Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://optics.sinp.msu.ru/co/1/par11.html
Дата изменения: Fri Feb 15 00:26:27 2008
Дата индексирования: Mon Oct 1 19:48:19 2012
Кодировка: Windows-1251
Оптика когерентного излучения. .1.1.
ГЛАВА 1. ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Теоретической основой анализа оптических явлений в когерентном свете являются положения классической оптики достаточно полно изложенные в известных трудах [1,2], а также в последующих монографиях и учебниках (см., например, [3-6]). При этом особенно большую роль играют те разделы оптики, в которых рассматриваются процессы распространения, интерференции и дифракции излучения. В данной главе мы рассмотрим эти процессы и явления, используя подход основанный на анализе решений приведенного волнового уравнения. Однако, прежде чем приступить к изложению основ теории дифракции и интерференции, уточним фундаментальное понятие когерентности, к которому нам придется постоянно апеллировать в процессе изложения материала учебного пособия.

1.1. Когерентность [7]

В оптике понятие когерентности вводится для характеристики cкоррелированности световых колебаний в различных точках пространства и в различные моменты времени. Поэтому наиболее логично степень когерентности определять посредством корреляционной функции светового поля. Рассмотрим для простоты поляризованное поле, вектор напряженности электрического поля E в котором колеблется в определенном направлении. Если вектор напряженности содержит компоненту, случайным образом изменяющуюся по пространственным координатам r и по времени t, то можно построить следующую корреляционную функцию

, (1.1.1)

где угловые скобки означают усреднение по всему пространству и по всему интервалу времени наблюдения, а "звездочка" при втором множителе обозначает комплексно сопряженную величину. Для полей, статистические характеристики которых во времени не меняются (такие поля называются стационарными),

. (1.1.2)

Принято выделять также статистически однородные поля, для которых корреляционная функция зависит лишь от разности r2 - r1

. (1.1.3)

Однородное случайное поле называется изотропным, если корреляционная функция зависит лишь от абсолютного значения расстояния между двумя точками  Таким образом, для стационарных, однородных и изотропных полей с изменяющимся по случайному закону вектора E

, (1.1.4)

где . Корреляционная функция принимает максимальное значение при .

1.1.1. Степень когерентности светового пучка Введем теперь применительно к световому пучку нормированную корреляционную функцию

(1.1.5)

где I(r1,t1) I(r2,t2) - значение интенсивности пучка в указанных пространственных точках и в указанные моменты времени. В случае стационарности поле светового пучка

(1.1.6)

Построенную таким образом величину  называют комплексной степенью когерентности, так как корреляционные функции в общем случае комплексны. Абсолютную величину  называют модулем степени когерентности или просто степенью когерентности. Степень когерентности всегда удовлетворяет неравенству

(1.1.7)

при  дает значение степени пространственной когерентности, а при  - значение степени временной когерентности. Значение  и , при которых степени пространственной и временной когерентности уменьшаются в два раза называются соответственно размером зоны когерентности и временем когерентности.

1.1.2. Методы измерения пространственной и временной когерентности Рассмотрим кратко оптические методы экспериментального определения пространственных и временных корреляционных функций, или, в терминах оптики, методы измерения пространственной и временной когерентности световых полей. Исторически понятие когерентности возникло в оптике в связи с интерпретацией результатов интерференционных опытов. Классические интерференционные опыты Юнга и Майкельсона оказываются прямыми методами измерения пространственных и временных корреляционных функций; распределение средней интенсивности в интерференционной картине непосредственно дает корреляционную функцию поля. Одновременно эти опыты можно рассматривать как схемы, поясняющие физический смысл пространственных и временных корреляционных функций. Обратимся к их рассмотрению. Начнем с определения пространственной когерентности с помощью интерферометра Юнга.
Рис.1.1.1
Рис.1.1.1. Схема интерферометра Юнга.
Интерферометр Юнга представляет собой непрозрачный экран, в котором на некотором расстоянии s друг от друга вырезаны два малых отверстия Р1 и Р2 (рис.1.1.1). Пусть на такой экран перпендикулярно падает случайная линейно поляризованная волна, поле которой E(r,t) будем считать стационарным и однородным. Волновые пучки, исходящие из отверстий Р1 и Р2, интерферируют на экране Q2, расположенном на некотором расстоянии от экрана Q1.

Обозначим комплексное поле в точке Pj (i=1,2) через E(Pj,t), а расстояние между точкой Pj и произвольной точкой Р экрана Q2 через lj=PjP. Суммарное электрическое поле в точке Р от двух отверстий равно

(1.1.8)

где tj=lj/c - время запаздывания (дисперсией среды пренебрегаем).

Коэффициенты передачи К1 и К2 являются комплексными величинами, их абсолютные значения зависят от формы и размеров отверстий.

