ^TO u(x) MOVNO PRO3 DOLVITX DO FUNKCII, GARMONI^ESKOJ WS@DU W B1 (0)? 2 5.16. A) pUSTX 1 = 2n u 2 C 2( 1 ) \ C ( 1 ) \

5.15.

L1 ( 1 )

x =(x1 x2) 2 1 : dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET jxlim u(x): j!1 2 B) nAJTI \TOT PREDEL W SLU^AE, KOGDA = B1 (0) I

u(x)= 0

RR

Z2
0

u(cos sin ) d =0:

pUSTX Q := x =(x1 x2 x3) 2 3 x2 + x2 < 1 jx3j < 1 1 2 L := (0 0 x3) jx3j < 1 FUNKCIQ u(x) QWLQETSQ GARMONI^ES2 KOJ I OGRANI^ENNOJW QnL: dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u(x) MOVET BYTX PRODOLVENA DO FUNKCII, GARMONI^ESKOJWS@DU W Q: 5.18. sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ
5.17.

R

u + ux + u =0

W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q NA PLOSKOSTI W TOJ VE FORME, KAK DLQ URAWNENIQ lAPLASA? 5.19. pUSTX u(x)| GARMONI^ESKAQW 3 FUNKCIQ I ZZ Z u2(x) dx wERNOLI, ^TO u(x) const W 3? 5.20. sU]ESTWUET LI POLOVITELXNAQGARMONI^ESKAQ FUNKCIQ 3 W ARE B1 (0) TAKAQ, ^TO
u(0 0 0) = 1 54 u(0 0 1=2) = 10?

@2 @2 = @x2 + @y2

R
3

(1 + jxj)3 < 1:

R

R


3 5.21. pUSTX FUNKCIQ u(x) ZADANNAQW ARE B1 (0) UDOWLETWORQET URAWNENI@

u = u ( = const < 0) I u(x) 0 W ARE B 3 (0) RADIUSA = const 0 < < 1: 3 dOKAVITE, ^TO u 0 W B1 (0): 5.22. pUSTX K = (r ')j 0 0:
3 pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ W ARE B1 (0) GARMONI3 ^ESKOJ FUNKCII u(x) TAKOJ, ^TO jruj NEOGRANI^EN W B1 (0): 5.24. pUSTX FUNKCIQ u(x) x 2 3 UDOWLETWORQET URAWNENI@ u = u(x) W 3 A TAKVEOCENKE u(x) 6 C x 2 3: dOKAVITE, ^TO u 0 W 3: 5.25. pUSTX u(x y) | RE ENIE URAWNENIQ lAPLASA W POLUPOLOSE = (0 1) + NA PLOSKOSTI (x y) + fy > 0g u 2 C 2 ( ) \ C ( ) UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM

5.23.

RR R R R R RR R

u x=0 = u x=1 =0 y> 0 PRI^EM u(x y) ! 0 PRI y ! +1 RAWNOMERNO PO x: dOKAVITE,

^TO

TI P = fy> 0g u 2 C (P ) u(x y) 6 M

5.26.

GDE C = const > 0: pUSTX u(x y)| GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W POLUPLOSKOSu y=0 =0

u(x y) 6 Ce;3:14 y

x2 y2 + I 8x 2 1 x GDE M | NEKOTORAQPOSTOQNNAQ. dOKAVITE, ^TO u 0 W P: 55


kLASSI^ESKAQPOSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^ fORMULY gRINA
eSLI u v 2 C 2( ) \ C 1( ), TO Z Z @u Z v udx = v @ ds ; rurv dx
@

Z
@:

(v u ; u v) dx =

Z
@

@v v @u ; u @ ds @

(10)

GDE | WEKTOREDINI^NOJWNE NEJ NORMALI K GRANICE OBLASTI

wNUTRENNQQ ZADA^A dIRIHLE
pUSTX
C:
2
2

kLASSI^ESKOJ ZADA^EJ dIRIHLE NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C 2( ) \ C ( ):
u = f (x) x2 u x2@ = '(x) GDE f (x) 2 C ( ) '(x) 2 C (@ ) { ZADANNYE FUNKCII.

R

n

{ OGRANI^ENNAQ OBLASTX, @ { POWERHNOSTX KLASSA

rE ENIE WNUTRENNEJ ZADA^I dIRIHLE SU]ESTWUET I EDINSTWENNO.

wNUTRENNQQ ZADA^A nEJMANA

kLASSI^ESKOJ ZADA^EJ nEJMANA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C 2( ) \ C 1 ( ) : 8 u = f (x) x2 < @u (11) = '(x) :@ GDE f (x) 2 C ( ) '(x) 2 C (@ ) { ZADANNYE FUNKCII, | WEKTOR WNE NEJ NORMALI K @ :
56
x2@


uSLOWIEM RAZRE IMOSTI ZADA^I nEJMANA (11) QWLQETSQ RAWENSTWO NA FUNKCII f (x) I '(x) Z Z Z @u Z f (x) dx = udx = @ dS = '(x) dS
@ @

(KOTOROE SLEDUET IZ FORMULY gRINA (10) PRI v(x) 1). rE ENIE ZADA^I (11) NEEDINSTWENNO, AOPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DO PROIZWOLXNOJ ADDITIWNOJPOSTOQNNOJ: ESLI u1(x) I u2 (x){ REENIQ (11), TO u1 (x) ; u2(x) const :

wNE NQQ ZADA^A dIRIHLE
pUSTX
C
2

kLASSI^ESKOJ WNE NEJ ZADA^EJ dIRIHLE W NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI 1 NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C 2( 1 ) \ C ( 1 ) UDOWLETWORQ@]EJ SISTEME
u = f (x) x
2

1

2

RR

n nn

{ OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @ KLASSA :

1

I USLOWI@ NA BESKONE^NOSTI u(x) ! 0 PRI jxj! 1 (n > 3) (12) u(x) 6 C PRI jxj! 1 (n =2) GDE f (x) 2 C ( 1 ) \ L1 ( 1 ) '(x) 2 C (@ ) { ZADANNYE FUNKCII, C { NEKOTORAQPOSTOQNNAQ. rE ENIE WNE NEJ ZADA^I dIRIHLESU]ESTWUET I EDINSTWENNO.

u x2@

1

= '(x)

wNE NQQ ZADA^A nEJMANA

kLASSI^ESKOJ WNE NEJ ZADA^EJ nEJMANA W NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI 1 NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C 2( 1 ) \ C 1( 1 ) UDOWLETWORQ@]EJ
u = f (x) x
2

1

@u @ x2@

1

= '(x) 57


IUSLOWI@ (12) NA BESKONE^NOSTI ZDESX f (x) 2 C ( 1 ) \ L1( 1 ) '(x) 2 C (@ ) { ZADANNYE FUNKCII, | WEKTORWNE NEJ NORMALI K @ 1 : pRI n > 3 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE RE ENIE WNE NEJ ZADA^I nEJMANA. pRI n =2 WNE NQQ ZADA^A nEJMANA RAZRE IMA TOLXKOPRI DOPOLNITELXNOMUSLOWII Z Z
f (x) dx =

EE RE ENIE OPREDELQETSQ NEODNOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO PROIZWOLXNOJADDITIWNOJPOSTOQNNOJ.

1

@

'(x) dS

1

kRAEWYE ZADA^I NA PLOSKOSTI
u(

)= @ u + 1 @u + 12 @ u =0 @2 @ @2 I PRIMENITX METOD RAZDELENIQ PEREMENNYH. oB]EE RE ENIE

rE ENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA u =0 W KRUGE ILI KOLXCEMOVNOPOLU^ITX, ESLI PEREJTI W POLQRNYE KOORDINATY 2 2

URAWNENIQ lAPLASA IMEET WID
u(

)= A0 + B0 ln + +

1 X
n=1

n An n + Bn cos n + n Cn n + Dn sin n :

1 X

tAK KAK FUNKCIQ u( ) DOLVNA BYTX OGRANI^ENA W RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI, TO | DLQ ZADA^I W KOLXCE (R1 < R) B0 = An = Cn =0
(n =1 2 ::: ):

n=1

oSTAW IESQ KO\FFICIENTY OPREDELQ@TSQ IZ GRANI^NOGO USLOWIQ. nAPRIMER, DLQ RE ENIQ WNUTRENNEJ ZADA^I dIRIHLE
u =0

RAZLOVIW FUNKCI@ f ( ) W RQD fURXE PO BAZISU 1 cos n sin n n =1 2 ::: POLU^IM
2 1 Z f( ) d A0 = 2 0 2 1 Z f ( )cos n d An = Rn 0

2 1 Z f ( )sin n d : Cn = Rn 0

rASSMOTRIM OBLASTX GRANICA KOTOROJUDOWLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@ lQPUNOWA (QWLQETSQ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA, T.E.): 1) w KAVDOJTO^KE GRANICY SU]ESTWUET OPREDELENNAQ NORMALX (KASATELXNAQPLOSKOSTX). 2) sU]ESTWUET TAKOE ^ISLO d > 0, ^TO PRQMYE, PARALLELXNYE NORMALI W KAKOJ-LIBO TO^KE P GRANICY, PERESEKA@T NE BOLEE ODNOGO RAZA ^ASTX GRANICY, LEVA]U@ WNUTRI SFERY RADIUSA d SCENTROM P . 3) uGOL, OBRAZOWANNYJ NORMALQMI W TO^KAH A I B , UDOWLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@:
na nB < constjA ; B

pOTENCIALY

GDE jA ; B j | RASSTOQNIE OT A DO B ,0 < 6 1:

\

j

nX@TONOWPOTENCIAL
u1(x)=

Z

En

(x ; y)f (y) dy:

tAKOJPOTENCIAL NAZYWA@T E]E PROSTRANSTWENNYM (n > 3) ILI PLO]ADNYM (LOGARIFMI^ESKIM)(n = 2).
59


pOTENCIAL PROSTOGOSLOQ Z
u2(x)=
@
En

(x ; y)q(y) dsy :
;

pOTENCIAL DWOJNOGOSLOQ Z @ E (x n
u3 (x)=
@

C 2( ) \ C ( ) PREDSTAWLQETSQ W SUMMU u(x)= u1(x)+ u2(x)+ u3(x) GDE f (y)= u(y) q(y)= ; @u(y) A m(y)= u(y): @

tEOREMA O TREH POTENCIALAH. l@BAQ FUNKCIQ 1

y) m(y) ds : y @y

u

2

tEOREMA O SKA^KEPOTENCIALA DWOJNOGOSLOQ. sU]ESTWU@T FUNKCII u; 2 C ( ) I u+ 2 C ( nn ) TAKIE, ^TO 3 3 1) u; = u3 W u+ = u3 W nn 3 3 ;+ 2) u3 + u3 = u3 NA @ 2 3) u+ ; u; = ;2 m NA @ : 3 3 aNALOGI^NOE UTWERVDENIE WERNO PRO NORMALXNU@ PROIZWODNU@ POTENCIALA PROSTOGOSLOQ.
@u2 (x0 ) = @u2 (x0) @ x0 @ x0 q(x0 ):

TOGOSLOQ NEPRERYWEN W

tEOREMA O POTENCIALEPROSTOGOSLOQ. pOTENCIAL PROSn
:

R

RR

tEOREMA O SKA^KENORMALXNOJPROIZWODNOJPOTENCIALA PROSTOGOSLOQ.
@u2 (x0) = lim u2(x0 ) ; u2 (x00 ) : pRI \TOM x0 2 (x x00 ): 0 ; jx0 ; x00j @ x0 x0 0x0000!x0
o @u2 (x0) = lim u2 (x0) ; u2(x00 ) : pRI \TOM x00 2 (x x0): 0 + jx0 ; x00 j @ x0 x0 x00 !n 0 x 0 00

zDESX

xx2 x0 x00 2 x

x 0x 2 n x x00 2 xo

R

60


fUNKCIEJ gRINA PERWOJ KRAEWOJZADA^I W OBLASTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ WIDA:
G(x y)= E (x ; y)+ g(x y)

fUNKCIQ gRINA

GDE x 2 , y 2 , A g(x y) PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM x QWLQETSQ RE ENIEM SLEDU@]EJ KRAEWOJZADA^I: ( g(x y)=0 y2
g(x y) y2@ =
y
;E

2

(x ; y):

STWAM:

tEOREMA. fUNKCIQ gRINA UDOWLETWORQET SLEDU@]IM SWOJG(x y)= G(y x)| PRINCIP WZAIMNOSTI G(x y) 6 0 DLQ WSEH x 2 y 2 | NEPOLOVITELXNOSTX.

5.27. nAPISATX FORMULU, DA@]U@ RE ENIE ZADA^I dIRIHLE n DLQ URAWNENIQ lAPLASA W Ba (0), IDOKAZATX, ^TO FUNKCIQ, OPREn DELQEMAQ\TOJFORMULOJ, NEPRERYWNA NA Sa (0): 5.28. sU]ESTWUET LI FUNKCIQ G(x x0), OPREDELENIE KOTOROJ OTLI^AETSQ OT OPREDELENIQ FUNKCII gRINA ZADA^I dIRIHLEDLQ 3 ZAMENOJUSLOWIQ OBLASTI G(x x0)= 0 PRI x 2 @ USLOWIEM @G(x x0) =0 PRI x 2 @ ? @

R

5.29. pRI KAKIH SU]ESTWUET RE ENIE u( ) ZADA^I nEJMANA 2 DLQ URAWNENIQ lAPLASA W KRUGE B1 (0) S GRANI^NYM USLOWIEM

@u @

=1

= cos4 +

2

cos2 ? 61


5.30. pRI KAKIH SU]ESTWUET RE ENIE KRAEWOJZADA^I DLQ 2 2 URAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE B2 (0)nB1 (0) S GRANI^NYMI USLOWIQMI

@u + u =? @ =1 =2 nAJTI RE ENIE WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONOSU]ESTWUET. =1
5.31.

@u @

2 sU]ESTWUET LI GARMONI^ESKAQ W B1 (0)nf0g FUNKCIQ u(x y), UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@

@u @
5.32.

=1

= x ; y2 ?

nAJTI RE ENIE u(x y) SLEDU@]EJ ZADA^I:
>1 @u @
=1

u =0

= x(1 ; y)

inf1 u(x y)= 0: >
2

5.33. A) eDINSTWENNO LI RE ENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: u 3 3 C 2( ), GDE = B2 (0)nB1 (0)

u(x)= 0 @u(x) ; u(x)= f (x) 1 1 @ @u(x) + u(x)= f (x) 2 2 @ k = const > 0 (k =1 2)? B) tOT VEWOPROS PRI k = const <

x2 3 x 2 S1 (0)
3 x 2 S2 (0)

0 (k =1 2):

5.34. nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TORE ENIE u(x y) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W POLUPLOSKOSTI + UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWU ; u(x y) 6 M 1+ x + jyj GDE M = const > 0, EDINSTWENNO.

RR

62


5.35. nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TORE ENIE u(x y) ZADA^I dIx RIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI (x y) 2 2 jyj < p 3 UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWU ; u(x y) 6 M 1+ x2 + y2

R

GDE M = const > 0 EDINSTWENNO.
5.36. nAJTI ZNA^ENIQ W TO^KAH OTRICATELXNOJ POLUOSI Oy LOGARIFMI^ESKOGO POTENCIALA PROSTOGO SLOQ u(x y) RASPREDELENNOGO NA OTREZKE x = 0 0 6 y 6 2 S PLOTNOSTX@, RAWNOJ EDINICE. Z; 2 ; 2 2 ln (x ; )2 +(y ; )2 ds: 5.37. nAJTI 2 lim x +y2 !1
2

+ 2 =1

5.38. CII ui

2 pUSTX B = B1 (0): sU]ESTWU@T LI DWE RAZLI^NYE FUNK(x y)cocLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: ui 2 C 2(B )

ui =0 W B

KRAEWOJZADA^I:
u =0 W K

R

@ui ; u =3x NA @B (i =1 2)? i @y

5.39. A) pUSTX 2: eDINSTWENNO

K = 1 < jxj < 2 | "KOLXCEWAQ" OBLASTX W LI RE ENIE u 2 C 2(K ) \ C 1 (K ) SLEDU@]EJ @u @n jxj=1 = '1(x1 x2) u jxj=2 = '2 (x1 x2)

'1 '2 { PROIZWOLXNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQH jxj =1 I jxj =2 SOOTWETSTWENNO? B) nAJDITERE ENIE POSTAWLENNOJW P.(a) ZADA^I, ESLI '1 = cos '2 = sin ( | POLQRNYJ UGOL NA PLOSKOSTI). 63


5.40.

A) dOKAVITE, ^TO RE ENIE ZADA^I dIRIHLEW POLOSE = (x y): 0 u =0 W u x=0 = '1 (y) C ( 1) NEEDINSTWENNO. u( x y )
!

TELXNYM USLOWIEM

'1 '2 2 B) eDINSTWENNO LI RE ENIE PREDYDU]EJ ZADA^I S DOPOLNI0 PRI jy
j ! 1?

R

u x=1 = '2(y)

5.41. pUSTX Q | OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @Q KLASSA C 1: mOVET LI RE ENIE u 2 C 2(Q) \ C 1(Q) KRAEWOJZADA^I @u u ; u =1 W Q @n @Q =0

(~ | WNE NQQ NORMALX K @Q) BYTX STROGOPOLOVITELXNYM W Q? n
5.42.
2 pUSTX K = B1 (0) u(x y)| RE ENIE ZADA^I

u = x2 y

nAJDITE u(0 0): 5.43. pRI KAVDOMLI

2

u =1 W K = (r ') 1 5.44.

R

u @K =0:

1

ZADA^A

pRI KAKIH a

KRAEWAQZADA^A u +2u = x ; a W u
2

R

1

@

=0

= (0 ) (0 ) IMEET HOTQ BYODNORE ENIE? 64


C 2( )

5.45.

pUSTX

{ OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) u =0 W
xlim0 !x x2

2

'(x)| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ I u(x)= '(x0 )

DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @ : nAZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "RE ENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0 u @ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNO LI RE ENIE TAKOJZADA^I dIRIHLE?
3 | WNE NOSTX EDINI^NOGO ARA. eDINSTpUSTX WENNOLIRE ENIE u(x) 2 C 2( ) \ C ( ) WNE NEJ ZADA^I dIRIHLE

5.46.

R

u(x)= 0

jxj

>1

u jxj=1 =0

PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII Z A) u( ) 2 d = O(1)
j ;xj<1
j!

B)

Z

j ;xj<1

u( ) 2 d = o(1)

PRI jx

+1?

5.47. A) nAJTI RE ENIE u( ) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ 2 lAPLASA W B1 (0) S GRANI^NYM USLOWIEM

u

=1

=

1 X
k=1

k;p;1 sin(kq )

GDE p I q { ZADANNYE NATURALXNYE ^ISLA. B) pRI KAKIH p, q \TO RE ENIE PRINADLEVIT PROSTRANSTWU
2 H 1 (B1 (0))?

65


oBOB]ENNYE RE ENIQ zADA^A dIRIHLE

rASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLEWOBLASTI W KLASSI^ESKOJPOSTANOWKE u=f W (13) u=' NA @ : pUSTX f 2 L2 ( ) ' 2 H 1 ( ). fUNKCIQ u 2 H 1 ( ) NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE ENIEM KRAEWOJZADA^I (13), ESLI Z Z
rur

vdx =

;

fv dx

DLQ L@BOJ v 2 H 1( ) I u ; ' 2 H 1 ( ). wARIACIONNOJPOSTANOWKOJ ZADA^I (13) NAZYWAETSQ SLEDU@]AQ MINIMIZACIONNAQZADA^A: Z Z
w2H ( ) w;'2H ( )
1 1

inf

jrwj2

dx +2 fw dx

ILI
w2H 1 ( )

inf

Z

jrwj2dx

+2 fw dx ; 2

Z

Z

r'r

wdx :

rASSMOTRIM ZADA^U nEJMANA W OBLASTI W KLASSI^ESKOJPOSTANOWKE ( u=f W (14) @u = NA @ : @ pUSTX f 2 L2 ( )
66
2 L2

zADA^A nEJMANA

(@ ).


fUNKCIQ u 2 H 1 ( ) NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE ENIEM KRAEWOJZADA^I nEJMANA (14), ESLI Z Z Z
rur

vdx =

@

v ds

;

fv dx

DLQ L@BOJ v 2 H ( ).
1

DU@]AQ MINIMIZACIONNAQZADA^A: Z Z
w2H 1 ( )

wARIACIONNOJPOSTANOWKOJ ZADA^I
inf
jrwj2

(13) NAZYWAETSQ SLE-

dx +2 fw dx ; 2

Z

@

w ds :

rASSMOTRIM TRETX@ KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI W KLASSI^ESKOJ POSTANOWKE ( u=f W (15) @u + u = NA @ : @ pUSTX f 2 L2 ( ) 2 fUNKCIQ u 2 H 1 ( ) TRETXEJ KRAEWOJZADA^I Z
rur

tRETXQ KRAEWAQZADA^A (ZADA^A fURXE)

v dx +
1

NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE ENIEM (15), ESLI Z Z Z
@

L2 (@ ).

uv ds =

@

v ds

;

fv dx

DLQ L@BOJ v 2 H ( ).
inf
jrwj2

DU@]AQ MINIMIZACIONNAQZADA^A: Z Z
w2H 1 ( )

wARIACIONNOJPOSTANOWKOJ ZADA^I
dx +
@

(15) NAZYWAETSQ SLEw ds +2 fw dx :

w ds ; 2

2

Z

Z

@

pOSLEDOWATELXNOSTX fuk g NAZYWAETSQ MINIMIZIRU@]EJ DLQ FUNKCIONALA F , ESLI F (uk ) ;! m PRI k ! 1 I m =inf F (v):
67

mINIMIZANT


oTMETIM, ^TOZADA^A nEJMANA IMEET EDINSTWENNOE RE ENIE S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJPOSTOQNNOJ. dLQ ODNOZNA^NOJ RAZRE IMOSTI ZADA^I ^ASTO PREDPOLAGA@T, ^TO U RE ENIQ NULEWOE SREDNEE PO OBLASTI. pRI TAKOM DOPU]ENII ZADA^A STANOWITSQ ODNOZNA^NO RAZRE IMOJ I W \TOM SLU^AE MOVNO PRIMENQTX OB]U@ SHEMU ISSLEDOWANIQ I KLASSI^ESKOJ POSTANOWKI, I OBOB]ENNOJ, I WARIACIONNOJ. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fuk g QWLQETSQ MINIMIZIRU@]EJ, TO SU]ESTWUET TAKOE u 2 H 1 ( ), ^TO uk ;! u PRI k ! 1 I
F (u)= m:

mETOD rITCA

rASSMOTRIM WARIACIONNU@ POSTANOWKUZADA^I dIRIHLE. pUSTX Z Z 2dx +2 fw dx. rASSMOTRIM LINEJNONEZAWISIF (w)= jrwj MU@ SISTEMU 1 ::: RYH PLOTNY W H 1 ( ) tOGDA fuk g uk = WATELXNOSTX@, k =1 NYH URAWNENIJ 8Z > 1 r 1r 1dx + > > > > > > < >Z > 1 r 1r k dx + > > > > > > :
:
j

