Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://olymp.aesc.msu.ru/2010-2011/solutions10-11-1-1.doc Дата изменения: Thu Feb 3 13:13:10 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:28:57 2012 Кодировка: koi8-r

ФИЗИКА




8 класс

Задача 1

Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором
физического факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.

В сосуде с водой плавает кусок льда (рис.1у).

[pic] Рис.1у.

Первоначально лед, вода сосуд и воздух находятся при температуре 00C. Сосуд
герметически закрывают крышкой, после чего медленно нагревают. При этом лед
полностью тает, но температура сосуда и содержимого остается неизменной.
Как изменится давление воздуха в сосуде, если пренебречь испарением воды в
процессе таяния.

а) давление увеличится,

б) давление уменьшится,

в) давление не изменится,

г) ответ зависит от параметров задачи (массы льда и воды, размеров и формы
льда, объема сосуда).

Ответ: б)

Решение:

Заметим вначале, что уровень воды после таяния льда останется такой, каким
он был до закрывания сосуда (рис.1р).

[pic] Рис.1р.



Это следует из того, что плавающий кусок льда вытесняет массу воды, равную
массе льда, так что полученная при таянии вода полностью занимает этот
вытесняемый объем. Объем воздуха в сосуде над водой после таяния, очевидно
больше первоначального объема воздуха в сосуде над водой. То, что при
закрывании крышки лед частично утапливается в воду, только уменьшает
первоначальный объем воздуха в сосуде. Таким образом, воздух в сосуде после
таяния занимает больший объем, чем первоначальный, при неизменной
температуре. Воздух становится более разряженным, то есть давление падает.



Задача 2

Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором
физического факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.

Юному садоводу Васе необходимо перевезти землю на тележке, конструкция
которой схематично изображена на рис.2у.

[pic] Рис.2у.



Перед выполнением работы Вася задумался, что легче, толкать тележку перед
собой, или тянуть ее за собой. Попробуйте ответить на этот вопрос:

а) легче толкать перед собой,

б) легче тянуть за собой,

в) в обоих случаях усилия одинаковы,

г) результат зависит от конкретной конструкции тележки.

Ответ: б)

Решение: Прикладываемую к тележке силу можно разложить на две составляющие,
то есть представить как сумму двух сил, одна из которых направлена к оси
тележки, а другая перпендикулярна этой силе. На рис. 2р нарисованы силы в
случае толкания тележки, аналогично можно нарисовать силы, в случае, когда
тележку тянут.

[pic]Рис.2р.



Если сила F1 не равна нулю, тележка будет поворачиваться вокруг оси колеса.
При равномерном перемещении по земле такое вращение отсутствует, поэтому
остается только сила, направленная к оси, или от оси, когда тележку тянут.
Эта сила, в свою очередь, может быть разложена на горизонтальную и
вертикальную составляющие (рис.3р).

[pic]Рис.3р.



Горизонтальная сила перемещает тележку, а вертикальная вдавливает тележку в
землю при толкании, или оказывает противоположное воздействие, если тележку
тянут. Очевидно, что при вдавливании тележки в землю перемещать ее
становится тяжелее, чем в противоположном случае.

Задача 3

По прямолинейному участку дороги автомобиль двигался 10 часов. Первые
четыре часа он ехал со скоростью 30 км/ч, далее 2 часа - со скоростью 50
км/ч, оставшееся время - со скоростью 70 км/ч. Далее автомобилист
остановился на ночлег в мотеле и продолжил движение на следующий день. На
графике представлена зависимость расхода топлива от скорости автомобиля.
Начальный запас топлива в баке автомобиля 40 литров. На какое расстояние от
мотеля сможет уехать автомобилист на следующий день без посещения
бензоколонки?

РЕШЕНИЕ:
По графику определяем, что при скорости 30 км/ч расход равен 6,8
литров /100 км. За 4 часа автомобиль пройдёт 120 км. Следовательно, на 120
км он потратит топлива
[pic]
За следующие два часа движения автомобиль пройдёт 100 км и потратит
при этом q2 = 4 литра.
Следующие (10 - 2 - 4) = 4 часа автомобиль двигался со скоростью 70
км/ч и проехал 280 км с расходом топлива 5,7 литров/100 км. На такое
движение было затрачено топлива
[pic]
На всё движение было затрачено топлива
[pic]
Следовательно, к концу первого дня в баке осталось 40 - 31,58 = 8,42
литров.
На следующий день при скорости 60 км/ч расход топлива составит q4 =
4,7 л/100 км. Запаса топлива хватит, чтобы проехать расстояние
[pic]
ОТВЕТ: 179 км

Задача 4

Сухое махровое полотенце, имеющее размеры 50 см на 80 см имеет массу m =
250 грамм. Полностью мокрое полотенце, из которого капает вода, имеет массу
M = 950 грамм. Обладатель этого полотенца безмятежно отдыхал на пляже, как
вдруг пошёл дождь, в результате которого уровень воды в расположенном рядом
бассейне увеличился на h = 2,5 мм. Cпасаясь от дождя, отдыхающий растянул
полотенце над головой. Промок ли отдыхающий в этот день?
РЕШЕНИЕ:
Определим максимальную массу воды (m, которую может впитать полотенце.
[pic]
Данная масса воду имеет объём V, равный
[pic]
Если этот объём воды равномерно распределится по площади полотенца S,
то высота слоя воды будет равна
[pic]
Так как в результате дождя выпало 2,5 мм осадков, то полотенце промокнет
полностью и не сможет защитить отдыхающего от дождя.


Задача 5

Три брата вместе выехали на конях из дворца и поехали к Кощею Бессмертному
спасать Марью - Красу. Братья ехали по разным дорогам, каждый с постоянной
скоростью. Расстояния, которые пришлось проехать братьям, оказались
одинаковыми. Скорость старшего брата была равна 30 км/ч, скорость среднего
- 24 км/ч. Первым к Кощею приехал старший брат, через час средний брат, ещё
через час прискакал и Иван-дурак. Найти скорость Ивана.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим S - длина пути от дворца до места проживания Кощея
Бессмертного.
Для старшего брата S = V1t, где V1 - скорость движения старшего
брата, t - его время в пути.
Для среднего брата S = V2(t+?t), где ?t = 1 час.
Для Ивана S = V3(t+2?t).
Из первых двух уравнений можно определить время движения старшего
брата t = 4 часа, затем расстояние от дворца до места проживания Кощея S =
120 , а затем и скорость Ивана V3 = 20 км/ч.
ОТВЕТ: 20 км/ч.

