Список вопросов по курсу

Непрерывные математические модели

1. Линейные нормированные пространства. Примеры.

2. Гильбертовы пространства. Примеры.

3. Ортонормированные базисы. Ортогонализация.

4. Абстрактные ряды Фурье.

5. Линейные непрерывные операторы. Норма оператора. Обратный оператор.

6. Линейные непрерывные функционалы.

7. Сопряженное пространство. Сопряженный оператор. Самосопряженные операторы.

8. Преобразование Фурье и его свойства.

9. Преобразование Лапласа и его свойства.

10. Обобщенные функции. Определение, основные понятия, примеры.

11. Принцип сжимающих отображений.

12. Метод Ньютона-Канторовича.

13. Процессы, описываемые дифференциальными уравнениями и системами.

14. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и системы.

15. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Общее  решение.

16. Системы линейных дифференциальных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее  решение.

17. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

18. Задача Штурма-Лиувилля.

19. Разложение решения обыкновенного дифференциального уравнения в степенной ряд и его применение.

20. Обыкновенные дифференциальные уравнения с параметром. Разложение решения по параметру.

21. Вариационные задачи. Примеры.

22. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Примеры.

23. Процессы, описываемые уравнениями в частных производных.

24. Постановка основных задач для уравнения теплопроводности и колебаний.

25. Задачи Коши для уравнения теплопроводности и колебаний. Формулы для их решения. Бесконечная и конечная скорость распространения возмущения.

26. Краевые задачи для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных.

27. Краевые задачи для уравнения колебаний. Метод разделения переменных.

28. Единственность решения краевых задач для уравнения теплопроводности.

29. Единственность решения краевых задач для уравнения колебаний.

30. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.

31. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле.

32. Потенциалы и их применение.

33. Формулы Грина.

34. Гармонические функции и их свойства.

34. Единственность решения внутренних задач Дирихле  и Неймана.

35. Внешняя задача Дирихле на плоскости и в пространстве.