::: , KONE^NYE LINEJNYE OBOLO^KI KOTOjj

j =1

, BUDET MINIMIZIRU@]EJ POSLEDO2 ::: ESLI j | RE ENIQ SISTEMY LINEJ2

k P

Z

r 2r 1

dx + ::: + k =
;

Z

Z

r kr 1

dx =

f

1

dx
r kr k

2

Z

r 2r k

dx + ::: + k =
;

Z

Z

dx =

f k dx

68


;2 5.48. pUSTX u 2 C B1 (0) 2 W B1 (0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYE LEWA uxx I uyy , PRI^EM

u(x y) > 0

PROIZWODNYE W SMYSLE sOBO-

x2 + y2 = 1

;2 2 pUSTX u 2 C B1 (0) W B1 (0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE sOBOLEWA uxx I uyy , PRI^EM 2 uxx + uyy =0 PO^TI WS@DU W B1 (0): 2 dOKAZATX, ^TO u(x y) 6 S 2 (0) u 8(x y) 2 B1 (0): max
5.49.
1

2 uxx + uyy 6 0 PO^TI WS@DU W B1 (0): 2 dOKAZATX, ^TO u(x y) > 0 8(x y) 2 B1 (0):

5.50. A) sFORMULIROWATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO RE ENIQ ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ u=h W S USLOWIEM u = f NA @ : B) nAJTI OBOB]ENNOE RE ENIE \TOJZADA^I W SLU^AE, KOGDA n h(x) 0 f (x)= jxj2 = B1 (0) n > 3: n W) tOT VEWOPROS W SLU^AE, KOGDA = B1 (0)nf0g: 4 5.51. pUSTX B = B1 (0) ` = x 2 4 : x1 =0 x2 =0 x3 =0 0 < x4 < 1 { OTREZOK W 4 Q = B n `: nAJDITE OBOB]ENNOE 2 RE ENIE ZADA^I dIRIHLE u(x): Z

R R

Q

(ru rv) dx =0

8v 2

H 1 (Q)

u ; '(x) 2 H 1(Q) 1 '(x) 2 C0 (B ) I '(x)= 1 PRI x 2 `: 69


5.52.

nAJTI

inf
2

Z
2 B1 (0)

grad w(x) 2 dx w
;

NA MNOVESTWE w
f (x1 x2)= x :
5.53.
2 2

2 H 1 (B1 (0))

f

2

2 H 1 (B1 (0)) GDE

wY^ISLITX
w;(jxj;1)2H 1 ( )

inf

Z;

jrwj2 ;

2w dx

ESLI = fx =(x1 x2): 1 < jxj < 2g: 5.54. wY^ISLITX Z; 2
w;x1 2H 1 ( )

inf

jrwj

+2(x

2 ; x2 1

)w dx

2 ESLI = B1 (0):

70


6 rE ENIQ OTDELXNYH ZADA^
zADA^A 1.5.

nAJTI FUNDAMENTALXNOE RE ENIE OPERATORA
u(x y)= uxx (x y) ; uyy (x y) OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y< 0. rE ENIE. sNA^ALA RE IM (W OBOB]ENNYH FUNKCIQH) URAWNEL

NIE

(x y)= Exx ;Eyy = (x y) SDELAW ZAMENU PEREMENNYH (POWOROT NA =4): ; + z = xp y w = xp y : 2 2
LE

tOGDA PROIZWODNYE PERES^ITYWA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
@ =p @ + @ 1 @ =p @ ; @ 1 @x @y 2 @z @w 2 @z @w @ 2 ; @ 2 =2 @ 2 : @x2 @y2 @z@w pRI ORTOGONALXNYH PREOBRAZOWANIQH -FUNKCIQ OSTAETSQ FUNKCIEJ, IURAWNENIE W NOWYH KOORDINATAH PRIMET WID @ 2 E (z w)= 1 (z w)= 1 (z ) (w): @z@w 2 2 iNTEGRIRUQ SNA^ALA PO PEREMENNOJ z PRI FIKSIROWANNOM w, A POTOM NAOBOROT, IMEEM @ E (z w)= 1 ( (z )+ C ) (w) 1 @w 2 1 E (z w)= ( (z )+ C1)( (w)+ C2): 2

tEPERX SREDI WSEH NAJDENNYH FUNDAMENTALXNYH RE ENIJ NADO WYBRATX TO (ILI TE), KOTOROE PRI y < 0 OBRA]AETSQ W NOLX. zAMETIM, ^TOOBOB]ENNAQ FUNKCIQ E (z w)| REGULQRNAQ,
71


KUSO^NO POSTOQNNAQ, RAWNAQ W I, II, III I IV ^ETWERTQH (OTNOSITELXNO KOORDINAT (z w)) SOOTWETSTWENNO (C1 +1)(C2 +1)=2, (C1 +1)C2=2, C1(C2 +1)=2 I C1C2 =2. pOLUPLOSKOSTX y< 0 PERESEKAETSQ S TREMQ IZ ^ETYREH (KROME II) \TIH ^ETWERTEJ. pO USLOWI@ TAM E (z w)= 0, TO ESTX
(C1 +1)(C2 +1)=2= C1(C2 +1)=2= C1 C2=2= 0 () C1 =0 C2 = ;1: tAKIM OBRAZOM, ISKOMOE RE ENIE EDINSTWENNOI IMEET WID 1 (z )( (w) ; 1) = ; 1 (z ) (;w): E (z w)= 2 2 wOZWRA]AQSX K STARYM KOORDINATAM, IMEEM ;x ; y 1 1 xp y ; p = ; 2 (x ; y) (;x ; y): E (x y)= ; 2 2 2 pROIZWEDENIE DWUH -FUNKCIJ RAWNONUL@ WEZDE, KROMEMNOVES-

TWA

y> 0 () y< x < ;y () jxj
x ; y> 0

;x ;

pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y)= ln(x2 + y2 ) PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1( ), ESLI 2 A) = B1=2 (0) 2 2 B) = B2 (0) n B1=2(0)? rE p . A) fUNKCIQ u = ln(x2 + y2 ) = j2ln rj , GDE ENIE 2 r = x2 + y2 , W OBLASTI = B1=2 (0) IMEET OSOBENNOSTX LI X W NA^ALE KOORDINAT. |TA FUNKCIQ PRINADLEVIT PROSTRANSTWU L2 ( ) PRI L@BOM , TAK KAK Z Z 1=2
ln(x2 + y2 ) 2 dxdy =2 72
0
j2l

zADA^A 1.12.

n rj2 rdr < +

1


WWIDU TOGO, ^TO j ln rj2 r dALEE IMEEM:
r

!

0 PRI r

!

+0.

2 j ln rj ;1 u = j2ln rj ;1 r rr jruj = C r: fUNKCIQ u 2 H 1( ), ESLI SHODITSQ SLEDU@]IJ INTEGRAL: Z Z 1=2 j ln rj ;1 2 jruj2dxdy =2 C 2 rdr r 0 Z 1=2 j ln rj2( ;1) 2 =2 C dr: r 0 sDELAW ZAMENU s =1=r, dr = ;ds=s2 , SWEDEM WOPROS K SHODIMOSTI

INTEGRALA

Z
0

1=2 j

ln r

j2(

kAK IZWESTNOIZKURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, POSLEDNIJ INTEGRAL SHODITSQ PRI 2( ; 1) < ;1, TOESTX < 1=2. (sTROGO GOWORQ, SLU^AJ = 0, TO ESTX KOGDA C = 0, RASSMATRIWAETSQ OTDELXNO.) 2 2 B) w OBLASTI = B2 (0)nB1=2(0) U FUNKCII u = j2ln rj IEE PROIZWODNYH OSOBENNOSTI MOGUT BYTX LI X NA MNOVESTWE r =1, GDELOGARIFM OBRA]AETSQ W NOLX. tAK KAK ln r =ln(1 + (r ; 1)) (r ; 1) PRI r ! 1, TOINTEGRAL Z Z2
ln(x2 + y2 ) 2 dxdy =2
jr ; 1 j2

r

;1)

dr =

Z
2

+1

ln2( ;1) s ds: s

SHODITSQ TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA Z2
1=2

1=2

j

2ln rj2 rdr

dr < +

1

TO ESTX PRI > ;1=2. w\TOM SLU^AE u 2 L2 ( ). iSSLEDUEM, KOGDA Z 2 j ln rj2( ;1) Z 2 2
jruj

dxdy =2 C

1=2

r

dr < +1: 73


pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ PRI r ! 1 \KWIWALENTNA jr ; 1j2( ;1), PO\TOMU INTEGRAL SHODITSQ TOGDA I TOLXKOTOGDA, KOGDA 2( ; 1) > ;1 TO ESTX > 1=2: (nA \TOT RAZ OTDELXNO RASSMATRIWAEMYJ SLU^AJ = 0 \TOMU NERAWENSTWU NE UDOWLETWORQET, NO W OTWET DOLVEN BYTX WKL@^EN.) oTWET: A) < 1=2 B) > 1=2 ILI =0. pRI KAKIH FUNKCIQ f (x) = jxj cos x PRINADLEVIT PRO1;(;1 1) ? STRANSTWU H iZWESTNO, ^TO H 1 (a b) SOSTOIT IZ FUNKCIJ f (x) 2 H 1(a b) TAKIH, ^TO f (a) = f (b) = 0 (SM. ZADA^U 1.11). tAK KAK FUNKCII IZ H 1(a b) NEPRERYWNY, TO H 1(a b) SOSTOIT IZ NEPRERYWNYH NA (a b) FUNKCIJ, TAKIH, ^TO f (a)= f (b)= 0 DLQ KOTORYH KONE^NA IH H 1{NORMA. 1) f (x) NEPRERYWNA NA (0 1) PRI > 0: 2) uSLOWIQ NA TOGO, ^TO f ( 1) = 0 WYGLQDQT TAK:
3) wOKRESTNOSTI KAVDOJTO^KI x0 INTERWALA (;1 1) ZA ISKL@^ENIEM, WOZMOVNO, x0 = 0 f (x) QWLQETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, PO\TOMU EE H 1{NORMA KONE^NA W OKRESTNOSTI KAVDOJ TAKOJTO^KI. oSTALOSX ISSLEDOWATX TO^KU x0 =0 IKONCEWYE TO^KI. tAK KAK f (x) jxj PRI x !Z0 TO f (x) 2ZH 1(; ) > 0 1 ESLI SHODQTSQ INTEGRALY jxj2 dx I jxj2 ;2dx ^TO 1 IMEET MESTO PRI > 2 : dALEE, PRI x ! 1 ; 0 FUNKCIQ f (x) cos x: sDELAEM ZAMENU z =1 ; x: tOGDA PRI x ! 1 ; 0(z ! 0+0), U^ITYWAQNAJDENNYE 74
0 0

zADA^A 1.15.

rE ENIE.

=2+ k

k

2

Z
:


ZNA^ENIQ

IMEEM, ^TO

h i =(;1)k sin 2 + k z Ck z Ck =(;1)k 2 + k : tAKIM OBRAZOM, f (x) 2 H 1 (1 ; 1) >Z0 1 ESLI f (z ) 2 Z 2dz I C 2 1 (0 ) TO ESTX SHODQTSQ INTEGRALY C 2 H z dz : iH k k 0 0 SHODIMOSTX IMEET MESTO PRI WSEH ZNA^ENIQH k: pODWODQ ITOG, POLU^IM, ^TO f (x) 2 H 1 (;1 1) PRI ; 1 >2 = 2 1+2k k 2 :

f (z ) = cos(; z + )= cos z cos + sin z sin =

Z

zADA^A 1.19.

3 pUSTX Q = B1 (0). sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C> 0 TAKAQ, ^TO ju(0)j 6 C kukH 1(Q) 8u(x) 2 C 1(Q)?

rE ENIE. uTWERVDENIE NEWERNO. pUSTX 1
FUNKCIQ IZ C0 (Q), NE RAWNAQ 0 W N VENNAQNULEM WNE Q. tAKIM OBRAZOM, jxj > 1, u(0) 6=0. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX iMEEM un 2 C 1 (Q), un (x) = 0 PRI run(x) = nru(nx). iZ NERAWENSTWA 1 un(x) 2 C0 (Q), POLU^AEM Z
kunk2 1 (Q) H

u(x) | PROIZWOLXNAQ A^ALE KOORDINAT, PRODOLu 2 C 1 ( 3), u(x)= 0 PRI

FUNKCIJ un(x) = u(nx). jxj > 1=n, un (0) = u(0), fRIDRIHSA DLQ FUNKCII

R

=

Q

(jun (x)j2 + jrun(x)j2)dx

6 (C (Q)+ 1)
=(C (Q)+ 1)

Z

Q n2

Z

jrun

(x)j2dx
jru

jxj<1=n

(nx)j2dx: 75


sDELAEM ZAMENU PEREMENNYH y = nx, dx = dy=n3 (TAK KAK RAZMERNOSTX PROSTRANSTWA RAWNA TREM): C (Q)+ 1 Z jru(y)j2dy 6 C (Q)+1 kuk2 kun k2 1 (Q) 6 H H 1 (Q) : n n jyj<1 tAKIM OBRAZOM, POSTROENA POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ fung, un 2 C 1 (Q), DLQ KOTORYH ZNA^ENIE W NULEPOSTOQNNOI NE RAWNO NUL@, I PRI \TOM kunkH 1 (Q) ! 0 PRI n ! 1. sLEDOWATELXNO, NI PRI KAKOJ KONSTANTE C > 0 MY NE MOVEM UTWERVDATX, ^TO ju(0)j 6 C kukH 1 (Q) DLQ WSEH FUNKCIJ u 2 C 1 (Q).
zADA^A 2.8.

A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ
uxx ; 2 uxy ; 3 2uyy + uy + ux =0 (2)

W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA . B) pRIWESTI URAWNENIE (2) KKANONI^ESKOJFORME. W) nAJTI OB]EE RE ENIE \TOGO URAWNENIQ. rE ENIE. A) D =4 2. uRAWNENIE GIPERBOLI^ESKOE PRI 6=0, PARABOLI^ESKOE PRI =0. B) eSLI 6= 0. hARAKTERISTIKI: = y +3 x = y ; x. kANONI^ESKAQFORMA:16 2u ; 4 u =0. eSLI =0, TO uxx + ux =0. W) eSLI 6= 0. kANONI^ESKAQ FORMA: 16 2u ; 4 u = 0. iNTEGRIRUEM PO . iMEEM 4 u + u = C ( ): dALEE INTEGRIRUEM PO IPODSTAWLQEM WYRAVENIQ DLQ I . iMEEM
u(x y)= F (y +3 x)e
y; x 4

+ G(y

;

x):

eSLI =0, TO
u(x y)= F (y)+ G(y)e;x : 76


zADA^A 2.10.

2uxx + sign y uyy =0 W OBLASTI : 2 A) wOZMOVNOLI, ^TO u 2 C 3( ) W SLU^AE l> 0? oTWET OBOS= NOWATX. B) tOT VEWOPROS W SLU^AE l< 0. rE ENIE. A). pRI l> 0 KRUG RADIUSA l IS CENTROMW (0 2l) LEVIT W POLUPLOSKOSTI y > 0, W KOTOROJ pRAWpENIE QWLQETSQ UN \LLIPTI^ESKIM I W PEREMENNYH (z w)= (x= 2 y 2) STANOWITSQ URAWNENIEM lAPLASA uzz + uww = 0. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ u(z w) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ, I, SLEDOWATELXNO, BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ KAK W PEREMENNYH (z w), TAK I W ISHODNYH PEREMENNYH (x y). oTWET: NEWOZMOVNO. B). eSLI l < 0, TO KRUG LEVIT W POLUPLOSKOSTI y < 0, W KOTOROJ URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOE | ONO QWLQETSQ URAWNENIEM

pUSTX = f(x y) 2 R2 j x2 +(y ; 2l)2
STRUNY

uyy =4uxx: pRIMEROM RE ENIQ u 2 C 2( )nC 3 ( ) MOVET SLUVITX, NAPRIMER, u(t x)= f (y ; 2x) ILI u = f (y +2x), GDE FUNKCIQ ODNOGO PEREMENNOGO f ( ) QWLQETSQ KLASSA C 2, NO NE C 3 W OKRESTNOSTI TO^KI =2l. sKAVEM, f ( )= j ; 2lj3:

nA PLOSKOSTI (t x)

zADA^A 2.11.

2

ut ; ux =0 (4) 2utt ; ( +1)2 utx +2 uxx =0: (5) A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4). B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE RE ENIE u(t x) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I RE ENIEM URAWNENIQ (5)? dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P. B) ZNA^ENIJ PARAMETRA : 77

R

2

RASSMATRIWA@TSQ URAWNENIQ


W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5) G) UKAZATX NEKOTOROE RE ENIE u(t x) URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TOTAKOGO RE ENIQ NET. D) tOT VEWOPROS OB OGRANI^ENNOM RE ENII. rE ENIE. A) nAJDEM HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4):
x + t =const : oB]EE RE ENIE URAWNENIQ (4) IMEET WID u(t x)= f (x + t) GDE f ( )| PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ ODNOJPEREMENNOJ. B) pODSTAWIM OB]EE RE ENIE URAWNENIQ (4) W URAWNENIE (5): utt = utx = uxx = f 00 (x + t) 2 ; ( +1)2 +2 f 00(x + t)= 0: uRAWNENIE (5) DOLVNOWYPOLNQTXSQ DLQ L@BOJBESKONE^NODIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII f (x + t) SLEDOWATELXNO, 2 ; ( +1)2 +2 =0 () = 1:
()

dx + dt =0

W) pRI =1 URAWNENIE (5) IMEET WID u eGO HARAKTERISTIKAMI BUDUT LINII
dx2 +2 dx dt + dt2 =0
()

1.

sLU^AJ

=1

.

tt ;

2utx + uxx =0: x + t = const :

dx = ;1 dt

()

u =0: (50 ) oB]IM RE ENIEM URAWNENIQ (50) QWLQETSQ FUNKCIQ u( ) = f ( )+ g( ) TOGDA OB]IM RE ENIEM URAWNENIQ (5) BUDET FUNKCIQ u(t x)= f (x + t)+ tg(x + t): rE ENIE URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ (4), | \TO, NAPRIMER, FUNKCIQ u(t x)= t(x + t): 78

G) uRAWNENIE (5) IMEET ODNO SEMEJSTWO HARAKTERISTIK, SLEDOWATELXNO, \TO URAWNENIE PARABOLI^ESKOGO TIPA. zAMENOJ PEREMENNYH = x + t, = t, ONO PRIWODITSQ K KANONI^ESKOMU WIDU


D) fUNKCIQ u(t x)= f (x + t)+ tg(x + t) BUDET OGRANI^ENNOJ, TOLXKOESLI g(x + t) 0, I f (x + t) OGRANI^ENA. sLEDOWATELXNO, L@BOE OGRANI^ENNOE RE ENIE URAWNENIQ (5) QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ (4). W) pRI = ;1 URAWNENIE (5) PRINIMAET WID u eGO HARAKTERISTIKAMI BUDUT LINII
dx2 ; dt2 =0
()

2.

sLU^AJ

= ;1

.

tt ; uxx

=0:

u =0: (500 ) oB]IM RE ENIEM URAWNENIQ (500) QWLQETSQ FUNKCIQ u( ) = f ( )+ g( ) TOGDA OB]IM RE ENIEM URAWNENIQ (5) BUDET FUNKCIQ u(t x)= f (x + t)+ g(x ; t): fUNKCIQ u(x t)= x ; t QWLQETSQ REENIEM URAWNENIQ (5), NO NE QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ (4). D) fUNKCIQ u(x t) = sin(x ; t) SLUVIT PRIMEROM OGRANI^ENNOGO RE ENIQ URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ (4).
zADA^A 2.24.

G) uRAWNENIE (5) IMEET DWA SEMEJSTWA HARAKTERISTIK, SLEDOWATELXNO, \TO URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOGOTIPA. zAMENOJPEREMENNYH = x + t, = x ; t, ONO PRIWODITSQ K KANONI^ESKOMU WIDU

dx = 1 dt

()

x t = const :

rASSMOTRIM ZADA^U kO IWPOLOSE =
u + u =0 W u y=0 = '(x)

0 y0] W 2 xy u 2 C 2 ( ) \ C 1( ) uy y=0 = (x)
1 x

R

R

'(x) (x)| OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA 1: kORx REKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW u 2 E0 (' ) 2 E1 GDE E0 = C ( ) kukE0 =sup ju(x t)j E1 = C ( 1) C ( 1) x x

R

RR

k kE

1

=sup j'(x)j +sup j (x)j? 79

R

R


X 00 (x)Y (y)+ X (x)Y 00(y)+ X (x)Y (y)= 0 Y 00 (y) = ; X 00 (x) ; 1 : Y (y) X (x) dLQ FUNKCII Y (y) POLU^IM URAWNENIE Y 00(y) ; Y (y) = TOROE IMEET NEOGRANI^ENNOE RE ENIE PRI > 0: Y (y) = tOGDA RE ENIEM ;p ENIQ X 00 (x)+(p +1)X (x)=0 BUDET URAWN ; CIQ X (x)= A sin +1 x + B cos +1 x : wOZXMEM n 2 I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ ;p 1 un(x y)= n2 eny sin n2 +1 x : fUNKCII un(x y) BUDUT RE ENIQMI ZADA^ un + un =0 x 2 1 y p (0 y0 ) 2 1 sin ; n2 +1 x un(x 0) = 'n (x)= n2 @un (x 0) = (x)= 1 sin ;pn2 +1 x : n @y n

rE ENIE. dOKAVEM, ^TOZADA^A NEKORREKTNA. dLQ \TOGOPOSTROIM PRIMER, ANALOGI^NYJ PRIMERU aDAMARA. bUDEM ISKATX ^ASTNOE RE ENIE URAWNENIQ W WIDE u(x y)= X (x)Y (y) GDE FUNKCIQ Y (y) DOLVNA BYTX NEOGRANI^ENNOJPRI y> 0: pODSTAWIM u(x y) W URAWNENIE:

N

0 pKOe y: FUNK= n2

R

pRI n ! 1 POSLEDOWATELXNOSTX NA^ALXNYH FUNKCIJ STREMITSQ K NUL@ PO NORME PROSTRANSTWA C ( 1) : max 'n (x) ! 0 x2 max n (x) ! 0 NO POSLEDOWATELXNOSTX RE ENIJ un (x y) NE x2 STREMITSQ K NUL@. nARU AETSQ USLOWIE NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI RE ENIQ OT NA^ALXNYH DANNYH IZ OPREDELENIQ KORREKTNOSTI, SLEDOWATELXNO, ZADA^A QWLQETSQ NEKORREKTNOJ.

