Программа курса

Курс: Методы оптимизации.
для студентов 4 курса (1 поток)
лекции в 7 семестре -- 2 час/нед, в 8 семестре -- 2 час/нед.
экзамен в 8 семестре
без семинарских занятий и без практикума
Отв.: кафедра оптимального управления
Автор программы: проф. Васильев Ф.П.
Лекторы: проф. Васильев Ф.П.(2000/01, 2001/02).

Программа курса:

1. Методы минимизации функций одной переменной: деление отрезка пополам, золотого сечения, ломаных, касательных, покрытий.
2. Постановка задач минимизации и максимизации в функциональных пространствах. Теоремы Вейерштрасса о достижении нижней грани функции на множестве. Применения к квадратичной задаче минимизации, к задачам оптимального управления.
3. Дифференцирование в функциональных пространствах. Градиент квадратичного функционала, приложения.
4. Элементы выпуклого анализа. Выпуклые и сильно выпуклые функции, их свойства (теоремы о локальном минимуме, о касательной плоскости). Критерии выпуклости и сильной выпуклости гладких функций. Критерий оптимальности. Теорема Вейерштрасса для сильно выпуклых функций. Примеры.
5. Проекция точки на множество, ее свойства. Примеры.
6. Методы минимизации: градиентный, проекции градиента, условного градиента, покоординатного спуска. Метод Ньютона. Понятие о квазиньютоновских методах. Метод штрафных функций.
7. Правило множителей Лагранжа. Теорема Куна-Таккера о седловой точке. Понятие о двойственной задаче.
8. Элементы линейного программирования. Постановка задачи. Примеры. Каноническая задача линейного программирования. Угловая точка. Симплекс-метод. Антициклин. Поиск начальной угловой точки. Двойственная задача для канонической задачи линейного программирования.
9. Постановка задачи оптимального управления. Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом траектории. Принцип максимума Л.С.Понтрягина. Доказательство принципа максимума для задачи со свободным правым концом. Краевая задача принципа максимума. Связь с классическим вариационным исчислением. Примеры.
10. Неустойчивые (некорректные) задачи минимизации. Метод регуляризации А.Н.Тихонова. Приложения к задачам оптимального управления.

Литература.
(обязательная):

1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука,1988.
2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1981.
3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М., Факториал, 1998.
4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., Наука, 1986.
5. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М., Наука, 1986.

(дополнительная):

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1976.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.
4. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М., Изд-во Моск. ун-та, 1999.