Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-strelkova.pdf Дата изменения: Sat Dec 28 15:52:49 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:45:09 2016 Кодировка: Windows-1251

ФГБОУ ВПО ?МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени МF ВF ЛОМОНОСОВА? ?МЕХАНИКОEМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ?

На правах рукописи

Стрелкова Наталия Павловна
Минимальные сети на поверхностях многогранников

Специальность HIFHIFHR " геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание уч?ной степени кандидата физикоEматематических наук

Научный руководительX дFфFEмFнFD профессор Алексей Августинович Тужилин

МОСКВА " PHIQ


Оглавление
Введение 1 Сети: определения и предварительные результаты 4 11

IFI IFP IFQ IFR IFS IFT

Понятие сетиF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Деформации и перепараметризация сетиF F F F F F F F F F F Обыкновенные сети и сетиEотображения F F F F F F F F F F F Сходящаяся последовательность сетейF F F F F F F F F F F F Виды экстремальных сетейF F F F F F F F F F F F F F F F F F F Критерии локальной минимальности сетей и замкнутые лоE кально минимальные сети на поверхности выпуклых многоE гранников F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Результаты F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PFIFI Устойчивость локально минимальных сетей в проE странствах неположительной кривизны F F F F F F F PFIFP ?Устойчивость? относительно последовательности деформаций F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Устойчивость локально минимальных сетей в пространствах неположительной кривизны в смысле АFДFАлександрова F ?Устойчивость? относительно последовательности деформаE ций F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

F F F F F

II IQ IR IS IT

F F F F F F

IU
19

2

Устойчивость локально минимальных сетей

PFI

IW IW PH PP QH

PFP PFQ
3

Замкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранниках 35

QFI

QFP

Определения и предварительные результаты F F F F F F F F QFIFI МногогранникиD многогранные метрики и разв?рткиF QFIFP Геодезические и многоугольники F F F F F F F F F F F Результаты F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QFPFI Необходимое условие на кривизны вершинF F F F F F QFPFP Реализация плоских графов на многогранниках в виE де минимальных сетейF F F F F F F F F F F F F F F F F QFPFQ Дважды покрытые треугольники F F F F F F F F F F F

F F F F F F

QS QS QV RI RI RP RS

2


QFQ

Минимальные сети на тетраэдрах F F F F F F F F F F F Система разрезовX геометрическое необходимое условиеF Сведение задачи к простым минимальным сетямF F F Факты и гипотезы о существовании минимальных сеE тей на многогранниках F F F F F F F F F F F F F F F F F F QFPFV Физические соображения и тетраэдры с кривизнаE ми { , , 53 , 53 } F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 33 Доказательства теорем про сети на многогранниках F F F F F QFQFI Доказательство леммы QFT о длинах сторон геодезиE ческого многоугольника F F F F F F F F F F F F F F F F F QFQFP Доказательство теоремы PH о многогранникеD на коE тором минимальные сети реализуются как простыеF F QFQFQ Пример многогранника без минимальных сетейD имеE ющего систему разрезов @теорема IVAF F F F F F F F F F QFQFR Доказательство теоремы PI о существовании миниE мальных сетей на почти всех многогранниках с криE визнамиD кратными F F F F F F F F F F F F F F F F F F 3 QFQFS Доказательство теоремы PP о тетраэдрах с кривизнаE ми { , , 53 , 53 }F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 33

QFPFR QFPFS QFPFT QFPFU

RU SH SQ SR SS ST ST SW TH

TR UP
82

Литература

3


Введение
Диссертация посвящена теории экстремальных сетей @это ?разветвл?нE ный? аналог геодезическихA " одному из активно развивающихся разделов геометрии и топологииF Исследуются геометрические свойства замкнутых локально минимальных сетей на поверхностях выпуклых многогранников и задача описания класса выпуклых многогранниковD на поверхности коE торых существуют такие сети @глава QAF При изучении замкнутых локальE но минимальных сетей на многогранниках возник естественный вопрос об устойчивости таких сетейF Ответить на этот вопрос удалось в горазE до большей общности " в диссертации доказана теорема об устойчивости локально минимальных сетей в пространствах неположительной кривизны в смысле АFДF Александрова @глава PAF В дальнейшем замкнутые локальE но минимальные сети на многогранниках мы будемD для краткостиD часто называть просто минимальными сетямиF Сетью мы называем геометрическую реализацию @абстрактногоA графаD тF еF представление вершин графа точками некоторого пространE стваD а ребер " кривымиD соединяющими соответствующие точкиF ЛокальE но минимальные сети представляют собой один из вариантов обобщения понятия геодезической на ?разветвл?нный? случайF А именноD неформальE но говоряD сеть называется локально минимальнойD если любой е? достаE точно малый фрагмент является кратчайшей сетьюF Локально минимальE ные сети с границей в евклидовом пространстве возникают при изучении кратчайших сетей @называемых также минимальными деревьями ШтейE нераAF
Кратчайшие и локально минимальные сети. Поиск кратчайE

шей сетиD соединяющей данное множество точек в некотором пространE стве " одна из классических задач теории экстремальных сетейD смFD наE примерD обзор в PWD U или SF Неформально говоряD речь ид?т о поиске кратчайшей связной системы дорогD соединяющей данные городаD назыE ваемые ?граничными точками? для искомой кратчайшей сетиF При этом дороги не обязаны начинаться и заканчиваться в данных городахD тFеF сиE стема дорог может содержать помимо исходных городов @граничных тоE чекA дополнительные перекр?стки @внутренние вершины сетиAF Задача поE строения кратчайшей сети в Rd D соединяющей данные n точекD является

4


N P Eтрудной для всех d 2Y смF PR или PSF ОчевидноD что кратчайшая сеть не имеет цикловD тFеF является деревомF Несложно доказать следуюE щие локальные свойства кратчайших сетей в евклидовых пространствахX @IA р?бра являются отрезкамиD @PA вершины имеют степень ID P или QD @QA в вершинах степени Q р?бра стыкуются под углами по 120 D а в вершинах степени P " под углами не меньше 120 PTF Эти локальные свойства легE ко проверить для данной сети и легко строить сети с такими свойствамиD но выполнение этих свойств не гарантируетD что сеть является кратчайE шейF Можно утверждать лишьD что сетьD обладающая свойствами @IA!@QAD является локально минимальнойF Существующие алгоритмы точного поE строения кратчайшей сети в Rd основаны на построении всевозможных лоE кально минимальных деревьевD соединяющих данное множество точекD и выборе среди них дерева наименьшей длиныF При этом экспоненциальная сложность этих алгоритмов обусловлена перебором всевозможных комE бинаторных структур локально минимальных деревьевF А для заданной комбинаторной структуры локально минимальное дерево в Rd с данной границей если существуетD то единственно PTD и в случае плоскости его построение может быть выполнено за линейное время с помощью предлоE женного Хвангом алгоритма PVD представляющего собой улучшение алE горитма Мелзака QPF НапримерD для вершин прямоугольникаD изображ?нного на рисF ID существуют две локальE но минимальные сетиF Пунктирная сеть " корочеD она и является кратчайшей сетьюD соединяющей четыре данные точкиF Кратчайшие сетиD а в связи с ними и лоE кально минимальные сетиD возникают в приложеE Рис. 1: Две локально мининиях и активно исследуются не только в Rd D но и в мальные сети, затягивающие других пространствах @смFD напримерD обзор PWAD вершины прямоугольника. в том числе на римановых многообразиях @напримерD смF UA и в пространE ствах ограниченной кривизны в смысле АFДF Александрова QHD IVF Имеет место следующий критерийF
Теорема @смF UD теорема QFIA. Сеть на римановом многообразии ло-

кально минимальна тогда и только тогдаD когда она @возможноD после перепараметризацииA удовлетворяет следующим условиям X ћ все ребра геодезическиеD ћ углы между соседними ребрами не меньше 120 D ћ все вершины степени 1 граничныеD ћ во всех внутренних вершинах степени 2 угол между ребрами равен 180 .