R

R

R

pRIWESTI PRIMER FUNKCIJ ' I
uxx +5uxy ; 6uyy =0 80

zADA^A 3.4.

2

C 2( ) TAKIH, ^TOZADA^A kO-

R

u y=6x = '(x) uy y=6x = (x)


A) IMELA BYRE ENIE. eDINSTWENNOLI \TO RE ENIE? B) NEIMELA BY RE ENIJ.

rE ENIE.
(dy)
2;

nAJDEM HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx +5uxy ; 6uyy =0 :
5 dy dx ; 6(dx)2 =0

I ZAPI EM EGOOB]EE RE ENIE

y + x = C1

y ; 6x = C

2

u(x y)= f (y + x)+ g(y ; 6x) GDE f ( ) g( ) 2 C 2 ( )| PROIZWOLXNYE FUNKCII ODNOJPEREMENNOJ. pODSTAWIM OB]EE RE ENIE W NA^ALXNYE USLOWIQ, ZADANNYE

NA ODNOJ IZ HARAKTERISTIK (u y=6x = f (7x)+ g(0) = '(x)
uy y=6x = f 0 (7x)+ g0 (0) =

R

(16) (x): nEOBHODIMOE USLOWIE RAZRE IMOSTI SISTEMY (16) IMEET WID '0 (x)= 7 (x) + const PRI^EM IZ SISTEMY (16) NAJTI MOVNO TOLXKO FUNKCI@ f ( ) A FUNKCIQ g( ) NEOPREDELQETSQ. A) pRIMER NA^ALXNYH DANNYH, PRI KOTORYH ZADA^A kO I IMEET RE ENIE: '(x)= 7x2 (x)=2x: rE ENIE ZADA^I NEEDINSTWENNO: 1 u(t x)= 7 (x + y)2 + g(y ; 6x) GDE g( ) 2 C 2( )| L@BAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQM g(0) = g0 (0) = 0: B) pRIMER NA^ALXNYH USLOWIJ, PRI KOTORYH ZADA^A kO I NEIMEET RE ENIQ: '(x)= x2 (x)= 2x: w\TOM SLU^AE SISTEMA (16) PROTIWORE^IWA. 81

R


zADA^A 3.14.

nAJTI RE ENIE u(x t), x =(x1 x2 x3), W
utt = x u

u t=0 =0 ut t=0 = jxj7: rE ENIE. pEREJDEM W SFERI^ESKIE KOORDINATY. tAK KAK NA^ALXNYE USLOWIQ ZADA^I ZAWISQT TOLXKOOT jxj = r TOI RE ENIE, W SILU EDINSTWENNOSTI, QWLQETSQ FUNKCIEJ TOLXKOPEREMENNYH r I t: dLQ FUNKCIJ, ZAWISQ]IH TOLXKO OT RADIUSA, OPERATORlAPLASA W PROSTRANSTWE x 2 n IMEET WID @2 n ; 1 @ x = @r2 + r @r : sLEDOWATELXNO, ZADA^A DLQ FUNKCII u = u(r t) PEREPI ETSQ TAK 2 utt = urr + r ur r> 0 t > 0 u t=0 =0 ut t=0 = r7 : dOMNOVIM URAWNENIE NA r :

RR
3

+

ZADA^I:

R

rutt = rurr +2ur ISDELAEM ZAMENU v(r t)= ru(r t): tOGDA vtt = rutt vr = rur + u vrr = rurr +2ur : tAK KAK u(0 t) OGRANI^ENA, TO v(0 t) = 0: pOLU^IM ZADA^U DLQ FUNKCII v(r t) v r=0 =0: pRIMENIM METOD D'aLAMBERA DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY, PRODOLVIW NA^ALXNYE USLOWIQ NE^ETNO W OBLASTX r < 0 (SM. TEORI@ K PARAGRAFU 3): vtt = vrr r> 0 t > 0 v t=0 =0 vt t=0 = r
8

82

8 Z+t >1r 8 1 > 9 >2 < r;t d = 18 (r + t) ; (r ; t) v(r t)= > Z+t r > 1 8 d = 1 (r + t)9 ; (t ; r) >2 : 18 t;r

9 9

r>t r

1 1 u(r t)= r v(r t)= 18r (r + t)9 ;jt ; rj9 r 6=0: nAJTI u(0 t) MOVNO LIBO KAK rlim u(r t) LIBO POFORMULEkIR!0

tOGDA

HGOFA

1Z u(0 t)= 4 t

j j7

j j=t

t7 Z dS = t7 4 t2 = t8: dS = 4 t 4t
j j=t
9 9

oTWET:

; u(x t)= 181xj jxj + t j

;

t

;jxj

x 6=0

u(0 t)= t8: )W

zADA^A 3.27.

pRI KAKIH A I ! SU]ESTWUET RE ENIE u 2 C 2( KRAEWOJZADA^I:
u x=0 =cos !t nAJTI \TORE ENIE. utt = uxx

RR RR
+ + +
2

+

u t=0 = Ae;x

ut t=0 =0 ?

rE ENIE. oB]EE RE ENIE URAWNENIQ STRUNY IMEET WID
u(x t)= f (x ; t)+ g(x + t):

pRI x> t RE ENIE OPREDELQETSQ POFORMULEdALAMBERA: ; u(x t)= f (x ; t)+ g(x + t)= A e;(x;t)2 + e;(x+t)2 : 2
u(x t)= f (x ; t)+ g(x + t)= f (x ; t)+ A e;(x+t)2 2 GDE PADA@]AQ WOLNA g( ) TA VE, ^TO PRI x > t, A OTRAVENNAQ WOLNA f ( ), < 0, NAHODITSQ IZ GRANI^NOGO USLOWIQ: u x=0 = f (;t)+ A e;t2 =cos !t () f ( )= cos ! ; A e; 2 : 2 2 83

pRI x< t IMEEM


tOGDA PRI x< t

; u(x t)= A e;(x+t)2 ; e;(x;t)2 +cos !(x ; t): 2 fUNKCIQ u(x t) PRINADLEVIT KLASSU C 2( + + ), ESLI ONA IME-

ET DWE NEPRERYWNYE PROIZWODNYE NA UGLOWOJ HARAKTERISTIKE x = t. dLQ \TOGO FUNKCIQ f ( ), ZADAWAEMAQ f ( )= Ae; 2 =2 PRI > 0 I f ( )= ;Ae; 2 =2+cos ! PRI < 0, DOLVNA BYTX KLASSA C 2 WNULE, TO ESTX
f (+0) = f (;0) f 0 (+0) = f 0 (;0) f 00 (+0) = f 00(;0)
()

RR

(WYPOLNENO WSEGDA), () ;1=1 ; !2
2 2

A =1 ; A 2 2

() ()

A =1 !=
p

2

TAK KAK
f 0 (+0) = f 00 (+0) =
;

e;
;

f 0 (;0) = e; f 00 (;0) = e;
2

=0
;

=0
2

! sin !t
2

e; 2 +2 2 e;
;

=0

=0 = ;1
=0

2 2 e;

; !2

cos !

=0

=1 ; !

2

pRI NAJDENNYH ZNA^ENIQH A I ! POLU^IM DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE RE ENIE ZADA^I: (; ;(x+t)2 ;(x;t)2 x>t ;p u(t x)= ;e;(x+t)2 + e;(x;t)2 =2
e
;

e

=2 + cos

zADA^A 3.33.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W 0 1]

utt =4uxx u x=0 = u x=1 =0 3x u t=0 = 4 sin ut t=0 =30x(1 ; x): 84

R

2(x ; t)

x< t:

+

SME ANNOJZADA^I


A) nAJTI f , GDE f (t)= B) nAJTI u(x 2). rE ENIE. A) Z1

;

1 3

Z
0

1

u2(x t)+4u2 (x t) dx. t x

f 0 (t)= 2ut(x t)utt(x t)+8ux (x t)utx(x t) dx = 0 = f IZ URAWNENIQ utt =4uxx g = =8

Z

1

= fPO ^ASTQMg =8ut(x t)ux(x t) x=0 ; Z1 Z1 ;8 utx(x t)ux(x t)dx +8 ux(x t)utx(x t)dx =0 0 0 PODSTANOWKA RAWNA NUL@ IZ GRANI^NYH USLOWIJ: u x=0 = u x=1 =0 =) ut x=0 = ut x=1 =0: tAK KAK f 0 (t)=0 TO f (t) const, I u2 (x 0) + u2 (x 0) dx: t x 0 dLQ TOGO, ^TOBY NAJTI ux (x 0) PRODIFFERENCIRUEM NA^ALXNOE USLOWIE u(x 0) = 4 sin3 x PO x. pOLU^IM f
1 3

0

ut (x t)uxx(x t)+ ux (x t)utx(x t) dx =
x=1

;

= f (0) =

Z

1

f

;

1 3

=

Z

1

B) nAJDEM OB]EE RE ENIE ZADA^I METODOM fURXE: 1 X
u(x t)=

0

(30x(1 ; x))2 + 4(12 sin2 x cos x)2 dx =30 + 36 2: An cos 2 nt + Bn sin 2 nt sin nx:

tOGDA RE ENIE u(x t)1{PERIODI^NOPOWREMENI, I 1 X
u(x 2) = =
n=1

n=1

An cos 4 n + Bn sin 4 n sin nx =

1 X

n=1

An sin nx = u(x 0) = 4 sin3 x: 85


zADA^A 3.39.

utt =9uxx u x=0 =(ux ; ku) x= =0 u t=0 =0 ut t=0 = '(x): B) dLQ k = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 ((0 l)), DLQ KOTORYH RE ENIE u(t x) \TOJZADA^I OGRANI^ENO. rE ENIE. A) rAZDELQQ PEREMENNYE, POLU^AEM, ^TORE ENIE ZA-

R

A) nAJTI WSE k > 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII '(x) 2 C 1 ((0 )) SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE RE ENIE W 0 ]
+

ZADA^I

DA^I I]ETSQ W WIDE RQDA

u(t x)=

1 X
j =1
6

Tj (t)Xj (x)

GDE SISTEMA FUNKCIJ Xj (x) lIUWILLQ

0 | RE ENIE ZADA^I {TURMA{

Xj00 (x)= j Xj (x) Xj (0) = 0 Xj0 ( ) ; kXj ( )=0 (17) A FUNKCII Tj (t)| RE ENIQ ZADA^I Tj00 =9 j Tj Tj (0) = 0 Tj0 (0) =

Z

0

'(x)Xj (x)dx

.Z

0

Xj2 (x)dx: (18)

rASTU]IE PO t RE ENIQ U ZADA^I (18) MOGUT BYTX LI X W SLU^AE j > 0, PRI^EM OBQZATELXNO ONI I BUDUT, ESLI TOLXKO Tj0 (0) 6= 0. tAKIM OBRAZOM, NEOBHODIMO PONQTX, KOGDA U ZADA^I {TURMA{lIUWILLQ (17) BYWA@T NEOTRICATELXNYE SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ j . nENULEWOE RE ENIE Xj (x) ZADA^I (17) S j =0 S TO^NOSTX@ DO UMNOVENIQ NA KONSTANTU IMEET WID Xj (x)= x (KAK LINEJNAQ FUNKCIQ S NULEWYM ZNA^ENIEM W NULE) I SU]ESTWUET TOLXKO W SLU^AE, ESLI \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET GRANI^NOMU USLOWI@ W TO^KE , TOESTX
1 ; k =0 86
()

k =1= :


w SLU^AE j = !2 > 0, ! > 0, WWIDU USLOWIQ Xj (0) = 0 \TO RE ENIE IMEET WID Xj (x)= sh !x (OPQTX-TAKIS TO^NOSTX@ DO UMNOVENIQ NA KONSTANTU), I ONO SU]ESTWUET W SLU^AE, ESLI SLEDU@]EE URAWNENIE OTNOSITELXNO ! IMEET RE ENIE
! ch !
;

k sh ! =0

()

k th ! = !

(19)

^TO, W SWO@ O^EREDX, BUDET, ESLI PROIZWODNAQ FUNKCII f (!) = k th ! W NULE MENX E 1, TO ESTX k > 1. zAMETIM, ^TO W SILU STROGOJ WYPUKLOSTI WWERH FUNKCII f (!) NA POLOVITELXNOJ POLUOSI URAWNENIE (19) IMEET NEBOLEE ODNOGORE ENIQ !> 0. sLEDOWATELXNO, NEOGRANI^ENNOE PO WREMENI RE ENIE ISHODNOJZADA^I SU]ESTWUET PRI k > 1= . B). eSLI k = 1, TO, KAK UKAZANO WY E, ZADA^A {TURMA{ lIUWILLQ (17) IMEET ROWNO ODNO POLOVITELXNOE SOBSTWENNOE ZNA^ENIE 1 > 0, I RE ENIE u(t x) BUDET OGRANI^ENO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SOOTWETSTWU@]AQ SOBSTWENNAQ FUNKCIQ X1 (x) NE BUDET U^ASTWOWATX W RAZLOVENII \TOGO RE ENIQ, TO ESTX T10 (0) = 0. |TO OZNA^AET, ^TO

Z

0

'(x)X1 (x)dx =0:
1; ' 2 C0 (0 1) L@BOE RE ENIE

pRI KAKIH USLOWIQH NA FUNKCI@ u(t x) ZADA^I 8 u = u x 2 (0 1) t > 0 < t xx A) : u x=0 = ux x=1 =0

zADA^A 4.9.

8 u = u x 2 (0 1) t > 0 < t xx B) : ux x=0 = ux x=1 =0 u t=0 = '(x) u t=0 = '(x) OBLADAET SWOJSTWOM u(t x) ! 0 PRI t ! +1?

rE ENIE. A) nAJDEM RE ENIE ZADA^I METODOM fURXE
u(t x)=
; 2 n+ 1 2 t 1 'n e ( 2 ) sin n + 2 x n=0 1 X

87


GDE 'n; | KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) PO BAZISU sin n + 1 x n = 0 1 ::: : sLEDOWATELXNO, u(t x); !0 PRI ; 2 t!1 1 L@BOJ FUNKCII '(x) 2 C0 (0 1): B) pRI GRANI^NYH USLOWIQH WTOROGORODA RE ENIE IMEET WID 1 X ; 2 n2 t
u(t x)= '0 +

GDE 'n | KO\FFICIENTY fURXE RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) POBAZISU 1 cos( nx) n =1 2 ::: : sLEDOWATELXNO, tl!1 u(t x)= '0 im AKO\FFICIENT '0 =0 PRI SLEDU@]EM USLOWII NA FUNKCI@ '(x): Z1 s TO^KI ZRENIQ FIZIKI \TO USLOWIE OZNA^AET, ^TO PREDELXNAQTEMPERATURA STERVNQ S TEPLOIZOLIROWANNYMI KONCAMI RAWNA SREDNEMU ZNA^ENI@ NA^ALXNOJ TEMPERATURY. tEMPERATURA STERVNQ STREMITSQ K NUL@ S TE^ENIEM WREMENI TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI SREDNEE ZNA^ENIE NA^ALXNOJ TEMPERATURY RAWNO NUL@.
zADA^A 4.21.
0

n=1

'n e

cos( nx)

'(x) dx =0:

ut = uxx u x=0 = ux x= =0 u t=0 = '(x) 0 ( )= 0. GDE '(0) = ' A) dOKAZATX, ^TO sup ju(1 x)j 6 sup j'(x)j: 0
pUSTX u(t x)| RE ENIE W Q1 ) ZADA^I (0

ETSQ RE ENIEM KRAEWOJZADA^I

ut = uxx ~ ~ x 2 (0 2 ) t> 0 ujx=0 = ujx=2 =0 ujt=0 = '(x) ~ ~ ~ ~

88


GDE FUNKCIQ '(x) QWLQETSQ ANALOGI^NYM PRODOLVENIEM '(x) NA ~ OTREZOK 0 2 ]. w SILU PRINCIPA MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OGRANI^ENNOJ OBLASTI, RE ENIE u(t x) PRINI~ MAET MAKSIMALXNOE PO MODUL@ ZNA^ENIE PRI t = 0 (TAK KAK u ~ RAWNO 0 NA BOKOWOJGRANICE x =0 I x =2 ). iTAK, sup ju(1 x)j = sup ju(1 x)j 6 sup j'(x)j = sup j'(x)j: ~ ~
0
B). nEWERNO. pRIMER: '(x)=sin(x=2) SOOTWETSTWU@]EE REENIE u(t x)= e;t=4 sin(x=2), TOGDA
0
sup ju(1 x)j = e;1=

4

0
sup j'(x)j =1

e;1=4 > 1=2, TAK KAK e< 24.

pUSTX u(x t)| RE ENIE W
ut =4uxx

zADA^A 4.33.

RR

+

ZADA^I kO I

nAJTI t!+1 u(x t): lim
zADA^A 4.34.

2 + sin u t=0 = x1+2x2x :

pUSTX u(x t)| RE ENIE W
ut = uxx nAJTI t!+1 u(x t): lim
zADA^A 4.35.

RR

+

ZADA^I kO I

u t=0 = arcctg x:

pUSTX u(x t)| OGRANI^ENNOE RE ENIE W
ut = uxx

u t=0 = '(x) 2 C ( ) \ L1 ( ): Zl nAJTI t!+1 u(0 t), ESLI l!+1 1 '(x) dx = A: lim lim l ;l

RRR R
+

ZADA^I kO I

89


rE ENIE ZADA^ ZACII:

4.33{4.35 OSNOWANO NA

TEOREMAH O STABILI-

pUSTX u(x t)| OGRANI^ENNOE RE ENIE ZADA^I kO I: ( ut = uxx W +
u t=0 = '(x) '(x) 2 C ( ) \ L1 ( ): tOGDA
1.

eSLI

RR
x!+1

R RR
x
2

lim '(x)= A

x!;1

lim '(x)= B

(20)

TO t!+1 u(x t)= A + B : lim 2 2. eSLI

l 1 Z '(x)dx = A lim l!+1 l

;l

(21)

TO t!+1 u(x t)= A : lim 2 3. eSLI '(x) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO lim u(x t)= '0 t!+1 GDE '0 | NULEWOJKO\FFICIENT RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) WRQD fURXE, TO ESTX PROSTRANSTWENNOE SREDNEE FUNKCII '(x). pREDSTAWIM ' W WIDE SUMMY SWOEJ ^ETNOJ I NE^ETNOJ SOSTAWLQ@]IH '+ = '(x)+2'(;x) '; = '(x) ;2'(;x) : w SILU FORMULY pUASSONA POLU^IM, ^TO 1 1 Z ' ( ) exp ; ( ; x)2 d + u(x t)= p
1.

dOKAZATELXSTWA

.

90

1 1 Z ' ( ) exp +p 2 t ;1 ;

2 t ;1

+

4t

;

(

;

x)2 d = 4t

=

x= 2t
; p


1 1 Z ' (x +2pt ) exp( =p t ;1 +

;2

)d +

1 1 Z ' (x +2pt ) exp(; 2 )d = +p t ;1 ; 1 1 Z ' (2pt )exp( =p t ;1 +
p ;2

1 1 Z ' (2pt ) exp(; 2 )d + )d + p t ;1 ;
;2

1 1 Z h' (x +2pt ) ; ' (2pt )i exp( + + t ;1 +

)d + )d :

wTOROJ INTEGRAL RAWEN NUL@, TAK KAK BERETSQ OT NE^ETNOJ FUNKCII PO SIMMETRI^NOMU PROMEVUTKU. tRETIJ I ^ETWERTYJ DOPUSKA@T OCENKUPOMODUL@ WELI^INAMI p p p ph xi
:= ' (x+2 t );' (2 t ) = ' 2 t + 2t
p ;

Z1 h p pi + p1 '; (x +2 t ) ; '; (2 t ) exp( t ;1

;2

' (2 t ) :

eSLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA, TO f~(x) = f (kx) k = const 6= 0 | TOVE NEPRERYWNA, TO ESTX f~(x + x) ! f~(x) x ! 0: wYBEREM W KA^ESTWE f (x) L@BU@ IZ FUNKCIJ ' (x), WKA^ESTWE p x k | WELI^INU 2 t, W KA^ESTWE x | WELI^INU p . tAKIM 2t x OBRAZOM, ! 0 PRI p ! 0 TOESTXPRI t ! 1: 2t rASSMOTRIM OSTAW IJSQ PERWYJ INTEGRAL. oN MOVET BYTX PREOBRAZOWAN KAK 1 p p 1 Z '(2 t )+ '(;2 t ) A + B A+B
p

t ;1

2

;

2

exp(

;2

)d +

2:

91


w \TOM WYRAVENII INTEGRAL STREMITSQ K NUL@ W SILU (20) PRI t ! 1: tAKIM OBRAZOM, OKON^ATELXNO POLU^IM, ^TO
t!+1
2.

lim u(x t)= A + B : 2

oBOZNA^IM F (x)= '( )d : uSLOWIE (21) OZNA^AET, ^TO
0

Zx

lim F (l) ;l F (;l) = A: (21 ) oBOZNA^IM F+ (x) I F; (x) ^ETNU@ I NE^ETNU@ SOSTAWLQ@]IE FUNKCII F (x):
l!1

sOGLASNOFORMULEpUASSONA 1 1Z
u(x t)= 2
p

t ;1

'+ ( )exp
;

;

;

x)2 d + 4t

1 1 Z ' ( ) exp +p 2 t ;1 ;

(

;

x)2 d = 4t
2 =l =;l
;

1 = llim p F ( )exp !1 2 t
;p

;

;

1 1 Z F ( ) x ; exp 2 t ;1 + 2t

x) 4t

;

;

x)2 d 4t

;

;

oBOZNA^IM \TI WYRAVENIQ L I1 I2 I PREOBRAZUEM IH, SDELAW p ZAMENU = ; x :
92 2t p 1 L = llim p F (x +2 t ) exp( !1 2 t
;2

1 1 Z F ( ) x ; exp p 2 t ;1 ; 2t

;

;

x)2 d : 4t

) =;l =

=l


hp pi = ll!1 p F (2 tl) ; F (;2 tl) exp(;l2 )+ im 1 2t p pi 1h + llim p F (x +2 tl) ; F (2 tl) exp(;l2 ); !1 2 t 1 hF (;x ; 2ptl) ; F (;2ptl)i exp(;l2 )= ; lim p l!1 2 t ;p Al = llim p exp(;l2 )+ ll!1 p ' 2 tl + 1 x exp(;l2 ); im x !1 2t ;p x ; lim p ' ; 2 tl ; 2 x exp(;l2 ) l!1 2 t 1 2 2 (0 1) (MY WOSPOLXZOWALISX ZDESX TEOREMOJ lAGRANVA). eSLI WSPOMNITX, ^TO FUNKCIQ ' OGRANI^ENA, TO POLU^IM, ^TO L =0 DLQ KAVDOGOFIKSIROWANNOGO x: dALEE,
1 p p 1 Z F (x +2 t )+ F (;x ; 2 t ) exp( I1 = p 2 t ;1 1 p p 1 Z F (2 t )+ F (;2 t ) exp( =p 2 t ;1
;2 ;2

)d =

)d + )d + )d :

wPERWOMIZINTEGRALOWPODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, PO\TOMU ON RAWEN NUL@. mODULI SLEDU@]IH DWUH INTEGRALOW MOGUT BYTX OCENENY S U^ETOMTEOREMY lAGRANVA KAK 1 p p 1 Z F ( x 2 t ) ; F ( 2 t ) exp(; 2 )d 6 p 2
t ;1 93

1 p p 1 Z F (;x ; 2 t ) ; F (;2 t ) exp( +p 2 t ;1

1 p p 1 Z F (x +2 t ) ; F (2 t ) exp( +p 2 t ;1

;2

;2


+1 2 2 ;2 = pjxj sup '( ) 6 pjxj sup '( ) ; exp(2 ) t2 t2 0 2 (0 1): tAKIM OBRAZOM, W SILU OGRANI^ENNOSTI ' W KAVDOJ FIKSIROWANNOJ TO^KE x INTEGRALY STREMQTSQ K NUL@ PRI t ! +1: dALEE,

1 2 Z x'; 2pt + x exp( 6p t 0

;2

)d 6

R

!

