Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://acoustics.phys.msu.ru/teachers/shanin_files/~shanin/papers/p258.pdf Дата изменения: Mon Mar 14 17:05:42 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:31:50 2012 Кодировка:

Zapiski nauqnyh seminarov POMI Tom 275, 2001 g.

A. V. Xanin K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI. NEKOTORYE SVO STVA R DA XVARCXIL^DA
Vvedenie
Zadaqa difrakcii na polose ili weli privlekaet vnimanie issledovatele u e bolee sta let. S togo momenta, kak Zommerfel~dom byla v zamknuto forme rexena zadaqa difrakcii na polupr mo , predprinimalis~ neodnokratnye popytki primenit~ poho ie metody k difrakcii na weli ili polose. K soaleni , to okazalos~ ne tako prosto zadaqe , i v teqenie dolgogo vremeni edinstvennym toqnym rexeniem dannyh zadaq ostavalos~ rexenie v forme r da Fur~e v lliptiqeskih koordinatah 1]. Dannoe rexenie ne mo et byt~ priznano udovletvoritel~nym vo mnogih sluqa h ego mo no sravnit~ s rexeniem zadaqi o difrakcii na polupr mo v vide razlo eni Fur~e v paraboliqeskih koordinatah: ono izvestno, odnako poqti nikto im ne pol~zuets . Popytki na ti bolee udaqnoe rexenie byli, v osnovnom, neudaqnymi. Obzor takih rabot mo no na ti v 2]. Odna iz naibolee rkih rabot, otnos wihs k danno probleme, po vilas~ v 1982 godu 3]. V to rabote integral~noe uravnenie, k kotoromu svodits zadaqa difrakcii, zamen ets paro obyknovennyh differencial~nyh uravneni . Ranee pohoie idei byli ispol~zovany v rabote 4], odnako ne poluqili tam dosto nogo razviti . Avtorom danno stat~i nedavno byl predlo en drugo podhod k zadaqe o difrakcii na weli ili polose 5]. V ramkah togo podhoda rassmatrivaets funkcional~na zadaqa tipa Vinera{ Hopfa, soder awa neizvestnye celye funkcii. Bylo pokazano, qto rexeni podobnyh zadaq udovletvor t differencial~nym uravneni m s racional~nymi ko fficientami. Rexeni v 3] i 5] vyra a ts v terminah specifiqeskih graniqnyh zadaq dl differencial~nyh uravneni . Pri tom ko fficienty uravneRabota podder ana grantami INTAS, RFFI i programmo \Universitety Rossii".

258


K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

259

ni zavis t ot neskol~kih parametrov (qisel), kotorye neobhodimo podbirat~ tak, qtoby odnovremenno vypoln lis~ asimptotiqeskie uslovi v osobyh toqkah. Podbor ko fficientov predstavl ets neprosto vyqislitel~no zadaqe neposredstvennoe otyskanie asimptotik dl ko fficientov vozmo no, odnako tak e neprosto. Ni e predlagaets druga tehnika dl rexeni zadaqi o difrakcii na weli s ideal~nymi graniqnymi uslovi mi. V ramkah predlagaemogo podhoda rexenie zadaqi difrakcii predstavl ets v vide t.n. difrakcionnogo r da, t.e. v vide summy rexeni beskoneqno posledovatel~nosti zadaq o difrakcii na polupr mo . Predpolagaets , qto pada wa volna difragiruet snaqala na odnom rebre weli, zatem difragirovanna volna dostigaet drugogo kra i difragiruet na nem i t.d. Takoe predstavlenie rexeni bylo po-vidimomu vpervye vvedeno Xvarcxil~dom v 1902 g. 6]. L bopytnu interpretaci difrakcionnogo r da mo no na ti v knige 7]. Tradicionno difrakcionny r d ispol~zuets dl postroeni pribli ennyh rexeni . Na tih ide h osnovany geometriqeska i fiziqeska teori difrakcii. V nasto we rabote predlo ena tehnika preobrazovani qlenov difrakcionnogo r da, s pomow~ kotoro udaets poluqit~ r d toqnyh rezul~tatov otnositel~no summy r da. Glavnye iz tih rezul~tatov { vyvod predstavleni Vil~ msa, opisyva wego zavisimost~ diagrammy rasse ni ot ugla padeni volny, a tak e vyvod uprowennyh obyknovennyh differencial~nyh uravneni dl neizvestnyh funkci . Ispol~zu predlo ennye metody my poluqaem rezul~taty rabot 3] i 5], dava tem samym nezavisimoe podtver denie poluqennyh tam rezul~tatov. Krome togo, poluqeny asimptotiqeskie r dy dl neizvestnyh ko fficientov differencial~nyh uravneni , ispol~zovannyh v obeih tih rabotah.

1. Postanovka zadaqi i rexenie v vide difrakcionnogo r da 1.1. Postanovka zadaqi.
Rassmotrim 2-mernu Pust~ na ploskosti (x

y)

zadaqu difrakcii na krane so wel~ . vypoln ets uravnenie Gel~mgol~ca

2 u + k0 u =0

(1.1)


260
Graniqnye uslovi est~ Wel~ zanimaet

A. V. XANIN

u(x 0) = 0 pri jxj >a: otrezok ;a
(1.2) 1).

Ris. 1. Geometri zadaqi.

Predpolagaets , qto zavisimost~ vseh veliqin ot vremeni imeet vid e;i!t, gde ! = k0c, c { fazova skorost~ voln. Na wel~ padaet ploska volna iz verhne poluploskosti y> 0:

p2 uin = e;ik x;i k0 ;k2 y

(1.3)

gde k = ;k0 cos , { ugol padeni (sm. Ris. 1). Pole predstavl et sobo summu pada we volny uin , otra enno volny i rasse nnogo pol kosti prisutstvuet tol~ko vklad usc. Oqevidno, qto pole usc simmetriqno po otnoxeni k otra eni otnositel~no pr mo y = 0, t.e. usc(x y) = usc (x ;y). Ego proizvodna po y dol na imet~ na weli (t.e., pri y =0, jxj
p2 ur = ;e;ik x+i k0 ;k2 y usc . V ni ne poluplos

(1.4)

1.2. Difrakcionny r d.

Predstavl ets udobnym rassmatrivat~ v verhne poluploskosti kombinaci usc + ur. Dl nee pri y = +0 vypoln ts sledu wie graniqnye uslovi : usc (x +0) + ur (x +0) = ;e;ik x pri jxj >a (1.5)