Задача 6

В часы пик на каждой ступеньке эскалатора метрополитена стоят по 2
человека. Всего эскалатор имеет N = 120 ступенек. Навстречу этой ленте
движется такая же лента эскалатора и на каждой ступеньке стоят по 3
человека. Скорость движения обеих лент одинакова и равна V = 0,9 м/с.
Расстояние между рёбрами ступенек L = 45 см. Сколько пассажиров,
поднимающихся вверх по эскалатору, проедут мимо дежурного по станции за 1
минуту? Сколько встречных пассажиров проезжают мимо человека, стоящего на
эскалаторе, движущегося вниз за 1 минуту?
РЕШЕНИЕ:
Определим длину эскалатора [pic]м. Определим, какой путь пройдёт какая-
нибудь точка эскалатора за 1 минуту [pic]м. Так как путь точки (пусть это -
начальная точка эскалатора) совпадает с длиной эскалатора, то мимо
неподвижного дежурного пройдут все пассажиры, стоящие на эскалаторе
[pic]человек. Во втором случае скорость наблюдателя относительно движущихся
ему навстречу пассажиров в два раза больше, поэтому мимо него пройдёт в два
раза больше ступенек, т.е. 240 ступенек, а на них будет стоять 720 человек.
9 класс

Задача 1

Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором
физического факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.

Два путешественника Вася и Петя отправляются в путешествие по пустыне на
верблюдах. Для хранения некоторых портящихся продуктов они используют
сумки, в которые помещают в герметичные пластиковые пакеты замороженный
лед. Вася замораживает лед массы m до температуры t<00C. Петя решает, что,
затратив на заморозку ту же энергию выгоднее получить кусок льда большей
массы при температуре 00C. На самом деле при одинаковой энергии,
затраченной на заморозку:

а) способ Васи лучше,

б) способ Пети лучше,

в) оба способа дают одинаковый результат,

г) более эффективным может быть тот или иной способ, в зависимости от
величины t.

Ответ: б)

Решение:

Более эффективным является способ, который позволит дольше хранить
продукты, то есть для которого время таяния льда окажется больше. Поскольку
затраченная на заморозку энергия одинакова, то при таянии лед возьмет от
окружающих тел одно и то же тепло при первом и втором способе. Однако
скорость теплопередачи увеличивается при увеличении разности температур
между льдом и окружающими телами. Следовательно, процесс теплопередачи
будет более медленным в случае, когда лед имеет температуру 00C. Таким
образом, правильный ответ - б).



Задача 2

Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором
физического факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.

Имеется куб из проводящего материала с ребром l (рис.2у а).

[pic] Рис.2у

Из металлической проволоки сделали куб того же размера (рис.2у б). Цельный
куб вставили внутрь проволочного, причем проволоку изолировали от цельного
куба, гальванически соединив цельный куб с проволочным только в точках A и
B (рис2у в). Затем из того же материала, что и сплошной исходный куб,
сделали куб с ребром 4l, а из такой же проволоки, что и в первом случае (то
же сечение и материал), сделали проволочный куб с ребром 4l. Оба куба
соединили в точках A и B, как и в первом случае. При измерении
сопротивления между точками A и B оказалось, что сопротивления составного
куба (рис.2у в) с ребром l и составного куба с ребром 4l одинаковы.
Обозначим сопротивление цельного куба с ребром l, измеренное между точками
A и B через R1, а сопротивление проволочного куба с ребром l, измеренное
между точками A и B через R2. Найти отношение R2/R1.

Ответ: 0,25.

Решение:

Сопротивление цельного куба зависит от удельного сопротивления материала и
размеров куба. Поскольку удельное сопротивление имеет размерность ом(м, то
из соображений размерности получаем, что сопротивление цельного куба равно:

[pic],

где C безразмерная константа. Таким образом, для сопротивления цельного
куба с ребром 4l получим:

[pic].

Сопротивление проволочного куба при неизменном сечении проволоки
пропорционально длине проволоки. Таким образом:

[pic].

Соединение в точках A и B обозначает, что сопротивления R1 и R2
соединены параллельно. Таким образом, из условия задачи получим:

[pic].

из этого равенства получим уравнение:

[pic].

Отсюда находим: R2/R1 = 1/4.









Задача 3

В жидкость плотности (ж на нити опускается кубик со стороной а. График
зависимости силы натяжения от глубины погружения кубика представлен на
рисунке. Расстояние h отсчитывается от поверхности жидкости до нижней грани
кубика. Определить плотность жидкости, плотность материала кубика ?к, длину
ребра кубика а в см. Ускорение силы тяжести считать равным 10 м/с2.
РЕШЕНИЕ:
До погружения кубика в воду (h = 0) cила натяжения нити Т равна силе
тяжести mg. По графику видно, что сила тяжести mg = Т (0) =15 Н.
Когда кубик частично погружён в воду, то сила натяжения нити
уменьшается, так как на кубик действует сила Архимеда. Пусть кубик погружён
на глубину х, сила натяжения нити равна
T(x) = a2g (?к а - ?ж х), ( 1 )
Видно, что с увеличением х сила натяжения уменьшается.
Когда кубик погрузится полностью, то при увеличении х сила Архимеда
меняться уже не будет, сила натяжения нити также будет постоянна. Тогда из
графика можно найти длину стороны кубика - а = 10 см.
При полном погружении кубика ( h > a = 10 см) сила натяжения нити равна
T = a3 g (?к - ?ж). ( 2 )
Так как сила тяжести равна mg = 15 Н, а масса кубика m = ?к a3, то
плотность кубика ?к = 1500 кг/м3.
Используя любое из выражений (1) или (2), можно определить плотность
жидкости ?ж = 1200 кг/м3.
ОТВЕТ 1200, 1500, 10.



Задача 4

В часы пик на каждой ступеньке эскалатора метрополитена стоят по 2
человека. Всего эскалатор имеет N = 120 ступенек. Навстречу этой ленте
движется такая же лента эскалатора и на каждой ступеньке стоят по 3
человека. Скорость движения обеих лент одинакова и равна V = 0,9 м/с.
Расстояние между рёбрами ступенек L = 45 см. Сколько пассажиров,
поднимающихся вверх по эскалатору, проедут мимо дежурного по станции за 1
минуту? Сколько встречных пассажиров проезжают мимо человека, стоящего на
эскалаторе, движущегося вниз за 1 минуту?
РЕШЕНИЕ:
Определим длину эскалатора [pic]м. Определим, какой путь пройдёт какая-
нибудь точка эскалатора за 1 минуту [pic]м. Так как путь точки (пусть это -
начальная точка эскалатора) совпадает с длиной эскалатора, то мимо
неподвижного дежурного пройдут все пассажиры, стоящие на эскалаторе
[pic]человек. Во втором случае скорость наблюдателя относительно движущихся
ему навстречу пассажиров в два раза больше, поэтому мимо него пройдёт в два
раза больше ступенек, т.е. 240 ступенек, а на них будет стоять 720 человек.