R

Z1 F (x +2pt ) ; F (;x ; 2pt ) I2 = p1 exp( 2 t ;1
1 p p 1 Z F (2 t ) ; F (;2 t ) exp( =p 2 2 t ;1
;2

;2

)d =

)d + )d
;

1 1 Z hF (x +2pt ) ; F (2pt )i exp( +p 2 t ;1
;

;2

pOSLEDNIE DWA INTEGRALA STREMQTSQ K NUL@ PRI t ! +1, KAK BYLOPOKAZANO WY E, APERWYJ MOVET BYTX PREOBRAZOWAN KAK 1 p p 1 Z F (2 t ) ; F (;2 t ) p
p

1 1 Z hF (;x ; 2pt ) ; F (;2pt )i exp( p 2 t ;1

;2

)d :

1 p p 1 Z F (2 t ) ; F (;2 t ) ; A p =p 2t ;1 1 A Z 2 exp( +p ;1
;2

2 t ;1

2t

p

2 t 2 exp(
2

;2

)d =

exp(

;2

)d +

)d :

94


wTOROE SLAGAEMOE RAWNONUL@ W SILU TOGO, ^TO p Z1
2

;1

exp(; 2 )d = 2

APERWOE MOVET BYTX OCENENO POMODUL@ KAK 1 p p 1 Z F (2 t ) ; F (;2 t ) ; A 2 exp(; 2 )d 6 p p
;1

2t

p 6 1 sup F (2 t ) ; F (;2 t ) ; A : 22 2t nO POSLEDNEE WYRAVENIE STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 1 W SILU USLOWIQ (21 ): sOBRAW WMESTE WSE OCENKI, POLU^IM, ^TO u(x t) ! A t ! +1: 2

R

p

p

3.

oBOZNA^IM PERIOD FUNKCII '(x) ZA 2l TOGDA +1 hi X '(x)= c exp ik x :
k=;1 k

l

rQD SHODITSQ RAWNOMERNO W SILU NEPRERYWNOSTI '(x) ^TOPOZWOLQET EGOPO^LENNO INTEGRIROWATX. pREDSTAWIM RE ENIE ZADA^I kO I SOGLASNOFORMULEpUASSONA: 1 h ( ; x)2 i 1Z
u(x t)= 2
p

X1 1 +1 c Z exp h ik x i exph; ( ; x)2 id : +p l 4t 2 t k=;1 k;1

1 c0 Z exph; ; x)2 id + =p 4t 2 t ;1

t ;1

'( )exp

;

4t

d=

95


pERWYJ INTEGRAL RAWEN c0: pOKAVEM, ^TOWTOROJSTREMITSQ KNUL@ PRI t ! +1: dEJSTWITELXNO, WYDELQQ POLNYJ KWADRAT POD ZNAKOM\KSPONENTY, POLU^IM, ^TO 1 h ik x i h ( ; x)2 i 1Z
1 1 Z exp h 4ik t =p l 2 t ;1

2 t ;1

p

exp

l

exp

;

4t

d=

;

4k 2t2 i exph; ( l2
; !

;

;

x + 2ikl t ) 2 i d= 4t

h =exp 4ik t l

tAKIM OBRAZOM, u(x t)
zADA^A 4.36.

4k 2t2 i ! 0 t ! 1: l2 l 1 Z '(x)dx: c0 = 2l
;l

nAJTI t!+1 u(x y t) GDE u(x y t)| RE ENIE W lim kO I
ut = uxx + uyy

u t=0 = '(x y) PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH: x2 x sin 2 A) '(x y)= 1+ 2x2 B) '(x y)=sin2 y W) '(x y)= (1+ 2y)2 : x

RR
2

+

ZADA^I

rE ENIE. zDESX
x sin 2 '(x y)= (1+ 2y) = '1 (x)'2 (y) x2 x2 '2 (y) = sin2 y '1 (x)= 1+ 2x2 SLEDOWATELXNO, lim u(x y t) = tlim u1 (x t) tlim u(y t): t!1 !1 !1

96


nO

lim u t!1 1

1 Z sin2 ydy = 1 (TEOREMA 3). A tlim u2(y t)= 2 !1 2
;

1 (x t)= 2 (TEOREMA 1),

1 tAKIM OBRAZOM, tl!1 u(x y t)= 4 : im
zADA^A 5.3.

nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W

ux (x y)
R

2

FUNKCII u(x y) DLQ KOTORYH
8

(x y )

2

R

2:

u(x y)| GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W 2, TOI EE PROIZWODNYE | GARMONI^ESKIE FUNKCII. pO\TOMU v = ux ; uy | GARMONI^ESKAQ WO WSEJ PLOSKOSTI. pO TEOREME lIUWILLQ | \TOKONSTANTA. tAKIM OBRAZOM, ux ; uy = C: rE AEM \TO LINEJNOE NEODNORODNOE URAWNENIE S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 1{GOPORQDKA STANDARTNYM OBRAZOM. uRAWNENIQ HARAKTERISTIK:

rE ENIE. eSLI

R

|TA SISTEMA IMEET DWA NEZAWISIMYH PERWYH INTEGRALA
x+y = C
1

dx = ;dy = du : C

u ; Cx = C

2

T.E. RE ENIE IMEET WID u = Cx + '(x + y) SPROIZWOLXNOJ GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ '. tAKIM OBRAZOM,
0= 'xx + 'yy =2'00:

a \TO OZNA^AET, ^TO '(x + y) = K1 (x + y)+ K2 ILI u(x y) = M1 x + M2 y + M3 : t.K. ux 97


zADA^A 5.4.

pUSTX = (x y) u =0 W

2

R

2

0
u 2 C 2( )

u y=0 = u y=1 =0 PRI 0 6 x 6 1:

mOVET LI FUNKCIQ f (x) := u2 (x y) dy IMETX TO^KUPEREGIBA WNUTRI INTERWALA (0 1)?
0

Z1

rE ENIE. fUNKCIQ

u2

(x y)

2

C ( ), PO\TOMU
2

Z1
0

u2(x y) dy

MOVNO DWAVDY DIFFERENCIROWATX POPEREMENNOJ x. tOGDA, ISPOLXZUQ GARMONI^NOSTX FUNKCII u, IMEEM Z1 ; Z1 ;
f 00 (x)= 2

iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM WTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI, S U^ETOM KRAEWYH USLOWIJ POLU^AEM Z1 00 (x)= 2 ;u2 + u2 dy > 0 f x 2 0 1]: x y |TOOZNA^AET, ^TOPEREGIBA BYTX NEMOVET.
zADA^A 5.7.
2 2 pUSTX u(x) 2 C 2(B1 (0)) \ C (B1 (0)) 0

0

u2 + uuxx dy =2 x

0

u2 ; uuyy dy: x

nAJTI
98

Z
B (0)
2 1=2

u(x)= 0 u(x)= x2 2 u(x)= x2 u(x) dx:

2 x := (x1 x2) 2 B1 (0) 2 (0) x2 > 0 x 2 S1 2 x 2 S1 (0) x2 < 0:


rE ENIE. sOGLASNOTEOREMEO POWERHNOSTNOMSREDNEM DLQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII PRI n =2 IMEEM, ^TO 1Z
u(0) = R 2
2 SR (0)

u( )d

GDE n | PLO]ADX EDINI^NOJSFERY W n 2 =2 : pODSTAWLQQ 2 ZNA^ENIQ u(x) NA OKRUVNOSTI SR (0) (S U^ETOMTOGO, ^TONARAZNYH EE ^ASTQH \TI ZNA^ENIQ ZADA@TSQ RAZNYMI WYRAVENIQMI) IPEREHODQ K POLQRNYM KOORDINATAM, POLU^IM, ^TO 2 3 2 1 4Z sin2 'd' + Z sin 'd'5 = 1 ; 1 : u(0) =
2

R

s DRUGOJSTORONY, POTEOREME O PROSTRANSTWENNOMSREDNEM 2Z
u(0) =

0

4

tAKIM OBRAZOM,
zADA^A 5.8.

Z
2 B1=2(0)

2 R2

2 BR (0)

u(x)dx: 1 4:

u(x)dx = 16

;

pUSTX

2 2 u(x)=1 x 2 B2 (0)nB1 (0): ~TO BOLX E: Z @u Z @u ( ) ds ILI @ @ ( ) ds? 2 2

rE ENIE. pRIMENIM FORMULU gAUSSA{oSTROGRADSKOGO, IMEQ W
WIDU, ^TO
@u = @u PRI s 2 S 2 (0) @u = ; @u PRI s 2 S 2 (0) 2 1 @ @ @ @ GDE | WNE NQQ NORMALX K GRANICE OBLASTI. iMEEM Z Z @u Z @u Z 1 dxdy = u dxdy = 3= @ ds ; 2 @ ds: 2
2 2 B2 (0)nB1 (0) 2 2 B2 (0)nB1 (0)

S1 (0)

S2 (0)

S2 (0)

S1 (0)

99


i, SLEDOWATELXNO, Z @u
2 S2 (0)

Z @u Z @u @ ds = 2 @ ds +3 > 2 @ ds:
S1 (0) S1 (0)

zADA^A 5.11.

pUSTX u 2 C 2( ) \ C ( ) q 2 C ( )
u(x)+ q(x) u(x)= 0 x
2

wOZMOVNOLI, ^TO M > m, ESLI A) q(x) 0 B) q(x) > 0 W) q(x) < 0 M > 0 G) q(x) < 0 M < 0? rE ENIE. A) NEWOZMOVNO (PRINCIP MAKSIMUMA) B) WOZMOVNO, PRIMER (W SLU^AE n =1) u00 + u =0 PRI x 2 (; 2 2 ) PRI \TOM FUNKCIQ u =cos x QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ, DLQ KOTOROJ WERNO UTWERVDENIE. W) NEWOZMOVNO, T.K. ESLI WO WNUTRENNEJ TO^KE x0 2 DOSTIGAETSQ MAKSIMUM (u(x0 )= M ), TO u 6 0 G) WOZMOVNO, PRIMER (WSLU^AE n =1) u00 ; u =0 PRI x 2 (;1 1) PRI \TOM FUNKCIQ u = ; ch x QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ, DLQ KOTOROJ WERNO UTWERVDENIE.
zADA^A 5.12.

M =max u(x) m =max u(x): @

pUSTX = (x y)

100

1 6 x2 +2y2 6 2 u 2 C 2 ( ) u(x y)= 0 (x y) 2 u(x y)= x + y x2 +2y2 =2 @u(x y) +(1 ; x)u(x y)=0 x2 +2y2 =1: @
2

R

2


nAJTI max u(x y) :
max ju(x y)j DOSTIGAETSQ NA GRANICE OBLASTI. sLEDOWATELXNO, NEOBHODIMO SRAWNITX ZNA^ENIQ RE ENIQ NA GRANICE. pOKAVEM, ^TO NA U^ASTKE GRANICY x2 +2y2 =1 WYPOLNQETSQ TOVDESTWO u 0. pO LEMMEhOPFA{oLEJNIK W TO^KEMAKSIMUMA @u max 2 @ (MINIMUMA min 2 @ ) NA GRANICE @ ( max) > 0 @u ( ) 6 0 . s U^ETOMTOGO, ^TO @ min (1 ; x) > 0

rE ENIE. pO PRINCIPU MAKSIMUMA

PRI x2 +2y2 =1

ZAKL@^AEM, ^TO W TO^KE MAKSIMUMA NA \TOM U^ASTKE GRANICY ZNA^ENIE FUNKCII DOLVNO BYTX NEPOLOVITELXNYM, A W TO^KE MINIMUMA NEOTRICATELXNYM. |TOOZNA^AET, ^TO FUNKCIQ DOLVNA BYTX NULEWOJKONSTANTOJ. tEPERX NAJDEM MAKSIMUM RE ENIQ NA WTOROJ ^ASTI GRANICY, T.E.
x2 +2y2 =2

max x + y:

lEGKO WIDETX, ^TO MAKSIMUM DOSTIGAETSQ W PERWOM KWADRANTE. |TO OZNA^AET, ^TO NADO ISKATX MAKSIMUM FUNKCII f (y) = p 1 2 ; 2y2 + y DLQ POLOVITELXNYH y: oN DOSTIGAETSQ PRI y = p 3 p I RAWEN 3:
zADA^A 5.30.

pRI KAKIH SU]ESTWUET RE ENIE KRAEWOJZADA^I DLQ URAW2 2 NENIQ lAPLASA W KOLXCE B2 (0)nB1 (0) S GRANI^NYMI USLOWIQMI
@u @
=1

=1

@u + u @

=2

=? 101

nAJTI RE ENIE WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONOSU]ESTWUET.


rE ENIE. oB]IJ WID RE ENIQ URAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE:
u( )= A0 + B0 ln + +
1 X;
k=1

1 X;

Ck k + D

k=1 k ;k

Ak k + Bk ;k cos k + sin k :

sOOTWETSTWENNO,

1 @u ( )= B0 + X ;kA k;1 ; kB ;k;1 cos k + k k @ k=1 1 X ; k;1 + kCk ; kDk ;k;1 sin k :
k=1

tOGDA W SILU GRANI^NYH USLOWIJ 1 1 X X
B0 +

I

k=1

(kAk ; kBk )cos k +

k=1

(kCk ; kDk )sin k =1

1 B0 + X ;kA 2k;1 ; kB 2;k;1 cos k + k 2 k=1 k

+ +

1 X;
k=1

kCk 2k;

1;

kDk 2;k;1 sin k +
1 X;
k=1 ;k sin

A0 + B0 ln 2 +
k=1

Ak 2k + Bk 2;k cos k + k =:

1 X; k + Ck 2 + Dk 2

oTS@DA NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TO 8 B =1 >0 > > < B0 > 2 + A0 + B0 ln 2 = > > : A = B =0 k2
k k

102

N


1 tAKIM OBRAZOM, ESLI =0 TO = 2 I RE ENIE IMEET WID u( )= A0 +ln (T.E. STO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJKONSTANTY). 1 eSLI 6=0 TO A0 = ; 2 ; ln 2, PRI \TOM | L@BOE I u(
zADA^A 5.33.

)= 2 2; 1 +ln 2 :

A) eDINSTWENNO LI RE ENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: u 2 C 2( ), GDE
3 3 = B2 (0)nB1 (0)

LQETSQ RE ENIEM ANALOGI^NOJZADA^I S ODNORODNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI. pRIMENIM PERWU@ FORMULU gRINA DLQ FUNKCII v(x): iMEEM Z @v Z Z Z @v
0= v vdx =
;

u(x)= 0 x2 @u(x) ; u(x)= f (x) 3 x 2 S1 (0) 1 1 @ @u(x) + u(x)= f (x) 3 x 2 S2 (0) 2 2 @ k = const > 0 (k =1 2)? B) tOT VEWOPROS PRI k = const < 0 (k =1 2): rE ENIE. pUSTX u1(x) I u2(x) | DWA RE ENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I. rASSMOTRIM RAZNOSTX v(x)= u1(x) ; u2(x), KOTORAQQW-

S (0)
3 1

@ v ds +

S (0)
3 2

@ v ds

;

jrvj2

dx:

s U^ETOM GRANI^NYH USLOWIJ Z Z
1 3 S1 (0)

v2 ds +

2 3 S2 (0)

v2 ds +
2

Z

jrvj2

dx =0:

tAKIM OBRAZOM, PRI 1 > 0 WYPOLNQTXSQ TOLXKODLQ v 0:

> 0 \TO TOVDESTWO MOVET 103


eSLI VE 1 < 0 I 2 < 0, TO RE ENIEM ZADA^I S ODNORODNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI BUDET FUNKCIQ v(x)= A0 + B0 , PRI \TOM 8 < B0 + 1(A0 + B0 )= 0 (22) : B0 ; 2 A0 + B0 =0 4 2 i, SLEDOWATELXNO, KO\FFICIENTY 1 I SOOTNO ENI@ w\TOM SLU^AE RE ENIE lEGKO UWIDETX, ^TO ETSQ SOOTNO ENIE (23)) RE ENIE, ^TO PRIWODIT NOSTI RE ENIQ).
zADA^A 5.34.
1 4+ 2 2

DOLVNY UDOWLETWORQTX
(23)

ISHODNOJZADA^I NEEDINSTWENNO. W PROTIWNOM SLU^AE (ESLI NE WYPOLNQSISTEMA (22) IMEET TOLXKOODNONULEWOE K SOWPADENI@ u1 I u2 (T.E. EDINSTWEN-

+ 12 2 =0:

nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TORE ENIE u(x y) URAWNENIQ lAPLASA W POLUPLOSKOSTI + NERAWENSTWU ; u(x y) 6 M 1+ x + jyj GDE M = const > 0, EDINSTWENNO. rE ENIE. pUSTX SU]ESTWUET DWA RE ENIQ v(x y) = u1 (x y) ; u2(x y): lEGKO WIDETX, ET ODNORODNOJZADA^E dIRIHLE. oB]EE RE POLUPLOSKOSTI IMEET WID 1 X k ;k
v( )=
k=1

RR

ZADA^I dIRIHLEDLQ UDOWLETWORQ@]EE

ENIE TAKOJZADA^I W
sin k :

u1 I u2. oBOZNA^IM ^TO v UDOWLETWORQ-

Ck + Dk

s U^ETOMUSLOWIQ
jvj

; 6 ju1j + ju2j 6 M1 1+ cos + j sin

j

6 M2 (1 + )

104


K ZAKL@^AEM, ^TO RE ENIE IMEET WID v( ) = P Ck k sin k : k=1 zDESX KONSTANTA K RAWNA CELOJ^ASTI : tAKIM OBRAZOM, PRI > 1 SU]ESTWUET NENULEWAQ FUNKCIQ v I, SLEDOWATELXNO, RE ENIE ISHODNOJZADA^I NEEDINSTWENNO. pRI < 1 SU]ESTWUET TOLXKONULEWOE v, PO\TOMU RE ENIE ISHODNOJ ZADA^I EDINSTWENNO.

nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TORE n u(x y) ZADA^I dIRIHLEDLQ ENIE o x URAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI (x y) 2 2 jyj < p UDOWLE3 TWORQ@]EE NERAWENSTWU ; u(x y) 6 M 1+ x2 + y2 GDE M = const > 0 EDINSTWENNO. rE ENIE. pEREJDEM W POLQRNYE KOORDINATY. oBLASTX, WKOTOROJ RASSMATRIWAETSQ ZADA^A dIRIHLE, PREDSTAWLQET SOBOJUGLOWOJ SEKTOR j'j < 6 , NERAWENSTWO PEREPI ETSQ W WIDE ju(r ')j 6 M (1 + r2 ) : (24) eSLI w(r ') | DRUGOE RE ENIE DANNOJ ZADA^I dIRIHLE, TO v(r ') = u(r ') ; w(r ') - GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W DANNOJ OBLASTI, UDOWLETWORQ@]AQNULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM. oNA TOVE POD^INENA NERAWENSTWU (24) (WOZMOVNO, S BOLX EJ KONSTANTOJ), TAK KAK jvj = ju ; wj 6 juj + jwj: tAKIM OBRAZOM, NAM NADO NAJTI USLOWIQ, PRI KOTORYH v - TOVDESTWENNYJ NULX. fUNKCIQ v IMEET OB]IJ WID Xk Xk ;k ;k
v(r ')=

zADA^A 5.35.

R

tAK KAK W SILU NERAWENSTWA ( ) \TA FUNKCIQ OGRANI^ENA W NULE, TO WSE KO\FFICIENTY Bi i = 3 ::: I Di i = 6 ::: RAWNY NUL@. ~TOBY ISKL@^ITX RE ENIQ ZADA^I dIRIHLE S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI, OTLI^NYE OT TOVDESTWENNOGO NULQ, NADO POTRE BOWATX, ^TOBY ROST jv(r ')j NA BESKONE^NOSTI BYL STROGO 3 MENX E, ^EM U r3: tAKIM OBRAZOM, < 2 :
105

k=3

(Ak r + Bk r )cos k' +

k=6

(Ck r + Dk r ) sin k':


zADA^A 5.45.

pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2 C 2( ) u =0 W '(x)| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ I DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @ : nAZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "RE ENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0 u @ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNO LI RE ENIE TAKOJZADA^I dIRIHLE? rE ENIE2. rASSMOTRIM OBLASTX = f0 < r < 1 0 < ' < =2g GDE (r ')| POLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI, I GRANI^NU@ TO^KU x =0 2 @ : rASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLE
xlim0 !x x2

u(x)= '(x0 )

R

u(x) x2@ x6=0 =0: rE ENIE DANNOJZADA^I NEEDINSTWENNO: u1(r ') 0 u2(r ')= r2 ; r12 sin 2':
2

u =0

x

zADA^A 5.46.

3 | WNE NOSTX EDINI^NOGO ARA. eDINSTWENNOLI pUSTX RE ENIE u(x) 2 C 2( ) \ C ( ) WNE NEJ ZADA^I dIRIHLE

R

u(x)= 0

jx j

>1

PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII Z A) u( ) 2 d = O(1)
j ;xj<1
j!

u jxj=1 =0

B)

Z

j ;xj<1

u( ) 2 d = o(1)

R

PRI jx

+1?
!

rE ENIE. iZWESTNO, ^TO RE ENIE WNE NEJ ZADA^I dIRIHLE W 3
EDINSTWENNO PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII u(x)
0 PRI

106


+1: oCENIM u(x): pO TEOREME O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ PO ARU S CENTROMW TO^KE x RADIUSA 1 Z 2 u(x) 2 = 4 1=3 u( ) d 6
jxj !

j ;xj<1

6 (4 1 3)2 =

Z

NERAWENSTWO kO I{bUNQKOWSKOGO Z 1Z
d
j ;xj<1

uSLOWIE (A) \KWIWALENTNOUSLOWI@ u(x) = O(1) PRI jxj ! +1 KOTOROGO NEDOSTATO^NO DLQ EDINSTWENNOSTI RE ENIQ W 3: rE ENIE TAKOJ ZADA^I NEEDINSTWENNO. pRIMER: u1 (x) 0 u2(x)=1 ;jxj;1 u2(x) 6 1 PRI jxj > 1 u2(x)=0 jxj > 1 u2 jxj=1 =0

R

j ;xj<1

u( ) 2 d = 4 =3

j ;xj<1

u( ) 2 d :

Z

iZ USLOWIQ (B) SLEDUET, ^TO u(x) ! 0 PRI jx RE ENIE TAKOJZADA^I EDINSTWENNO.
zADA^A 5.47.

j ;xj<1

u2 ( ) 2 d 6

Z

j ;xj<1

d = 43 = O(1) PRI jx
j!

j!