Krome togo, dol ny vypoln t~s obyqnye uslovi izluqeni na beskoneqnosti i Me ksnerovskie uslovi na kra h weli. Predstavim process difrakcii kak posledovatel~nost~ aktov difrakcii na qast h krana, t.e. predstavim pole v vide r da gde simv nulevogo por dka (pada wa ploska volna difragiruet na odnom iz kraev weli) indeks 1 sootvetstvuet difrakcii na kra x = a, indeks 2 { difrakcii na kra x = ;a. Difrakcionnoe pole pervogo por dka, poluqennoe v rezul~tate difrakcii snaqala na kra 1, a zatem na kra 2 sootvetstvuet oboznaqeni u12 i t.d. Tak mo no vvesti funkcii vida u1212:::21. Budem sqitat~ indeksom vs posledovatel~nost~ 1212::: 21. V to posledovatel~nosti sto wie podr d simvoly ne povtor ts . Samy levy simvol sootvetstvuet samomu pervomu aktu difrakcii. Sleduet otmetit~, qto taka sistema indeksacii predstavl ets izbytoqno . Vmesto togo, qtoby v vnom vide vypisyvat~ posledovatel~nost~ aktov difrakcii v cepoqke indeksov, mo no bylo by oboznaqit~ pervy (ili posledni ) i nazvat~ ih koliqestvo. Nam potrebu ts i takie oboznaqeni , ni e oni budut vvedeny. Polna indeksaci (s sohraneniem vse cepoqki difrakci ) potrebuets dl opisani difrakcii na bolee slo nyh strukturah, a imenno na sistemah polos, ugolkah i t.d. Itak, dl udobstva vvedem sledu wie oboznaqeni : un::: { posledovatel~nost~ simvolov v indekse imeet dlinu n +1 1 i naqinaets s 1 un 1 { posledovatel~nost~ simvolov v indekse imeet dlinu n +1 ::: i konqaets simvolom 1 un:::1 { posledovatel~nost~ simvolov naqinaets s 1 i konqaets 1 1 (pri tom, oqevidno, n dol no byt~ qetno). Oqevidno, qto po dline cepoqki po pervomu ili poslednemu simvolu mo no odnoznaqno vosstanovit~ vs cepoqku. Dl qlenov nulevogo por dka zadany graniqnye uslovi na pr mo y =0:

@ usc(x +0) + ur(x +0)] =0 @y

K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

261
(1.6)

pri

jxj >a:

usc + ur = u1 + u2 + u12 + u21 + u121 + u212 + ::: olami u1 i u2 oboznaqeny difrakcionnye qleny

(1.7)

@u1 =0 @y

pri

x< a

u1 = ;e;ik x

pri

x> a

(1.8)


262

Pri tom, razumeets , dl vseh qlenov r da dol no vypoln t~s uravnenie Gel~mgol~ca, a tak e uslovi v verxine i uslovi na beskoneqnosti.

Dl vseh ostal~nyh qlenov zadany graniqnye uslovi : @un 1 =0 pri x< a un = ;un;1 pri x> a ::: (1.10) :::1 :::2 @y @un 2 =0 pri x> ;a un = ;un;1 pri x< ;a: ::: (1.11) :::2 :::1 @y

@u2 =0 @y

A. V. XANIN

pri

x> ;a

u2 = ;e;ik x

pri

x< ;a:

(1.9)

1.3. Rexenie posledovatel~nosti difrakcionnyh zadaq metodom Vinera{Hopfa.

Vvedem oboznaqeni dl Fur~e-obrazov qlenov difrakcionnogo r da

U U

n :::1 n :::2

(k)=

p

2 k0 ; k2 a

i

Z

1

@un 1(x +0) eikxdx ::: @y
n @u:::2 (x +0) eikx dx @y

(1.12)

(k)=

p

Integraly opredeleny korrektno dl vseh n, krome n = 0. Qleny nulevogo por dka soder at neubyva wi vklad, otnos wi s k ur . V sootvetstvii s tim, formuly (1.12), (1.13) dol ny byt~ modificirovany sledu wim obrazom:
q x 2 U 1 (k)= p 2 2 @u1 (@y +0) + i k0 ; k2 e;ik k0 ; k a p 2 ip k0 ; k2 +22 k0 ; k Z

2 k0 ; k2 ;1

i

Z

;a

(1.13)

i

1

x

eikx dx+
(1.14)

eik a k;k
x

@u2(x +0) + iqk2 ; k2 e;ik U 2 (k)= p 2 2 0 @y k0 ; k ;1 p 2 ip k0 ; k2 ;22 k0 ; k i
Z

;a

eikxdx;
(1.15)

e;ik a k;k


K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

263

Prinima vo vnimanie graniqnye uslovi (1.8){(1.11), poluqim formuly dl obratnogo preobrazovani :

n u::: = ; 21

Z

p2 U n e;ikx+i k0 ;k2 y dk :::

(1.16)

gde kontury pokazany na Ris. 2. Kontur ; vybiraets dl qlenov un 1 , kontur + dl un 2 . Tako vybor konturov garanti::: ::: ruet vypolnenie uslovi izluqeni , a tak e pravil~ny uqet pol sa, sootvetstvu wego pada we volne. Zametim, qto dl opredeleni preobrazovani Fur~e i operatorov F ispol~zu ts kontura, izobra ennye na Ris. 2a, a dl vypolneni asimptotiqeskih ocenok { kontura, izobra ennye na Ris. 2b.

Ris. 2. Kontury integrirovani .

Veliqiny U n mogut byt~ na deny metodom Vinera{Hopfa ::: 8]. Vypixem okonqatel~ny vid rexeni , opuska detali. Funkcii pervogo por dka opredel ts s pomow~ formul

ika U 1(k)= A1 p e k0 ; k (k ; k ) ko fficienty A1 2 opredel

;ika U 2(k)= A2 p e k0 + k (k ; k )
ts kak
p A2 = ;ieik a k0 + k :

(1.17)

A1 = ie;ik a k0 ; k
p

(1.18)


264

A. V. XANIN

Funkcii bolee vyskoih por dkov opredel

ts rekurrsivno
i

h ika p F+ e;ika k0 ; k U n;1 U n 1 = ;pe ::: :::2 k0 ; k

(1.19) (1.20)

regul rnye v verhne i ni ne Oni opredel ts formulami

h i ;ika p U n 2 = ; pe F; eika k0 + k U n;1 : ::: :::1 k0 ; k Operatory F+ i F; osuwestvl t razlo enie na

slagaemye, poluploskosti peremenno k.
Z

F V (k)] = 21 i

V ( )d ;k

(1.21) t ne . Daqlepol

Sleduet zametit~, qto spektral~nye funkcii U n zavis ::: tol~ko ot k, no i ot veliqiny k , sv zanno s uglom padeni lee my budem vno ukazyvat~ tu zavisimost~. Summa vseh nov U n (k k ) proporcional~na diagramme napravlennosti ::: v dal~ne zone f (' ), priqem k0 cos = ;k , k0 cos ' = ;k

f (k k )

q

2 2 k0 ; k2 U (k0 ; k2)= 2 = k0 ; k2
q X

1

n=0

(U n 1 (k k )+ U n 2(k k )): ::: :::

(1.22)

2. Nekotorye predvaritel~nye rezul~taty, kasa wies difrakcionnogo r da

2.1. Vspomogatel~nye funkcii G.
8 > > > > > > > < > > > > > > > :

Izbega rekursii, mo no zapisat~

U n 1 (k k )= :::

A p1 eika F+ + (k)F k0 ;k h 1 ::: F; ; (k) k;k A p2 eika F+ + (k)F k0 ;k h 1 ::: F+ + (k) k;k

; ; (k) :::
i

::: :::

ii

dl qetnyh

n n

; ; (k) :::
i ii

(2.1)

dl neqetnyh


K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI
8 > > > > > > > < > > > > > > > :

U n 2(k k )= :::

::: F+ + A1 e;ika F; p k ;k 0 h ::: F; ;

A2 e;ika F; ; pk +k 0 h

Ka doe vyra enie soder Funkcii (k) opredel

(k)F+ + (k) ::: i ii 1 (k) k;k ::: dl qetnyh n ; (k)F+ + (k) ::: i ii 1 (k) k;k ::: dl neqetnyh n it n par kvadratnyh skobok.
ts kak