Задача 5

Определить максимальную силу натяжения нити, натянутую внутри 2-х
«магдебургских полушарий», образующих сферу радиусом 20 см. Полусферы
растягивают лошадьми в разные стороны. Атмосферное давление 100 кПа.
РЕШЕНИЕ:
На разные участки сферы сила со стороны атмосферы действует под разными
углами. Если провести ось вдоль натянутой нити, то ясно, что все эти силы
удобно представлять в виде суммы двух сил, одна из которых направлена вдоль
оси, а другая перпендикулярна к ней. Все перпендикулярные составляющие
попарно сократятся, а параллельные составляющие дадут силу, равную силе
действия атмосферы на диск с радиусом, равным радиусу сферы. Поэтому:
[pic]
F=105(0,04((
F( 6,28 кН
Если теперь попытаться разделить полушария, то максимальная сила натяжения
будет равна силе действия атмосферы на полушария.


Задача 6

В двух одинаковых сообщающихся сосудах на одинаковых поршнях сечением S1
находятся два одинаковых стакана с одинаковым количеством воды. Площадь дна
S2. В один стакан помещают тело массой M, а во второй m между уровнями воды в сосудах и стаканах.

РЕШЕНИЕ:
По закону Паскаля разность давлений компенсируется столбом жидкости.
Значит:
[pic]
Откуда:
[pic]
Чтобы найти разность уровней воды в стаканах, учтем, что при
помещении груза в воду стакана ее уровень изменяется на величину [pic].
Поэтому в итоге получим:
[pic]







10 класс

Задача 1

Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором
физического факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.

Из проволоки спаяли правильный тетраэдр (рис.3у).

[pic]Рис.3у.

Один провод омметра (прибора для измерения сопротивления) присоединили к
середине стороны AB, а другой передвигают по стороне CD. Какое максимальное
сопротивление покажет омметр, если сопротивление одного ребра тетраэдра
равно 100 Ом?

Ответ: 75 Ом.

Решение:

Изобразим токи, текущие по сторонам тетраэдра, считая, что к стороне CD
подключен + источника напряжения (рис.4р).

[pic]Рис.4р.



То, что по участкам CA и CB текут одинаковые токи, и, соответственно, то же
самое выполняется для участков DA и DB, следует из симметрии задачи
(отражение в плоскости, проходящей через сторону CD и середину стороны AB).


Пусть омметр создает напряжение U. Тогда это напряжение можно
представить как сумму напряжений на участках FC, CA и AG. Считая, что
провода вольтметра имеют нулевое сопротивление, и применяя закон Ома для
участка цепи, получим равенство:

[pic],

где R - сопротивления ребра тетраэдра, R1 - сопротивление верхней части
стороны CD (сопротивление участка FC). Учитывая, что R = R1 + R2, получим
уравнение:

[pic]. (1)

Второе аналогичное уравнение получим, суммируя напряжения на участках FD,
DB и BG, оно отличается лишь заменой индексов 1?2:

[pic]. (2)

Система уравнений (1), (2) относительно неизвестных I1, I2 решается
стандартными методами. В результате решения получим:

[pic]

и аналогичное выражение для I2, отличающееся от выражения для I1 заменой
индексов 1?2.

В то же время, обозначая сопротивление между точками F и G через R0,
получим из закона Ома:

[pic].

Учитывая, что I = I1+I2, находим сопротивление R0:

[pic].

Из неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее
геометрическое, найдем:

[pic].

Равенство достигается при R1=R2, то есть в случае, когда омметр подключен к
середине стороны CD. Таким образом, максимальное сопротивление равно
R0=0,75R = 75 Ом.



Задача 2

Задача предложена Александром Викторовичем Ляпцевым, профессором
физического факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.

На внутренней поверхности вращающегося конуса с вертикальной осью вращения
находится неподвижное относительно конуса и вращающееся вместе с ним тело
(рис.4у).

[pic]Рис.4у.



Угол при вершине конуса прямой. Если угловую скорость вращения конуса
медленно уменьшать, то при угловой скорости (0 тело начинает скользить по
конусу. Если же угловую скорость медленно увеличивать, то тело начинает
скользить при угловой скорости 3(0. Найдите значение коэффициента трения (.

Ответ: (=0,5.

Решение:

Изобразим силы, действующие на тело (рис.5р).

[pic]Рис.5р.

Направления сил реакции опоры N и тяжести mg очевидны. Сила Fтр может быть
направлена как указано на рисунке, так и в противоположную сторону.
Уравнение, определяющее движение имеет вид:

N + mg + Fтр = ma .

Ускорение a - центростремительное ускорение, направленное к центру и равное
по модулю (2r, где r - расстояние о тела до оси вращения, ( - угловая
скорость вращения.

Уравнение движения можно переписать в виде:

N + mg + Fтр +Fцб= 0 , (1)

где Fцб фиктивная сила, которая возникает, если движение описывать во
вращающейся системе отсчета. Эта сила направлена от оси вращения и равна по
модулю m(2r. Уравнение (1) можно рассматривать как уравнение статики.
Соответствующие силы изображены на рис.6р.

[pic]Рис.6р.



Спроектируем векторное уравнение на оси, указанные на рисунке и учтем, что

[pic].

Мы получим равенства:

[pic]

Отметим, что проекция силы трения на ось x может быть как положительной,
так и отрицательной.

Подставив в эти уравнения выражение для центробежной силы, выразим
проекцию силы трения и силу реакции опоры:

[pic] (2)

Из первого уравнения системы (2) видно, что при малых угловых скоростях
проекция силы трения положительна, то есть сила трения направлена, как
указано на рисунках, а при больших скоростях направление силы трения
изменяется на противоположное.

Из закона Кулона-Амонтона получим неравенство:

[pic].

Подставляя значение силы реакции опоры и проекции силы трения, получим
неравенство:

[pic].

Неравенство обращается в равенство при значениях угловой скорости (0 и 3(0.
В первом случае значение Fтрx положительно, так что имеем уравнение:

[pic]. (3)

Во втором случае значение Fтрx отрицательно, так что получается уравнение:

[pic]. (4)

Система уравнений (3) и (4) может рассматриваться как система с двумя
неизвестными ( и [pic]. Решая ее, получим ответ: ( = 0,5.