5


В статье R показаноD что те же самые условияD за исключением четE вертогоD необходимы для локальной минимальности сети в пространствах АF ДF Александрова ограниченной кривизныF
Устойчивость локально минимальных сетей. В главе P дисE

сертации доказывается устойчивость локально минимальных сетей в проE странствах АFДF Александрова неположительной кривизныF Так жеD как и в случае геодезическихD локально минимальная сеть вообще говоря может допускать глобальную деформациюD уменьшающую ее длину @пример " некратчайшая геодезическая на сфереAF Однако известноD что на римаE новых многообразиях неположительной секционной кривизны @и вообще в пространствах АF ДF Александрова неположительной кривизныA длина геоE дезической не может быть уменьшена никакой деформациейF Мы докажемD что тем же самым свойством во всех пространствах АF ДF Александрова неположительной кривизны обладают и локально минимальные сетиF Этот результатD с одной стороныD обобщает соответствующие результаты о геодеE зических в таких пространствахD с другой стороныD тесно связан с теоремой о единственности локально минимальных сетей на римановых многообE разиях отрицательной секционной кривизныD доказанной Прониным IHF В случае евклидовой плоскости результатD аналогичный доказываемому в диссертацииD был установлен в TF Помимо рассматривавшихся Прониным IH параметрических деE формацийD сохраняющих комбинаторную структуру сетиD мы будем расE сматривать и деформацииD в процессе которых комбинаторная структура может менятьсяD и докажемD что у локально минимальной сети в пространE стве АF ДF Александрова неположительной кривизны существует окрестE ностьD в которой ее нельзя укоротить и деформациями этого второго видаF Отсюда вытекаетD что в пространстве АF ДF Александрова неположительE ной кривизны всякое локально минимальное дерево является кратчайшим среди сетейD содержащихся в некоторой его малой односвязной окрестноE стиF
Замкнутые локальные минимальные сети. Главная цель дисE

сертации " изучение свойств замкнутых локально минимальных сетей на поверхностях выпуклых многогранниковF Слово ?замкнутая? в этом наE звании имеет тот же смыслD что и в словосочетании ?замкнутая геодеE зическая?D тFеF в отличие от кратчайших сетей и произвольных локально минимальных сетейD рассматривавшихся в главе PD замкнутая локально минимальная сеть не имеет граничных точекF Из цитировавшегося выше критерия локальной минимальности сети на римановом многообразии выE текаетD что замкнутая локально минимальная сеть на многообразии @а так же и на поверхности выпуклого многогранникаA " это сетьD все вершины

6


которой имеют степень QD а р?бра являются геодезическими и стыкуются в вершинах под углами ровно в IPH градусовF Замкнутые локально минимальные сети на сфере возникают при изучении особенностей мыльных пл?нокF А именноD при доказательстве принципов ПлатоD описывающих эти особенности QRD используется класE сификация замкнутых локально минимальных сетей на сфереD представляE ющая собой часть классификации ?геодезических сетей с одинаково устроE енными вершинами? на сфереD сделанной в работе PUF Помимо сферыD замкнутые локально минимальные сети были класE сифицированы на поверхностях плоских торов IRF С помощью двулистE ных накрытий классификация сетей со сферы и плоских торов переносится на проективную плоскость VD поверхности равногранных тетраэдров IS и на бутылки Клейна с плоской метрикой VF Известны также примеры замкнутых локально минимальных сетей на поверхностях постоянной отE рицательной кривизны и на правильных многогранниках @поверхностях платоновых телA VF Результаты главы P показываютD что замкнутая локально минимальE ная сеть на поверхности выпуклого многогранника имеет следующий фиE зический смыслF Е? можно представлять себе как сетьD сделанную из элаE стичного материалаD допускающего расщепления в вершинахD и натянутую на многогранник такD что она ?не соскальзывает? с его поверхностиF Результаты о свойствах замкнутых локально минимальных сетей на произвольных выпуклых многогранникахD полученные в диссертацииD являютсяD с одной стороныD продолжением исследования таких сетей в локально плоских пространствахF С другой стороныD рассматриваемая заE дача является обобщением задачи о замкнутых геодезических и квазигеоE дезических на выпуклых поверхностях PD IID PQF ОтметимD что один из основных вопросовD рассматриваемых в дисE сертации " о существовании замкнутой минимальной сети на данном мноE гограннике " открыт уже в случаеD когда в качестве замкнутой локально минимальной сети рассматривается замкнутая геодезическаяD а в качестве многогранника " @неравногранныйA тетраэдр IQF С комбинаторной точки зрения замкнутая локально минимальная сеть на выпуклом многограннике представляет собой QEвалентный плоский графD все грани которого не более чем шестиугольныеF Существует богаE тая литератураD посвящ?нная изучению @с комбинаторной точки зренияA таких графов на сфереD и двойственных к ним графовD тFеF триангуляций сферыD а также вложений различных регулярных @тFеF с заданными ограE ничениями на степени вершин и гранейA графов в другие поверхностиD смF например IWD PHF Интерес к этой теме связан в том числе и с большим числом приложений в химииD кристаллографии и других естественных наE

7


укахF Упомянем один из наиболее популярных случаевX QEвалентные графы на сфереD имеющие только пятиE и шестиугольные граниD в химии назыE ваются фуллеренами и используются для моделирования молекулярных структур PPF Для нас интересноD что при изучении и классификации @с комбиE наторной точки зренияA вложений регулярных графов в поверхности чаE сто используются различные геометрические реализации таких графовF НапримерD Т?рстон QS для классификации комбинаторных триангуляций сферы использует локально плоские комплексыD склеенные из одинаковых правильных треугольников по правиламD задаваемым данной триангуляE цией сферыD и в результате параметризует триангуляции сферы наборами из PH целых чиселF Целый ряд параметризаций регулярных графов @в том числе обобщения идей Т?рстонаA описаны в работе PIF А упоминавшаяся выше классификация замкнутых локально минимальных сетей на плоских торах почти ничем не отличается от комбинаторной классификации влоE жений QEвалентных TEрегулярных @тFеF только с шестиугольными гранямиA графов в торD сделанной независимо в IT и QQX любой такой граф может быть реализован как замкнутая локально минимальная сеть на некотором плоском тореD только в случае сетей появляется вопрос о томD на каких именно @с точки зрения метрикиA плоских торах реализуется минимальE ная сеть данной комбинаторной структурыF В диссертации рассмотрена задача о реализации плоских графов как замкнутых локально минимальных сетей на выпуклых многогранниках и полностью описаны всевозможные комбинаторные структуры и длины р?берD которые может иметь такая сетьF В частном случаеD когда все р?бра сети имеют одну и ту же длинуD замнутые локально минимальные сети двойственны триангуляциям выE пуклых многогранников на правильные треугольникиD рассматривавшимE ся Т?рстоном QSF СущественноD что изучение минимальных сетей не своE дится к изучению таких триангуляцийD в частности потомуD что на мноE гограннике может существовать минимальная сетьD но не существовать минимальной сети с равными длинами р?берF
Структура работы.

Работа состоит из введенияD тр?х глав и списка литературыF В первой главе вводятся понятия сетиD локально минимальной сети и формулируются предварительные результатыD необходимые для работы с этими объектамиF Вторая глава посвящена локально минимальным сетям в пространE ствах АFДF Александрова неположительной кривизныF В разделе PFI сфорE мулированы и прокомментированы две теоремы об устойчивости локально

8


минимальных сетей в этих пространствахD а в разделе PFP приведены доE казательства этих двух теоремF Третья глава посвящена замкнутым локально минимальным сетям на поверхностях выпуклых многогранниковD которые мы для краткости называем минимальными сетямиF В разделе QFI даются определения и предварительные результатыD необходимые для работы с внутренней геоE метрией на поверхности выпуклых многогранниковF В разделе QFP формулируются все результаты третьей главыF Там же приводятся комментарии и короткие доказательстваF Более длинные доказательства вынесены в раздел QFQF Библиография содержит QW наименованийF Текст диссертации излоE жен на VR страницахF
Список основных результатов.

Результаты диссертации являются новымиF В диссертации получены следующие основные результатыF IF Доказана устойчивость локально минимальных сетей в пространствах Александрова неположительной кривизны @теорема QAF PF Получено новое необходимое условие существования замкнутой лоE кально минимальной сети на многогранникеF ПоказаноD что это услоE вие сильнее известного ранее необходимого условияD но поEпрежнему не является достаточным @теоремы IUD IVD IWAF QF Описаны всевозможные комбинаторые структуры и длины р?бер миE нимальных сетей на выпуклых многогранниках @теоремы U и VAF RF Доказано существование простых замкнутых локально минимальных сетей на открытом всюду плотном подмножестве пространства выE пуклых многогранников с кривизнами вершинD кратными TH градусам @теорема PIAF Для краткого знакомства с результатами диссертации предназначеE ны разделы PFI и QFPF
Методы исследования.