265

(2.2)

+ (k)= e;2ika k0 + k

p pk0 ; k

k0 + k ; (k)= e2ika pk ; k 0

p

(2.3)

i voznika t v rezul~tate faktorizacii simvola zadaqi o polupr mo . Ni e budut poluqeny vyra eni dl qlenov difrakcionnogo r da, v kotoryh zavisimost~ ot k i k v nekotorom smysle razdel ets . S to cel~ vvedem vspomogatel~nye funkcii Gn 1 (k) i Gn 2(k), kotorye po svoim svo stvam blizki k funkci m ::: ::: U n 1 (k k ) i U n 2 (k k ), rassmatrivaemym kak funkcii peremen::: ::: no k, odnako ne zavis t ot vtoro peremenno k . Poz e budet poluqeno predstavlenie dl funkci U n v vide line nyh kom::: binaci funkci Gn s racional~nymi ko fficientami. ::: Itak, vvedem vspomogatel~nye funkcii s pomow~ sootnoxeni G1 (k)= G2(k) 1 (2.4) Gn+1(k)= F+ + (k)Gn 2 (k)] (2.5) ::: :::1 n G:::+1(k)= F; ; (k)Gn 1(k)]: (2.6) 2 ::: Indeksaci funkci G stroits tak e, kak indeksaci funkci , t.e. vnizu stoit cepoqka, sosto wa iz qeredu wihs simvolov 1 i 2, opredel wih posledovatel~nost~ i qislo primeneni operatorov F , a vverhu { dlina cepoqki minus 1. Sravnim strukturu funkci U (kak funkci peremenno k) i G. V kaqestve primera voz~mem U 12121 i G12121: eika 1

U

U 12121(k k )= A1 p F F F F k0 ; k + + ; ; + + ; ; k ; k G12121(k)= F+ + F; ; F+ + F; ; ]]]]:

(2.7) (2.8)


Oqevidno, qto dl togo, qtoby vyrazit~ U 12121 qerez G, neobhodimo kakim-libo obrazom izbavit~s ot drobi 1=(k ; k ) pod znakami operatora. Ni e budet predlo ena sootvetstvu wa procedura, opira wa s na nekotorye svo stva operatorov F . V konce dannogo razdela zametim, qto v predlagaemo stat~e my ne budem kasat~s voprosov shodimosti i asimptotiqesko ocenki qlenov r da. Takie ocenki dela ts lementarno s pomow~ deformaci konturov integrirovani i s ispol~zovaniem izvestnyh teorem. Avtor prodelal vs tu rabotu i rad soobwit~, qto mo no vybrat~ k0 s tako mnimo qast~ , qto vse r dy shod ts , a vse formuly spravedlivy. Posle togo sleduet primenit~ obyqnu v teorii difrakcii proceduru analitiqeskogo prodol eni po k0.

266

A. V. XANIN

2.2. lementarnye svo stva operatorov F .

V dannom razdele budut issledovany nekotorye svo stva operatorov F , pozvol wie proizvodit~ neobhodimye manipul cii s difrakcionnym r dom (iskl qenie zavisimosti ot ugla padeni i differencirovanie). Svo stva 1 i 2 oqevidny i privod ts lix~ dl togo, qtoby izbe at~ neponimani v dal~ne xem izlo enii. Pervoe iz nih vyra aet line nost~ operatorov, vtoroe invariantnost~ po otnoxeni k transl ci m vdol~ de stvitel~no osi. Tret~e svo stvo menee oqevidno. Neobhodimo skat~, qto imen-

no na nem postroeny vse dal~ne xie vykladki.

1. Oqevidno, qto F { line nye operatory, t.e. dl proizvol~no konstanty c i proizvol~nyh funkci V (k), V1 (k), V2 (k)

F cV (k)] = cF V (k)]

F V1(k)+ V2 (k)] = F V1 (k)] + F V2(k)]:

Zdes~ my ne obsu daem klass funkci , k kotorym primenimy operatory F . Odnako, net somneni v tom, qto v naxem sluqae vse funkcii \horoxie". to obespeqivaets prisutstviem ksponencial~nyh mno itele .

2. Dl xirokogo klassa funkci V (F V ])0 = F V 0 ]
Dannoe svo stvo mo et byt~ dokazano s pomow~

(2.9) integrirova-


K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

267

ni po qast m:

(F V (k)])0 = 21 i

Z

V ( )d ( ; k2 ) =
Z

= 21 i

V ( )d

1 ;k = 2 i

1

Z

V 0( )d : ;k
i

3. Dl proizvol~nogo k1, ne le awego na konturah V F V F k ; k = k ; V ] + Fk (; kk1) k1 1 1
gde

V = V (k)
(2.10) (2.11)

F (V k1)= 21 i

Z

V ( )d : ; k1

Poslednee svo stvo sleduet iz lementarnogo sootnoxeni

Zametim, vl ets konstanto Uravnenie (2.11) dopuskaet prostu interpretaci . Operator F+ osuwestvl et razlo enie funkcii V na slagaemye V = V+ + V; , regul rnye sootvetstvenno vyxe i ni e kontura + . Popytaems razlo it~ takim e obrazom funkci V=(k ; k1 ). Razlo enie vida

1 1 1 1 ( ; k1 )( ; k) = k ; k1 ; k ; ; k1 : qto veliqina F (V k1) ne zavisit ot k, t.e. po peremenno k.

= k V+k + k V;k k ; k1 ;1 ;1 V

poqti podhodit, odnako odno iz slagaemyh imeet ne elatel~ny pol s v toqke k = k1 . V zavisimosti ot togo, v kako poluploskosti (verhne ili ni ne ) otnositel~no kontura + le it k1, lixni pol s imeet sootvetstvenno pervoe ili vtoroe slagaemoe. Odnako danna oxibka mo et byt~ legko ustranena s pomow~ vyqitani sootvetstvu wego pol sa. Ishod iz togo, spravedlivy formuly

;+ 1 F+ (V k1)= V Vk ()k;)V (k ) (1 +1

k1 k1

le it vyxe kontura + le it ni e kontura + (2.12)


268

it vyxe kontura ; it ni e kontura ; : (2.13) po tomu esli k1 sovpadaet s singul rnost~ V+ ili V; , to v ravenstvah, privedennyh vyxe, neobhodimo brat~ sootvetstvu wi predel.

k1 le ;1 F; (V k1)= ;Vk ()k;)V (k ) V( 1 k1 le ;1 Zametim, qto znaqeni F (::: ) koneqny,

A. V. XANIN

3. Preobrazovanie difrakcionnogo r da
Preobrazuem vyra enie vida (2.7) sledu wim obrazom. Primenim svo stvo (2.10) snaqala k samomu vnutrennemu operatoru, zatem k sledu wemu i t.d., v ka dom sluqae vybira k v kaqestve k1. Pre de qem pere ti k bolee obwemu sluqa , rassmotrim prosto primer. S pomow~ (2.10) preobrazuem qlen U 21: h i ika ika p U 21 = ; p e F+ eika k0 ; kU 2 (k) = ;A2 p e F+ + (k) =