Задача 3

Раскалённые металлические заготовки шарообразной формы, сделанные из одного
материала, для охлаждения бросают в большую бочку с водой. Рабочие
заметили, что шарик радиусом [pic] см нагревает воду на [pic], а шарики
радиуса [pic] см нагревают воду на [pic]. Оцените изменение температуры для
шарика радиуса [pic] см. Начальные температуры всех заготовок одинаковы.
РЕШЕНИЕ:
В воде при попадании в неё раскалённого шарика будут происходить два
процесса - нагревание всей воды и испарение воды при соприкосновении с
поверхностью шарика. Количество теплоты, затраченное на нагревание воды
[pic] пропорционально изменению температуры воды [pic]. Количество теплоты
[pic], затраченное на испарение воды вблизи поверхности шарика
пропорционально площади поверхности шарика, которое связано с квадратом его
радиуса [pic], поэтому [pic].
Количество теплоты [pic], которое может отдать раскалённый шарик,
определяется его массой и начальной температурой, начальные температуры
одинаковы для всех шариков, массы связаны с третьей степенью радиуса,
поэтому [pic].
Так как тепло, отданное шариком расходуется на испарение воды и на её
нагревание, то
[pic].
Используя вышесказанное, для изменения температуры воды можно
записать
[pic],
где [pic] и [pic] - неизвестные коэффициенты пропорциональности, которые
можно найти, используя данные задачи.
Для шарика радиуса [pic] см [pic], а для шарика радиуса [pic] см
[pic], поэтому
[pic];
[pic].
Неизвестные коэффициенты [pic] и [pic] можно теперь легко найти
[pic] [pic];
[pic] [pic].
Зная [pic] и [pic], можно найти изменение температуры [pic] при
попадании в воду шарика радиусом [pic] см.
[pic]; [pic].
РАСПРОСТРАНЁННЫЕ ОШИБКИ - обычно забывают, что при опускании раскалённой
заготовки в воду (начальная температура раскалённой заготовки намного выше
1000 С) происходит испарение воды. Поэтому усилия по переписывание большого
числа формул с последующим длительным счётом оказываюся бесполезными.
Разберёмся, в чём дело.
Все решающие обычно предполают, что шарики охлаждаются, а вода только
нагревается, поэтому уравнение теплового баланса имеет вид
[pic],
масса шарика равна
[pic],
Следовательно, изменение температуры воды равно
[pic].
Из полученного соотношения видно, что если изменение температуры шариков
одинаково (что разумно, потому что начальная температура шариков достаточно
большая), то в этой модели должно выполняться
[pic] .
Проверим это. Для первого шарика
[pic]
для второго шарика
[pic]
Видно, что значения различны, поэтому данная модель неприменима.
ОТВЕТ: 4,5
Задача 4

В механической системе, изображенной на рисунке, брусок массой М может
скользить по поверхности без трения. В начальный момент подвешенный на нити
груз отводят на угол ( от вертикали и отпускают. Какова масса m этого
груза, если угол, образуемый нитью с вертикалью, не меняется при движении
системы?
РЕШЕНИЕ:
Обозначим через Т силу натяжения нити и через а модуль ускорения бруска.
Т.к. угол ? при движении бруска остается постоянным, то горизонтальная
проекция ускорения груза равна а. Вертикальная составляющая также равна а,
т.к. длина отрезка нити, находящегося за блоком равна по модулю перемещению
бруска. Поэтому:

[pic]

где m - масса блока. На брусок с блоком в точке А действуют две силы
упругости. Поэтому для бруска можно записать:

[pic]

Решая полученную систему уравнений, получаем:

[pic]



Задача 5

К одному концу нити, перекинутой через блок, подвешен груз массы М,
изготовленный из материала плотностью ?. Груз погружён в жидкость с
плотностью ?ж. К другому концу нити подвешен груз массой m. При каких
значениях массы m груз М может плавать в жидкости?
РЕШЕНИЕ:
Решим задачу в общем виде. Пусть в жидкость погружен объём тела, равный
[pic] ( он меняется он 0 до V - объёма тела, [pic]).
Условие покоя груза m
[pic],
условие покоя тела М
[pic],
Где сила Архимеда равна
[pic].
Выразим из записанных уравнений массу груза m
[pic].
Определим возможные значения массы груза из двух крайних случаев:
1) Тело М находится полностью в воде (минимальная масса);
2) Тело М находится в воздухе (максимальная масса).
Если тело М полностью находится в воде, то
[pic].
Если тело М находится в воздухе, то
[pic].
Следовательно, тело массой М может плавать в жидкости. Если масса груза
находится в интервале [pic].
ОТВЕТ: [pic]


Задача 6

В схеме, изображённой на рисунке, амперметр А1 показывает силу тока I1.
Какую силу тока показывает амперметр А2? Оба прибора идеальны. Отмеченные
на рисунке параметры цепи считайте известными.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим напряжение источника тока U, силы тока через сопротивления -
см.рисунок. Тогда
[pic]
Напряжение на верхнем участке цепи равно U, причём
[pic].
Для нижнего участка цепи аналогично
[pic].
Следовательно,
[pic]
Или
[pic].
Из верхних соотношений выразим ток [pic]
[pic]
и подставим в последнее уравнение
[pic].
Отсюда найдём соотношение между токами [pic]и [pic]
[pic].
ОТВЕТ: 2I1







ХИМИЯ




8 класс

Задача 1

Составитель: Скрипкин Михаил Юрьевич, канд. хим. наук, доцент кафедры общей
и неорганической химии Санкт-Петербургского государственного университета

Какое из приведенных ниже утверждений верно:

А) «Химический элемент - это совокупность атомов с одинаковым зарядом
ядра»

Б) «Химический элемент - это совокупность атомов с одинаковым
количеством протонов и нейтронов»

Варианты ответов: a) верное утверждение А; b) верно утверждение Б ; c)
оба утверждения справедливы ; d) ни одно из утверждений не
соответствует истине.

Ответ: 1а.

Задача 2

Составитель: Скрипкин Михаил Юрьевич, канд. хим. наук, доцент кафедры общей
и неорганической химии Санкт-Петербургского государственного университета

Какое из приведенных ниже утверждений верно:

А) «Кислородсодержащим кислотам не могут соответствовать оксиды
металлов»

Б) «Кислотные оксиды растворяются в воде и образуют кислоты»



Варианты ответов: a) верное утверждение А; b) верно утверждение Б ; c)
оба утверждения справедливы ; d) ни одно из утверждений не
соответствует истине.

Ответ: 2d.

Пояснение: достаточно вспомнить хромовую кислоту, H2CrO4 или марганцевую
HMnO4).

Задача 3

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Отметьте энергетические подуровни, на которых могут находиться электроны
иона Са2+: 1) 1s; 2) 5p; 3) 4s; 4) 2d.

Решение

Электронная конфигурация атома кальция в основном состоянии:

Са 1s22s22p63s23p64s2.