В диссертации применяются методы геометрии и топологииF ИсE пользуется техника работы с внутренней геометрией на поверхности выE пуклых многогранников и методы теории пространств АFДF Александрова неположительной кривизныF Автором диссертации вводится новый подход к исследованию заE мкнутых локально минимальных сетей на выпуклых многогранникахD основанный на рассмотрении системы разрезов и применении теорем АFДF Александрова о выпуклых многогранникахF

9


Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференцияхX

ћ семинаре ?Современные геометрические методы? под руководством акадF АFТF ФоменкоD профF АFСF МищенкоD профF АFВF БолсиноваD доцF АFАF ОшемковаD доцF ЕFАF Кудрявцевой @МГУD II ноября PHHW годаA ћ на международной конференции ?Метрическая геометрия поверхноE стей и многогранников?D посвященная IHHEлетию со дня рождения НFВF ЕфимоваD @МоскваD PH августа PHIH годаA ћ на Международной научной конференции студентовD аспирантов и моE лодых ученых ?ЛомоносовEPHII? @МГУD IP апреля PHII годаA ћ на семинаре ?Узлы и теория представлений? под руководством ВFОF МантуроваD ДFПF ИльюткоD ИFМF Никонова @МГУD IQ декабря PHII годаA ћ на научной конференции ?Ломоносовские чтения? @МГУD IT ноября PHII годаA ћ на семинаре ?По геометрии в целом? под руководством профF ИFХF СаE битова @МГУD PH апреля PHIP годаA ћ на международной конференции ?Александровские чтения? @МГУD PQ мая PHIP годаA ћ на семинаре летней школы Международной лаборатории ?Дискретная и вычислительная геометрия? имF БFНF Делоне @Ярославль!Красный холмD QH июля PHIP годаA ћ семинаре ?Дифференциальная геометрия и приложения? под руководE ством академика АFТF Фоменко @МГУD II марта PHIQ годаA ћ на семинаре ?Экстремальные сети? под руководством профессора АFОF Иванова и профессора АFАF Тужилина @МГУD PHHV!PHIQ ггFA
Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах QT" QWD из них первые три " в журналах из перечня ВАКF
Благодарности.

Автор благодарит своего научного руководителяD профессора АF АF ТужилинаD и профессора АF ОF Иванова за постановку задачиD постоE янную поддержку и внимание к работеD а также весь коллектив кафедры дифференциальной геометрии и приложений за т?плую атмосферу и конE структивные обсужденияF

10


Глава 1 Сети: определения и предварительные результаты
1.1 Понятие сети.

Любая из наших сетей выглядит просто как объединение конечного числа спрямляемых кривыхD и часто бывает удобно представлять сеть именно как конечное семейство кривыхF
Определение. Обыкновенной сетью будем называть объединение обраE

зов конечного семейства вложенных спрямляемых кривыхD попарно не имеющих общих точекD за исключением общих концовF Кривые будем наE зывать р?брами сетиD а их концы " вершинами сетиF Сети соответствуE ет (абстрактный) граф G = (V , E )D в котором р?бра из E соответствуют кривымD задающим сетьD а вершины из V соответствуют концам кривыхF Такой граф G мы называем типом сети F Обыкновенная сеть " это мноE жество точекD тFеF сетиD отличающиеся заменой параметра на кривойD а также добавлением или удалением вершин степени PD мы не различаемF Такое простейшее определение сети будет использоваться при рабоE те с минимальными сетями на многогранниках во всех разделах главы QD кроме раздела QFQFSF Интуитивно таким образом определ?нная сеть " это картинкаD нарисованная на какойEто поверхностиF Тип сети @абстрактный графA однозначно определяется по картинке @объединению образов семейE ства кривыхA только в том случаеD если мы предполагаемD что кривые пересекаются друг с другом только в общих концахD не имеют самопеE ресеченийD в сети нет вершин степени P и вырожденных кривых @тождеE ственно отображающих отрезок в точкуAF Но вообще говоряD одно и то же множество точек можно представлять как объединение разных семейств кривыхF Иногда сетиD одинаковые как множества точекD хочется считать одинаковымиD иногда " различнымиF НапримерD можно представить сеE бе сетьD сделанную из нескольких эластичных нитейF Перемещая концы нитейD можно деформировать сетьD и в какойEто момент могут возникнуть

11


самопересечения сетиD или могут совпасть два ребра сети " две нити могут идти параллельно рядом друг с другомF С точки зрения картинки вместо двух р?бер мы получили одноF С точки зрения сетиD сотканной из нитей " имеется поEпрежнему два ребраD и при малой деформации сети их снова можно будет различитьF Во второй главе и разделе QFQFS мы будем работать с непрерывными деформациями сетиD и потому нам будет удобнее рассматривать сеть как геометрическую реализацию некоторого графаD тFеF считатьD что прежде всего задан абстрактный графD а затем этот граф отображается в некотоE рое пространствоF Здесь возникает необходимость говорить о параметриE зующем графе сетиD перепараметризации сети и тFдF Один из возможных подходов к работе с этими понятиями " теория так называемых сетейE следов " был разработан Ивановым и ТужилинымD смF например VF Мы частично заимствуем их терминологиюD но вводим также и свои определеE нияF
Сеть как отображение. Пусть дан граф G @по умолчанию " связE

ныйD возможно " с кратными ребрами и петлямиAF Для каждого его ребра рассмотрим отрезокD а затем рассмотрим топологическое пространство TG D полученное из дизъюнктного объединения этих отрезков отождествлением их концов в соответствии со структурой графа GF Пространство TG мы буE дем называть топологическим графомD отрезки " ребрамиD а их концы " вершинами топологического графаF Сетью типа G в пространстве X мы будем называть произвольE ное непрерывное отображение : TG X F Граф G будем называть параметризующим графом сети F Образ отображения будем обозначать через Im()F Ограничение отображения на вершины и ребра графа буE дем называть вершинами и ребрами сетиF Таким образомD каждое ребро " это некоторая криваяF Мы не будем различать сетиD отличающиеся моноE тонной заменой параметра на одном или нескольких ребрах сетиF Будем рассматривать лишь сетиD в которых все ребра " спрямляемые кривыеF Длиной () сети будем называть сумму длин всех ее реберF Сети часто возникают в задачах следующего типаX дано конечное множество точекD требуется найти сетьD соединяющую это множество точек и обладающую некоторыми свойствамиD напримерD имеющую наименьшую возможную длинуF Возникает необходимость рассматривать класс сетейD проходящих через данное множество точекD и в связи с этим полезно слеE дующее понятиеF Сеть с границей " это сетьD в параметризующем графе которой фиксировано некоторое подмножество вершинD называемых граничнымиF Изоморфизмом между двумя @абстрактнымиA графами будем называть биекцию между множествами их вершин при условииD что две вершины в одном графе соединены ребром тогда и только тогдаD когда

12


их образы соединены ребром во втором графеF Две сети с границей имеют один типD если существует изоморфизм между их параметризующими графамиD сохраняющий множество граничных вершин и такойD что образы соответствующих граничных вершин обеих сетей совпадаютF Все сети мы будем рассматривать как сети с границейD допускаяD что граница может быть пустойF
1.2 Деформации и перепараметризация сети.

Параметрической деформацией сети @с границейA будем называть сеE мейство сетей t = D(ћ, t)D t [0, t0 ]D где 0 = и D : TG Ч [0, t0 ] X " произвольное непрерывное отображениеD постоянное по t на границе граE фаD тF еF точка D(v , t)D где v " граничная вершинаD не зависит от tF ЯсноD что все сети t будут сетями того же типаD что и D и с той же границейF Параметрические деформации можно определить и для обыкновенE ных сетейD не переходя к сетямEотображениямF Нам понадобится это опреE деление в разделе QFPFQF Параметрической деформацией обыкновенной сеE ти типа G будем называть семейство обыкновенных сетей t , t [0, t0 ] того же типа G такоеD что 0 = и для каждого ребра a графа G семейE ство соответствующих кривых t (a) является непрерывной деформацией кривой 0 (a)D тFеF ребра сети F Кроме параметрическихD нам понадобятся и более общие деформаE ции сетейD при которых тип сети может менятьсяF ВоEпервыхD определим операцию подразбиения ребраF Заменим в графе G любое ребро ab на пару ребер ac, cbD добавив новую внутреннюю вершину c степени PD и полученный граф обозначим через G F ЗаметимD что TG = TG @как топологические пространстваD тF еF равенство означает гомеоE морфизмAF Поэтому любую сеть : TG X типа G можно рассматривать как сеть типа G D и наоборотF Такая замена параметризующего графа сети в дальнейшем будет называться подразбиением ребраF Теперь введем понятие перепараметризации. Пусть : TG X D H " связный подграф в GD причем все ребра графа H реализованы в сеE ти точечными кривымиD тF еF образ всего подграфа TH " одна точкаF Рассмотрим факторEграф G/H D соответствующий топологический граф и стандартную проекцию : TG TG/H = TG /TH и определим сеть G/H как факторEотображение G/H : TG /TH X D тF еF G/H ( (x)) = (x) для любого x TG F Граница факторEграфа определяется как Eобраз границы исходного графаF Мы будем говоритьD что две сети отличаются на перепараметризациюD если они либо получаются одна из другой описанной опеE рацией @так жеD как G/H получилась из AD либо могут быть соединены конечной цепочкой сетейD в которой каждые две соседние сети получаются