3.1. Predstavlenie qlenov r da v terminah funkci G.

k0 ; k

Zametim, qto qina kotoro opredel ets iz (2.12):

k;k k0 ; k ika G21(k) + F+ ( + k ) : = ;A2 p e (3.1) k;k k0 ; k k ; k F+ ( + k ) est~ konstanta po otnoxeni k k, veli-

F+ (

+ k )= ;G21(k ):

(3.2)

Ispol~zu (3.1), mo no preobrazovat~ sledu wi qlen

U 212

:

;ika ) U 212 = A2 pe F; ; (k) G21(kk ; G21(k ) = ;k k0 + k ;ika fG (k) ; G21(k )G12(k); A2 p e k0 + k(k ; k ) 212 ; G212(k )+ G21(k )G12(k )g:

(3.3)

tot process mo et byt~ prodol en, t.e. qleny mogut byt~ preobrazovany tem e sposobom. Sformuliruem obwi rezul~tat v vide sledu we teoremy:

U 2121, U 21212 :::

sno, qto


Teorema 1. Qleny difrakcionnogo r da U ::: mogut byt~ predstavleny sledu wim obrazom:

K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

269

U

i 2. Verhni indeks est~ dlina cepoqki minus odin. V dannom sluqae trudno neposredstvenno interpretirovat~ taku sistemu indeksov tih veliqin v terminah posledovatel~nosti aktov difrakcii. Indeksy v formule (3.4) stro ts sledu wim obrazom. Pust~ v levo qasti stoit veliqina U 12121. V tom sluqae v pravo qasti sto t proizvedeni g1G12121, g12G2121, g121G121, g1212G21 i g12121G1. Vidno, qto ishodna cepoqka 12121 razbivaets na dve qasti vsemi vozmo nymi sposobami, pri tom posledni indeks pri g i pervy indeks pri G dol ny sovpadat~ (summa dlin qaste okazyvaets na edinicu bol~xe dliny ishodno cepoqki). Otmetim harakterny \svertoqny " vid postroenno summy. Privedem rekurrentnye formuly dl ko fficientov

(3.4) e;ika n;m (k )Gm (k) g U (k k )= (;1) A p :::2 k0 ; k(k ; k ) m=0 ::: gde pervy indeks = 1 2 v cepoqke indeksov libo sovpadaet s poslednim (n qetno), libo ne sovpadaet (n neqetno). Veliqiny n g::: ne zavis t ot k. n Indeksaci veliqin g::: ustroena tak e, kak indeksaci veliqin U i G, t.e. cepoqka sostoit iz qeredu wihs simvolov 1

n :::1 n :::2

ika (k k )= (;1) A p e k0 ; k(k ; k ) n n

X

n

m=0 n X

gn:;:m (k )Gm1 (k) : :::

g1(k )= g2 (k ) 1 gn:+1 (k )= ; ::
X

(3.6) m=0 Pri tom predpolagaets , qto indeksy =1 2 sovpada t pri neqetnom n i ne sovpada t v protivnom sluqae. Doka em po indukcii teoremu 1 i formuly (3.5), (3.6). Bazovoe utver denie (n =0) poluqaem, sravniva (3.4) s (1.17). Predpolo im, qto utver denie (3.4) vypolneno dl kakogo-to n. Ispol~zu to, vyqislim U n:+1 : ::1 n+1 U :::1(k k )=

n

(3.5)

gn:;:m (k )Gm+1 (k ): : :::


270

; = A (p k ; k0

1)n+1eika

n X F+ e;2ika p k0 ; k gn;m (k )Gm2 (k) = ::: k0 + k(k ; k ) m=0 ::: n A (p 1)n+1 eika X gn;m (k )F + (k)Gm2(k) : ; ::: (3.7) + k;k k ; k0 m=0 :::
" #

A. V. XANIN

p

Ka dy qlen v summe mo et byt~ preobrazovan s pomow~ (2.10), qto daet n ; n+1 ika X gn;m (k ) Gm+1 (k) ; Gm+1 (k ) : :::1 :::1 U n+1 (k k )= A (p 1) e :::1 k;k k ; k0 m=0 ::: (3.8) n+1 Sootvetstvu wie vyra eni mo no poluqit~ i dl U :::2 . Dannye formuly podtver da t utver denie (3.4) teoremy 1 i rekurrentnye formuly (3.5){(3.6). Obsudim rezul~tat teoremy 1. Ka dy qlen difrakcionnogo r da zavisit ot k i k . Formula (3.4) predstavl et qleny r da v vide kombinacii funkci odno peremenno : funkcii Gn ::: n zavis t tol~ko ot k, funkcii g::: zavis t tol~ko ot k . n Nekotorye interesnye svo stva ko fficientov g:::(k ) budut issledovany v Prilo enii. Vyxe bylo poluqeno predstavlenie dl ka dogo iz qlenov difrakcionnogo r da. V nasto wem razdele to predstavlenie budet ispol~zovano dl uproweni stuktury vsego r da. Pri tom budet ne vno ispol~zovat~s tot fakt, qto vyra enie (3.4) imeet strukturu diskretno svertki po indeksu. Vypixem difrakcionny r d v forme

3.2. Vyra enie dl summy r da.

U (k k )=

X

qetn n

U n:::1 (k k )+ 1
X

X

+

qetn n

U n:::2 (k k )+ 2

neqet n

U n:::1 (k k )+ 2
X

neqet n

U n:::2(k k ): 1

(3.9)

Vse summy beruts po neotricatel~nym celym n. Primen utver denie teoremy 1 i vynos obwie mno iteli pri razliqnyh G, poluqaem predstavlenie

U (k k )=


gde indeksom ; oboznaqena summa vseh sootvetstvu wih veliqin s cepoqkami, naqina wihs s i konqa wihs , t.e.

1 = k ; k (A1 g1;1(k ) ; A2 g2;1(k )) p (A1 g1;2(k ) ; A2 g2;2(k )) G2;1( k0 G1;1 = G1+G121 +G12121+::: G1;2 = G12 + G2;1 = G21 + g1;1 = g1 + g121 + g12121 + ::: g1;2 = g12 +g1212+g121212+:::

K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

271 ;ika G1;1(k)e ; G1p2(k)e ; p + k0 ; k k0 + k k)eika ; G2p2(k)e;ika ; (3.10) ;k k0 + k
ika

G2;2 = G2+G212 +G21212+::: G1212 + G121212 + ::: G2121 + G212121 + ::: g2;2 = g2 + g212 + g21212 + ::: g2;1 = g21 +g2121+g212121+:::

(3.11) (3.12) (3.13) (3.14)

Svo stva takih summ opisany v Prilo enii. Privedem zdes~ nekotorye iz tih svo stv, neobhodimye dl dal~ne xih preobrazovani difrakcionnogo r da. Iz (P.23){(P.26) sleduet, qto

gde

N (k )

g1;1(k g2;1(k g2;2(k g1;2(k

)= G2;2(k )= ;G2;1(k )= G1;1(k )= ;G1;2(k

)=N (k )=N (k )=N (k )=N (k

) ) ) )

(3.15) (3.16) (3.17) (3.18)

predstavl et sobo opredelitel~

N (k )= G1;1(k ) G2;1(k ) : G1;2(k ) G2;2(k )
Krome togo, v Prilo enii pokazano, qto

(3.19)

N (k ) 1:

(3.20)