Электронная конфигурация иона кальция в основном состоянии:

Са2+ 1s22s22p63s23p6.

(2 электрона ушли).

Видно, что даже в основном состоянии электроны находятся на подуровне 1s. В
основном состоянии подуровни 4s и 5р не заняты электронами, однако в
возбужденном состоянии электроны могут переходить на эти подуровни (в
условии не оговаривалось, что имеется в виду основное состояние). Подуровня
2d не существует (d-электроны появляются лишь на 3-м энергетическом
уровне), поэтому электроны, конечно, не могут на нем находиться.

Ответы: 1) 1s; 2) 5p; 3) 4s.

Задача 4

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Расположите гидроксиды в порядке увеличения силы основания:

1) Ni(OH)2; 2) Fe(OH)3; 3) CsOH; 4) Sr(OH)2; 5) Fe(OH)2.

В ответе запишите последовательность номеров без пробелов.

Решение

Самые сильные основания (щелочи) - это гидроксиды щелочных и
щелочноземельных металлов. Самое сильное основание из перечисленных -
гидроксид щелочного металла цезия, 2-е место занимает гидроксид
щелочноземельного металла - стронция.

Далее следует вспомнить, что сила оснований зависит от числа ОН-групп,
связанных с центральным атомом: чем больше ОН-групп, тем слабее основание.
Это связано с тем, что число ОН-групп зависит от заряда центрального иона,
и чем выше заряд иона, тем труднее отщепить от него ОН-группу. Поэтому
гидроксид железа (III) - более слабое основание, чем гидроксид железа (II)
и гидроксид никеля.

Чтобы сравнить силу гидроксидов никеля и железа (II), нужно вспомнить, что
чем меньше радиус центрального атома, тем сильнее основание. В периоде
радиусы атомов (и ионов одинакового заряда) уменьшаются от начала периода к
концу. Поэтому радиус иона никеля меньше, чем иона железа (II), и гидроксид
никеля слабее.

Константы диссоциации по 2-й ступени:

1) Ni(OH)2 2,5*10-5

2) Fe(OH)3 1,8*10-11

3) CsOH -

4) Sr(OH)2 1,5*10-1

5) Fe(OH)2 1,3*10-4

Ответ: 21543.

Задача 5

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Выберите правильно собранный прибор для перегонки:

1)

[pic]

2)

[pic]

3)

[pic]

4)

[pic]

Решение

На картинке 1 допущена ошибка: вода должна поступать в холодильник
противотоком, т.е. сверху вниз, навстречу потоку паров перегоняемой
жидкости. Так достигается более эффективное охлаждение.

На картинке 2 ток воды в холодильнике правильный, но допущены сразу две
ошибки:

1) термометр погружен в жидкость, вместо того чтобы измерять температуру
паров;

2) отсутствует сетка между горелкой и колбой.

На картинке 4: 1) неправильный ток воды в холодильнике; 2) термометр
касается жидкости.

На картинке 3 прибор собран правильно.

Ответ: 3).

Задача 6

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

В 1 л воды растворили при н.у. 44,8 л газообразного иодоводорода.
Определите массовую долю растворенного вещества (в %) в полученном
растворе.

Решение

При растворении иодоводорода не происходит химической реакции. Поэтому
масса раствора равна сумме масс воды и иодоводорода.

Масса 1 л воды равна 1 кг = 1000 г.

Найдем массу иодоводорода:

m(HI) = M(HI)*n(HI) = M(HI)*V(HI)/Vm = 128 г/моль * 44,8 л / 22,4 л/моль =
256 г.

Найдем массовую долю:

w(HI) = m(HI)/(m(HI)+m(H2O)) = 256/(256+1000) = 0,2.

Это составит 20%.

Ответ: 20.




9 класс

Задача 1

Составитель: Скрипкин Михаил Юрьевич, канд. хим. наук, доцент кафедры общей
и неорганической химии Санкт-Петербургского государственного университета

Как известно, одной из важнейших характеристик растворов солей является их
способность проводить электрический ток. Количественно данная способность
характеризуется электропроводностью - величиной, обратной сопротивлению
раствора. Укажите, как будет меняться электропроводность раствора едкого
барита при последовательном внесении небольших порций купоросного масла:



Варианты ответов: А) монотонно возрастать; б) монотонно убывать; c)
проходить через максимум; d) проходить через минимум.

Ответ: 1d.

Пояснение: при добавлении к раствору гидроксида бария концентрированной
серной кислоты вначале идет нейтрализация щелочи кислотой с одновременным
образованием осадка сульфата бария. На этом этапе электропроводность
раствора падает. После расходования всего гидроксида бария
электропроводность будет увеличиваться вследствие увеличения концентрации
электролита - серной кислоты.

Задача 2

Составитель: Скрипкин Михаил Юрьевич, канд. хим. наук, доцент кафедры общей
и неорганической химии Санкт-Петербургского государственного университета

В современной химии для описания атомных орбиталей используются параметры,
называемые квантовыми числами. Форма орбиталей задается орбитальным
квантовым числом l, которое может принимать значения от 0 до n-1 c шагом 1
(n - главное квантовое число, которое может принимать значения 1, 2, 3 и
т.п.). Различным числовым значениям орбитального квантового числа
соответствуют свои буквенные обозначения: s (l = 0), p (l = 1), d (l = 2),
f (l = 3), g (l = 4) и т.д. в порядке букв латинского алфавита. Число таких
орбиталей определяется набором возможных значений магнитных квантовых чисел
ml, принимающих значения от -l до +l с шагом 1.

Задание: определите максимально возможное число неспаренных электронов на
7i -орбиталях атома, находящегося в основном (невозбужденном) состоянии.

Варианты ответов: a) 5; b) 7; c) 9; d) 11.

Ответ: 2d.

Пояснение: орбитальное квантовое число для i-орбиталей равно 6,
следовательно, магнитное квантовое число может принимать 13 различных
значений (-6, -5, -4, -3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Итого будет 13
различных орбиталей, на каждой из которых может быть по одному неспаренному
электрону.

Задача 3

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Отметьте энергетические подуровни, на которых могут находиться электроны
иона Са2+: 1) 1s; 2) 5p; 3) 4s; 4) 2d.

Решение

Электронная конфигурация атома кальция в основном состоянии:

Са 1s22s22p63s23p64s2.

Электронная конфигурация иона кальция в основном состоянии:

Са2+ 1s22s22p63s23p6.

(2 электрона ушли).