13


одна из другой такой операцией или операцией подразбиения ребраF При перепараметризации образ сети не меняется " мы меняем лишь прообразы образов вершин сетиD коеEгде добавляяD а коеEгде удаляя ребра нулевой длины @вырожденныеAF С помощью перепараметризации всегда можно избавиться от вырожденных реберF ОтметимD что в V для класE са сетейD отличающихся лишь перепараметризациейD используется термин сеть-следY нам он не понадобитсяF Деформацией сети всюду ниже мы будем называть параметричеE скую деформацию любой сетиD полученной из данной сети перепараметE ризациейF Мы будем говоритьD что к сети применили последовательность деформацийD если была выполнена конечная последовательность перепараE метризаций и параметрических деформацийF Пусть : [a, b] TG " некоторый путьF Тогда путь : [a, b] Im() будем называть путем в сети F Если путь " вложенный @тFеF соответствующее отображение инъективноAD то путь будем называть простымF Если путь " замкнутыйD то путь будем называть циклом в сети F Если (a) и (b) " граничные вершины топологического графаD то путь будем называть граничнымF Нам понадобится следующая леммаD непосредственно вытекающая из определенийF

деформацийD то для любого цикла или граничного пути в первой сети найдется гомотопный ему цикл или граничный путь во второй сети.
1.3 Обыкновенные сети и сети-отображения

Лемма 1.1. Если одна сеть получена из другой последовательностью

Сеть будем называть несамопересекающейсяD если прообраз любой точки x Im() при соответствующем отображении : TG X " это либо одна точкаD либо связный подграф в TG @тF еF TH для некоторого связного подграфа H GAF Если отображение : TG X биективноD сеть будем называть вложеннойF ЯсноD что любой обыкновенной сети однозначно @с точностью до монотонной замены параметров на р?брахA соответствует вложенная сетьF ОбратноD любой несамопересекающейся сети @сетиEотображениюA можно однозначно поставить в соответствие обыкновенную сетьD при этом соотE ветствующая этой обыкновенной сети вложенная сеть будет отличаться от исходной несамопересекающейся сети на перепараметризациюF ВообщеD сетямD отличающимся на перепараметризациюD соответствует одна и та же обыкновенная сетьF

14


Если в самопересекающейся сети число точек пересечения конечноD то ей тоже однозначно соответствует обыкновенная сетьD однако в этом случае при переходе к обыкновенной сетиD разумеетсяD теряется информаE ция " о томD какие ?нити? и как были соединены в сетиEотображенииF Таким образомD при работе с вложенными сетями неважноD как отE носиться к сети " как к отображению или как к обыкновенной сетиD тFеF множеству точекF И мы в таких случаях @во всей главе QD за исключениE ем раздела QFQFSA не будем определять отображения и будем использовать определение обыкновенной сетиF
1.4 Сходящаяся последовательность сетей.

Мы будем говоритьD что последовательность сетей n одного типа в метE рическом пространстве (X, d) сходится к сети того же типаD если можно выбрать параметризации ребер этих сетей такD что отображения n : TG X сходятся к отображению : TG X в равномерной метрикеD тF еF supxTG d(n (x), (x)) стремится к нулю при n F

странстве X D причем длины сетей ограничены сверху некоторой константойD а образы сетей содержатся в некотором фиксированном компакте K . Тогда можно выбрать сходящуюся подпоследовательность nk D причем длина предельной сети не превосходит lim inf k (nk ). Доказательство. Параметризуем каждое ребро каждой сети отрезком [0, 1] пропорционально натуральному параметруF В склеенном из отрезE ков пространстве TG рассмотрим естественную метрикуF Получаем семейE ство отображений n из метрического компакта TG в метрический комE пакт K F Из ограниченности длины сетей следует ограниченность длин реE берD и потому семейство отображений будет равностепенно непрерывнымD а значит из этого семейства можно выбрать сходящуюся подпоследоваE тельность @это следствие обобщенной теоремы АрцелаD смF WD глF PD UD теорF UY VD теорF IAD причем для длины предельной сети выполнена укаE занная в теореме оценкаD тFкF соответствующая оценка верна для каждого ребра сети WD глF PD VD теорF PF
Лемма 1.3. Если последовательность сетей n сходится к сети в ло-

Лемма 1.2. Пусть n последовательность сетей одного типа в про-

кально односвязном метрическом пространстве X с внутренней метрикойD то для любого > 0 существует n0 такоеD что при n > n0 сеть n можно получить из сети параметрической деформацией внутри B ().

15


Доказательство. Рассмотрим такое > 0D что для любой точки x Im() шар B2 (x) односвязен @это возможно в силу локальной односвязности проE странства и компактности Im()AF Рассмотрим n0 такоеD что для n > n0 сеть n : TG X удовлетворяет неравенству supuTG d(n (u), (u)) < @смF определение сходящейся последовательности вышеAF Выберем конечE ную систему точек {ui } TG D содержащую все вершины графа и такуюD что для любых двух соседних точек ui и uj выполнено (n (ui uj )) < и ((ui uj )) < D где через ui uj обозначен участок ребра топологичеE ского графаD заключенный между выбранными точкамиF В силу выбора n > n0 для каждого i существует путь i длины не более и такойD что i (0) = (ui )D i (1) = n (ui )F ИтакD если ui D uj " соседниеD то каждый из путей i D n (ui uj )D j D (ui uj ) не длиннее D а значитD все они содержатся в шаре B2 ((ui ))F Этот шар односвязен по предположениюD значитD сущеE ij ij ствует гомотопия t : [0, 1] B2 ((ui )), t [0, 1] кривой 0 = (ui uj ) в ij ij ij кривую 1 = n (ui uj ) такаяD что t (0) = i (t)D t (1) = j (t)F Выполнив такую гомотопию одновременно для всех участков сети D заключенных между соседними отмеченными точкамиD мы получим параметрическую деформацию сети в сеть n @внутри B2 ()AD что и требовалосьF
1.5 Виды экстремальных сетей.

Кратчайшие сети. Кратчайшей сетью для некоторого множества точек

M X называется связная сеть D соединяющая множество M @тF еF M Im()AD если не длиннее любой связной сетиD соединяющей M F Локально минимальные сети.Локально минимальная сеть " этоD неформально говоряD сетьD любая достаточно малая часть которой явE ляется кратчайшей сетью для своей естественной границыF Для аккуратE ного определения нам понадобится понятие локальной сетиF Пусть TG " топологический графD P TG " данная точкаF Пусть U " окрестность точки P в топологическом графеD не содержащая петель и вершин граE фа TG D за исключением точки P @если P " вершинаAF Эта окрестность естественным образом наделяется структурой топологического графаD коE торый мы будем называть локальным графом в точке P и обозначать через GU F Его граница по определению равна GU = U ( TG {P })D где чеE рез TG обозначена граница графа TG F Локальной сетью в данной точке P TG называется ограничение сети на локальный графD с соответствуюE щей границейF Для данной сети рассмотрим параметризациюD в которой нет ребер нулевой длиныD и обозначим параметризующий топологический граф через TG F Если для любой точки в графе TG найдется локальная сетьD которая является кратчайшейD то сеть называется локально минималь-

16


нойF В диссертации будут рассматриваться только несамопересекающиеся локально минимальные сетиF -окрестность множества и устойчивые сети. Через B (M ) буE дем обозначать замкнутую Eокрестность множества M X в смысле внутренней метрики пространства X D тF еF множество точекD которые можE но соединить с точками множества M путем длины не более F Если " сетьD то положим B () = B (Im())F Сеть мы будем называть -устойчивойD если любая сетьD полуE ченная из деформацией внутри B ()D имеет не меньшую длинуD чем сеть F При замене слов ?не меньшую? на слово ?большую? получается определение строго -устойчивой сетиF Сеть @строгоA устойчиваD если она @строгоA Eустойчива для некоторого > 0F
1.6 Критерии локальной минимальности сетей и замкнутые локально минимальные сети на поверхности выпуклых многогранников
Теорема 1 @смF UD теорема QFIA. Сеть на римановом многообразии

локально минимальна тогда и только тогдаD когда она @возможноD после перепараметризацииA удовлетворяет следующим условиям X ћ все р?бра геодезическиеD ћ углы между соседними р?брами не меньше 120 D ћ все вершины степени 1 граничныеD ћ во всех внутренних вершинах степени 2 угол между р?брами равен 180 .
В статье R показаноD что те же самые условияD за исключением четE вертогоD необходимы для локальной минимальности сети в пространствах АF ДF Александрова ограниченной кривизныF Сеть называется замкнутойD если е? граница пустаF Замкнутая лоE кально минимальная сетьD очевидноD не может иметь вершин степени IF Легко проверитьD что сеть не может проходить через вершины выпуклого многогранникаD и имеет место следующий критерийF

гогранника является замкнутой локально минимальной тогда и только тогда, когда ћ все р?бра геодезические, ћ каждая вершина имеет степень 2 или 3, ћ угол между смежными р?брами в вершинах степени 3 равен 120 , а в вершинах степени 2 180 .