Zametim, qto diagramma napravlennosti pol v dal~ne zone p 2 proporcional~na k0 ; k2 U . Ispol~zu opredeleni ko fficientov A1 2, a tak e svo stva (3.15){(3.20), preobrazuem vyra enie (3.10) k vidu

f (k k )

q

2 k0

;

p 2 2 U (k)= i k0 k

2 ; k2 k0 ; k k;k

p

2


272

G1p1(k )e ; k0 ; k

ik a

;ik a p( ) ; G1;2kk +ek 0 G2p1(k )eik a ; G2;p(k )e;ik a ; 2 ; k0 ; k k0 + k ik a G2;2(k)e;ik a ;) ; G2p1(k;ek ; pk + k k0 0 G1p1(k)eik a ; G1;2(k)e;ik ; p k0 ; k k0 + k

A. V. XANIN

a

:

(3.21)

Diagramma napravlennosti okazalas~ vyra enno v vide

gde V i W { nekotorye funkcii. Podobnoe predstavlenie dl difrakcionno kartiny bylo po-vidimomu vpervye vvedeno Vil~ msom 3]. Zametim, qto takoe predstavlenie ne mo et byt~ edinstvennym. L boe preobrazovanie vida

;W f (k k )= V (k)W (k k); k (k)V (k )

(3.22)

V (k)= c1 V (k)+ c2W (k) W (k)= c2 V (k)+ c1 W (k) konstant c1 6= c2 privodit

(3.23) (3.24)

dl proizvol~nyh k predstavleni togo e vida. Kak budet pokazano ni e, pri opredelennom vybore tih konstant formula (3.21) perehodit v formulu Vil~ msa.

4. Differencirovanie difrakcionnogo r da
Formula (3.21) vygl dit dostatoqno privlekatel~no , odnako vyqislenie vhod wih v nee funkci G ; predstavl ets neprosto zadaqe . Do nasto wego momenta my ne predlo ili niqego, krome rekurrsivnogo vyqisleni slagaemyh s pomow~ integral~nyh predstavleni (2.4){(2.6). Ni e my poka em, qto funkcii Gn (k), a tak e ih beskoneq::: nye summy G ; (k) udovletvor t obyknovennym differencial~nym uravneni m s racional~nymi po k ko fficientami. Pri tom por dki differencial~nyh uravneni dl Gn (k) ravny n, ::: a por dok differencial~nyh uravneni dl G ; (k) okazyvaets raven 2.


273 n (k). 4.1. Differencirovanie funkci G::: Budem oboznaqat~ xtrihom differencirovani po k. Primenim sootnoxenie (2.9) k opredeleni funkci G. Poluqim sootnoxenie 0 (Gn:+1 )0 = F+ + Gn:::2]+ F+ + (Gn:::2 )0 ]: (4.1) ::1 +1 Poho ee sootnoxenie mo no poluqit~ i dl (Gn:::2 )0 . Zametim, qto logarifmiqeskie proizvodnye funkci (k) racional~ny po k, inymi slovami, differencirovanie funkci (k) privodit k umno eni ih na racional~nye funkcii:
K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

( (k))0 =

1 2ia 2(k ; k ) 0

1 2(k + k0)

(k):

(4.2)

Vyxe byl opisan sposob izbavleni ot racional~no funkcii pod operatorom F . V kombinacii s sootnoxeniem (4.1) to daet vozmo nost~ predstavit~ (Gn (k))0 v vide line no kombinacii ::: funkci Gm (k) men~xego por dka (m 6 n). Struktura formul, ::: poluqa wihs v rezul~tate neskol~ko slo nee (3.4): Teorema 2. Proizvodnye Gn (k) po k vyra a ts formulami :::

p (Gn::: (k))0 = r ; r ; k ; k ; k m k Gn::: (k)+ +0 0 n n;m mn;m X p ::: + ::: Gm (k): ::: m=0 k ; k0 k + k0 Ko fficienty p m ne zavis t ot k. Indeksaci veliqin p m ustroena tak e, kak indeksaci liqin g. r1 = ia r2 = ;ia p1 = ;1=4 p2 =1=4 m1 =1=4 m2 = ;1=4 pn:;:m F ( Gm k0) ; p F ( Gn k0) : ::: :::

(4.3)

ve-

Privedem rekurrentnye sootnoxeni dl ko fficientov (4.4) (4.5) (4.6) (4.7)

+1 pn::: =

X

n

m=0


274 +1 mn::: =

(4.8) m=0 Znaki v dvuh poslednih formulah zavis t ot : to \+" pri =2 i \;" pri =1. Simvolom oboznaqeny 2 pri =1 i 1 pri =2. Danna teorema legko dokazyvaets po indukcii s ispol~zovaniem sootnoxeni (4.1) i (4.2). Ko fficienty p i m oblada t r dom intersnyh algebraiqeskih svo stv, kotorye izuqa ts v Prilo enii. Obsudim nekotorye neposredstvennye sledstvi Teoremy 2. Pri n =1 uravnenie (4.3) predstavl et sobo neodnorodnoe line noe differencial~noe uravnenie dl G21(k) ili G12(k) s racional~nymi ko fficientami i racional~no pravo qast~ . ti uravneni osta ts spravedlivymi na vse kompleksno ploskosti (v otliqie ot predstavleni (2.5), (2.6), spravedlivyh lix~ vyxe + ili ni e ; sootvetstvenno). Dalee, dl opisani G121 voz~mem uravneni (4.3) dl G121 i G21. Tem samym budet poluqena zamknuta sistema iz dvuh differencial~nyh uravneni . Voobwe, dl ka dogo Gn imeem si::: stemu iz n neodnorodnyh obyknovennyh differencial~nyh uravneni . ta sistema dol na byt~ dopolnena sootvetstvu wimi graniqnymi uslovi mi. Dannye uslovi dol ny vkl qat~ \pravil~noe" povedenie neizvestnyh funkci na beskoneqnosti i v toqkah k0 . Zdes~ my ne stavim pered sobo zadaqu provesti kakie-libo praktiqeskie vyqisleni , po tomu ne razvivaem dalee tu temu. Zametim, qto s ispol~zovaniem teoremy 1 differencial~nye uravneni mogut byt~ poluqeny i dl veliqin U n . :::

X

n

A. V. XANIN

mn:;:m F ( Gm ;k0) ; m F ( Gn ;k0): : ::: :::

4.2. Differencirovanie beskoneqnyh summ. Vyxe byli vvedeny r dy vida G ; (k) (sm. formuly (3.11),

(3.12)). Qerez ti r dy vyra aets difrakcionna kartina dl danno zadaqi. Popytaems vyqislit~ proizvodnye tih r dov. Dl togo ispol~zuem rezul~tat Teoremy 2:

(G ; (k))0 = r ; r ; k p ;1 m ;1 k ; k0 + k + k0 G1; (k)+

; k m k G ; (k)+ ; k0 + 0
p ;2 m ;2 k ; k0 + k + k0 G2; (k)
(4.9)

p


K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

gde veliqiny

p;