+1:

+

1

ZNA^IT,

A) nAJTI RE ENIE u( ) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAP2 LASA W B1 (0) S GRANI^NYM USLOWIEM 1 X ;p;1 q
u
=1

=

2 H 1 (B1 (0))?

GDE p I q { ZADANNYE NATURALXNYE ^ISLA. B) pRI KAKIH p, q \TO RE ENIE PRINADLEVIT PROSTRANSTWU
1 X
nn

k=1

k

sin(k )

rE ENIE. a) oB]IJ WID RE ENIQ ZADA^I dIRIHLE W KRUGE
u( )= A0 +
n=1

A

cos n +

1 X

n=1

Cn n sin n : 107


iZ GRANI^NOGO USLOWIQ WYTEKAET, ^TO An = 0, n =0 1 ::: PRI \TOM n = kq I Cn = k;p;1: tAKIM OBRAZOM, RE ENIE 1 X ;p;1 kq q
u( )=
k=1

k

sin k :

B) lEGKOPOS^ITATX KWADRAT GRADIENTA RE ENIQ (PRI =0) 6 1 @u 2 1 @u 2 X ;2p+2q;2 2kq ;2 2
jr

u(

)j = @

+

2

eSLI u

2

2 H 1 (B1 (0)), TO

Z
2 B1 (0)

@

=

k=1

k

:

jruj2

dx <

1:

wYBEREM TAKOE,

^TO 0 < < 1, TOGDA Z2 Z X 1 k;2p+2q;
0 0 k=1

2 2kq ;1

d d =2
1 X
k=1

1 Xk
k=1
2

;2p+2q;2

2k q

2k q

0

=

=

1 X

rQD SHODITSQ, ESLI ;2p + q ; 2 < ;1 T.E.
q< 1+2p:

k=1

q k;2p+q;2 2k ;!

k;2p+q;

PRI

!

1:

tAKVEMOVNOPROWERITX, ^TO KLASSI^ESKIJ GRADIENT FUNKCII u 2 QWLQETSQ OBOB]ENNYM W ARE B1 (0) I^TOPRI POLU^ENNOMSOOT2 NO ENII SAMA FUNKCIQ u PRINADLEVIT PROSTRANSTWU L2 (B1 (0)):

108


oTWETY.
1.1. (1 1) + (;1 ;1) ; (1 ;1) ; (;1 1) . 1.2. a = ;1. 1.4. (x)(1 ; e;x )+ C1 + C2e;x . 1.5. ; (y ;jxj)=2. 1.7. 1.8.a) dA B) DA W) NET. 1.9. nET, PRIMER: u = sin(1=jxj). p 1.10. B) nET, PRIMER: u = x ; x2. 1.12. a) < 1=2 B) > 1=2, =0. 1.13. < 1=2. 1.14. A) L@BOE, ESLI n > 7 < ;1=2, ESLI n =6.

nET.

> 1=2, =0 =(2k ; 1) =2 k 2 . =(2k ; 1) k 2 L@BOE, ESLI n > 3 < 1=2, ESLI n =2 =0, ESLI n =1. 1.18. dA. 1.19. nET. 1.20. 0.
1.15. 1.16.

B) > 1=2 ILI =0, ESLI n > 7.

Z

Z

2.14. 2.15.

nET. 2.2. dA | DLQ GIPERBOLI^ESKOGO I \LLIPTI^ESKOGO NET | DLQ PARABOLI^ESKOGO. 2.3. tOLXKOU utt = uxx, PRIMER: u = x2 + t2 . 2.4. z 6= y 3x. 2.5 a) y =2e (x;1) B) y =0. 2.6. a) x = C1, x + y = C2 B) u = ey f (x)+ g(x + y). 2.7. a) gIPERBOLI^ESKOE B) x ; 2y = C1, y = C2 W) u = xy + f (x ; 2y)+ g(y). 2.8. A) gIPERBOLI^ESKOE PRI 6=0, PARABOLI^ESKOE PRI =0. B)16 2u ; 4 u =0 PRI 6=0 uxx + ux =0 PRI =0. W) u(x y)= F (y +3 x) exp y ; x + G(y ; x) PRI 6=0 4 u(x y) = F (y)+ G(y)e;x PRI = 0 . 2.9. A) > ;4 2 B) =0 = ;4 W) NET G) DA. 2.11. A) x + t = C B) = 1 W) x + t = C PRI =1 x t = C PRI = ;1 G) PRIMER: u = t(x + t) PRI =1 u = x ; t PRI = ;1 D) PRIMER: u =sin(x ; t) PRI = ;1 PRI =1 RE ENIJ NET. p 2.12. x ; y t 2= 0. 2.13. z = C PRI =0 PRI 6=0 DEJSTWITELXNYH HARAKTERISTIK NET.
2.1.

?

ex f (x ; y x ; z )+ e;x g(x ; y x ; z ). = x + y, =2x ; y Zu + u + u =0 i h 2x;y +y)(y;2x) f (x + y)+ g(s)e;(x+y)s ds . 0 2.16. +3 2 6= 0. 2.17. a) = 0 B) = ;2. 2.18. nET. 2.19. dA. 2.20. dA. 2.21. nET. 2.22. a) dA B) NET. p kONTRPRIMER: u = um (x t) = Re expf;pm + im2 t + 1+ i mxg = 2 109 u= a) B) u = e(x


exp

p f;

2.24 3.1. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

; m m + p xg cos m2 t + 2 nET. pRIMER: un(x y)=
p

m p

x . 2.23. > 0. 2 1 eny sin pn2 +1 x : n2

(x) dx. = a 0 , c = 2a ;1 3.11. 1=a. 3.12. > =2+1. 3.13. u(x y t) = e;(x+t)2 + 2 e;(x;t) + arctg(y + t) + arctg(y ; t) + (cos x + sin y) sin t =2. 1 9 9 3.14. u(x t)= t8 18jxj (t + jxj) ;pt ;jxj , jxj 6=0 u(0 t)= p . ; arctg(x1 + x2 + x3 + t 3) p arctg(x1 + x2 + x3 ; t 3) . 3.15. u = 23 3.16. A) u(t x y z )= sin x cos 2t + e2z ch4t B) u(t x y z )= (yz )2 +4t2(y2 + z 2 )+ 16 t4 3 p p 1h W) u(t x y z )= 2 (3x ; y + z +2 11 t) exp(3x ; y + z +2 11 t)+ i p p (3x ; y + z ; 2 11 t) exp(3x ; y + z ; 2 11 t) . 3.17. 1=2: 3.18. a) x2 + x2 > (t +1)2 B)1=8. 1 2 3.19.a) 0 6 t 6 minfx1 x2 1 ; x1 2 ; x2g. 3.20. 0 6 t 6 0:05, 0:9+ t 6 jxj 6 1 ; t 0:9 6 t 6 1, jxj 6 min(1 ; t t ; 0:9). 3.21. q> 1=2+ m. 3.22. A) n =1 2 KONTRPRIMER DLQ n =3 SM. ZADA^U 3.20. 3.23. nET. 3.24. a) t 2 ( ; x 2 + x), 0 6 x 6 =2 t 2 (( ; x)+ 2 ; x) ( + x 2 + x), =2 3 =2. 3.25. I) (6=1, ' 2 C 2( + ), '0 (0) = 0, '00 (0) = 0 1 (x x>t u(x t)= 2 '(x + t)+ '+1 ; t)] 1 '(x + t)+ 2 '(0)] x< t 2 ;1 '(t ; x) ; (;1 x>t II) =1, '(x) K = const u(x t)= K K + f (t ; x) x< t 110
3.10. t0

nET. 3.2. jx1 x2j 6 2. 3.3. pRIMER: '(x)=1 (x)= x. A) '(x)= 7x2 (x)=2x NET B) '(x)= x2 (x)= x. nET. < 0, | L@BOE =0, < ;1=2. =0, | L@BOE 6=0, < ;5=2. 3.8. ??? 1+ jx j 1Z1

R


x>t p u(x t)= 1 ;(x+t)2 ;(x;t)2 ;e + cos 2(x ; t) x< t: 2e 3.28. B) > 2 (0) = 1=2 0 (0) = 1: 3.29. =0, k | L@BYE 6=0, > 2, k< 1 RE ENIE EDINSTWENNOPRI k > ;1 INEEDINSTWENNO PRI k< ;1. 3.30. a) 0 6 t + x 6 2, 0 6 t ; x 6 1=2 W) u(x t)= '((t + x)=2) ; '(3(t ; x)=2) + (t ; x). 3.32. = = =0 u(x t) = sin x cos t. 3.33. a) 30 + 36 2 B) 4 sin3 x. 3.34. nET. 3.35. 1=105. 3.36. 1=1260. 3.37. ! 2 f 4 6g. 3.38. 6= k k 2 . = 3.39. A) k > 1= B) SM. RE ENIE. 3.40. dA. 4.1. dA. 4.2. nET. 4.3. a) nET B) DA W) NETZ 4.4. nET. 4.5. nET. . 1 '(x)dx =0: 4.6. dA. 4.8. 0. 4.9. A) pRI L@BOJ '(x): B)

GDE f 2 C 2( + ), f (0) = f 0 (0) = f 00(0) = 0. 3.26. '0 (x) ; 2 (x)= C . 3.27. A =1, ! = ( 1 ;(x+t)2 ;(x;t)2 +e 2e

R

p

2

N

'(x)sin xdx =0. Z3 4.12. a) '(x)| L@BAQ. B) '(x)sin kx dx =0 PRI k =1 3 0 W) '(x) 0. 4.13. 1+ 6x= . 4.14. x1 x2. 4.15. 1. 4.16. < Z1 4.17. 3x ; 2. 4.18. +1. 4.19. A) l> 1=3 B) '(x)sh(!x)dx 0 GDE !> 0{ RE ENIE URAWNENIQ ! =3 th !: 4.20. W)??? 4.21. B) nET. 4.23. mOVNO. 4.25. nEOGRANI^ENO. 4.26. a(1 ; x)+ bx. 4.27. nET. 4.29. t < 1=4K . 4.31. nET. 4.32. u(x t) = C . 4.33. 4.34. =2. 4.35. A=2. 4.36. A)1=2 B)1=2 W)1=4. p 4.37. A), B) u(t x) = e;(x1 +x2 +x3 ) 4.38. . 4.39. A = 4.40. dA. 5.1. u(x y)= xy3 ; x3 y + C1 x + C2. 5.2. u(x) 0. 5.3. u(x y)= C1x + C2 y + C3, GDE C1 4.10.
0

<

2 . 4.11.

Z

0

2 4=3. =0 1=2. 1=2.

111


u(x y) = exp(;x=2) sin(x= 2) sin(y=2): 5.19. wERNO, u 0: 5.20. nET. 5.23. fUNKCIQ u(x) POLU^ENNAQPOFORMULE DLQ RE ENIQ ZADA^I dIRIHLE S RAZRYWNOJ GRANI^NOJ FUNKCIEJ, NAPRIMER: u =0 jxj < 1 u jxj=1 = 0 x1 > 0: 1 x1 < 0 5.28. nET. 5.29. 2 f;3=4 0g. 5.30. I) 6=0 8 u = 2 2; 1 +ln 2 II) =0 =1=2 u =ln + C . p 3 3 + cos ; sin 2 . 5.31. dA. 5.32. u = 4 22 5.33. a) dA B) NET. 5.34. < 1. 5.35. < 3=2. 5.36. u(0 y)= 2 + (y ; 2) ln(2 ; y) ; y ln(;y). 5.37. ;1. 5.38. dA. 1 2 5.39. A) dA B) u(r )= 5 4 ; r cos + 5 1 + r sin : r r 5.40. A) pRIMER: u(x y) = sin( x) exp( y): B) dA. 5.41. nET. 5.42. ;1=25: 5.43. nET. 5.44 a = =2: 5.45 nET. 5.46. A) nET B) dA. 1 P k;p;1 kq sin(kq ) B) q< 2p +1. 5.47. a) u( )= k=1 5.50. B) u(x) 0 W) u(x) 0. 5.51. u(x) 0: 5.52. =2: 5.53. 2 . 5.54. ;79 =2520:

p

112


|KZAMENACIONNYE WARIANTY
2003 GOD, POTOK\ a.`.gORICKIJ 1.

KONOMISTOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR

uxx ; 2uxy + uyy =0 (1) | W URAWNENIE STRUNY utt = uzz | W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = uzz . B) (1+2) tE VEWOPROSY OB URAWNENII uxx ; 2uxy + uyy +2 ux ; 2 uy =0: W) (3) pUSTX OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ u(x y) 2 C 2 ( 2) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (1) S NEKOTORYM > 5. mOVET LI PRI \TOM u 6 const? oTWET OBOSNOWATX. G)(2) tOT VEWOPROS DLQ < ;5. 2. A) (1+1) oPISATX WSE -PERIODI^ESKIE FUNKCII '(x) I (x), PRI KOTORYH RE ENIE u(t x) ZADA^I kO I 9utt = uxx u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) (2) QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ PO t. nAJTI \TOT PERIOD. B) (2+1) tE VEWOPROSY DLQ ZADA^I 9utt = uxx +sin t u t=0 = '(x) ut t=0 = (x): W) (3) mOVET LI PERIODPO t URE ENIQ u(t x) ZADA^I kO I (2) BYTX MENX E 2 PRI USLOWII, ^TO ' I | -PERIODI^NY I NE IME@T MENX IH PERIODOW? 3. pUSTX u(t x)| RE ENIE W POLUPOLOSE (t x) 2 (0 +1) (0 )

A) (1+1) nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET LINEJNAQZAMENA PEREMENNYH (x y) ! (t z ), PEREWODQ]AQURAWNENIE

R

ut = uxx ux x=0 = u x= =0 u t=0 = '(x): A) (3) dOKAZATX, ^TO sup ju(1 x)j 6 sup j'(x)j: 0
KRAEWOJZADA^I


W) (3) nAJTI RE ENIE u(t x) POSTAWLENNOJ ZADA^I S NA^ALXNOJ FUNKCIEJ '(x)=( ; x)( + x). 4. A) (1+1) dATX OPREDELENIE PROIZWODNOJ W SMYSLE sOBOLEWA. dATX OPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1 ( ). B)(2) pRIWESTI PRIMER NIGDENE DIFFERENCIRUEMOJ (W KLASSI^ESKOM SMYSLE) FUNKCII, PRINADLEVA]EJ PROSTRANSTWU H 1 ( ), 2. dOKAZATX EE PRINADLEVNOSTX \TOMU PROSTRANSTWU. oTWET OBOSNOWATX. ; W) (3) rASSMATRIWAETSQ FUNKCIQ f (x) = jxj sin(!jxj) W EDINI^NOM ARE B1 = fx 2 3 j jxj < 1g. pRI KAKIH I ! WYPOLNENO f (x) 2 H 1(B1 )? kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 19 BALLOW \HORO O" | 12 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | 5 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 32 BALLA. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.

R

R

2000 a.`. 1.

uxx ; 6uxy + uyy +2ux +(3 ; )uy + ; 5 u =0 ( ) 4 W ZAWISIMOSTI OT PARAMETRA 2 . B)(1) pRIWESTI URAWNENIE ( ) KKANONI^ESKOMU WIDU PRI =5. W) (1) tOT VEWOPROS DLQ =9. G)(1) nAJTI OB]EE RE ENIE URAWNENIQ ( ) PRI =5. W) (1) tOT VEWOPROS DLQ =9. 2. A)(1) dATX OPREDELENIE FUNKCII gRINA ZADA^I dIRIHLEDLQ 3. URAWNENIQ lAPLASA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI B)(2) w PREDPOLOVENII, ^TO SU]ESTWUET KLASSI^ESKOE RE ENIE u x2@ = '(x) u(x)= f (x) x 2 WYWESTI FORMULU, DA@]EE \TORE ENIE ^EREZ FUNKCI@ gRINA. W) (1) nAPISATX FORMULU pUASSONA, DA@]EE RE ENIE ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W ARE. 114

A) (1) oPREDELITX TIP URAWNENIQ

GOD, POTOK MEHANIKOW, PERESDA^A, LEKTOR gORICKIJ pERWAQ ^ASTX

R

ZADA^I

R


3.

A)(1) sFORMULIROWATXPOSTANOWKUZADA^I kO I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. B) (2) sFORMULIROWATX I DOKAZATX PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W SLOE I TEOREMU EDINSTWENNOSTI DLQ POSTAWLENNOJZADA^I kO I.
1.

nAJTI FUNKCI@ u(x y z t), QWLQ@]U@SQ RE ENIEM ZADA^I kO I 8 @u 2 2 2 < = @ u+@ u+@ u 2 @y2 @z 2 @x : u @t = e;x2 cos(2y ; z ): t=0 2. nAJTI, PRI KAKIH a I b IMEET RE ENIE SLEDU@]AQZADA^A 8 u = r3(a +cos2 ) u = u(r ) r< 1 < : @u = bj j ;<<:
@r r
=1

wTORAQ ^ASTX

uSLOWIQ PROWEDENIQ \KZAMENA. wREMQ NAPISANIQ PERWOJ ^ASTI RABOTY | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA. dLQ POLU^ENIQ OCENKI \UDOWLETWORITELXNO" NEOBHODIMO I DOSTATO^NO NABRATX NE MENEE 4 BALLOW IZ WOZMOVNYH 12. dLQ TOGO^TOBYPRETENDOWATX NA OCENKI \HORO O" I \OTLI^NO" NEOBHODIMO NABRATX NE MENEE SOOTWETSTWENNO 8 I 10 BALLOW, I TEM SAMYM PROJTINAWTORU@ ^ASTX \KZAMENA. dALEE, DLQ POLU^ENIQ OCENKI \OTLI^NO" ILI \HORO O" PO REZULXTATAM WTOROJ ^ASTI \KZAMENA NEOBHODIMO RE ITX, SOOTWETSTWENNOOBE ILIODNU IZ PREDLOVENNYH ZADA^.
2003 GOD, POTOKMEHANIKOW, g.a.~E^KIN

DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR

1. A) (2) dATX OPREDELENIE AWTOMODELXNOGO RE ENIQ I NAJTI AWTOMODELXNYE RE ENIQ URAWNENIQ
6 ut + u =0 6x

(1) 115


B) (2) pOSTROITX KAKOE{NIBUDX NETRIWIALXNOE NE\NTROPIJNOE OBOB]ENNOE RE ENIE ZADA^I kO I DLQ URAWNENIQ (1) SN.U.
2.

A) (1) oPREDELITX TIP URAWNENIQ

u t=0 =0

uxx ; 2 uxy ; 3 2uyy + uy + ux =0 (2) W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA . B) (2) pRIWESTI URAWNENIE (2) KKANONI^ESKOJFORME. W) (2) nAJTI OB]EE RE ENIE \TOGO URAWNENIQ. 3. A) (1) sFORMULIROWATX WARIACIONNU@ POSTANOWKUZADA^I dIRIHLES NEODNORODNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI. B) (1) dOKAZATX OGRANI^ENNOSTX FUNKCIONALA SNIZU. W) (3) wY^ISLITX
w;(jxj;1)2H 1 ( )

inf

Z;

jrwj2 ;

2w dx

ESLI = fx =(x1 x2): 1 < jxj < 2g: kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 11 BALLOW \HORO O" | 8 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | 5 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 14 BALLOW. wREMQ NAPISANIQ | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.
2003 GOD, POTOK g.a.~E^KIN 1.

MEHANIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR pERWAQ ^ASTX
.
3 ut + u =0: 3x

A) (1) dAJTEOPREDELENIE OBOB]ENNOGORE ENIQ URAWNENIQ
(25)

B) (2) pUSTX u(t x) | KUSO^NO GLADKOE FINITNOE OBOB]ENNOE RE ENIE URAWNENIQ (25) S LINIEJ RAZRYWA x = x(t). oBOZNA^IM Z1
S (t)= 116
;1

u(t x) dx:


dOKAVITE, ^TO S (t) NE ZAWISIT OT t: 2. A) (1) dAJTEOPREDELENIE GARMONI^ESKOJFUNKCII B) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU lIUWILLQ DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. W)(3B) nAJDITE WSE GARMONI^ESKIE W R2 FUNKCII, DLQ KOTORYH
uy (x y)= ixy + ie(x+iy) :

A) (1) dAJTEOPREDELENIE KORREKTNOSTI POSTANOWKI ZADA^I. B)(2B) kORREKTNA LI ZADA^A kO I DLQ URAWNENIQ
3.

ut = ;uxx?

oTWET OBOSNOWATX.

4{7 | \UDOWLETWORITELXNO", 8{11 | \DOPUSK" KOWTOROJ ^ASTI \KZAMENA. wREMQ NAPISANIQ |1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.

kRITERIJ OCENOK: pERWAQ ^ASTX

wTORAQ ^ASTX

.

4. (2) pUSTX G(x y)| FUNKCIQ gRINA ZADA^I dIRIHLEDLQ OPERATORA lAPLASA. dOKAVITE, ^TO G(x y)= G(y x): 5. rASSMOTRIM ZADA^U u=f W (26) @u = NA @ : @

A) (1) dAJTE WARIACIONNU@ POSTANOWKUZADA^I (26). B) (3) dOKAVITE IMPLIKACI@
kLASSI^ESKOE RE ENIE (26) oBOB]ENNOE RE ENIE (26) rE ENIE WARIACIONNOJ ZADA^I, SOOTWETSTWU@]EJ (26).
6.
m +

pUSTX Q =(0 l) (0 T ).
117


(cos x +2)(ux ) + (sin l )u +(ut ) dx 0 NE ZAWISIT OT WREMENI.
E

rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U 8 @ 2u @ ; @u > @t2 = @x (cos x +2) @x ; (sin lx )u W Q < u =sin x PRI t =0 0 6 x 6 l l > ut =0 PRI t =0 0 6 x 6 l : u =0 PRI x =0 l 0 6 t 6 T: A) (2) nAPI ITESHEMU METODA fURXE DLQ TAKOJZADA^I B) (3) dOKAVITE, ^TO Zl h i x2 2 2
(t)=

(27)

kRITERIJ OCENOK: wTORAQ^ASTX

0{4 | \UDOWLETWORITELXNO", 5{8 | \HORO O", 9{11 | \OTLI^NO" wREMQ NAPISANIQ |1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.
2003 GOD, g.a.~E^KIN 1.