Видно, что даже в основном состоянии электроны находятся на подуровне 1s. В
основном состоянии подуровни 4s и 5р не заняты электронами, однако в
возбужденном состоянии электроны могут переходить на эти подуровни (в
условии не оговаривалось, что имеется в виду основное состояние). Подуровня
2d не существует (d-электроны появляются лишь на 3-м энергетическом
уровне), поэтому электроны, конечно, не могут на нем находиться.

Ответы: 1) 1s; 2) 5p; 3) 4s.

Задача 4

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Расположите гидроксиды в порядке увеличения силы основания:

1) Ni(OH)2; 2) Fe(OH)3; 3) CsOH; 4) Sr(OH)2; 5) Fe(OH)2.

В ответе запишите последовательность номеров без пробелов.

Решение

Самые сильные основания (щелочи) - это гидроксиды щелочных и
щелочноземельных металлов. Самое сильное основание из перечисленных -
гидроксид щелочного металла цезия, 2-е место занимает гидроксид
щелочноземельного металла - стронция.

Далее следует вспомнить, что сила оснований зависит от числа ОН-групп,
связанных с центральным атомом: чем больше ОН-групп, тем слабее основание.
Это связано с тем, что число ОН-групп зависит от заряда центрального иона,
и чем выше заряд иона, тем труднее отщепить от него ОН-группу. Поэтому
гидроксид железа (III) - более слабое основание, чем гидроксид железа (II)
и гидроксид никеля.

Чтобы сравнить силу гидроксидов никеля и железа (II), нужно вспомнить, что
чем меньше радиус центрального атома, тем сильнее основание. В периоде
радиусы атомов (и ионов одинакового заряда) уменьшаются от начала периода к
концу. Поэтому радиус иона никеля меньше, чем иона железа (II), и гидроксид
никеля слабее.

Константы диссоциации по 2-й ступени:

1) Ni(OH)2 2,5*10-5

2) Fe(OH)3 1,8*10-11

3) CsOH -

4) Sr(OH)2 1,5*10-1

5) Fe(OH)2 1,3*10-4

Ответ: 21543.

Задача 5

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Выберите правильно собранный прибор для перегонки:

1)

[pic]

2)

[pic]

3)

[pic]

4)

[pic]

Решение

На картинке 1 допущена ошибка: вода должна поступать в холодильник
противотоком, т.е. сверху вниз, навстречу потоку паров перегоняемой
жидкости. Так достигается более эффективное охлаждение.

На картинке 2 ток воды в холодильнике правильный, но допущены сразу две
ошибки:

1) термометр погружен в жидкость, вместо того чтобы измерять температуру
паров;

2) отсутствует сетка между горелкой и колбой.

На картинке 4: 1) неправильный ток воды в холодильнике; 2) термометр
касается жидкости.

На картинке 3 прибор собран правильно.

Ответ: 3).

Задача 6

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

В 1 л воды растворили при н.у. 44,8 л газообразного иодоводорода.
Определите массовую долю растворенного вещества (в %) в полученном
растворе.

Решение

При растворении иодоводорода не происходит химической реакции. Поэтому
масса раствора равна сумме масс воды и иодоводорода.

Масса 1 л воды равна 1 кг = 1000 г.

Найдем массу иодоводорода:

m(HI) = M(HI)*n(HI) = M(HI)*V(HI)/Vm = 128 г/моль * 44,8 л / 22,4 л/моль =
256 г.

Найдем массовую долю:

w(HI) = m(HI)/(m(HI)+m(H2O)) = 256/(256+1000) = 0,2.

Это составит 20%.

Ответ: 20.

10 класс

Задача 1

Составитель: Скрипкин Михаил Юрьевич, канд. хим. наук, доцент кафедры общей
и неорганической химии Санкт-Петербургского государственного университета

Как известно, концепция гибридизации успешно применяется для
объяснения повышенных (по сравнению с количеством неспаренных
электронов) валентных возможностей атомов. Определите степень
гибридизации атомных орбиталей серы в гексафториде серы. SF6:
Варианты ответов: А) sp2; b) sp3; c) sp3d; d) sp3d2; e) sp3d3

Ответ: 1d.

Пояснение: для образования шести ковалентных связей требуется шесть
неспаренных электронов серы. Следовательно, должно быть задействовано шесть
орбиталей: s, 3p, 2d, на каждой из которых будет находиться по одному
неспаренному электрону. Поскольку все связи в молекуле гексафторида серы
одинаковы, указанные орбитали будут выравниваться по форме и по энергии -
sp3d2-гибридизация.

Задача 2

Составитель: Скрипкин Михаил Юрьевич, канд. хим. наук, доцент кафедры общей
и неорганической химии Санкт-Петербургского государственного университета

В сильно экзотермической реакции окисления сахарозы (С12Н22О11)
бертолетовой солью (KClO3) в присутствии катализатора -
концентрированной серной кислоты -образуется хлорид калия, а также
другие продукты, не имеющие ни вкуса, ни цвета, ни запаха. Сумма
коэффициентов при газообразных продуктах реакции в расчете на 1 моль
сахарозы составляет:
Варианты ответов: А) 31; b) 12; c) 11; d) 23.

Ответ: 2d.

Пояснение: Уравнение реакции 8KClO3 + C12H22O11 = 8KCl + 12CO2 + 11H2O

Реакция сильно экзотермична, следовательно, вода будет получаться в виде
пара.

Сумма коэффициентов при Н2О и СО2 - 23.

Задача 3

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Отметьте энергетические подуровни, на которых могут находиться электроны
иона Са2+: 1) 1s; 2) 5p; 3) 4s; 4) 2d.

Решение

Электронная конфигурация атома кальция в основном состоянии:

Са 1s22s22p63s23p64s2.

Электронная конфигурация иона кальция в основном состоянии:

Са2+ 1s22s22p63s23p6.

(2 электрона ушли).

Видно, что даже в основном состоянии электроны находятся на подуровне 1s. В
основном состоянии подуровни 4s и 5р не заняты электронами, однако в
возбужденном состоянии электроны могут переходить на эти подуровни (в
условии не оговаривалось, что имеется в виду основное состояние). Подуровня
2d не существует (d-электроны появляются лишь на 3-м энергетическом
уровне), поэтому электроны, конечно, не могут на нем находиться.

Ответы: 1) 1s; 2) 5p; 3) 4s.

Задача 4

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Расположите гидроксиды в порядке увеличения силы основания:

1) Ni(OH)2; 2) Fe(OH)3; 3) CsOH; 4) Sr(OH)2; 5) Fe(OH)2.

В ответе запишите последовательность номеров без пробелов.

Решение

Самые сильные основания (щелочи) - это гидроксиды щелочных и
щелочноземельных металлов. Самое сильное основание из перечисленных -
гидроксид щелочного металла цезия, 2-е место занимает гидроксид
щелочноземельного металла - стронция.