V zavisimosti ot znaqeni i , formula (4.9) imeet qetyre \realizacii". ti qetyre uravneni razbiva ts na dve pary (odna iz nih { uravneni dl (G1;1)0 i (G2;1)0 , ka da iz tih par predstavl et sobo sistemy iz dvuh obyknovennyh differencial~nyh uravneni s racional~nymi ko fficientami. Ko fficienty uravneni da ts asimptotiqeskimi r dami (4.10){(4.13), ka dy qlen v kotoryh mo et byt~ vyqislen s pomow~ rekurrentnyh formul, vkl qa wih integral~nye predstavleni . V Prilo enii budut predlo eny neskol~ko bolee prostye formuly dl ko fficientov. Graniqnye uslovi dl tih uravneni predstavl t sobo ograniqeni na povedenie funkci G ; na beskoneqnosti i v osobyh toqkah k0.

m ; vvod ts analogiqno g ; p1;1 = p1 + p121 + p12121 + ::: p2;2 = p2 + p212 + p21212 + ::: p1;2 = p12 + p1212 + p121212 + ::: p2;1 = p21 + p2121 + p212121 + ::: m1;1 = m1 + m121 + m12121 + ::: m2;2 = m2 + m212 + m21212 + ::: m1;2 = m12 + m1212 + m121212 + ::: m2;1 = m21 + m2121 + m212121 + :::
i

275
: (4.10) (4.11) (4.12) (4.13)

4.3. Sv z~ s rezul~tatami, poluqennymi ranee.

Soder anie nasto we stat~i tesno sv zano s rabotami Vil~ msa 3] i Xanina 5], tak e issledu wimi vozmo nost~ predstavit~ rexenie difrakcionno zadaqi kak line nu kombinaci rexeni obyknovennyh differencial~nyh uravneni . V dannom razdele budet predlo ena interpretaci poluqennyh ranee rezul~tatov v terminah, ispol~zuemyh v danno stat~e. Bolee togo, dl neizvestnyh ko fficientov, vhod wih v 3] i 5], budut poluqeny vyra eni v vide asimptotiqeskih r dov. Naqnem s raboty 3]. Rassmotrim funkcii G2;2(k)e;ika G2;1(k)eika

V (k)= G1;2(k0 )

pk + k ; pk ; k + 0 0 ika G1;2(k)e;ik p + G1;1(k0) G1;1(k)e ; p k0 ; k k0 + k

a

(4.14)


276

;ika ika ; p W (k)= G1;1(k0) G2p2(k)e ; G2;1(k)e + k0 + k k0 ; k ika ;ika ; p + G2;1(k0) G1;1(k)e ; G1p2(k)e k0 ; k k0 + k

A. V. XANIN

(4.15)

Stoqnost~ do posto nnogo ko fficienta ti funkcii sovpada t s \fundamental~nymi rexeni mi", vvedennymi Vil~ msom. Zametim, qto V (k)= W (;k), i postroim differencial~noe uravnenie dl V i W . Ispol~zu (4.9), poluqaem v oboznaqeni h Vil~ msa

1 W; V 0 ; ia cosh 2 V + ia sinh 2 W = 2 ;k + kV : 0 (G (k ))2 +(G (k ))2 cosh 2 = (G2;1(k0))2 ; (G1;1(k0))2 2;1 0 1;1 0 ;= ;2(m1;2 + m2;1 ):
1 1

(4.16) ts kak (4.17) (4.18)

to v toqnosti uravnenie iz 3]. Konstanty opredel

Rassmotrim teper~ rezul~taty raboty 5]. Kl qevym utverdeniem to raboty vl ets to, qto funkcii

U + (k )
predstavl odnorodnogo nal~nymi ko Pust~ to

X

n=0

U n 1 (k k ) i U ; (k) :::

X

n=0

U :::2(k k )

t sobo kak funkcii k rexeni odnogo i togo e differencial~nogo uravneni por dka 2 s raciofficientami. uravnenie imeet vid

U 00 = X (k)U 0 + Y (k)U X = D0 =D ) )
0 U+ 0 U;

(4.19)

gde xtrih oboznaqaet differencirovanie po k. V tom sluqae ko fficienty uravneni X i Y vyra a ts v vide (sm. 5]):

Y = E=D (U E = (U
+ ;

(4.20)

gde

DiE

{ opredeliteli

( D = (U U

+ ;

)0 (U )0 ( U

+ ;

)00 : )00

(4.21)


gde

277 Ispol~zu tehniku summirovani difrakcionnogo r da, U + i U ; svod ts k ika C G + C G (k)] (4.22) U + (k k )= p e k0 ; k(k ; k ) 1 1;1 2 2;1 ;ika U ; (k k )= ; p e C G + C G (k)] (4.23) k0 + k(k ; k ) 2 2;2 1 1;2
K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

Ispol~zu teoremy 1 i 2, mo no postroit~ opredeliteli D i v obwem sluqae, odnako oni poluqa ts dostatoqno gromozdkimi. Rassmotrim sluqa normal~nogo padeni k = 0. V tom sluqae vykladki neskol~ko uprowa ts . Rezul~tat est~

C1 = A1 g1;1 ; A2 g2;1

C2 = A1 g1;2 ; A2 g2;2:

(4.24)

E

gde

2 2 42 D = ;2ia(k ; k0 )+ (k02(1 + 2 )p32=;k2+2p1;2 ; 2p2;1) k0 ; k 2 E = 4(k2 ; Q2)7=2 k2 0k

(4.25) (4.26)

2 2 Q =8ia3(k2 ; k0 )3 ; 4a2k0(k2 ; k0 )2 (3 + 2p1;2 +12p2;2 ; 2p2;1); 22 2ia(k2 ; k0 )(k0 (9 ; 4(p1;2)2 +48(p2;2)2 + p2;2(24 ; 16p2;1) ; 8p2;1 ; 4(p2;1)2 +8p1;2(2p2;2 + p2;1))+ k2(;3+ 4(p1;2)2 ; 4p2;1 +4(p2;1)2 +4p1;2(;1+ 2p2;1)))+ 2 k0(1+2p1;2 +4p2;2;2p2;1)(k0 (15;4(p1;2)2 +8p2;2 +16(p2;2)2 ;4p2;1; 4(p2;1)2 +4p1;2(;1+ 2p2;1)) + k2 (;15+4(p1;2)2 +4p2;1+ 4(p2;1)2 +4p1;2(1 + 2p2;1)):

(Razumeets , poslednee vyra enie poluqeno s pomow~ sistemy komp~ terno algebry.) Vid opredelitele D i E tot e, qto i v 5]. Sravniva (4.9) s uravneni mi, poluqennymi v 5], zameqaem, qto rexenie osnovnogo uravneni 5] predstavl ets kak line na kombinaci rexeni uravneni togo e tipa, no bolee prostyh. Tak, novye uravneni soder at men~xe osobyh toqek i na ih rexeni nakladyvaets men~xe ograniqeni . Danny fakt mo et byt~ interpretirovan v terminah raboty 9], odnako ta tema trebuet dal~ne xego issledovani .