POTOK MEHANIKOW, PERESDA^A, LEKTOR pERWAQ ^ASTX
.

ut +ln uux =0 (28) u t=0 = u0 (x): pOSTROITX RE ENIE (2+2 BALLA), PROWERITX WYPOLNENIE USLOWIQ rANKINA-g@GONIO I USLOWIQ WOZRASTANIQ \NTROPII (1+1 BALL), ESLI a) u0 (x)= 4 PRI x> 0: B) u0(x)= 4 PRI x< 0: 1 PRI x< 0 1 PRI x> 0 2. (2) nARISOWATX GRAFIK RE ENIQ u(t x) W MOMENT t = DLQ

rASSMATRIWAETSQ ZADA^A kO I (

NA^ALXNOJZADA^I

1 utt = 4 uxx u(0 x)= 0 ut(0 x)= 118

sin x x 2 2 ] 0 x 2 2 ]: =


3.

= f(x y) 2 IR2 1 < x2 +4y2 < 4g ;1 = f(x y) 2 IR2 x2 +4y2 =1g ;2 = f(x y) 2 IR2 x2 +4y2 =4g: rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI : 8 u =0 W < p xux +4yuy ; px2 +16y2 u =0 NA ;1 (29) : xu +4yu + x2 +16y2 u =0 NA ; 2 x y a) (2) eDINSTWENNO LI RE ENIE ZADA^I (29)? B) (1) nAJTI ZNA^ENIE RE ENIQ W TO^KE (1 0). W)(1) nAPISATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO RE ENIQ ZADA^I (29). G)(2 BALLA) nAPISATX WARIACIONNU@ POSTANOWKUZADA^I (29).

pUSTX

kRITERIJ OCENOK: pERWAQ ^ASTX

4{10 | \UDOWLETWORITELXNO", 11{14 | \DOPUSK" KOWTOROJ ^ASTI \KZAMENA. wREMQ NAPISANIQ |1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.

wTORAQ ^ASTX

.

4.

A) (1) nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQ

uxy ; uyy ; ux + uy =0: B) (2) nAJTI EGOOB]EE RE ENIE. 5. (2) nAJTI 2max U (x y), GDE U (x y)| RE ENIE ZADA^I kO I x +y2 =1 (3) nAJTI RE ENIE ZADA^I uxx ; utt = sin x + sin t @u y @x + x2 = x @u + y @y
2

u(0 y)= y12 :
f

6.

7.

0 0g u x=0 =0 u x= =1 u t=0 = x @u t=0 =0: @t iMEETSQ ZADA^A {TURMA-lIUWILLQ
0 p(x)X 0 + q(x)X + X =0 x
2

0 l] 119


p 2 C 1 0 l ] q 2 C 0 l ] p > p0 > 0 q 6 0 X 2 C 2 0 l ] : A) (2) pOKAZATX, ^TO > 0 B) (3) dOKAZATX, ^TO SOBSTWENNYE ^ISLA STREMQTSQ K +1.

;

;

;

kRITERIJ OCENOK: wTORAQ^ASTX

0{5 | \UDOWLETWORITELXNO", 6{9 | \HORO O", 10{13 | \OTLI^NO" wREMQ NAPISANIQ |1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.
2001 GOD, POTOKMATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR e.w.rADKEWI^ 1.

A)(1) dATX OPREDELENIE SLABOGO RE ENIQ (RE ENIQ W SMYSLE INTEGRALXNOGOTOVDESTWA) URAWNENIQ hOPFA. B) (2) pOSTROITX KUSO^NO{POSTOQNNOE RE ENIE S 5-TX@ LINIQMI RAZRYWA. W) (2) dOKAZATX, ^TONE SU]ESTWUET KUSO^NO{POSTOQNNOGORE ENIQ S 4-MQ LINIQMI RAZRYWA. 2. A) (1) dATX OPREDELENIE AWTOMODELXNOGO RE ENIQ I NAJTI AWTOMODELXNYE RE ENIQ URAWNENIQ
ut + u3 ux =0

B) (2) dOKAZATX EDINSTWENNOSTX RE ENIQ, UDOWLETWORQ@]EGO USLOWI@ NEWOZRASTANIQ \NTROPII, W KLASSE AWTOMODELXNYH REENIJ. 3. A) (1) sFORMULIROWATXUSLOWIE SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGO RE ENIQ ZADA^I kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ. B) (3) pUSTX u | KLASSI^ESKOE RE ENIE ZADA^I kO I
utt = uxx u t=0 = '(x) uN = uN tt xx uN t=0 = 'N (x) 120 0 2

R

1

A uN | KLASSI^ESKOE RE ENIE SME ANOJZADA^I
0

pRI \TOM PRI x 2 (;M ; M + ) I PRI x 62 (;N + N ; ) DLQ DOSTATO^NO MALYH FIKSIROWANNYH I TAKIH, ^TO M + < N ; . dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET TAKOE N0 ^TO u uN NA OTREZKE ;M M ] PRI N > N0 : 4. (3) dLQ KAKIH IZ TREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTI
ut = uxx utt = uxx utt = ;uxx 'N = ' 'N =0

SU]ESTWUET NETRIWIALXNOE RE ENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMKNUTYMI LINIQMI UROWNQ? 5. A) (1) sFORMULIROWATXLEMMU O NORMALXNOJPROIZWODNOJ. B) (3) dOKAZATX, ^TOGARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u 2 C 1( )
@u =0 NA ; u =0 NA ;2 1 @ ;1 ;2 = @ mesn;1;2 6=0 TOVDESTWENNO RAWNA NUL@. 6. A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. B)(2) dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u 2 C 2( ), UDOWLETWORQ@]AQTEOREME O SREDNEM DLQ L@BOGO ARA K , QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ. 7. (3) pUSTX C | KONUS (x y) 6 x 6 : dOKAZATX, ^TO y NE SU]ESTWUET OB]EJ KONSTANTY W NERAWENSTWE fRIDRIHSA DLQ WSEH OGRANI^ENNYH C: kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 16 BALLOW \HORO O" | 13 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | 8 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 25 BALLOW. wREMQ NAPISANIQ |3 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.
2000 GOD, POTOKMATEMATIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEK TORa.s.{AMAEW -

1. A) (1) nAPI ITEFORMULU dALAMBERA DLQ RE ENIQ URAWNENIQ KOLE BANIJ STRUNY. B) (3) pUSTX K = (x y) 2 2 x2 + y2 < 1 | EDINI^NYJ

R

121


KRUG W 2: kORREKTNA LI ZADA^A: NAJTI u(x y) 2 C 2(K ) \ C (K ) TAKU@ ^TO uxx ; uyy =0 W K u @K = '(x y) '(x y) 2 C (@K )| PROIZWOLXNAQNEPRERYWNAQ FUNKCIQ? 2. A) (1) dAJTEOPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1(Q): B) (2) dOKAVITEPOLNOTU PROSTRANSTWA H 1 (Q): W)(3) pUSTX Q = jxj < 1 x 2 3 : sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TO DLQ L@BOJ u(x) 2 C 1 (Q) u(0) 6 C u H 1 (Q) ?

R

R

eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER. 3. A) (3) pUSTX K = 1 < jxj < 2 |"KOLXCEWAQ" OBLASTX W 2: eDINSTWENNO LI RE ENIE SLEDU@]EJ KRAEWOJZADA^I: u =0 W K u 2 C 2(K ) \ C 1(K )
'1 '2 | PROIZWOLXNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQH jxj =1 I jxj =2 SOOTWETSTWENNO? oTWET OBOSNUJTE. B) (2) nAJDITE RE ENIE POSTAWLENNOJW P. (a) ZADA^I, ESLI '1 = cos '2 = sin ( | POLQRNYJ UGOL NA PLOSKOSTI). 4. A) (1) sFORMULIRUJTE PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ lAPLASA. B) (3) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ u + ux + u =0 @2 @2 = @x2 + @y2 @u @n jxj=1 = '1 (x1 x2) u jxj=2 = '2 (x1 x2)

R

W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q NA PLOSKOSTI W TOJ VE FORME, KAK DLQ URAWNENIQ lAPLASA? oTWET OBOSNUJTE.
122


A) (1) sFORMULIRUJTETEOREMU lIUWILLQ DLQ URAWNENIQ lAPLASA. B) (3) pUSTX u(x)| GARMONI^ESKAQW 3 FUNKCIQ I ZZ Z u2(x) dx
5.

wERNOLI, ^TO u(x) const W 3? oTWET OBOSNUJTE. 6. A) (1) dAJTEOPREDELENIE POTENCIALA DWOJNOGOSLOQ. B) (3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJ ZAMKNUTOJ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA S I IME@]IJ EDINI^NU@ PLOTNOSTX, RAWEN 0 WNE S I 4 WNUTRI S: 7. A) (1) nAPI ITEFORMULU pUASSONA DLQ RE ENIQ ZADA^I kOI DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. B) (3) pUSTX u(x t)| RE ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S "POTENCIALOM": UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@
u t=0 =sin2 x: ut = uxx ; u t> 0 x
2

R
3

(1 + jxj)3 < 1:

R

R

R

1

dOKAVITE, ^TO SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A TAKAQ, ^TO u(t x) ; Ae;t 6 (t)e;t GDE FUNKCIQ (t) ! 0 PRI t ! 1: nAJDITEPOSTOQNNU@ A: wSEGO 31 BALL
2000 GOD, POTOKM a.s.{AMAEW

ATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR

1. A) (1) sFORMULIRUJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTI DLQ DIFFERENCIALXNOGOOPERATORA WTOROGOPORQDKA. B) (3) rASSMOTRIM ZADA^U: NAJTI W SEKTORE

K = (x t)j x> 0 t > 0 t < 2x FUNKCI@ u(x t) 2 C 2 (K ) \ C (K ) UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ utt = uxx 123


INA^ALXNYM I GRANI^NYM USLOWIQM
u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) u t=2x =0 ; '(x) (x) 2 C 1 0 1) : iMEET LI \TA ZADA^A RE ENIE I ESLI "DA"| EDINSTWENNOLIONO? oTWET OBOSNUJTE. 2. A) (2) dOKAVITENERAWENSTWO fRIDRIHSA. B) (3) sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE = (x y): 0
TELXNYM USLOWIEM

R

4.

oTWET OBOSNUJTE. (3) pUSTX Q = x 2 4 jxj < 1 | AR W ^ETYREHMERNOM PROSTRANSTWE, ` = x 2 4 : x1 =0 x2 =0 x3 =0 0 Q

RR R
1

u( x y )

!

0 PRI jy

j ! 1?

(ru rv) dx =0

8v 2

H 1(Q1 )

u ; '(x) 2 H 1(Q1 ) 1 '(x) 2 C0 (Q) I '(x)= 1 PRI x 2 `: 5. (2) sU]ESTWUET LI POLOVITELXNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W ARE Q = jxj < 1 x 2 3 TAKAQ, ^TO u(0 0 0) = 1 u(0 0 1=2) = 10? oTWET OBOSNUJTE. 124

R


ut = uxx + v(t x) GDE = (0 +1) (0 1) v(t x)| OGRANI^ENNAQIZMERIMAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQOCENKE jvj 6 C C > 0| ZADANNAQPOSTOQNNAQ. pUSTX ; u t=0 = '(x) GDE '(x) 2 C 1 0 1] u x=0 = u x=1 =0 8t> 0: mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ v(t x) ^TO u(t x) 0 8t>t t | NEKOTORAQPOLOVITELXNAQPOSTOQNNAQ? oTWET OBOSNUJTE. 7. (3) pRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 1 FUNKCIQ u(t x) RAWNAQ NUL@ PRI t > ax I EDINICE PRI t 6 ax (t x) 2 2

6. (4) pUSTX u(t x) URAWNENIQ

2

C 2 ( ) \ C ( ) | KLASSI^ESKOE RE ENIE

QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ

R

R

W SMYSLETEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ? oTWET OBOSNUJTE. 8. (3) pUSTX u(t x) 2 C 2 ( ) \ C 1( ) | KLASSI^ESKOE RE ENIE URAWNENIQ ut = uxx +3u WPOLOSE = (0 +1) (0 1) UDOWLETWORQ@]EE KRAEWYM USLOWIQM
u x=0 = u x=1 =0 t> 0: dOKAVITE, ^TO DLQ u(t x) IMEET MESTONERAWENSTWO u(t x) 6 Ce;6t GDE C> 0| NEKOTORAQPOSTOQNNAQ. wSEGO 31 BALL
2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTOR a.s.{AMAEW 1.

ut = ux

A) (2) sFORMULIRUJTETEOREMU kO I|kOWALEWSKOJ. B) (3) pRI KAKIH WE]ESTWENNYH SU]ESTWUET RE ENIE

u(x t) 2 C 2 (K ) \ C 1(K ) K =(0 +1) (0 +1) 125


SLEDU@]EJ KRAEWOJZADA^I:
utt = uxx W K
1 u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) '(x) (x) 2 C0 (0 +1) ; ux + u x=0 =0 DLQ t> 0? oTWET OBOSNUJTE. 2. A)(1) pRIWEDITEFORMULIROWKU STROGOGO PRINCIPA MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ lAPLASA. B) (2) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ

;

utt = uxx? eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER. 3. (3) pUSTX u(x t)| RE ENIE ZADA^I utt = uxx W u t=0 = '(x) = (0 ) (0 +1)
1 ut t=0 = (x) '(x) (x) 2 C0 (0 ) u x=0 = u x= =0 DLQ t> 0 u(x t) 2 C 2( ) \ C 1( ) I u(x t)= 0 DLQ WSEH t> t t = const > 0 I x | IRRACIONALXNOE ^ISLO. wERNOLI, ^TO u(x t) 0 W ? oTWET OBOSNUJTE. 4. A) (1) nAPI ITEFORMULU pUASSONA DLQ RE ENIQ ZADA^I kO-

I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W SLU^AE DWUH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH. B)(2) dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ, OPREDELQEMAQFORMULOJpUASSONA, UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM PRI t =0: 5. (3) pUSTX FUNKCIQ u(x) ZADANNAQ W ARE Q1 = x 2 3 jxj < 1 UDOWLETWORQET URAWNENI@
u= u 126 ( = const < 0)
2

I u(x) 0 W ARE RADIUSA Q = x 0 < < 1: dOKAVITE, ^TO u 0 W Q1:

R

R

3 jxj

<

=const


6. C1

(2) pUSTX Q | OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @Q KLASSA : mOVET LI RE ENIE KRAEWOJZADA^I: @u =0 u ; u =1 W Q u 2 C 2 (Q) \ C 1(Q) @n @Q

Q+ Q \fx1 > 0g Q; Q \fx1 < 0g I FUNKCIQ u(x) 2 H 1(Q) PRINADLEVIT KLASSAM C 1 (Q+ ) I C 1 (Q; ): dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ u(x) NEPRERYWNA W Q: 8. (3) pUSTX POLOVITELXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ UDOWLETWO-

(~ | WNE NQQ NORMALX K @Q) BYTX STROGOPOLOVITELXNYM W Q? n oTWET OBOSNUJTE. 7. (3) pUSTX Q = x = (x1 x2) 2 2 jxj < 1 | EDINI^NYJ KRUG,

R

RQET URAWNENI@
ut = u u(t x) 0

WSLOE (0 1) 3 I WKUBE (0 1) (0 1) (0 1) (0 1): wERNOLI, ^TO u 0 WSLOE (0 1) 3? oTWET OBOSNUJTE. wSEGO 25 BALLOW

R

R

2000 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTOR a.s.{AMAEW

A) (1) sFORMULIRUJTENERAWENSTWO fRIDRIHSA. B) (3) sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA DLQ NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI = (x y): x> 0 y> 0 NA PLOSKOSTI? eSLI "DA"| DOKAVITE,"NET"| PRIWEDITEOPROWERGA@]IJ PRIMER. 2. (3) rASSMOTRIM SLEDU@]U@ KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI = (x y): 0 1.

x!0 y !0

lim (x2 + y2 ) u(x y)= a 127


GDE a | ZADANNOE WE]ESTWENNOE ^ISLO. sU]ESTWUET LI RE ENIE TAKOJZADA^I? eSLI "DA", TOEDINSTWENNO LI ONO? oTWET OBOSNUJTE. 3. (3) pUSTX u(t x)| RE ENIE ZADA^I:
2 0 1] t 2 0 +1) u 2 C 2( ) u x=0 = '(t) u x=0 =0 u t=0 = ut t=0 =0 DLQ x 2 0 1] j'(t)j <" " | ZADANNOE ^ISLO, '(t)| GLADKAQ FUNKCIQ. mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ '(t) ^TOBYRE ENIE u(t x) DANNOJ ZADA^I BYLO BY NEOGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ NA ? oTWET OBOSNUJTE. 4. (3) pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W n u(x) |FUNKCIQ

WPOLOSE

utt = uxx 0 +1) 0 1] NA PLOSKOSTI, x

NA

UDOWLETWORQ@]AQURAWNENI@

R

u ; u =0 W IZ KLASSA C 2 ( ) \ C ( ): dOKAVITE, ^TO ESLI u = 0 NA @ TO u 0W : 5. A) (2) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H 1 0 1] NEPRERYWNA. B) (3) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE 0 1] TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0 PRINADLEVIT H 1 0 1]? oTWET OBOSNUJTE. 6. (3) nAJDITE FUNDAMENTALXNOE RE ENIE OPERATORA d2 +2 d ; 1 L dx2 dx T.E. FUNKCI@ u(x) TAKU@, ^TO u00 +2u0 ; u = 0 (x) W 1 GDE 0 (x)| "DELXTA{FUNKCIQ", 1 8'(x) 2 C0 ( 1): 0 (x) ' = '(0) eDINSTWENNO LI TAKOE RE ENIE? 128

R

R


7.

(3) pUSTX

T (t x)

| OPERATOR URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. dOKAVITE, ^TO FUNK-

@ @t

;

@2 @x2

CIQ

T E (t x)= 0 (t x) W SMYSLETEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ. wSEGO 24 BALLA
?? GOD, POTOKMATEMATIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR a.s.{AMAEW

URAWNENI@

(t) e; x2 4t 2t GDE (t) = 0 PRI t < 0 I (t) = 1 PRI t > 0 UDOWLETWORQET
E p

1. A) (1) dAJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTI DLQ DIFFERENCIALXNOGOOPERATORA WTOROGOPORQDKA. B) (1) pOSTROJTEMNOVESTWA HARAKTERISTI^ESKIH LINIJ NA PLOSKOSTI (x t) DLQ OPERATOROW 2.

u utt +3ux ; 2uxx L ut ; 3uxx + xux: A) (2) pUSTX u(t x)| RE ENIE ZADA^I
L

utt = uxx t> 0 x> 0 u x=0 =0 u t=0 = '(x) ut t=0 =0 supp '(x) (0 +1) '(x) 2 C 2 (0 1): iZWESTNO, ^TOSU]ESTWUET T > 0 TAKOE, ^TOPRI t>T x 2 (0 1) u(t x)| BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ. wERNO LI, ^TO '(x) | TAKVE BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE. B) (2) pUSTX u(t x)| RE ENIE ZADA^I ut = uxx u x=0 =0 t> 0 x> 0 129 u t=0 = '(x)


FUNKCIQ '(x) | TA VE, ^TO W P. (a) I j'j 6 M: iZWESTNO, ^TO SU]ESTWUET T > 0 TAKOE, ^TO PRI t > T x 2 (0 1) u(t x) | BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ. wERNO LI, ^TO '(x) | TAKVE BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE. 3. (3) pUSTX K = (x y) j x2 + y2 < 1 | EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI (x y) u(x y)| RE ENIE ZADA^I
u = x2 y

nAJDITE u(0 0): 4. (2) dOKAVITEPOLNOTU PROSTRANSTWA H 1( ): 5. (4) rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H 1(;1 1) MNOVESTWO A GLADKIH FINITNYH FUNKCIJ '(x) UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@
: nAJDITE KORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ A MNOVESTWA A W H 1 1): 6. (4) pUSTX i (x) ui(x)(i =1 2 ::: )| SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I {TURMA{lIUWILLQ: Lui = i ui ui(0) = ui(1)=0 kuikL2 (0 1) =1 d d L dx p(x) dx ; q(x) p(x) q(x) | GLADKIE FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE OCENKE p(x) q(x) > > 0 = const > 0: dOKAVITENERAWENSTWO 1p sup u (x) 6 p j j:
1 (;
2

u @K =0:

R

'0 (0) + '(0) = 0

7.

(3) pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX GARMONI^ESKIH W n FUNKCIJ un (x) SLABO SHODITSQ PRI n ! 1 K FUNKCII u (x) 2 L2 c( n) lo T.E. 8' 2 D( n)
n R

R

x2 0 1]

i

i

Z

un(x)'(x) dx ;;;! n!1

wERNOLI, ^TO u (x)| GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE.
130

n R

Z

RR

u (x)'(x) dx:


(3) pUSTX '(x) 2 L2 ( 1) \ C ( 1): dOKAVITE, ^TO RE ENIE ZADA^I kO I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI
8.

RR
t> 0
3)|

u t=0 = '(x) x 2 (;1 1) STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 1 RAWNOMERNO PO x 2 (;1 1): wSEGO 25 BALLOW
2001 GOD, POTOKM a.s.{AMAEW 1.

ut = uxx

ATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR
2

NOWOGO URAWNENIQ

(2) pUSTX u(t x)(x

R
3

RE ENIE ZADA^I kO I DLQ WOL-

ut = u W (0 +1)

1 u t=0 =0 ut t=0 = '(x) 2 C0 ( 3) ; ; u 2 C 2 (0 +1) 3 \ C 1 0 +1) 3 : mOVET LI NOSITELX FUNKCII u(t x) LEVATX W CILINDRE jxj
R

Z

R R
3

R

I

(3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S NEPRERYWNOJ PLOTNOSTX@, SOZDAWAEMYJ OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ S 2 C 1 UBYWAET NA BESKONE^NOSTI KAK r12 GDE r | RASSTOQNIE DONEKOTOROJFIKSIROWANNOJTO^KI O 2 S: 3. (3) pUSTX = (x y)j 0 0| NEKOTORAQPOSTOQNNAQ, TAKAQ^TO 8u(x y) 2 H 1( ) SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO fRIDRIHSA Z Z 2 dx dy 6 C jruj2dx dy: u
2.

R

'(x) dx 6=0?

a2 2 dOKAVITE, ^TO C > 2(a2 b b2) : +

131


d2 d a dx2 + b dx + c | DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR. pRI KAKIH a b c
L

4.