Теорема 2 @VD теорF SFQHD слF SFRIA. Сеть на поверхности выпуклого мно-

17


Хотя замкнутые геодезические естественно считать частным случаE ем минимальных сетейD мы будем рассматривать лишь сетиD отличные от замкнутой геодезическойF Мы будем называть замкнутые локально миниE мальные сети на многогранниках кратко минимальными сетямиF Всюду будем считатьD что вершин степени P в минимальной сети нетF ЯсноD что это не ограничивает общностиF В разделе QFIFP мы подробно обсудимD как устроены геодезические на поверхности выпуклого многогранникаF Дополнение к образу минимальной сети на многограннике состоит из нескольких компонет связностиD которые мы будем называть ячейками сетиF
Определение. Минимальную сеть будем называть простойD если каждая

е? ячейка содержит не более одной вершины многогранникаF Остальные минимальные сети будем называть непростымиF Мы будем говоритьD что две сети 1 , 2 в пространствах X1 D X2 гомеоморфныD если существует гомеоморфизм пространств X1 и X2 D перевоE дящий сети друг в другаF Если длины соответствующих при гомеоморфизE ме р?бер двух сетей одинаковыD то две сети будем называть изометричнымиF Здесь для обыкновенных сетей слова переводящий сети друг в друга понять совсем легко " два множества переходят друг в друга при гомеоE морфизмеF В случае сетейEотображений речь ид?т о томD что 1 : TG X1 D 2 : TG X2 и гомеоморфизм h : X1 X2 таковD что 2 = h 1 F Плоский граф " это вложенная сеть на сфереD рассматриваемая с точностью до гомеоморфизма сферыF Ячейкам сети соответствуют грани плоского графаF Будем говоритьD что сеть на многограннике реализует плоский граф GD если она является представителем этого плоского графа как класса гомеоморфных сетейF Взвешенным графом (G, w) будем называть паруD состоящую из граE фа G = (V , E ) и положительной весовой функции на множестве его р?бер w : E R+ F

18


Глава 2 Устойчивость локально минимальных сетей
Определения устойчивости и локальной минимальности сетей были сфорE мулированы в разделе IFSF
2.1
2.1.1

Результаты
Устойчивость локально минимальных сетей в пространствах неположительной кривизны

Всякая устойчивая сеть в локально односвязном метрическом пространE стве является локально минимальной @это легко доказатьD кроме тогоD это тривиальное следствие теоремы RD которая будет сформулирована в разE деле PFIFP и доказана в разделе PFQAF Обратное утверждение в общем слуE чае неверноD напримерD всякая некратчайшая геодезическая на сфере не устойчиваF Мы докажемD что в пространстве неположительной кривизны в смысле АF ДF Александрова всякая локально минимальная сеть устойчиваF Слова ?в смысле АF ДF Александрова? мы будем для краткости опускатьF Определение таких пространств можно найти в книге QD некоторые их свойства мы сформулируем в разделе PFPF ОтметимD что класс пространств неположительной кривизны содержитD в частностиD римановы многообраE зия неположительной секционной кривизныD в том числе евклидовы проE странства и локально евклидовы многообразияF
Теорема 3. Локально минимальная сеть в полном пространстве непо-

ложительной кривизны -устойчиваD а в пространстве строго отрицательной кривизны строго -устойчива. Локально минимальное дерево строго -устойчиво в любом пространстве неположительной кривизны.
Этот результат можно рассматривать как обобщение аналогичного факта для геодезических в пространствах неположительной кривизныD смF леммы в начале раздела PFPF

19


Пронин IH в случае полных римановых многообразий строго отриE цательной кривизны доказалD что среди сетейD получающихся параметриE ческой деформацией из данной сетиD существует не более одной локально минимальнойF Наше доказательство теоремы Q очень во многом повторяет рассуждения Пронина IHF По сути мы используем все те же соображеE ния выпуклости метрикиD но для пространств более общего видаF Однако наш результат и теорема из статьи IH отличаются не только видом проE странствD но и доказываемыми свойствамиF Определим для компактных локально односвязных пространств два свойстваF Свойство AF Все локально минимальные сети в данном пространстве строго EустойчивыF Свойство B F В данном пространстве никакая локально минимальная сеть не может быть деформацией переведена в другую локально минимальную сетьF Наша теорема Q утверждаетD что все пространства строго отрицаE тельной кривизны обладают свойством AD а результат Пронина IH по сути заключается в томD что все римановы многообразия строго отрицательной секционной кривизны обладают свойством B F Легко показатьD что из свойства A всегда вытекает свойство B @смF лемму PFI нижеAF ВозможноD обратная импликация тоже верна и свойства A и B равносильныD однако автору диссертации доказать этот факт не удалосьF

ладает свойством AD то оно обладает и свойством B .

Лемма 2.1. Если компактное локально односвязное пространство X об-

Доказательство. Пусть в данном пространстве X D обладающем свойE ством AD локально минимальная сеть 2 получена деформацией из лоE кально минимальной сети 1 D тF еFD по определению деформацииD к 1 приE менили перепараметризациюD получили при этом некую сеть 1 D а затем параметрической деформацией перевели 1 в 2 F Тогда в силу свойства A для сети 1 выполнено (1 ) > (2 )F С другой стороныD сеть 1 связана с сетью 2 параметрической деформациейD тF еF 1 может быть получена деформацией из сети 2 D поэтому (2 ) > (1 )F Но (1 ) = (1 )D тF еF одновременно (1 ) > (2 ) и (2 ) > (1 )D противоречиеF
2.1.2 ?Устойчивость? относительно последовательности деформаций

Рассмотрим Eустойчивое деревоF Устойчивость гарантируетD что длину этого дерева нельзя укоротить @EмалойA деформациейF НоD может бытьD длину этого дерева можно укоротить последовательностью деформацийc

20


На рисF I можно увидеть пример двух деревьевD которые можно соединить последовательностью деформацийD но нельзя соединить деформациейF Для данной сети через O () мы обозначаем множество сетейD которые могут быть получены из сети конечной последовательностью деформаций внутри B ()F В следующей теореме мы рассматриваем метрическое пространство с внутренней метрикой @тF еF расстояние между точками равно точной нижE ней грани длин соединяющих их путейA и накладываем условия локальной односвязности и локальной компактности пространства относительно этой метрики @для каждой точки все достаточно малые шары с центром в ней компактны и односвязныAF Наше доказательство будет существенно исE пользовать все эти свойстваD хотя вполне возможноD что теорема верна и в более общих предположенияхF
Теорема 4. Пусть 0 -устойчивая сеть в локально компактном ло-

кально односвязном метрическом пространстве с внутренней метрикой. Тогда X 1) существует > 0 такое, что () = minDO () (D)Y 2) если при этом сеть строго 0 -устойчива, то ее длина строго меньше, чем длина любой другой сети из O ()Y 3) если U открытая односвязная окрестность образа сети D содержащаяся в B () (т. е. Im() U B ())D то сеть кратчайшая среди сетейD лежащих в U и соединяющих границу сети .

Нельзя не заметитьD что результатыD заключенные в пунктах IA и PA теоремыD " очень ожидаемыеD ведь малая окрестность сети очень наE поминает саму сетьD и потому ?существенное? изменение комбинаторной структуры сетиD скорее всегоD только удлинит сетьD а именно такое измеE нение и отличает последовательность деформаций от просто деформацииF Так что раз сеть устойчива и ее @по определению устойчивостиA нельзя укоротить обычной деформациейD то естественно ожидатьD что при ?суE щественном? изменении комбинаторной структуры сеть тем более нельзя укоротитьF Результат QA интересен для деревьевF ЯсноD что в любом достаточно хорошем пространстве у несамопересекающегося дерева есть малая одноE связная окрестностьF НапримерD очевидноD что в любом евклидовом проE странстве уже B () будет односвязной при малых F Однако автор не умеет доказывать существование U в произвольном локально компактном локально односвязном метрическом пространствеF Формальное доказательство этой теоремы приведено в разделе PFQF С учетом теоремы Q получаем следующее следствие для пространств непоE ложительной кривизныF

21


ной кривизны в смысле А. Д. Александрова всякая локально минимальная сеть для некоторого является кратчайшей в классе O (). Локально минимальное дерево для некоторого является единственной кратчайшей сетью в классе O ()D и для любой односвязной окрестности U такойD что Im() U B ()D сеть является единственной кратчайшей сетью среди сетейD соединяющих границу и лежащих в U . В случае пространства строго отрицательной кривизны любая локально минимальная сеть является единственной кратчайшей в O ().
2.2 Устойчивость локально минимальных сетей в пространствах неположительной кривизны в смысле А.Д.Александрова