278

A. V. XANIN

5. Zakl qenie

V nasto we rabote poluqeny sledu wie osnovnye rezul~taty: { Sformulirovano svo stvo (2.10). Ono ispol~zuets dl uproweni i differencirovani difrakcionnogo r da. to svo stvo pozvol et vyrazit~ qleny difrakcionnogo r da, a tak e ih proizvodnye, qerez vspomogatel~nye funkcii G, ne zavis wie ot ugla padeni . { Pokazano, qto ko fficienty g, p i m udovletvor t neoqevidnym algebraiqeskim sootnoxeni m. Naibolee va nye iz nih { (P.23){(P.26), (P.28){(P.31), (P.32), (P.45). { Poluqeno predstavlenie (3.21) i differencial~nye uravneni (4.9). { Provedeno sravnenie s rezul~tatami rabot 3] i 5]. Poluqeny asimptotiqeskie r dy dl neizvestnyh ko fficientov, vstreqa wihs v tih rabotah. Prixlo vrem skazat~ neskol~ko slov o motivacii danno raboty. Pervye rezul~taty byli poluqeny kak razvitie ide iz 5]. Neobhodimo bylo poluqit~ vyra eni dl D i E , udobnye dl provedeni qislennyh rasqetov. S drugo storony, iz rezul~tatov 5] ne sleduet predstavlenie (3.21), kotoroe znaqitel~no uprowaet vyqisleni , a tak e predstavl ets qastnym sluqaem ves~ma obwego teoretiqeskogo fakta. Neobhodimo priznat~s , qto zadaqa o difrakcii na polose ili weli sama po sebe ne tak u i interesna. Pri tno poluqit~ novye rezul~taty, otnos wies k zadaqe, izuqaemo stol~ prodol itel~noe vrem i stol~ intensivno, odnako ewe pri tnee bylo by sozdat~ tehniku, primenimu k bolee xirokomu krugu zadaq. My nadeems obobwit~ predlo ennye zdes~ metody na sluqa zadaq, svod wihs k rasprostraneni na mnogolistnyh poverhnost h v smysle Zommerfel~da (on rassmatrival difrakci na polupr mo kak zadaqu na dvulistno poverhnosti). V kaqestve primerov takih zadaq privedem dvumernu zadaqu o difrakcii na sisteme iz neskol~kih otrezkov s ideal~nymi graniqnymi uslovi mi, le awih na odno pr mo , a tak e difrakci na ugolke, predstavl wem sobo dva otrezka, soedin wihs pod pr mym uglom. V principe, podhod 5] godits dl takih zadaq, odnako praktiqeskie vyqisleni s pomow~ togo metoda zatrudneny na-


K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

279

liqiem ogromnogo koliqestva neizvestnyh parmetrov i sootvetstvu wih ograniqeni , nakladyvaemyh na rexeni differencial~nyh uravneni . My nadeems poluqit~ dl za vlennyh zadaq predstavleni vida (3.21) i differencial~nye uravneni , shodnye s (4.9).

Prilo enie. Nekotorye svo stva ko fficientov g, p, m n n Ko fficienty g::: pn i m::: byli zadany s pomow~ rekur::: rentnyh formul. V ti formuly vhodili veliqiny F ( Gm , ::: k1), gde k1 moglo byt~ ravnym k0 ili k . Svo stva ko ffici-

entov, takim obrazom, poro da ts svo stvami F -operatorov, a tak e strukturo rekurrentnyh formul. Zdes~ my izuqim tol~ko svo stva, sledu wie tol~ko iz struktury rekurrentnyh form mul. Pri tom veliqiny F ( G::: k1) budem zamen t~ proizvol~nym naborom qisel.

a) Posledovatel~nosti tipa q i tipa h.

n Pust~ f::: { proizvol~ny nabor qisel (ili simvolov) s han rakterno dl difrakcionnogo r da indeksacie (f21 f212 f:::1 i t.d.). Pri tom ne budut ispol~zovat~s simvoly s n =0, t.e. f1 i f2 . Rassmotrim rekurrentnye sootnoxeni dvuh vidov. Posledovatel~nost~, udovletvor wu sootnoxeni m vida

q1 = q2 =1 qn:+1 = ::
X

(P.1)

(P.2) m=0 nazovem posledovatel~nost~ q-tipa, associirovanno s nabon rom f::: . Polo iv, naprimer, f n::: = ;Gn:::(k ) (P.3) poluqim

n

m qn:;:m f::: +1 :

gn:::(k )= qn:::

(P.4)

(sm. (3.5){(3.6)). Pomimo togo primera, ni e budut vvedeny vspomogatel~nye q-posledovatel~nosti, neobhodimye dl vyqisleni p i m. Oni budut associirovany s drugimi naborami f.


280

Posledovatel~nosti drugogo tipa (h-posledovatel~nosti) udovletvor t rekurrentnym sootnoxeni m

A. V. XANIN

h1 =1=2 hn:+1 = ::
X

h2 = ;1=2

(P.5) (P.6)

n

Ko fficienty p i m, otnos wies k teoreme 2, predstavl t sobo posledovatel~nosti h-tipa. De stvitel~no, n pn::: = ; h 2::: (P.7) vtom sluqae, esli posledovatel~nost~ hn associirovana s f n::: = ::: ; F ( Gn:::1 k0) n (P.8) mn::: = h 2:::

m=0

m hn:;:m f::: +1 ; h f n:+1 : : ::

esli h-posledovatel~nost~ associirovana s f n::: = F ( Gn:;:1, : ;k0 ). Rassmotrim primer. Vyqislim ko fficienty q12 q121 q1212, q12121, sledu sootnoxeni m (P.1){(P.2):

q12 = f12 (P.9) q121 = f12f21 + f121 (P.10) q1212 = f12 f21f12 + f121f12 + f12f212 + f1212 (P.11) q12121 = f12f21 f12f21 + f121f12 f21 + f12 f212f21 + f1212f21 + f12 f21f121 + f121f121 + f12f2121 + f12121 (P.12)
Nekotorye iz tih vyra eni mogut byt~ uproweny, odnako my soznatel~no ne delaem togo. Obratims k lementam h-posledovatel~nosti. Sledu pravilam (P.5){(P.6), vypixem vyra eni dl h12121 i h21212:

h12121 = f12f21 f12f21 + f12f212f21 + f1212f21 + f12 f21f121 + f12 f2121 h21212 = ;(f21 f12f21 f12 + f21 f121f12 + f2121f12 + f21f12 f212 + f21 f1212)
(P.13)


281 b) Svo stva beskoneqnyh summ qlenov q- i h-posledovatel~noste .
K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

Vvedem veliqiny

t.e. summa f ; soder it vse slagaemye wimis s i konqa wimis . Zametim, summy (P.14) i (P.17) ne soder at f1 i Krome togo, vvedem summy q ; i h ; (3.14). Ispol~zu rekurrentnye sootnoxeni wie sootnoxeni

f1;1 f1; f2; f2;2

=f 2= 1= =f

121 + f12121 + f1212121 + :::

(P.14) (P.15) (P.16) (P.17)

f f

12 + f1212 + f121212 + ::: 21 + f2121 + f212121 + :::

212 + f21212 + f2121212 + :::

s cepoqkami, naqina qto v otliqie ot (3.11), f2 . po analogii s (3.13) i , legko poluqit~ sledu(P.18) (P.19) (P.20) (P.21)

q1;1f1;1 + q1;1f1;2 q2;1f1;1 q2;1f1;2 +

q1 + + q2

;2f2;1 = q1;1 ; 1

q1;2f2;2 = q1;2 q2;2f2;1 = q2;1 ;2f2;2 = q2;2 ; 1:

Poslednie sootnoxeni mogut byt~ perepisany v matriqno forme i razrexeny otnositel~no q:

q1;1 q1;2 = 1 ; f1;1 ;f1;2 ;1 q2;1 q2;2 ;f2;1 1 ; f2;2 q1;1 = 1 ; f2;2 N 2 q2;1 = fN;1 1 q1;2 = fN;2 q2;2 = 1 ; f1;1 N