Далее следует вспомнить, что сила оснований зависит от числа ОН-групп,
связанных с центральным атомом: чем больше ОН-групп, тем слабее основание.
Это связано с тем, что число ОН-групп зависит от заряда центрального иона,
и чем выше заряд иона, тем труднее отщепить от него ОН-группу. Поэтому
гидроксид железа (III) - более слабое основание, чем гидроксид железа (II)
и гидроксид никеля.

Чтобы сравнить силу гидроксидов никеля и железа (II), нужно вспомнить, что
чем меньше радиус центрального атома, тем сильнее основание. В периоде
радиусы атомов (и ионов одинакового заряда) уменьшаются от начала периода к
концу. Поэтому радиус иона никеля меньше, чем иона железа (II), и гидроксид
никеля слабее.

Константы диссоциации по 2-й ступени:

1) Ni(OH)2 2,5*10-5

2) Fe(OH)3 1,8*10-11

3) CsOH -

4) Sr(OH)2 1,5*10-1

5) Fe(OH)2 1,3*10-4

Ответ: 21543.

Задача 5

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

Выберите правильно собранный прибор для перегонки:

1)

[pic]

2)

[pic]

3)

[pic]

4)

[pic]

Решение

На картинке 1 допущена ошибка: вода должна поступать в холодильник
противотоком, т.е. сверху вниз, навстречу потоку паров перегоняемой
жидкости. Так достигается более эффективное охлаждение.

На картинке 2 ток воды в холодильнике правильный, но допущены сразу две
ошибки:

1) термометр погружен в жидкость, вместо того чтобы измерять температуру
паров;

2) отсутствует сетка между горелкой и колбой.

На картинке 4: 1) неправильный ток воды в холодильнике; 2) термометр
касается жидкости.

На картинке 3 прибор собран правильно.

Ответ: 3).

Задача 6

Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ

В 1 л воды растворили при н.у. 44,8 л газообразного иодоводорода.
Определите массовую долю растворенного вещества (в %) в полученном
растворе.

Решение

При растворении иодоводорода не происходит химической реакции. Поэтому
масса раствора равна сумме масс воды и иодоводорода.

Масса 1 л воды равна 1 кг = 1000 г.

Найдем массу иодоводорода:

m(HI) = M(HI)*n(HI) = M(HI)*V(HI)/Vm = 128 г/моль * 44,8 л / 22,4 л/моль =
256 г.

Найдем массовую долю:

w(HI) = m(HI)/(m(HI)+m(H2O)) = 256/(256+1000) = 0,2.

Это составит 20%.

Ответ: 20.







МАТЕМАТИКА






8 класс


Задача 1


Задача предложена Константином Эммануиловичем Воеводским, доцентом
математико-механического факультета СПбГУ, преподавателем Академической
гимназии.



На автобусной остановке висела следующая табличка, показывающая, с каким
интервалом движутся автобусы, принадлежащие пяти различным фирмам:

[pic]


Затем все автобусы всех пяти фирм были куплены фирмой X, которая, не меняя
графика движения, заготовила новую вывеску такого вида:


[pic]


Что следует вписать в эту таблицу вместо вопросительного знака?


Решение


Количество автобусов, принадлежащих старым фирмам, которые пройдут здесь за
180 минут, показано в нижеследующей таблице:


[pic]


Таким образом, за 180 минут пройдет 36+30+15+5+4=90 автобусов, которые
теперь принадлежат фирме X. Интервал между ними составляет 180/90=2
минуты.


Ответ: 2.


Задача 2

Задача предложена Марией Олеговной Балашовой преподавателем АГ СПбГУ



В треугольнике [pic] известны углы: [pic][pic][pic], [pic][pic][pic]. На
продолжении стороны [pic]за точку С ? взята точка[pic], причем [pic].
Найти величину угла[pic].


Решение[pic]

Пусть [pic] основание перпендикуляра из точки [pic] на [pic].

Тогда в треугольнике [pic] [pic] и [pic]. Тогда [pic].

Но [pic]. Следовательно, треугольник [pic]равнобедренный.

[pic], таким образом, треугольник [pic] тоже равнобедренный.

[pic], следовательно, [pic], а [pic].

Ответ: 75?

Задача 3

Сколько раз в натуральном ряду от 1 до 1000 вcтретится число 7?
Решение

По сто раз 7 встретится в разряде единиц, десяток и сотен. Всего 300 раз.
Задача 4

За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из
кружек налито молоко. Один из гномов разливает свое молоко в кружки
остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же
делает следующий сосед справа и т.д. После того, как последний, седьмой
гном разлим остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же
молока, сколько было в ней вначале. Во ввсех кружках вместе 3 литра молока.
Сколько молока было вначале у первого гнома?

Решение

Предположим, что гномы решили и дальше продолжать процесс переливания и
продолжают его до сих пор. Возьмем двух любых рядом сидящих гномов А и В.
Пусть x - количество молока, которое разливает гном А, и y - количество
молока, которое разливает при следующем разливании сидящий за гномом А гном
В. В момент разливания молока гномом А у гнома В в кружке было (y-x/6)
молока. Разность их количеств: x-(y-x/6)=7x/6-y.
После разливания молока гномом В разность количеств молока у них в кружках
становится Y/6. Так как эта разность до следующего хода гнома А не
меняется, то 7x/6-y=y/6, следовательно x=y. Таким образом, все гномы
разливают одно и то же количество молока x. В тот момент, когда первый гном
разливает молоко, у других гномов, сидящих вслед за ним, количество молока
в кружках равно соответственно 5x/6, 4x/6, 3x/6, 2x/6, x/6, 0. Всего молока
3 литра, значит x=7/6 литра.
Ответ: 6/7 литра
Задача 5

Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.

Кузнечик прыгает по плоскости. Длина его первого прыжка равна 1,
второго 1/3, третьего 1/5, четвертого 1/7 и так далее. Кузнечик сделал
всего N прыжков и вернулся в исходную точку. Какое наименьшее положительное
значение может принимать N?

Решение

Кузнечик первым своим прыжков оказался на расстоянии 1 от исходной
точки. Так как

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13<1<1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15,

то прыжков понадобится минимум 8 (за меньшее число не может добраться по
неравенству треугольника).

Задача 6

Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.

Есть два мешка. В первом - 10 синих и 10 белых шаров. Во втором - 8
красных и 5 белых шаров. Сколько шаров не глядя нужно переложить из первого
мешка во второй, чтобы во втором белых шаров заведомо было больше, чем
красных?

Решение

В худшем случае мы переложим все синие шары (10 штук) и минимальное
количество белых (4 штуки). Итого ответ: 14 штук.










