Годовой спецкурс для студентов младших курсов,
а также всех, интересующихся современной геометрией и топологией.
В этом учебном году мы решили поговорить о геометрической теории меры, в частности, о теории потоков.
Классическое представление о поверхности, несмотря на свою наглядность, оказывается технически неудобным
для решения конкретных задач. Например, при доказательстве теорем существования тех или иных оптимальных
поверхностей возникает необходимость в более продвинутом аналитическом аппарате, позволяющем, например,
выполнять предельные переходы в пространствах поверхностей и изучать свойства полученных пределов.
В теории функций такой аппарат возникает при замене классических функций на обобщенные. Это, например,
позволяет придать смысл функции, равной бесконечности в нуле, зануляющейся во всех остальных точках,
но имеющей интеграл, который равен единице (дельта-функция). Также это дает возможность суммировать
расходящиеся (в классическом понимании) ряды, вычислять расходящиеся интегралы и т.д. Такие объекты имеют
многочисленные применения: скажем, в физике так можно моделировать точечную массу.
Теория потоков представляет собой теорию обобщенных функций, перенесенную на случай поверхностей.
С помощью этой теории, например, удалось решить знаменитую проблему Плато, утверждающую, что каждый контур
(замкнутая кривая в пространстве, не имеющая самопересечений) может быть затянута мыльной пленкой
(поверхностью нулевой средней кривизны). Конечно, найденные обобщенные решения могут иметь более сложное
устройство, чем классические регулярные поверхности. Изучение геометрии таких решений, в частности, степени их
регулярности, также является одной из задач теории потоков.
Мы считаем, что слушатели знакомы с началами топологии в рамках курса Наглядная геометрия и топология.
Мы надеемся, что слушатели активно включатся в изучение геометрической теории меры: все ссылки, а также
материалы прочитанных лекций мы будем выкладывать на нашем кафедральном сайте http://dfgm.math.msu.su/
на страничке нашего курса в разделе Спецкурсы. Там же можно скачать наши предыдущие лекции.
Первая лекция в весеннем семестре 2015-2016 учебного года — 19 февраля.
|
