Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/prog-filin.pdf Дата изменения: Wed Feb 20 21:04:56 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:15:38 2016 Кодировка: Windows-1251

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
проф. А.В. Филиновский 3 курс, 1 год

1. Линейные уравнения второго порядка. Задача Коши. Характеристические направления и характеристические поверхности. 2. Нехарактеристическая задача Коши в классе аналитических функций. Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Мажоранты. Мажорирующие задачи. 3. Локальная теорема Коши-Ковалевской. Глобальная теорема Коши-Ковалевской. Пример Адамара. 4. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Приведение к каноническому виду. 5. Задача Коши для волнового уравнения. Классическое решение задачи Коши, его единственность. 6. Формулы Кирхгофа, Пуассона и Даламбера. Метод спуска. 7. Задача Коши и первая смешанная задача для уравнения теплопроводности. Классическое решение. 8. Принцип максимума для уравнения теплопроводности в ограниченной области. Единственность классического решения. 9. Теорема об убывании решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области. 1


10. Формула Пуассона решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. 11. Принцип максимума для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе ограниченных функций. 12. Бесконечная дифференцируемость классического решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. 13. Теорема о стабилизации решений задачи Коши для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной. 14. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций. 15. Функция Грина задачи Дирихле, ее единственность и симметрия. 16. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. 17. Обоснование метода Фурье решения смешанной задачи (на примере волнового уравнения). 18. Гармонические функции. Принцип максимума. 19. Лемма о знаке внутренней производной гармонической функции. 20. Сильный принцип максимума. 21. Постановка основных краевых задач для гармонических функций. 22. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана. 23. Функция Грина Задачи Дирихле. Симметрия функции Грина. 2


24. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона. 25. Теоремы о среднем для гармонических функций. Теорема о среднем по сфере. Теорема о среднем по шару. 26. Неравенство Харнака. Теорема об устранимой особенности гармонических функций. Теорема Лиувилля. 27. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций. Неравенства Бернштейна для производных гармонических функций. Аналитичность гармонических функций. 28. Теоремы Харнака о последовательностях гармонических функций. 29. Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа. Сведение внешней задачи к внутренней. Единственность решения краевых задач. 30. Пространства функций с обобщенными производными H1 и Hk. 31. Полнота пространства H 1 . 32. Пространство H1 . Неравенство Фридрихса. 33. Неравенство Пуанкаре для куба. 34. Осреднение функций. Бесконечная дифференцируемость средних функций. 35. Теорема о приближении средними функциями в пространстве L2 . 36. Теорема о связи операции осреднения и обобщенной производной. 37. След функций из H 1 на гладкой поверхности. 3
o


38. Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Существование и единственность решения. 39. Вариационный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

4