(P.22) (P.23) (P.24) (P.25) (P.26)

ili po komponentam


282
gde

ni

; N = 1;ff1;1 1;f1;2 : (P.27) ; f2;2 2;1 Rassmotrim posledovatel~nosti q i h, associirovannye s odn m i tem e naborom f::: .
Legko pokazat~, qto

N

A. V. XANIN

{ opredelitel~

(P.29) (P.30) (P.31) Ispol~zu (P.28){(P.31) i (P.23){(P.26), poluqim va noe todestvo h1;1 = ;h2;2 = f1;2f2;1 : (P.32) Prinima vo vnimanie (P.7) i (P.8), zakl qaem, qto

h2;1 = ;f2;1 q1;1 h1;2 = f1;2 q2;2 h1;1 = f1;2 q2;1 h2;2 = ;f2;1 q1;2 N

(P.28)

m1;1 = ;m2;2 v) Vyqislenie opredelitele N i N . Poka em, qto opredelitel~ N (k), zadanny

p1;1 = ;p2;2

(P.33)

formulo (3.19), to destvenno raven 1. Pre de vsego, poka em, qto on vl ets konstanto (ne zavisit ot k). Zametim, qto formula (3.19) opredel et N kak funkci k , no peremenna k v opredelenii mo et byt~ zamenena na l bo simvol, naprimer, na k. Prodifferenciruem N (k) po k. Primen sootnoxeni (4.3), poluqaem posle lementarnyh preobrazovani (P.34) Prinima vo vnimanie sootnoxeni (P.33), zakl qaem, qto N 0 to destvenno ravno 0, a N (k) { konstanta. Dl opredeleni to konstanty issleduem povedenie opredelitel na beskoneqnosti. Zametim, qto pri bol~xih de stvitel~nyh k vse funkcii Gn (k) pri n > 0 strem ts k nul kak ::: jkj;1. Sledovatel~no, starxi qlen N (k) est~ G1G2 i

+p +m (N (k))0 = p1;1; k 2;2 + m1;1 + k 2;2 (G1;1G2;2 ; G2;1G1;2): k0 k0

G1;1(k)G2;2(k) ; G1;2(k)G2;1(k) 1:

(P.35)


Pere dem k vyqisleni opredelitel N , zadannogo formulo (P.27) i ispol~zuemogo dl vyqisleni ko fficientov m. V kam m; qestve nabora veliqin f vyberem fv::: = F ( Gv::: 1 ;k0). V sootvetstvii so svo stvami operatorov F , m m f:::2 = ;G:::2(;k0 )= ; !;k Gm2 ( ) lim ::: (P.36) 0

K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

283

m f:::1 = !;k ; ( )Gm;1 ( ) ; Gm1 ( )]: lim :::2 ::: 0
Ots da

(P.37)

N = !;k N ( )+ ; ( )(G2;2( )G1;2( ) ; G1;2( )G1;2( ))] 1: lim 0
Prinima qto

(P.38) vo vnimanie formuly (P.23){(P.26), zakl qaem,

Svo stva ko ko fficientov

; m2;1 = ; f2;1(1 2 f2;2 ) ; m1;2 = f1;2(1 2 f1;1) m1;1 = f1;22f2;1 m2;2 = ; f1;22f2;1 : fficientov p mogut byt~ poluqeny m iz sootnoxeni simmetrii: p ; =m ; :

(P.39) (P.40) (P.41) (P.42) iz svo stv (P.43)

g) Dopolnitel~nye svo stva lementov h-posledovatel~noste i koneqnye kombinacii funkci G.
Vyxe bylo pokazano, qto dl summ lementov l posledovatel~nosti vypoln ets to destvo h1;1 = ;h2 zyvaets , spravedlivo i bolee sil~noe utver denie. pri l bom qetnom n hn:::1 = ;hn:::2: 1 2

;2 . Oka-

bo

h

-

Imenno, (P.44)

Avtoru izvestno dokazatel~stvo togo fakta, ono gromozdko i zdes~ ne privodits . Obsudim primenenie togo svo stva.


284

A. V. XANIN

To destva (P.33), sledu wie iz (P.32), ispol~zovalis~ dl dokazatel~stva togo, qto N (k) 1. Opredelitel~ N (k) predstavl et sobo beskoneqnu summu proizvedeni funkci G. Okazyvaets , qto to destvo (P.35) mo et byt~ razbito na beskoneqnu posledovatel~nost~ to destv, soder awih koneqnye summy:

t.e., dl

G1(k)G2 (k) 1 G121(k)G2 (k) ; G21(k)G12 (k)+ G1 (k)G212(k) 0 G12121(k)G2 (k) ; G2121(k)G12(k)+ G121(k)G212(k); G21(k)G1212(k)+ G1(k)G21212(k) 0 l bogo qetnogo n 6=0
X

(P.45) m=0 Dokazatel~stvo lementarno, odnako dostatoqno gromozdko. Ono opiraets na to destva (P.44). To destva vida (P.45) na pervy vzgl d ka uts neo idannymi, odnako suwestvuet ewe odno dokazatel~stvo tih to destv s pomow~ teoremy Liuvill (sm. 5]).

n

(;1)m Gn;m (k)Gm2 (k) 0: ::: :::1

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. V. A. Borovikov, Difrakci na mnogougol~nikah i mnogogrannikah. M., 8. B. Noble, Methods based on the Wiener{Hopf technique. Pergamon Press, 1958.
Nauka, 1966, 456 s.

Literatura P. M. Morse and P. J. Rubenstein, The di raction of waves by ribbons and by slits.Phys. Rev., 54 (1938), 895{898. E. Luneburg, The Sommerfeld problem: methods, generalizations and frustrations. Modern Mathematical Methods in Di raction Problems and their Application in Engineering: Proceedings of the Sommerfeld'sWorkshop, Freudenstadt, 30 Sept. { 4 Oct. 96. (ed. by Meister, E.) Francfurt on Main, 1997. M. H. Williams, Di raction by a nite strip. Quart. J. of Mech. and Appl. Math., 35, No. 1 (1982), 103{124. G. E. Latta, The solution of a class of integral equations.J.Rat. Mech., 5, No. 5 (1956), 821{834. A. V. Shanin, An extension of Wiener{Hopf method: Ordinary di erential equations associated with di raction problems. Proceedings of the international seminar \Day on Di raction'99", S.Pb., June 1{3, pp. 176{182. K. Schwarzschild, Die Beugung und Polarisation des Lichts durch einen Spalt. Math. Ann., 55 (1902), 177.


285 9. R. V. Craster, The solution of a class of free boundary problems. Proc. Roy.Soc. Lond. A, 453 (1997), 607{630.
K ZADAQE O DIFRAKCII NA WELI

Shanin A. V. To the problem of di raction by a strip. Some properties of the Sohwarzschild's sries. The 2D problem of di raction of a plane wave by a strip with ideal boundary conditions is considered. The solution is constructed in the form of di raction series, i.e., the series over the successive acts of scattering by the edges of the slit. The technique of exact transformations of the di raction series is proposed. The embedding formula and the ordinary di erential equations for the far- eld diagram of the eld is obtained.
Moskovski gosudarstvenny universitet Postupilo 20 okt br 2000 g.

shanin@ort.ru