Для средней интенсивности в точке Р получаем

I(P) = <|E(P,t)|2> = K1K1*I1 + K2K2*I2 + K1K2* <E(P1,t-t1)E*(P2,t-t2)> + K1*K2 <E*(P1,t-t1)E(P2,t-t2)>

или

(1.1.9)

Здесь - интенсивности светового поля в точках P1 и P2 - пространственно-временная корреляционная функция:

  (1.1.10)

t2-t2=t , s - расстояние между точками Р1 и Р2 на экране Q1; при этом учтена статистическая стационарность и однородность поля.

Если открыто лишь одно из отверстий в экране Q1, то в точке Р интенсивность, очевидно, равна

Пользуясь этими обозначениями, выражение (1.1.9) можно переписать в виде

(1.1.11)

где  - комплексная степень когерентности.

Для электромагнитного поля вида

(e - единичный вектор поляризации волны, А - медленно меняющаяся амплитуда волны) корреляционная функция (1.1.4) равна

Индекс ^ означает, что корреляция оценивается в направлении, перпендикулярном оси z.

Следовательно,

(1.1.12)

где  Таким образом, выражение (1.1.11) принимает вид

(1.1.13)

Параметры d и t равны соответственно:

где l 0- средняя длина волны. При t <<t к зависимость от t в (1.1.13) входит только через d , так что максимальные и минимальные значения интенсивности на экране Q2 (рис.1.1.1) определяются выражением

(1.1.14)

Контраст интерференционной картины, следуя Майкельсону, обычно характеризуют величиной

(1.1.15)

которую называют видностью. В соответствии с (1.1.14) для видности в окрестности точки Р имеем

(1.1.16)

Если интенсивности интерферирующих пучков одинаковы (I1=I2), то значение (1.1.16) максимально и

(1.1.17)

т.е. видность интерференционной картины просто равна степени пространственной когерентности. На рис.1.1.2 приведено распределение интенсивности в интерференционной картине для различных видностей.

В общем случае видность (1.1.15) дает информацию о степени пространственно-временной когерентности. Если время задержки t ~ t к, то видность будет зависеть от t :

(1.1.18)
Рис.1.1.2
Рис.1.1.2. Распределение интенсивности
в интерференционной картине
для различных видностей.
Таким образом, если временная задержка меньше времени корреляции t <<t к, то интерферометр Юнга позволяет определить поперечную пространственную когерентность. Если мы хотим измерить не искаженную пространственной статистикой временную корреляционную функцию поля, следует обратиться к другой интерференционной схеме - интерферометру Майкельсона.

Понятие временной когерентности прямо связано с интерференционным экспериментом, схема которого изображена на рис. 1.1.3. Волна падает на наклонную полупрозрачную пластинку П интерферометра Майкельсона, формирующую два пучка. Эти пучки отражаются от зеркал З1 и З2. Затем один из них, пройдя через пластинку П, а другой, отразившись от нее, поступают на экран Q, где интерферируют. В плоскости экрана расположен детектор, измеряющий интенсивность (например, фотодетектор, величина тока которого пропорциональна средней интенсивности).

Если напряженность электрических полей пучков равна соответственно Е1 и Е1, то поле на экране Q равно

(1.1.19)

где tj=2lj/c, lj- расстояние от зеркала Зj до пластинки П.

Выражение (1.1.19) аналогично (1.1.8). Поэтому расчеты, подобные выполненным выше, приводят к выражению для средней интенсивности

(1.1.20)

которое сходно с (1.1.13) (t =t2-t1).

Таким образом, изменяя временную задержку в схеме интерферометра Майкельсона от t =0 до t R ? , из графика распределения средней интенсивности в интерференционной картине (интерферограмме) можно непосредственно определить временную корреляционную функцию светового поля.

Как и для интерферометра Юнга, для интерферометра Майкельсона можно ввести понятие видности интерференционной картины. В данном случае им удобно пользоваться, если волна квазимонохроматическая, т.е.  для такой волны, используя (1.1.15), для видности интерференционной картины в интерферометре Майкельсона вблизи заданного значения t при I1=I2 имеем

(1.1.21)

Кроме интерферометров Юнга и Майкельсона существует большое число и других схем, используемых для измерения временной и пространственной когерентности оптических полей. Все многообразие интерферометров базируется на двух методах: методе деления амплитуды и методе деления волнового фронта. В методе деления амплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частично пропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок, проходя через отверстия, делится на несколько пучков.

Согласно такой классификации интерферометр Юнга - это интерферометр с делением фронта, интерферометр Майкельсона - интерферометр с делением амплитуды. Очевидно, интерферометр Майкельсона обладает большей светосилой, чем схема Юнга.

Проведение измерений пространственной и временной когерентности имеет большое значение для постановки экспериментов в области когерентной оптики. Как правило, такие измерения должны проводиться по отношению к любым источникам излучения, используемых в оптических исследованиях.


Дальше  К оглавлению