(3) pUSTX

WUET NEPRERYWNOE NA

u(x)= (x) 1 GDE (x)| {FUNKCIQ (T.E. h 'i = '(0) 8' 2 C0 ( 1))? 1 (;1 +1) T.E. u(x) 2 L2 ( 1) I SU]ESTWU5. (3) pUSTX u(x) 2 H ET OBOB]ENNAQPROIZWODNAQPOsOBOLEWU ux (x)= v(x) 2 L2 ( 1): dOKAVITE, ^TO u(x)| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ I u(x) ! 0 ESLI jxj! 1: 6. (3) pUSTX K = (r ')j 0 0| NEKOTORAQPOSTOQNNAQ. 7. (3) pRI KAVDOMLI 2 1 ZADA^A u =1 W K = (r ')j 1 0g 1 x ut = uxx W ft> 0g 1 I x u(t x) ! '(x) W L2 ( 1) PRI t ! 0 x GDE '(x)| ZADANNAQ FUNKCIQ IZ L2( 1)(NE OBQZATELXNONEPREx RYWNAQ!) wSEGO 28 BALLOW 132
L

R

1

RE ENIE URAWNENIQ

R RR R
2

1

SU]EST-

R

R

R RR

R


2001 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTOR a.s.{AMAEW 1.

(2) sTRUNA, BESKONE^NAQWOBESTORONY, OTKLONENA W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI TAK, ^TO EE PROFILX IMEET WID
u

(0,x) 1 0

6

J

J

utt = uxx: 1 nARISUJTEGRAFIK FUNKCII u 4 x : 2. (3) dOKAVITE, ^TO ESLI POTENCIAL PROSTOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJ ZAMKNUTOJ OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA, RAWEN NUL@ WNE \TOJPOWERHNOSTI, TOPLOTNOSTX POTENCIALA | NULEWAQ (PLOTNOSTX PREDPOLAGAETSQ NEPRERYWNOJ). 1W 2 : 3. (3) rASSMOTRIM ZADA^U kO I W POLOSE = 0 y0] x xy u + u =0 W u y=0 = '(x) u 2 C 2( ) \ C 1( ) uy y=0 = (x)

URAWNENI@

0.5 1 x I NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA 0. fUNKCIQ u(t x) UDOWLETWORQET

J

-

REKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW

'(x) (x)| OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA 1: kORx E1 = C ( 1 ) C ( 1 ) E 2 = C ( ) (' ) 2 E1 u 2 E2? x x eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER. 4. (3) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ, ZADANNYH W POLOSE IZ PREDYDU]EJ ZADA^I? eSLI "DA"| DOKAVITE,"NET"| PRIWEDITEOPROWERGA@]IJ PRIMER. 5. (3) pRI KAKIH a 2 1 KRAEWAQZADA^A u +2u = x ; a W

RR

RR R

R

u @ =0

133


= (0 ) (0 ) IMEET HOTQ BYODNO RE ENIE? oTWET OBOSNUJTE. 6. (4) rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U utt = uxx W 0 1] (0 +1) u x=0 =0 ux x=1 = f (t) u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) '(x) (x)| GLADKIE FINITNYE FUNKCII. dOKAVITE, ^TOMOVNO TAK WYBRATX GLADKU@ FUNKCI@ f (t) ^TORE ENIE \TOJZADA^I u(t x) BUDET NEOGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ W POLOSE 0 1] (0 +1): 7. (4) rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U ut = uxx W 0 1] (0 +1) u x=1 = g(t) f g ' | GLADKIE FUNKCII, PRI^EM f (t)
!

u x=0 = f (t)

u t=0 = '(x)
!

a PRI t

!1

g(t)

b PRI t

! 1:

kAKOJPREDEL PRI t ! 1 W PROSTRANSTWE C 0 1] ( WOOB]E ESTX) IMEET RE ENIE u(t x) \TOJ ZADA^I? NUJTE. 8. (4) pOSTROJTEPRIMER OBLASTI NA PLOSKOSTI FUNKCII C 1 ( ) NE SOSTAWLQ@T WS@DU PLOTNOGO PROSTRANSTWE H 1 ( ) T.E. C 1 ( ) 6= H 1 ( ): wSEGO 26 BALLOW

R

ESLI TAKOWOJ oTWET OBOSTAKOJ^TO MNOVESTWA W
2

2001 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTOR a.s.{AMAEW

A) (1) sFORMULIRUJTETEOREMU kOWALEWSKOJ O SU]ESTWOWANII IEDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGORE ENIQ. n | OBLASTX W n I B) (3) pUSTX 2u =0 W u(x) 2 C 4 ( ): dOKAVITE, ^TO u(x) | WE]ESTWENNOANALITI^ESKAQ FUNKCIQ.
1.

R

R

134


2.

(3) pUSTX

ut = uxx WPOLOSE

=(0 T )

u t=0 =0 8x 2 1 I u(t x) 6 C jxj: x dOKAVITE, ^TO u 0 W : 3. A) (1) dAJTEOPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1( ): B) (3) pUSTX u(x)| OGRANI^ENNAQWEDINI^NOM ARE { = jxj < 1 x 2 3 FUNKCIQ, GLADKAQW { nf0g: mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO u 2 H 1({)? eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER. 4. (2) sU]ESTWUET LI RE ENIE URAWNENIQ

R

R

R

1 x

u 2 C 2( ) \ C ( )

utt ; uxx =0 W 2 TAKOE, ^TO u 2 C 2001( 2) NO u 62 C 2002( 2)? 5. (3) eDINI^NAQ SFERA W 3 RAWNOMERNO ZARQVENA S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ Q (POTENCIAL PROSTOGOSLOQ). nAJDITE POTENCIAL WNUTRI I WNE SFERY. 6. (4) pUSTX FUNKCIQ u(x) x 2 3 UDOWLETWORQET URAWNENI@

RR

u(x) 6 C x 2 3: dOKAVITE, ^TO u 0 W 3: 7. (4) pUSTX FUNKCIQ y(x) 2 D0 ( ) IUDOWLETWORQET URAWNENI@ y0 = y KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ. dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCII Cex C = const : 8. (3) pUSTX | PROIZWOLXNAQ OBLASTX W 2 SODERVA]AQSQ W POLOSE 0 1] 1: dOKAVITEDLQ NERAWENSTWO fRIDRIHSA

A TAKVEOCENKE

Z

u2 dx dy 6

R

RR R RR
u = u(x) W
3

R R

Z

R

jruj

2

dx dy

u 2 H 1 ( ):

wSEGO 27 BALLOW
135


?? GOD, POTOK MATEMATIKOW a.s.{AMAEW 1.

, ??

\KZAMEN, LEKTOR

R

A) (1) dAJTEOPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1( ): B) (2) pRI KAKIH > 0 FUNKCIQ sin x PRINADLEVIT H 1 0 ]? oTWET OBOSNUJTE. 2. (3) pUSTX u(x t)| RE ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = uxx WPOLOSE = 0 1] + + ft > 0g u 2 C 2 ( ) \ C 1( ) UDOWLETWORQ@]EE KRAEWYM USLOWIQM

R

1 '(x) 2 C0 (0 1): oGRANI^ENOLI\TORE ENIE NA ? (T.E. RASTET LI TEMPERATURA?) oTWET OBOSNUJTE. 3. (4) pUSTX u(x y)| RE ENIE URAWNENIQ lAPLASA W POLUPOLOSE =(0 1) + NA PLOSKOSTI (x y) + fy> 0g u 2 C 2( ) \ C ( ) UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQM u x=0 = u x=1 =0 y> 0 PRI^EM u(x y) ! 0 PRI y ! +1 RAWNOMERNO PO x: dOKAVITE,

INA^ALXNYM USLOWIQM

ux x=0 =1

ux x=1 = ;1

u t=0 = '(x)

R

R

^TO

u(x y) 6 Ce;3:14 y GDE C> 0| NEKOTORAQPOSTOQNNAQ. 4. (4) pUSTX u(x y)| GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W POLUPLOSKOSTI P = fy> 0g u(x y) 6 M x 2 y 2 + I u y=0 =0 8x 2 1 x

u 2 C (P ) GDE M | NEKOTORAQPOSTOQNNAQ. dOKAVITE, ^TO u 0 W P: 5. (3) rASSMOTRIM ZADA^U kO I S DANNYMI NA HARAKTERISTIKE ft = xg DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ utt = uxx NA PLOSKOSTI (x t) 136

RR

R


SNORMAMI

ux t=x = (x): pRIDUMAJTE TAKIE GLADKIE FUNKCII '(x) (x) ^TOBY DANNAQ ZADA^A NEIMELA RE ENIQ. 6. (3) kORREKTNA LI ZADA^A ut = uxx W =(0 1) 1 u 2 C 2 ( ) \ C ( ) u t=0 = '(x) x ('(x)| ZADANNAQ FUNKCIQ) W PARE PROSTRANSTW (E0 E1) GDE E0 = C ( 1) \ B ( 1) E1 = C 2 ( ) \ C ( ) \ B ( ) x x

u t=x = '(x)

R RR
R x

k'kE

0

= sup j'(x)j 1

kukE

1

= sup ju(x t)j:
(xt)2

oTWET OBOSNUJTE. 7. A) (1) dAJTEOPREDELENIE POTENCIALA PROSTOGOSLOQ. B) (3) dOKAVITE, ^TOPOTENCIAL PROSTOGOSLOQ UBYWAET PRI r ! 1 KAK C GDE r | RASSTOQNIE OT TEKU]EJ TO^KI DOPOWERHNOSTI r S S | OGRANI^ENNAQPOWERHNOSTX. wSEGO 24 BALLA
2002 GOD, POTOK a.s.{AMAEW 1.

MATEMATIKOW

, ??

\KZAMEN, LEKTOR

(2) rE ITE KRAEWU@ ZADA^U utt ; uxx =0 t< 2x x> 0 u t=2x = sin x x> 0 u t=0 =0 ut t=0 =1: 2. (2) rE ITEZADA^U dIRIHLEWKOLXCE K = 1 < jxj < 3 @u + u u =0 W K =1 @u @r @r r=3 =2 r=1 r | RADIALXNAQKOORDINATA. 3. (2) dANA ZADA^A kO I DLQ WOLNOWOGOURAWNENIQ utt = u(t x) x 2 3 t> 0

wARIANT 1 (PERWAQ ^ASTX).

R

137


; u t=0 = 1+ jxj2 ;1 nAJDITE WELI^INU u(10 0 0 0):
1.

ut t=0 = sin jxj:

0 u00 + u = 0 W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 3. (2) oPREDELITEPOTENCIAL PROSTOGOSLOQ I DOKAVITE, ^TOON UBYWAET NA BESKONE^NOSTI KAK jCj : x 4. (3) eDINSTWENNOLIRE ENIE SLEDU@]EJ WNE NEJ ZADA^I dIRIHLE: u =0 W 3 n u @ = '(x) '(x) 2 C (@ )

A) (1) sFORMULIRUJTE PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. B) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMY O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. 2. (2) nAJDITEHOTQ BYODNORE ENIE URAWNENIQ

wARIANT 1 (WTORAQ ^ASTX).

R
3

oTWET OBOSNUJTE. 5. (3) dOKAVITENERAWENSTWO fRIDRIHSA. pUSTX 1 I 2 | DWE OGRANI^ENNYE OBLASTI I OB_EM 1 BOLX E OB_EMA 2 : mOVNOLI NA OSNOWANII \TOGO SRAWNITX POSTOQNNYE W NERAWENSTWAH fRIDRIHSA DLQ DWUH OBLASTEJ? oTWET OBOSNUJTE.
1.

Rn

Z;

1+ jxj u2(x) dx < 1?

(2) rE ITE KRAEWU@ ZADA^U utt ; uxx =0 x> 0 t> 0 @u +2u = sin t t> 0 u t=0 = ut t=0 =0: @x x=0 2. (2) rE ITE KRAEWU@ ZADA^U ut = uxx PRI 0 0 138

wARIANT 2 (PERWAQ ^ASTX).


3.

@u @u u t=0 =0: @x x=0 =0 @x x= =1 (2) pUSTX u(t x) x 2 3 t > 0| RE ENIE ZADA^I kO I utt = u

u t=0 =0 ut t=0 = '(x) GDE '(x) = 0 PRI 9 6 jxj 6 10 I '(x) > 0 DLQ DRUGIH ZNA^ENIJ x 2 3: pRI KAKIH ZNA^ENIQH PEREMENNOJ t > 0 WOZMOVNO RAWENSTWO u(t x)= 0 DLQ NEKOTOROGO x 2 3? oTWET OBOSNUJTE.

R

t> 0

R

1. A) (1) dAJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTI DLQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WTOROGOPORQDKA. B) (1) ~TO TAKOE KORREKTNOPOSTAWLENNAQKRAEWAQZADA^A? 2. (2) nAJDITEHOTQ BYODNORE ENIE URAWNENIQ

wARIANT 2 (WTORAQ ^ASTX).

R

u000 + u = (t)

W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 3. (2) dOKAVITE, ^TOPOTENCIAL DWOJNOGOSLOQ, SOZDAWAEMYJ POWERHNOSTX@ S WTO^KE x IIME@]IJ EDINI^NU@ PLOTNOSTX, RAWEN TELESNOMU UGLU, PODKOTORYM POWERHNOSTX S WIDNA IZ TO^KI x: 4. (3) sFORMULIRUJTEIDOKAVITE TEOREMU lIUWILLQ DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. wERNA LI \TA TEOREMA, ESLI ISHODNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ ZADANA NE WO WSEM PROSTRANSTWE 3 A W POLUPROSTRANSTWE fx1 > 0g? aESLI E]EDOPOLNITELXNO IZWESTNO, ^TO u(0 x2 x3)= 0? oTWETY OBOSNUJTE. 5. (3) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTW H 1 ( ) I H 1( ): dOKAVITE, ^TO \TI PROSTRANSTWA NE SOWPADA@T. pUSTX u(x) 2 C 1 ( ) \ C ( ) I u(x) = 0 NA @ : wERNO LI, ^TO u 2 H 1 ( )? oTWET OBOSNUJTE.

R

1.

(2) rE ITE KRAEWU@ ZADA^U

wARIANT 3 (PERWAQ ^ASTX).

utt ; uxx =0 x> 0 t> 0 ; ux + (sin t)u x=0 =sin t t> 0: u t=0 = ut t=0 =0

139


2.

(2) pUSTX u(t x) x

ut = u(t x)
3.

| RE ENIE ZADA^I kO I u t=0 = 1 jjxjj 0: 0 x >L
2

R

2

nAJDITE u(10 0 0): (2) rE ITE KRAEWU@ ZADA^U
utt = uxx 0 0 u x=0 =0 ux x= = sin t u t=0 = ut t=0 =0:
1. A) (1) sFORMULIRUJTE STROGIJ PRINCIP MAKSIMUMA DLQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI. B) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU EDINSTWENNOSTI ZADA^I kO I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. 2. (2) nAJDITEHOTQ BYODNORE ENIE URAWNENIQ

wARIANT 3 (WTORAQ ^ASTX).

x2 + x2 < 1 fx3 > 0g 1 2 2 + x2 = 1: iZWESTNO TAKVE, ^TO u 2 C 1(c) I I u = 0 PRI x1 2 u(x) ! 0 PRI x3 ! +1 RAWNOMERNO PO x1 I x2: dOKAVITE, ^TO

CILINDRE

u0 +sin t u = 0 W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 3. (2) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ POWERHNOSTI S OPREDELEN DLQ x 2 S ESLI S | POWERHNOSTX lQPUNOWA. 4. (3) gARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u(x1 x2 x3) OPREDELENA W POLU-

c

TOGDA IMEET MESTOOCENKA

u(x) 6 C exp

;p

GDE C> 0| NEKOTORAQPOSTOQNNAQ. 5. (3) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTW H 1( ) I DOKAVITE EGO POLNOTU. pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W n C 1 ( ) | MNOVESTWO GLADKIH W FUNKCIJ, IME@]IH WSE PROIZWODNYE, NEPRERYWNO PRODOLVA@]IESQ NA : wSEGDA LI \TO MNOVESTWO FUNKCIJ PLOTNOW H 1 ( )? oTWET OBOSNUJTE.
140

2

x

3

R


2002 1.

(2) dOKAVITE, ^TO

GOD, oLIMPIADA, LEKTORa.s.{AMAEW
2;jxj

= C0 (x) I NAJDITE POSTOQNNU@ C0: zDESX x = (x1 x2 x3) 2 3 I jxj2 = x2 + x2 + x2 : 1 2 3 2. (3) pUSTX u(x t)| RE ENIE KRAEWOJZADA^I: utt = uxx W (0 ) (0 +1) u x=0 = f (t) u x= =0 u t=0 = ut t=0 =0 ; f (t)| GLADKA;Q FUNKCIQ I f (t) ! 0 PRI t ! 1 u 2 C 2 (0 ) (0 +1) \ C 1 0 ] 0 +1) : mOVET LI RE ENIE \TOJZADA^I NEOGRANI^ENNO WOZRASTATX POWREMENI, TOESTX POPEREMENNOJ t? oTWET OBOSNUJTE. 3. (2) pUSTX u(t x)| RE ENIE ZADA^I kO I DLQ URAWNENIQ TEP-

R

LOPROWODNOSTI

ut = uxx u t=0 = '(x) '(x) 2 C ( ) \ B ( ): qWLQETSQ LI FUNKCIQ u(t x) WE]ESTWENNOANALITI^ESKOJ PO PEREMENNOJ x PRI FIKSIROWANNOM t? oTWET OBOSNUJTE. 4. (3) dOKAVITETOVDESTWO
1 X 1 Z1 = G(x x) dx
i=1 i
0

RR

GDE f i g | POSLEDOWATELXNOSTX SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ ZADA^I {TURMA{lIUWILLQ NA OTREZKE 0 1] G(x y)| EE FUNKCIQ gRINA. 5. (3) pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2
u =0 W '(x)| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ I xlim0 u(x)= '(x0 ) !x
x2

C 2( )

141


DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @ : nAZOWEM TAKU@ FUNKCI@ "RE ENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0 u @ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNO LI RE ENIE TAKOJZADA^I dIRIHLE? oTWET OBOSNUJTE. 6. (2) kORREKTNA LI ZADA^A kO I NA PLOSKOSTI
@u u + @x =0 @2 @2 = @x2 + @y2 x
2

R

y> 0

u y=0 = '(x) uy y=0 = (x)? zDESX '(x) (x)| NEPRERYWNYE OGRANI^ENNYE FUNKCII, RE E; NIE u(x y) RASSMATRIWAETSQ W PROSTRANSTWE C 0 y0] x \ ;0 y ] B 0 x : oTWET OBOSNUJTE. 7. (3) pUSTX u(t x)| RE ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W POLUPLOSKOSTI S ODNOJ "WYKOLOTOJ" TO^KOJ

R

R

f

t> 0

g

I u(t x) < M W : dOKAVITE, ^TO OSOBENNOSTX W TO^KE (1 0) USTRANIMA, T.E. MOVNOTAK DOOPREDELITX FUNKCI@ u(t x) W\TOJ TO^KE, ^TO ONA BUDET RE ENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W

R

R

x nf(1

0)

g

x

wSEGO 18 BALLOW

f

t> 0g:

2003 1.

(2) rASSMOTRIM SME ANNU@ ZADA^U DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY utt = uxx t> 0 x > 0 u t=0 = '(x) ut t=0 =0 (ux + u) x=0 =0: x) .. 1 .. . . . . . .;...@ . ;.@ 0 123 ' 6(

GOD, oLIMPIADA, LEKTORa.s.{AMAEW

-

x

iMEET LI OTRAVENNAQ WOLNA ZADNIJ FRONT, TOESTX BUDET LI RASSTOQNIE OT NOSITELQ RE ENIQ DO PRQMOJ x = 0 NEOGRANI^ENNO WOZRASTATX PRI t ! 1?
142


2.

mOVET LI supp u(t x) PRINADLEVATX CILINDRU f(t x) j t 2 (0 1) x 2 Dg GDE D { OGRANI^ENNAQ OBLASTX PROSTRANSTWA
f0g

R

(2) rASSMOTRIM ZADA^U kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ utt(t x)= u(t x) t> 0 x 2 3 u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) u(t x) 6 0:

R

3? 3. (3)

pUSTX u(x){ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W OKRESTNOSTI TO^KI PROSTRANSTWA n 1 XX D u
u(x)=
i=0 j j=i

R

! x=0 x

|

CII? oTWET OBOSNUJTE. 4. (3) pUSTX u(t x){ RE ENIE ZADA^I kO I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = uxx PRI t> 0
u(t x) 2 C 2( + ) \ C ( + ) u t=0 = '(x)
+
f

RAZLOVENIE FUNKCII u(x) W RQD tEJLORA W TO^KE f0g: wERNOLI, XDu ^TOPOLINOMY Pi(x) x { GARMONI^ESKIE FUNK!
j j=i
x=0

(x t) t> 0

g

'(x){ OGRANI^ENNAQNEPRERYWNAQ FUNKCIQ, NERAWNAQTOVDESTWENNO NUL@. dOKAVITE, ^TO NE SU]ESTWUET TAKOGO T > 0 PRI KOTOROM u(t x) 0 ESLI T 6 t: (iNA^E GOWORQ, NAGRETYJ STERVENX NEMOVET POLNOSTX@ "OSTYTX" ZA KONE^NOE WREMQ.) 5. (4) pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX W 2 u(x){ SOBSTWENNAQ FUNKCIQ ZADA^I dIRIHLE, TO ESTX

R

u(x)+ u(x)= 0 u(x)= 0 DLQ x 2 @ = const : mOVET LI MNOVESTWO = fx j u(x)= 0 x 2 g BYTX OTREZKOM ` PRQMOJ LINII, NE IME@]IM OB]IH TO^EK S GRANICEJ OBLASTI ? oTWET OBOSNUJTE. 143


(6) pUSTX K { EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI S CENTROM W TO^KE f0g: dOKAVITE, ^TOSU]ESTWUET TAKAQPOSLEDOWATELXNOSTX GLADKIH FUNKCIJ f'n (x)g 'n (x) 2 C 1 (K ) ^TO 'n H 1 (K ) ! 0 PRI n ! 1
6.

NO 'n (0) = 1 DLQ L@BYH n =1 2 ::: (TO ESTX FUNKCII IZ H 1(K ) NEIME@T "SLEDA" WTO^KE). 7. (5) pUSTX { { EDINI^NYJ AR W 3 SCENTROMW NULE, ~ (x){ v TAKAQ WEKTOR{FUNKCIQ W {, ^TO 1) ~ (x)= ru(x) u(x){ GLADKAQ SKALQRNAQ FUNKCIQ W { v 2) div ~ (x)=0 W{ v 3) ESLI PRODOLVITX ~ (x) NULEM W 3 TO POLU^ENNAQ W REv ZULXTATE TAKOGO PRODOLVENIQ WEKTOR{FUNKCIQ w(x) TAK~ VE UDOWLETWORQET RAWENSTWU div w(x) = 0 W 3 W SMYSLE ~ TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ. nAJDITE ~ (x): v 8. (6) pUSTX u(t x){ RE ENIE ZADA^I utt = uxx W 0 ] 0 1)

R

R

R

u x=0 = u x= =0 8 t> 0 u t=0 = '(x) ut t=0 = (x) 1 0 ]: mY NABL@DAEM DWIVENIE STRUNY S ZA(x) '(x) 2 C0 KREPLENNYMI KONCAMI W TO^KE 1 TO ESTX NAM IZWESTNA FUNKCIQ u(t 1) PRI t> 0 NONEABSOL@TNOTO^NO, AS TO^NOSTX@ GDE { L@BOE POLOVITELXNOE (NO NE RAWNOE NUL@) ^ISLO. mOVNO LI

PO TAKOMU NABL@DENI@ WOSSTANOWITX S L@BOJ NAPERED ZADANNOJ TO^NOSTX@ "> 0 FUNKCII (x) '(x)? oTWET OBOSNUJTE.
2004

1.