Следствие 1. В локально компактном пространстве неположитель-

Формулировку теоремы и комментарий смF в разделе PFIFIF Для начала приведем необходимые нам результаты о пространствах неположительной кривизныF
Лемма 2.2 @@смF QD теорема WFPFPAA. В полном односвязном пространстве

неположительной кривизны любые две точки соединимы единственной геодезической. Каждый геодезический отрезок является кратчайшей. странство неположительной кривизны локально односвязноD и потому имеет локально изометричное универсальное накрытиеD причем накрывающее пространство является полным односвязным пространством неположительной кривизны.
Следствие 2. В полном пространстве неположительной кривизны в Лемма 2.3 @@смF QD замечание WFIFIVD раздел WFPAA. Всякое полное про-

каждом гомотопическом классе кривых с данными концами существует единственная геодезическая. Она является кратчайшей в этом классе.
Лемма 2.4 @@смF QD предложение WFPFIQAA. Пусть (X, d) полное одно-

связное пространство неположительной кривизныD (s), (s) геодезическиеD параметризованные пропорционально натуральному параметруD или постоянные кривые. Тогда функция d((s), (s)) выпукла. визныD (s), (s) геодезическиеD параметризованные пропорционально натуральному параметруD или постоянные кривыеD s непрерывное семейство геодезическихD соединяющих точки (s) и (s). Тогда функция (s ) выпукла.

Следствие 3. Пусть X полное пространство неположительной кри-

22


Замечание 1. Если X " пространство строго отрицательной кривизныD

то функция (s ) из следствия Q строго выпукла для любой непостоянной деформации s F

Доказательство. Для доказательства следствия рассмотрим универсальE ное локально изометричное накрытие пространства X и поднятие гомотоE пии s кривой 0 F В накрывающем пространстве расстояние между прообE разами точек (s), (s) будет в точности равно длине единственной соедиE няющей их геодезическойD тF еF длине прообраза пути s @смF лемму PFQAF Но при проекции длины путей сохраняютсяD поэтому это расстояние равно длине кривой s F Остается применить лемму PFRF Геодезической сетью будем называть сетьD каждое ребро которой " или натурально параметризованная геодезическаяD или постоянная @точечE наяA криваяF Известно @смF VAD что на римановом многообразии всякая локально минимальная сеть является экстремальнойD тF еF что для любой деформации t локально минимальной сети 0 выполняется неравенство d 0D если эта производная существуетF Следующая лемма " это dt (t ) t=0 некоторый аналог этой теоремы для пространств неположительной криE визныF
Лемма 2.5. Пусть Ht , t [0, 1], параметрическая деформация в клас-

се геодезических сетей локально минимальной сети H0 в пространстве неположительной кривизныD причем для каждой вершины v параметризующего графа кривая Ht (v ) или точечнаяD или геодезическаяD параметризованная пропорционально натуральному параметру. Тогда существует и неотрицательна правая производная длины сети X

d (Ht ) dt

0.
t=0

Доказательство. Пусть G " графD параметризующий наши сетиF Тогда

(Ht ) =
eE (G)

(Ht (e)).

Рассмотрим

d (Ht (e)) dt

t=0

для фиксированного ребра e с концами v1 , v2 F Если ребро H0 (e) " не тоE чечноеD то можно напрямую применить фактD приведенный в QD теорема RFSFTD упражнение RFSFIHD и получитьD что правая производная существует и равна

d (Ht (e)) dt

= -k1 cos 1 - k2 cos 2 ,
t=0

23


где kj = (Ht (vj )) @длина кривойD она же равна ?скорости?D тF еF коэффиE циенту пропорциональности между нашим параметром на кривой и натуE ральным параметромAD а j " угол между геодезическими H0 (e) и Ht (vj ) в точке H0 (vj )F Если же H0 (e) " точечная криваяD то нам достаточно того фактаD что производная

d (Ht (e)) dt

t=0

(k1 t)2 + (k2 t)2 - ( (Ht (e)))2 cos = lim , t0+ 2k1 k2 t2 откуда следуетD что предел
t0+

существуетF Докажем этоF Пусть e = v1 v2 F Если хотя бы одна из кривых Ht (v1 ), Ht (v2 ) " точечнаяD то наше существование производной очевидно @поскольку функция линейнаAF Пусть теперь Ht (v1 ), Ht (v2 ) " невырожденE ные геодезическиеD тогда определена величина угла между нимиD равная по определению пределу величин соответствующих углов в треугольниках сравненияF В частностиD она равна пределу величин углов плоских треE угольников с длинами сторон (Ht (e))D k1 tD k2 t @обозначения те жеD что и вышеAD а углы плоских треугольников легко посчитать по теореме косинуE совF Тогда

lim

(Ht (e)) t

2 2 существует @и равен k1 + k2 - 2k1 k2 cos AF Для каждой вершины v V (G) рассмотрим прообраз - H0 1 (H0 (v )).

Это некоторый связный подграф графа GD все ребра которого реализованы точечными кривыми в сети H0 D в том числе этот подграф может оказатьE ся самой вершиной v F Каждый такой подграф будем называть точечной компонентойF ИтакD производная длины сети существует и раскладывается в сумE му производных длин реберF Причем производная ребра ненулевой длины есть сумма двух слагаемыхD каждое из которых зависит от одного из конE цов этого ребраF Перегруппируем слагаемыеX

d (Ht (e)) dt

=
t=0

( ),

где пробегает всевозможные точечные компоненты сети H0 D а ( ) " сумма производных нулевых ребер компоненты и слагаемых вида

24


-k cos D соответствующих лежащим в концам невырожденных ребер сети H0 F Теперь будем доказывать нашу лемму от противногоF ПредположимD что d < 0, (Ht (e)) dt t=0
тогда найдется некоторая точечная компонента такаяD что ( ) < 0F Временно сделаем перепараметризацию сети H0 такD чтобы в ней не было ребер нулевой длиныF Тогда в ту точкуD в которую отображалась точечная компонента D будет отображаться ровно одна вершина сетиD обозначим ее через v F По определению локально минимальной сети некоторая локальная сеть loc с центром в вершине v является кратчайшейF Сделаем перепараE метризацию сети loc такD чтобы вместо вершины v снова была точечная компонента D и сделаем параметрическую деформацию loc t этой сетиD при которой вершины компоненты движутся по тем же кривымD что и в случае исходной деформации сети H0 D граничные вершины сети loc непоE движныD а все ребра в процессе деформации реализуются геодезическими из нужного гомотопического класса @такие геодезические определены одE нозначноD смF следствие PAF Тогда из приведенных выше рассуждений ясноD что

d (loc t ) dt

= ( ),
t=0

но ( ) < 0 по нашему предположениюF Это значитD что

(loc t ) < (loc )
при малых значениях tD что противоречит тому фактуD что сеть loc " кратчайшаяF Лемма доказанаF Теперь перейдем к основной задаче этого раздела " доказательству теоремы QF Пусть " данная локально минимальная сеть в пространE стве X F Рассмотрим произвольную перепараметризацию сети и произE вольную параметрическую деформациюD переводящую сеть в некоторую сетьD которую мы будем обозначать через F Будем считатьD что сети и параметризованы графом GF Наша цель " построить с помощью сети некоторую деформацию Ht сети H0 = D удовлетворяющую условиям леммы PFSD и из неравенства

d (Ht ) dt
некоторым образом вывестиD что

0
t=0

( )

(),

25


что и утверждается в теоремеF Для каждого невырожденного в сети ребра e E (G) с концами u, v рассмотрим геодезическую с концами (u), (v ) из гомотопического класса кривой (e)D обозначим ее через 1 (e) @смF следствие PAF СделаE ем параметрическую деформацию сети D неподвижную на вершинах и вырожденных ребрах и переводящую каждое невырожденное ребро (e) в соответствующую геодезическую 1 (e)F Полученную в результате сеть обозначим через 1 F ЯсноD что сеть 1 может быть получена параметрической деформаE цией из сети F Обозначим такую деформацию через s , s [0, 1]F Для каждой вершины v V (G) рассмотрим путь s (v )F Через v (s) обознаE чим геодезическую с теми же концами из того же гомотопического классаD параметризованную отрезком [0, 1] пропорционально натуральному параE метру @следствие PAF Для каждого ребра e E (G) с концами v1 , v2 и для каждого s [0, 1] рассмотрим геодезическую с концами v1 (s) и v2 (s) из гомоE топического класса кривой

(v1 (t)

[0,s]

)-1 (e) (v2 (t)

[0,s]

),

где через обозначено произведение путейF Эту геодезическую обознаE чим через Hs (e)F ИзвестноD что Hs (e) непрерывно зависит от s @смF QD предложение WFIFIUD теорему о глобализацииAF Поэтому совокупность геоE дезических {Hs (e) | e E (G)}, s [0, 1]D естественным образом задает параметрическую деформацию Hs сети H0 = D причем H1 = 1 F По следствию Q длина каждого ребра сети Hs " выпуклая функция от sF СледовательноD и длина сети Hs " выпуклая функция от sD как сумма выпуклых функцийF В силу выпуклости

(Hs )

s (H1 ) + (1 - s) (H0 ) = (H0 ) + s( (H1 ) - (H0 )).