9 класс

Задача 1

За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из
кружек налито молоко. Один из гномов разливает свое молоко в кружки
остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же
делает следующий сосед справа и т.д. После того, как последний, седьмой
гном разлил остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же
молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе 3 литра молока.
Сколько молока было вначале у первого гнома?

Решение

Предположим, что гномы решили и дальше продолжать процесс переливания и
продолжают его до сих пор. Возьмем двух любых рядом сидящих гномов А и В.
Пусть x - количество молока, которое разливает гном А, и y - количество
молока, которое разливает при следующем разливании сидящий за гномом А гном
В. В момент разливания молока гномом А у гнома В в кружке было (y-x/6)
молока. Разность их количеств: x-(y-x/6)=7x/6-y.
После разливания молока гномом В разность количеств молока у них в кружках
становится Y/6. Так как эта разность до следующего хода гнома А не
меняется, то 7x/6-y=y/6, следовательно x=y. Таким образом, все гномы
разливают одно и то же количество молока x. В тот момент, когда первый гном
разливает молоко, у других гномов, сидящих вслед за ним, количество молока
в кружках равно соответственно 5x/6, 4x/6, 3x/6, 2x/6, x/6, 0. Всего молока
3 литра, значит x=7/6 литра.
Ответ: 6/7 литра
Задача 2

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с вершиной В,
касается стороны ВС в точке M, и пересекает высоту BН в точке P. Величина
угла PMB равна 27 градусов. Найдите угол OCA , где O - центр вписанной
окружности треугольника ABC.

Решение

[pic]


Пусть О - центр вписанной окружности, ОС - биссектриса угла С. Отметим, что
угол РМВ - это угол между хордой и касательной, и, по известной теореме,
равен половине центрального угла POM. Отсюда угол POM равен 54 градуса. Его
можно вычислить и не используя указанную теорему - заметим, что угол OMB -
прямой, угол PMO - 63 градуса, тогда в равнобедренном треугольнике POM угол
при вершине О равен 54 градуса. Вычисляем угол OBM в прямоугольном
треугольнике, OBM равен 36 градусов. Соответственно углы треугольника ABC
равны 72, 54, 54 градусов. Угол ОСА равен 27 градусов.

Задача 3

Задача предложена Ольгой Михайловной Кузнецовой, преподавателем математики
АГ СПбГУ.

Найдите наибольшее целое значение x, при котором число [pic] является
полным квадратом.

Решение

[pic] для того, чтобы это число являлось полным квадратом, необходимо,
чтобы [pic]. При [pic] получаем, что [pic], то есть рассматриваемое число
находится между квадратами двух соседних натуральных чисел. Таким образом
получаем ответ: x=2010.

Ответ: 2010

Задача 4

Вершины треугольника расположены в центрах следующих шахматных клеток: a1,
b4, c2. Сколько треугольников, равных данному, с вершинами в центрах
клеток, имеются на шахматной доске (данный треугольник входит в ответ)?

Решение

Каждый такой треугольник можно поместить внутрь единственного
прямоугольника размером 3x4 или 4x3 клетки. Внутри каждого такого
прямоугольника можно разместить треугольник четырьмя способами.
Прямоугольник 3x4 на доске можно расположить 6*5 способами. Таким образом
получаем (30+30)*4=240 способов.
Задача 5

Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.

Кузнечик прыгает по плоскости. Длина его первого прыжка равна 1,
второго 1/3, третьего 1/5, четвертого 1/7 и так далее. Кузнечик сделал
всего N прыжков и вернулся в исходную точку. Какое наименьшее положительное
значение может принимать N?

Решение

Кузнечик первым своим прыжков оказался на расстоянии 1 от исходной
точки. Так как

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13<1<1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15,

то прыжков понадобится минимум 8 (за меньшее число не может добраться по
неравенству треугольника).

Задача 6

Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.

Целые положительные числа A,B,C,D таковы, что 2A+3B+5C+7D=2010. Какое
наименьшее значение может быть у суммы A+B+C+D?

Решение


Ясно, что надо выбирать D как можно больше, затем C как можно больше,
и так далее. Самые большие подходящие значения - это D=285, C=2, B=1, A=1.
Ответ: 289.




10 класс


Задача


Задача предложена Олегом Леонидовичем Виноградовым профессором математико-
механического факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.


Все значения квадратного трехчлена [pic]на отрезке [pic] по модулю не
превосходят 1. Какое наибольшее значение может принимать выражение [pic]?


Решение


Сначала попытаемся найти, какие наибольшие значения могут принимать [pic]
по отдельности. Подставляя [pic] находим, что [pic]. Так как модуль суммы и
разности не превосходит суммы модулей, [pic] [pic]
Поэтому [pic]


Осталось заметить, что трехчлен [pic] удовлетворяет условию, и у него все
три коэффициента наибольшие возможные по модулю. Для этого трехчлена [pic]


Ответ: 129

Задача 3[pic]

Решение

[pic]

Задача 4

Решить уравнение: a2+b2+c2+d2-ab-bc-cd-d+2/5=0.
Решение:

[pic]

Задача 5

Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.

Целые положительные числа A,B,C,D таковы, что 2A+3B+5C+7D=2010. Какое
наименьшее значение может быть у суммы A+B+C+D?

Решение


Ясно, что надо выбирать D как можно больше, затем C как можно больше,
и так далее. Самые большие подходящие значения - это D=285, C=2, B=1, A=1.
Ответ: 289.

Задача 6

Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.

Какое наибольшее количество шахматных коней можно расположить на
доске 9х9 так, чтобы они не били друг друга?

Решение

Раскрасим все клетки доски в шахматном порядке. Одного цвета
(условно: черного) получится 41 клетка, другого (условно: белого) - 40
клеток. Можно расположить коней на клетки черного цвета; ясно, что они не
будут бить друг друга.

Осталось доказать, что более 41 нельзя. Пусть можно, и на доске хотя
бы 42 коня. Разрежем доску на центральную клетку и 4 прямоугольника 4х5.
Хотя бы в одном прямоугольнике должно быть хотя бы 11 коней.

Разобьем его клетки на пары, связанные ходом коня:

В каждой паре клеток, помеченных одним числом, может быть не более одного
коня. Значит, всего коней может быть не более 10. Противоречие.

|1|6|3|7|8|
|3|2|5|9|0|
|4|1|6|8|7|
|2|5|4|0|9|






-----------------------
F



F1



F2



A



A



A



B



B



B



l



а



б



в



A



B



C



D



A



B



C



D



I



I1



I2



I2/2



I2/2



I1/2



I1/2



(I1+I2)/2



(I1+I2)/2



F



G



mg



Fтр



N



N



mg



Fтр



Fцб



x



y