() rASSMOTRIM ZADA^U kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W utt = u u t=0 = '(x) u0t t=0 =0 GDE '(x)= 1 PRI jjxjj 6 1: 0 PRI x > 1

GOD, oLIMPIADA, LEKTORa.s.{AMAEW

R

3

144


({AR "WZRYWAETSQ"). nARISUJTE u(t r) WMOMENTY WREMENI t = 1 t =3 (RE ENIE, RAZUMEETSQ, ZAWISIT TOLXKOOT r = jxj). 2. () fUNKCIQ u(x t) QWLQETSQ RE ENIEM KRAEWOJZADA^I u + u = u00 NA 0 ] 0 1) _ u x=0 = u x= =0 u t=0 = '(x) u0t t=0 = (x): wERNOLI, ^TO u(x t) ! 0 PRI t ! 1? oTWET OBOSNUJTE. 3. () pUSTX u(x t) { GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W CILINDRE c = 0 1) | OBLASTX W n I u = 0 NA @ 0 1): pUSTX TAKVE u(x t) 6 M: dOKAVITE, ^TO u(x t) ! 0 PRI t ! 1: 4. () pUSTX A1 I A2 | PODMNOVESTWA FUNKCIJ W C 1 (K ) K | EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI, TAKIE, ^TO ' x1 =0 = 0 I '0x1 x1 =0 = 0 SOOTWETSTWENNO. nAJDITE KORAZMERNOSTI ZAMYKANIJ A1 I A2 \TIH MNOVESTW W PROSTRANSTWE H 1(K ): 5. () pUSTX K | EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI (x1 x2) l1 I l2 | DWA OTREZKA GLADKIH KRIWYH, PERESEKA@]IHSQ W TO^KE O POD l1 l NENULEWYM UGLOM. mOVET LI KRIWAQ l1 l2 2 BYTX LINIEJ UROWNQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII? oTWET OBOSNUJTE. 6. () pUSTX | OBLASTX NA PLOSKOSTI, M | ZAMKNUTOE MNOVESTWO W I PROSTRANSTWA H 1 ( ) I H 1( n M ) SOWPADA@T NA n M: dOKAVITE, ^TO (M )= 0: 7. () rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^U

R

u = u00 + f (x t) W 0 ] u x=0 = u x
=

0

1

)

f (x t) 6 M

=0 u t=0 = '(x) u0t t=0 = mOVNOLI WYBRATX f (x t) TAK, ^TOBY u(x t) 0 DLQ oTWET OBOSNUJTE. uPRO]ENNYJ WARIANT: tOT VEWOPROS, ESLI f (x 8. () pUSTX u(x){ GARMONI^ESKAQW ARE { jxj CIQ, lim u(x)= 0 8 x0 2 @ { n x x!x0

WSEH t> T0 ?
t)= f (t): < 1 FUNK145

(x):


x | NEKOTORAQ FIKSIROWANNAQ TO^KA NA @ { I u(x) < M W ARE {: wERNOLI, ^TO u(x) 0 W { ? oTWET OBOSNUJTE. 9. () mOVET LI RE Et 6 NIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI ut = uxx IMETX TAKU@ LINI@ UROWNQ: x
2001 GOD, POTOKMATEMATIKOW, t.a.{APO NIKOWA

OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR
)

1. a)

(2) nAJTI OB]EE RE ENIE URAWNENIQ

pERWAQ ^ASTX

(1.5

ASTRONOMI^ESKIH ^ASA

5uxx ; 4uxy ; uyy =0: () B) (2) nAJTI RE ENIE URAWNENIQ ( ) UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM u(x 0) = 7x2 u x x = x2: 8 2. (2) rE ITEZADA^U kO I utt = u
3.
;jxj

x

2

(2) w KRUGE Q = x2 + y2 +2x< 0 RE ITEZADA^U dIRIHLE u =0 W Q (2) nAJDITERE ENIE ZADA^I kO I u t=0 = e;jxj2 : (2) nAJTI jxlim u(x t): oTWET OBOSNOWATX. j!1 (2) nAJTI RE ENIE ZADA^I ut = u x
2

R

3

t>0

u t=0 =0 ut t=0 = sin jxj:

4. A)

5.

B) A)

R

u @Q =4x3 +6x ; 1: t> 0

n

146

ut = uxx ; 7 x 2 (0 ) t> 0 u t=0 =0: u x=0 =1 ux x= =0


B
1.

)

(2) nAJTI tlim u(x t): oTWET OBOSNOWATX. !1

wTORAQ^ASTX

(1.5

ASTRONOMI^ESKIH ^ASA
0 1

)

(3) pUSTX = (x t) 0
u 2 C 2( )

; f 2 C 1 0 +1) f (0) = 0 sup f (t) < +1: wERNOLI, ^TO
0 1)

utt = a2uxx W u x=0 =0 ux x= = f (t) u t=0 = ut t=0 =0

sup u(x t) < +1?

oTWET OBOSNOWATX. 2. a) (3) pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ NUL@, KOGDA x LEVIT WNE ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI ; ESTX PRI x 2 n n : wERNO LI, ^TO 0 (x) 0 NA OBOSNOWATX. B) (3) pOTENCIAL PROSTOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ NUL@, KOGDA x LEVIT WNE ZAMKNUTOJPOWERHNOSTI ;: ^TO 0 (x) 0 NA ;? 3. (2) nAJTI KAKOE{NIBUDX RE ENIE W D0 2 SISTEMY

R

0

(x) RAWEN = @ TO ;? oTWET

0

(x) RAWEN wERNO LI,

y = Ay + b (x) _
4.

y= y y

(3) pUSTX u(x y) | OGRANI^ENNAQ, GARMONI^ESKAQ NA POLUPLOSKOSTI = (x y) 2 2 y > 0 FUNKCIQ, u 2 C ( ): dOKAZATX, ^TO sup u =su1p u(x 0):

R

1 2

?? A = 2 ;?? 3;

b= 0 : 2

kRITERII OCENOK: \OTLI^NO"| > 21 BALLA \HORO O"| > 16 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 8 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 30 BALLOW.
147

R


2002 GOD, POTOKMATEMATIKOW, t.a.{APO NIKOWA

OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR
)

1.

(2) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ

pERWAQ ^ASTX

(1.5

ASTRONOMI^ESKIH ^ASA

USLOWIQMI

utt = uxx + uyy PERESEKA@]IESQ S PLOSKOSTX@ t = 0 PO PRQMOJ (l x) = 0 GDE l =(l1 l2) 6=0: 2. (2) rE ITE KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ lAPLASA W PRQMOUGOLXNIKE 0 6 x 6 a 0 6 y 6 b SO SLEDU@]IMI GRANI^NYMI u x=0 = @u x=a =0 @x u y=0 =0 u y=b =sin 5x a : 2

3.

nAJDITE tlim u(t x): !1
1.

(2) pUSTX u(t x)| RE ENIE ZADA^I kO I utt = u x =(x1 x2) 2 2 t> 0 u t=0 = '(x) ut t=0 = (x): fUNKCII ' I IZWESTNY TOLXKO W PRQMOUGOLXNIKE x1 2 0 a] x2 2 0 b]: gDE MOVNO OPREDELITX u(t x) t > 0? nARISUJTE W 3 t x1 x2 \TU OBLASTX. 4. (2) rE ITEZADA^U ut = uxx x 2 (0 l) t> 0 u t=0 =0 u x=0 = A1 = const u x=l = A2 = const t > 0:

R

R

= (x1 x2) 0 < xj < 1 j = 1 2 : dOKAVITE, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII v 2 H 1 ( ) UDOWLETWORQ@]EJ USLOWI@

(4) pUSTX

wTORAQ^ASTX
Z

(1.5

ASTRONOMI^ESKIH ^ASA

)

sin x1 sin x2 v(x1 x2) dx1 dx2 =0

148


SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
v2 L
2.
2

()

6 51

2 2 rv L2 ( )

:

(3) nAJDITEPOTENCIAL PROSTOGOSLOQ, RASPREDELENNOGO S POSTOQNNOJPLOTNOSTX@ NA CILINDRE x2+x2 = R2 0 6 x3 6 H 12 WTO^KAH, LEVA]IH NA OSI x3: 3. (3) fUNKCIQ u(x t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI j =1 ::: n

W CILINDRE Q1 =

(0

1

ut = u n t>0 ) x2
1)

u =0 NA @ (0 u 2 C 2 1(Q1 ) \ C (Q1 ): dOKAVITE, ^TO u 6 C0 e;4nt

R

jxj j

<8

4.

(2) nAJDITEW D0 ( 1) KAKOE{NIBUDX RE ENIE SISTEMY x= x;y _ y = y ; 4x +3 (t): _

R

C0 = const > 0:

kRITERII OCENOK: \OTLI^NO"| > 15 BALLOW \HORO O"| > 10 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 6 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.
2002 GOD, POTOKMATEMATIKOW, t.a.{APO NIKOWA 1.

PLOSKOSTX y + z = C = const QWLQETSQ HARAKTERISTIKOJ DLQ URAWNENIQ
2

(2) pRI KAKIH ZNA^ENIQH a

pERWAQ ^ASTX

(1.5

ASTRONOMI^ESKIH ^ASA
1

R

OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR
)

uxx ; 2auxy + uyy ; a2 uzz + u =0? (oTWET OBOSNOWATX). 149


2.

(2) rE ITEZADA^U utt = u 0 0 u x=0 = u x=1 = u y=0 = u y=1 =0 u t=0 = sin 3 x sin 7 y ut t=0 = ;2sin x sin 4 y:

3.

(2) pUSTX u(t x)| RE ENIE ZADA^I kO I

utt = u x =(x1 x2 x3) x 2 3 t> 0 u t=0 = '(x) ut t=0 = (x): fUNKCII ' I IZWESTNY TOLXKO W AROWOM SLOE 1 6 jxj 6 2: gDE IZWESTNORE ENIE u(t x)? (oTWET OBOSNOWATX). 4. (2) rE ITEZADA^U kO I 1 ut = 4 uxx x 2 1 t > 0 u t=0 = e;x2 +2x x 2 1:

R

R

R

1.

(4) nAJDITE

wTORAQ^ASTX

(1.5

ASTRONOMI^ESKIH ^ASA
jxj=1

)

Z; Z 2 +2u dx + inf jruj u2 dS M

= 1 < jxj < 2 x = (x1 x2 x3) 2 3 M = v 2 H 1 ( ) v =0 PRI jxj =2 : 2. (3) nAJTI POTENCIAL PROSTOGOSLOQ, RASPREDELENNOGOS PLOT2 NOSTX@ = sin2 ' NA CILINDRE x1 + x2 = R2 0 6 x3 6 H W 2 TO^KE, LEVA]EJ NA OSI x3: 3. (3) pUSTX u(x) x 2 3 UDOWLETWORQET URAWNENI@

GDE

R

R

u=u W

A TAKVEOCENKE
150

dOKAVITE, ^TO u 0 W 3:

juj

R

6C x

2

R R

3 3:


(2) nAJDITE KAKOE{NIBUDX RE ENIE IZ D0 ( 1) URAWNENIQ y00 +4y0 +3y = ; (x): kRITERII OCENOK: \OTLI^NO"| > 15 BALLOW \HORO O"| > 10 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 6 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.
4.

R

GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR w.a.kONDRATXEW 1. A) sFORMULIROWATXTEOREMU kO I{kOWALEWSKOJ. B) dOKAZATX, ^TOWSQKOE LINEJNOE URAWNENIE WTOROGOPORQDKA
S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI MOVNO PRIWESTI K KANONI^ESKOMU WIDU. W) w KAKOJ OBLASTI URAWNENIE
uxy +(3x + y ; z )uxz +(3x ; y + z )uyz =0 QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM?

2. A) kAK STAWITSQ WNE NQQ ZADA^A dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA? B) dOKAZATX EDINSTWENNOSTX RE ENIQ WNE NEJ ZADA^I nEJMANA DLQ URAWNENIQ lAPLASA W 3: W) nAJTI RE ENIE WNE NEJ ZADA^I nEJMANA

R

u =0 x2 + y2 > 1
3. A)

u x2 +y

2

=1

= x4:

TO^KE.

dATX OPREDELENIE INTEGRALA, RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ W

B) dOKAZATX, ^TO POTENCIAL PROSTOGO SLOQ | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ. W) nAJTI Z
(xy)!1

lim

2

+ 2 =1

(

2;

2 2)ln (x

;

)2 +(y

;

)2 dS :

4. A)

kAK STAWITSQ SME ANNAQ KRAEWAQ ZADA^A DLQ URAWNENIQ KOLE BANIJ STRUNY?
151


B) nAPISATX FORMULU kIRHGOFA RE ENIQ ZADA^I kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ. dOKAZATX, ^TO RE ENIE, POSTROENNOE PO \TOJFORMULE, UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM. W) pUSTX u(x y z t)| RE ENIE ZADA^I kO I
utt =4 u
;

GDE '(x) OTLI^NA OT NULQ TOLXKO WNUTRI PARALLELEPIPEDA
1 2 ;

u t=0 = '(x)

ut t=0 =0

5. A)

dATX OPREDELENIE OBOB]ENNOJPROIZWODNOJPO sOBOLEWU
@j ju : @x1 1 ::: @ xnn

B) dOKAZATX POLNOTU PROSTRANSTWA W) pRI KAKIH FUNKCIQ

H 1 ( ):

u(x y)= ln (x2 + xy +2y2 )

PRINADLEVIT H 1 ( ) GDE | KWADRAT jxj < 1 jyj < 1? kRITERII OCENOK: \OTLI^NO"| TRI ZADANIQ POLNOSTX@ \HORO O" | DWA ZADANIQ POLNOSTX@ \UDOWLETWORITELXNO" | ODNO ZADANIE POLNOSTX@. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.
1998 GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ\KZAMEN, LEKTORY e.w.rADKEWI^, t.d.wENTCELX 1.

dLQ URAWNENIQ utt =4uxx RASSMATRIWAETSQ KRAEWAQZADA^A
u x=0 = u x=1 =0 u t=0 = x(1 ; x) u0t t=0 = sin x:

152

A) B)

(1) nAJTI f (13) GDE f (t)=

Z1
0

u2 +4u2 dx: t x

(1) nAJTI FUNKCI@ u(x 2) I NARISOWATX EE GRAFIK.


2. A)

(1) dATX OPREDELENIE HARAKTERISTIKI DLQ URAWNENIQ

X

aij uxixj =0:

RR
4.

GDE | NEKOTORAQ OGRANI^ENNAQOBLASTX, OGRANI^ENNOJ W 2 n SU]ESTWUET PREDEL xlim u(x): !1 W) (2) nAJTI \TOT PREDEL W SLU^AE, KOGDA | EDINI^NYJ KRUG, Z2
n

B) (1) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx ; y2uyy = 0 PROHODQ]IE ^EREZ TO^KI (1 2) (1 0): 3. A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU OB USTRANIMOJOSOBENNOSTI. B) (2) dOKAZATX, ^TOW 2 DLQ FUNKCII u(x) GARMONI^ESKOJW 2

R

u r=1 = f (')

dLQ URAWNENIQ utt ; 4uxx =0 STAWITSQ SLEDU@]AQZADA^A:
u x=0 =0 u t=0 = sin x x 2 0 x2 = u0t t=0 =0: :
x=2 x=2

0

f (') d' =0:

5.

2] 2] A) (1) nARISOWATX GRAFIK RE ENIQ PRI t =2 B) (1) tO VE PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII u 0 2 ]: W) (2) tO VE PRI DOPOLNITELXNOMUSLOWII u0x 0 2 ]:

=0 x =0 x

2 2

rASSMATRIWAETSQ RE ENIE URAWNENIQ
utt = u

(^ISLO PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH RAWNO 2), UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM u t=0 =0 u0t t=0 = 0 (x) W 2n W GDE | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W 2: A) (1) gDE W PROSTRANSTWE (x t) FUNKCIQ u(x t) RAWNA NUL@ NEZAWISIMO OT FUNKCII (x) ESLI | EDINI^NYJ KRUG x2 + 1

R

R

x2 < 1? 2

153


(2) pRI (x) = 1 ; kxk2 2 = x2 + x2 < 1 NAJTI 1 2 lim tu(x t): t!1 6. A) (1) kAK STAWITSQ ZADA^A kO I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI? B) (1) dOKAZATX, ^TO ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, TO RE ENIE u(x t) UDOWLETWORQET USLOWI@ u(0 t) 0: W) (2) dOKAZATX, ^TO ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ, TO RE ENIE u(x t) NE^ETNOPO x: kRITERII OCENOK: \OTLI^NO"| > 16 BALLOW \HORO O"| > 13 BALLOW \UDOWLETWORITELXNO" | > 9 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.
) 1994 s.n.

B

;

1.

pUSTX u(t x) x =(x1 x2 x3)| KLASSI^ESKOE RE ENIE ZADA^I kO I W + = 0 +1) 3 DLQ URAWNENIQ utt = u SNA^ALXNYMI USLOWIQMI
u t=0 = '(x) u0t t=0 = (x) PRI^EM '(x)= 0 I (x)= 0 DLQ x 2 K1 = x : jxj < 1 : a) wYWESTI, ^TO u(t x)= '(x)+ t (x)

GOD, POTOKMATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTOR kRUVKOW

R

WKONUSE C1 = (t x): jxj2 < (1 ; t)2 0
R

R

154


n o RAWNOMERNO W L@BOMKOLXCE x : 0 < < jxj < 1 (ZDESX m> m( )). n 1o B) w SLU^AE m = x =(x1 x2): jxj < m PRI USLOWIQH
jum j

POKAZATX, ^TO n KOLXCE x : 0 ETSQ SRAWNITX lAPLASA WIDA

1 < m um jxj=m =1 @m 1 um (x) ! 2 PRI m ! 1 RAWNOMERNO W L@BOM o < < jxj < 1 (ZDESX m > m( )) REKOMENDUu(x) S SOOTWETSTWU@]IMI RE ENIQMI URAWNENIQ a ln jxj + b (a I b | KONSTANTY).

1994 GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTOR e.m.lANDIS

u(x t) 2 C 2( 2 )| RE ENIE URAWNENIQ utt ; a2 uxx =0 W 2 : xt xt nA INTERWALE < x< t =0 u = ut =0: gDE NA PLOSKOSTI 2 u(x t) NEOBHODIMORAWNONUL@? xt 2. u(x t)| RE ENIE URAWNENIQ ut = uxx WPOLUPOLOSE = 0 < x < l t > 0 NEPRERYWNOE W u x=0 = u x=l = 0: k ^EMU STREMITSQ RE ENIE PRI t ! 1?
1. 3.

R

R

R

x +y n | OTKRYTYJ AR, u(x) NEPRERYWNA W B I 8x 2 B 5. B 9 x > 0 TAKOE, ^TO AR B (x x ) RADIUSA x S CENTROMWTO^KE x SODERVITSQ W B I Z u(y) dy: u(x)= jB (x1 )j x

nAJTI RE ENIE ZADA^I u =2 W KRUGE K = (x y) x2 + y2 < 1 u @K = sin 2': 4. u(x y)| POTENCIAL DWOJNOGOSLOQ GLADKOJ ZAMKNUTOJ KRIWOJ L 2: dOKAZATX, ^TO u(x y)= O p 21 2 PRI x2 + y2 ! 1:

R

R

dOKAZATX, ^TO u(x)| GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ.
155

B(x x )


1994 a.s. 1.

(2) sU]ESTWUET LI URAWNENIE WIDA
3 X

GOD, POTOKMEHANIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR kALA NIKOW
ij =1 W3

SNEPRERYWNYMI KO\FFICIENTAMI aij QWLQ@]EESQ \LLIPTI^ESKIM NA NEKOTOROMNEPUSTOMMNOVESTWE 1 3, 1 6= 3, I GIPERBOLI^ESKIM NA EGO DOPOLNENII 2 = 3n 1 ? oTWET OBOSNOWATX. 2. i]ETSQ RE ENIE u(x t) URAWNENIQ utt = uxx S USLOWIQMI

R

aij (x1 x2 x3) uxi xj =0

RR R

; zDESX ' 2 C 2 0 1]

u(x x)= '(x)

06x61
2

k =0 1 2: A) (2) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEHZNA^ENIJ (x t) 2 2 DLQ KOTORYH ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ RE ENIE u(x t) \TOJZADA^I. oTWET OBOSNOWATX. B) (1) nARISOWATX \TOMNOVESTWO : W) (2) nAJTI RE ENIE u(x t) RASSMATRIWAEMOJZADA^I. 3. (3) pUSTX = (r ) 0 < r < 1 0 < < 4 (r ) | POLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI. nAJTI FUNKCI@ u(r ) SO SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: u 2 C ( ) \ C 2( ) u =0 W

R

C2 0

;

u(x 2x)= (x)
1 2

1 0 6 x 6 2: '(k) (0)=0 (k) (0)=0 DLQ

u(r 0) = u r 4 =0 0 6 r 6 1 u(1 )= ; 4 2 0 6 6 4 : 4. (3) pUSTX = x =(x1 x2) 0

W) (2) dOKAZATX, ^TO OBOB]ENNOE RE ENIE ZADA^I dIRIHLE QWLQETSQ RE ENIEM WARIACIONNOJ ZADA^I (OBRATNOE UTWERVDENIE NEDOKAZYWATX). 6. A) (1) sFORMULIROWATXTEOREMU kO I{kOWALEWSKOJ. B) (2) dOKAZATX, ^TO ZAKL@^ENIE \TOJ TEOREMY STANOWITSQ NEWERNYM, ESLI NA^ALXNYE USLOWIQ ZADA@TSQ NA HARAKTERISTIKE. 7. (4) rASSMATRIWAETSQ KRAEWAQZADA^A DLQ URAWNENIQ ut = uxx W PRQMOUGOLXNIKE Q = (x t) 0 6 x 6 1 0 6 t 6 2 SUSLOWIQMI u t=0 = '(x) 0 6 x 6 1 u x=0 = u x=1 =0 0 6 t 6 2: kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW (E0 E1) GDE 2 1;
E0 = u(x t) u 2 C (Q) \ Cxt (0 1) (0 2] u E0 =mQ x u(x t) a E1 = '(x) ' 2 C 1 0 1] '(0) = '(1)=0 ' E1 =max '(x) ? 0 1]

;

oTWET OBOSNOWATX.

157