Но по лемме PFS производная

d (Hs ) ds
откуда следуетD что (H1 ) - (H0 )

0,
s=0

0F ЗначитD (H0 ) = ().

( )

(1 ) = (H1 )

Таким образомD доказаноD что произвольная сеть D полученная параметE рической деформацией расщепления сети D имеет не меньшую длинуD чем D а значитD сеть " устойчиваF В силу замечания I ясноD что в пространE стве строго отрицательной кривизны ( ) > () если только не = D тF еF имеет место строгая устойчивость сети F

26


Строгая устойчивость дерева. Нам осталось доказать строгую

устойчивость для случаяD когда " деревоF ПредположимD что ( ) = ()F Тогда (H1 ) = (H0 )D иD в силу выпуклостиD (Hs ) (H0 ) = (), s [0, 1]F Более тогоD поскольку длина сети равна сумме длин реберD а длиE на каждого ребра " выпуклая функция от sD то из тогоD что длина сети постояннаD следуетD что длина каждого ребра " линейная функцияF
Лемма 2.6. Вершины сети = H0 неподвижны при деформации Hs D

т. е. (v ) = Hs (v ) s [0, 1], v V (G).

Доказательство. Все граничные вершины неподвижны по построениюF Проведем доказательство индукцией по числу вершинF ОтметимD что для сетиD имеющей лишь две вершиныD лемма очевиднаD так как обе они обяE заны быть граничнымиF Если в дереве найдется висячая вершина pD инцидентная некоторой вершине u степени P @которая в силу нашего соглашения тоже является граничнойAD то можно удалить из сети ребро pu и тем самым перейти к локально минимальной сети с меньшим числом вершинF В противном слуE чае найдется пара висячих вершин p и q D имеющих общую вершину u @для доказательства существования такой пары достаточно удалить из дерева все висячие ребра и рассмотреть в новом дереве любую висячую вершиE нуAF ДокажемD что вершина u неподвижна при деформацииF После этого можно будет выбросить ребра pu и q u из нашей сети и объявить вершину u " граничнойF Новая сетьD очевидноD снова будет локально минимальнойD и ограничение на нее нашей деформации будет обладать всеми свойстваE миD которые имелись у исходной деформацииF В новой сети вершин будет меньшеD а значит для нее верно предположение индукции о неподвижности вершинF СледовательноD и у исходной сети все вершины были неподвижныD и шаг индукции сделанF Осталось показатьD что вершина u неподвижнаF Как было показано вышеD длина каждого ребра " линейная функция от sF ОтметимD что все сети Hs локально минимальныD так как иначе их можно было бы укоротить малой деформацией и получить сеть строго меньшей длиныD чем сеть F Причем всякую такую сеть можно было бы получить из сети параметE рической деформацией внутри B ()F Это противоречит уже доказанной части нашей теоремыF Если длина ребра Hs (pu) равна нулю хотя бы при двух значениях sD тоD как линейная функцияD она должна быть тождественно равна нулюD и тогда очевидноD что вершина u неподвижнаF Далее рассматриваем знаE чения sD при которых оба ребра Hs (pu) и Hs (q u) имеют ненулевую длинуF Если ребро pu реализовано невырожденной геодезическойD то производная

27


его длины выражается формулой

d (Hs (pu)) ds

= -k cos s0 ,
s=s0

где k " постоянная скоростьD с которой образ вершины u едет по геодеE зической Hs (u)D а s0 " угол между геодезическими Hs0 (pu) и Hs (u) @при определении угла первая геодезическая ориентирована от u к pD а втоE рая " в направлении увеличения параметра sAF Если k = 0D то вершина u неподвижна и все доказаноD а в противном случае из линейности функции (Hs (pu)) вытекаетD что значение cos s0 постоянноD а значитD постоянно по s0 и значение угла между геодезическими Hs0 (pu) и Hs (u)F Поэтому далее мы всюду используемD что s 0 F Рассмотрим образованный нашими геодезическими треугольник с вершинами в точках H0 (p), Hs1 (u), Hs2 (u)F ОчевидноD что этот треугольникEконтур ограничивает дискF Но для стягиваемого треугольниE ка в пространстве неположительной кривизны выполняется условие сравE нения угловX его углы не превосходят соответствующих углов треугольника с теми же длинами сторон на евклидовой плоскости @смF QD теорема WFPFWAF ЗаметимD что углы треугольника в вершинах Hs1 (u) и Hs2 (u) в сумме дают не меньше @один из них равен 0 D а другой не меньше - 0 D тFкF сумма смежных углов не меньше AF ЗначитD третий угол треугольника равен нулюD и все углы треугольника сравнения равны углам треугольника F Тогда треугольник сравнения " вырожденныйD иD поскольку вершины Hs1 (u) и Hs2 (u) не совпадаютD два угла треугольника должны быть равны нулюD а третий равен F Углы треугольника имеют те же значенияD тF еF стороны треугольника H0 (p)Hs1 (u)Hs2 (u) лежат на одной геодезической для любых значений s1 , s2 из некоторого интервалаF Зафиксируем некоE торые s1 , s2 F АналогичноD стороны треугольника H0 (q )Hs1 (u)Hs2 (u) лежат на одной геодезическойF У этих двух треугольников есть общая сторона Hs1 (u)Hs2 (u) " участок геодезическойD по которой вершина u движется при деформацииF Точки H0 (p), H0 (q ) не лежат на этом отрезкеD поскольку мы выбрали интервалD на котором длины ребер pu и q u не обнуляютсяF Возможны два случаяX либо в одном треугольнике @скажемD H0 (p)Hs1 (u)Hs2 (u)A угол Hs1 (u) = D а в другом " угол Hs2 (u) = D либо в обоих треугольниках значение имеет угол с вершиной в одной и той же точкеD скажемD Hs1 (u)F В первом случае получаемD что для каждого s, s1 s s2 D ребра Hs (pu) и Hs (q u) вместе образуют одну геодезическуюD поскольку ребро Hs (pu) " это часть геодезической H0 (p)Hs2 (u)D ребро Hs (q u) " это часть геодезической H0 (q )Hs1 (u)D а геодезические H0 (p)Hs2 (u) и H0 (q )Hs1 (u) имеют общий отрезок Hs1 (u)Hs2 (u) иD следовательноD содерE жатся в общей геодезическойD соединяющей H0 (p) и H0 (q ) @на рисF PFI

28


Рис. 2.1: Первый случай.

Рис. 2.2: Сумма 8 углов.
точки H0 (p), Hs1 (u), Hs (u), Hs2 (u), H0 (q ) специально нарисованы не лежаE щими на одной прямойD но мы только что доказалиD что они лежат на одной геодезическойAF Рассмотрим еще одно реброD инцидентное вершине uD назоE вем его uv F Поскольку все сети Hs локально минимальныD то углыD которые ребро Hs (uv ) образует с ребрами Hs (pu)D Hs (q u) при каждом s должны быть не меньше 23 @смF RAF Рассмотрим путь Hs (v )D по которому движетE ся вершина v F Если бы этот путь был постоянным @точечнымAD то был бы 2 стягиваемый треугольник H0 (v )Hs1 (u)Hs2 (u)D в котором Hs1 (u) 3и 2 Hs2 (u) 3 D а это противоречит тому фактуD что сумма углов треугольE ника не больше F ЗначитD Hs (v ) " некоторая геодезическаяF Рассмотрим два момента времени a, bF Геодезические Hs (v ) (a s b)D Hb (uv )D Hs (u) (a s b)D Ha (uv ) образуют стягиваемый четырехугольникD сумма углов которого не больше 2 D но сумма его углов при вершинах Ha (u) и Hb (u) не меньше 43 D значитD сумма углов при вершинах Ha (v ), Hb (v ) не больше 23 F Теперь рассмотрим пять моментов времени s = a, b, c, d, eD s1 a b c d e s2 D и обраE тим внимание на сумму S восьми углов четырех соответствующих четыE рехугольников при вершинах Ha (v ), Hb (v ), Hc (v ), Hd (v ), He (v )D смF рисF PFPF Сумма смежных углов не меньше F Поэтому S 3 F НоD с другой стороE

