Программа курса по вариационному исчислению

Курс: Вариационное исчисление.

Для студентов 3 курса 313 группы (2 поток);
лекции в 5 семестре - 2 ч./нед., всего 36 часов, экзамен;
без семинарских занятий и без практикума;
За курс отвечает кафедра оптимального управления.
Автор программы : доцент Е.Н. Хайлов
Лектор : доцент Е.Н. Хайлов

Программа курса :

1. Задачи вариационного исчисления. Сильный и слабый минимумы в задачах вариационного исчисления. Лемма о скруглении углов.
2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Задача о брахистохроне. Примеры Гильберта и Вейерштрасса.
3. Изопараметрическая задача вариационного исчисления. Цепная линия.
4. Задача Лагранжа с неголономными связями. Примеры.
5. Задача Лагранжа с голономными связями. Уравнение движения материальной точки по поверхности.
6. Условия трансверсальности в задаче со свободным правым концом. Примеры.
7. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Негладкие экстремали. Примеры. Задача о кривой, образующей при своем вращении поверхность возможно меньшей площади.
8. Преобразование Лежандра. Канонические уравнения Гамильтона. Принцип максимума Понтрягина для линейно-квадратичной задачи оптимального управления.
9. Простейшая задача вариационного исчисления на сильный минимум. Функция Вейерштрасса. Примеры. Принцип максимума Понтрягина для задачи о простом движении.
10. Поле экстремалей. Уравнение Гамильтона-Якоби.
11. Инвариантный интеграл Гильберта. Решение уравнения Гамильтона-Якоби для квадратичной задачи вариационного исчисления.
12. Достаточные условия сильного минимума, использующие уравнение Гамильтона-Якоби и функцию Вейерштрасса. Примеры.
13. Вторая вариация. Условие Лежандра. Необходимые условия слабого минимума, использующие условие Лежандра.
14. Достаточные условия слабого минимума, использующие условие Лежандра.
15. Достаточные условия сильного минимума, использующие условие Лежандра. Примеры.
16. Сопряженные точки. Условие Якоби. Необходимые условия слабого минимума, использующие условие Якоби.
17. Достаточные условия слабого минимума, использующие условие Якоби.
18. Достаточные условия сильного минимума, использующие условие Якоби. Примеры.

Литература (обязательная) :

1. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация : теория, примеры, задачи. М., 2000.
2. Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. М., 1985.
3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., 1974.
4. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М., 1961.
5. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.

Литература (дополнительная) :

1. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М., 1989.
2. Галеев Э.М. Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению. М., 1996.
3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Вариационное исчисление. М., 1973.

Аннотация :

В курсе излагаются классические результаты вариационного исчисления. Для разных типов задач вариационного исчисления выводятся необходимые условия экстремума. Рассматриваются всевозможные достаточные условия экстремума. Все теоретические результаты иллюстрируются примерами. Особое внимание уделяется выявлению связи вариационного исчисления с теорией оптимального управления.