29


ныD в каждом четырехугольнике сумма двух ?верхних? углов по доказанE 8 ному выше не большеD чем 23 D поэтому S 3 F Противоречие завершает доказательство первого случаяF Во втором случае оказываетсяD что угол между ребрами Hs2 (pu) и Hs2 (q u) равен нулюD и сеть Hs2 можно тривиальным образом укоротить в малой окрестности Hs2 (u)D что противоречит локальной минимальности сети Hs2 F Лемма доказанаF Осталось заметитьD что при деформации все ребра по определению являются геодезическимиD а значит в силу следствия P из неподвижности всех вершин следует неподвижность сетиF Поэтому = 1 F А поскольку каждое ребро сети должно быть не длиннее соответствующего ребра сети 1 и лежит в том же гомотопическом классеD то = 1 = D что и завершает доказательство теоремы QF
2.3 ?Устойчивость? сти деформаций относительно последовательно-

Формулировку теоремыD комментарий и определение класса O () смF в разделе PFIFPF В этом разделе через X = (X, d) всюду обозначено локально односвязное и локально компактное метрическое пространство с внутренE ней метрикойF Для доказательства первой части теоремы R докажем следующую леммуF

Пусть n 0+ и n On () такиеD что

Лемма 2.7. Пусть произвольная несамопересекающаяся сеть в X .

| (n ) -

DOn ()

inf

(D)| 0

при n . Тогда существует подпоследовательность nk и сети nk Onk () такиеD что (nk ) (nk ) и каждую nk можно получить из деформацией внутри Bn (), где nk 0+.
k

Доказательство. Наша первая цель " выбрать из последовательности n сходящуюся подпоследовательностьF Для этого нужна подпоследовательE ность сетей одного типаD но пока вполне может оказатьсяD что все сети n имеют разный типF Чтобы ограничить число возможных типовD нужно исE ключить наличие циклов и висячих вершин в неограниченном количествеF Этому посвящена следующая леммаF
Лемма 2.8. Для всякой сети D O () найдется сеть D O ()D

не имеющая неграничных вершин степени 1 и 2D стягиваемых циклов и такаяD что (D ) (D).

30


Число ребер в сети D не больше некоторой величины N D которая определяется сетью . Доказательство. Первая часть " очевидное следствие следующей леммыF
Лемма 2.9.

IA Если в сети D O () есть стягиваемый в B () циклD то при удалении любого ребра этого цикла из сети D получившаяся сеть по-прежнему будет лежать в O (). PA При удалении ребраD инцидентного неграничной висячей вершинеD сеть остается в O (). QA При удалении из сети неграничной вершины степени 2 и объединении двух инцидентных ей ребер в одно сеть остается в O ().

Доказательство. Пусть сеть D O ()D тF еF D может быть получена из последовательностью деформаций внутри B ()F Продолжим эту послеE довательность " сделаем параметрическую деформацию сети DD стягиваE ющую данный цикл в точкуD неподвижную вне реберD имеющих с циклом общие вершиныD и ?продлевающую? ребраD имеющие с циклом общие верE шиныD но не входящие в негоF В результате мы получаем сетьD в которой данный цикл отображается в точкуF Сделаем перепараметризацию этой сетиD удалив в графе из данного цикла любое реброF Затем сделаем параE метрическую деформацию новой сетиD обратную выполненному до этого сжатию циклаF В результате получим сеть D D отличающуюся от сети D отсутствием некоторого ребра данного циклаF В случае удаления ребраD инцидентного висячей неграничной верE шинеD ситуация еще прощеD " достаточно стянуть это ребро в свою невиE сячую вершину и сделать перепараметризацию сетиF В пункте QA достаточно сделать операциюD обратную к подразбиеE нию ребраD а эта операция " по определению один из видов перепараметE ризацииF
Докажем вторую часть леммы PFVF Через v , e и v , e обозначим чисE ло вершин и ребер сетей и D D а через n " число граничных вершин @оно одинаково в двух сетяхAF Поскольку все внутренние вершины сети D имеют степень не менее трехD выполненоX 3(v - n) + n 2e F С другой стороныD поскольку в сети D нет стягиваемых циклов и каждый цикл в сети D гомотопен некоторому циклу в сети @лемма IFIAD цикломатичеE ское число графа сети D не большеD чем графа сети D тF еF e - v e - vF Из двух неравенств получаем 3(v - n) + n + 3(e - v ) 2e + 3(e - v )D тF еF e 2n + 3(e - v )F ИтакD заменим с помощью леммы PFV каждую сеть n на сеть n F Теперь число ребер в сетях ограничено некоторой константойD поэтому

31


можно выбрать подпоследовательность сетейD параметризованных одним и тем же типомD который мы обозначим через G F По лемме IFP выберем сходящуюся подпоследовательность сетейD которую снова обозначим через n F Предельную сеть обозначим через F Поскольку Im( ) Bn () для каждого nD то Im( ) Im()F По лемме IFQ сеть может быть параметE рической деформацией внутри любой малой Eокрестности переведена в сеть n при всех достаточно больших nF ЗначитD в частностиD On () при всех n @поскольку n On ()AF Докажем теперьD что Im( ) = Im()F Пусть какаяEто точка P сети оказалась вне образа сети F Рассмотрим простой цикл или граничный путь в сети D проходящий через точку P F По лемме IFI существует цикл или граничный путь в сети D гомотопный пути в Bn () @для любого n AF Поскольку Im( ) Im()D путь одновременно представляет собой и путь в сети D но = D так как путь проходит через точку P D а путь " нетF Сумма этих путей дает нетривиальный @тF еF не гомотопный нулю внутри Im()A цикл в сети D стягиваемый в Bn () для любого n F ПротиворечиеF ЗначитD Im( ) = Im() иD поскольку сеть " несамопересекающаE ясяD то ( ) ()F Кроме тогоD

( ) = lim

DO ()

inf

(D)

(),

значитD ( ) = () и каждая внутренняя точка каждого невырожденного ребра сети принадлежит образу лишь одного ребра сети F ИтакD образ сети содержится в образе нашей исходной сети D причем по каждому невырожденному участку сети сеть проходит лишь однаждыF Отсюда вытекаетD что каждое невырожденное ребро сети совпадает с некоторым ребром сети @с точностью до выбора параметра на кривойAF Кроме тогоD выполнена лемма IFID поэтому ребра сети D соответствующие смежным невырожденным ребрам в сети @общую вершину которых обозначим чеE рез A = (v )AD либо смежны в сети D либо соединены в сети путемD отображающимся в точку AF Это означаетD что можно сделать перепараE метризацию сети D превращающую ее в сеть F Но ранее мы доказалиD что для любого > 0 при всех достаточно больших n сеть может быть параметрической деформацией переведена в сеть n D тF еF для любого > 0 при всех достаточно больших n сеть n поE лучена из сети деформацией внутри B ()D откуда и вытекает требуемое в леммеF ПокажемD что из только что доказанной леммы вытекает утверждеE ние IA теоремыF Если бы утверждение IA теоремы было неверноD то для

32


каждого n нашлась бы сеть n On () такаяD что (n ) < () и

| (n ) -

DOn ()

inf

(D)| <

1 . n

Но по лемме PFU для некоторой подпоследовательности nk сети nk поE лучены из сети деформацией внутри Bn ()D а значитD в силу 0 E k устойчивостиD начиная с некоторого момента имеют длину не меньE ше () " противоречие с оценкой (nk ) (nk ) < ()F Для доказательства второй части теоремы R предположимD что для каждого n из некоторой последовательности n 0+ существует сеть n = такаяD что (n ) = ()F Рассмотрим существующую по лемме PFU последовательность nk Onk () такуюD что (nk ) (nk )D и каждую nk можно получить из деформацией внутри Bnk ()F В силу строгой устойчивости начиная с некоторого момента (nk ) = () и сети nk и равны с точностью до перепараметризацииF ЯсноD что при удалении ?лишE них? ребер из nk при переходе к nk в лемме PFV могут быть удалены только ребра нулевой длиныD тF еF сети nk равны сети с точностью до перепараметризацииD что противоречит нашему предположению n = F Оставшаяся третья часть теоремы R очеE видным образом вытекает из первой части и слеE дующей леммыF
Лемма 2.10. Если односвязная окрестность U

таковаD что Im() U B ()D то любая сетьD содержащаяся в U и имеющая ту же границуD что и D содержится в O (). Доказательство. Рассмотрим произвольную сетьD содержащуюся в U и имеющую ту же границуD что и D смF рисF PFQF Сделаем перепараE Рис. 2.3: Дерево можно деметризацию такD чтобы все граничные вершины формировать в сеть типа ?зв?здочка?. имели степень IF Затем параметрической дефорE мацией стянем в точки все циклы в этой сетиF После перепараметризации получим дерево DF ТеперьD очевидноD некоторой параметрической дефорE мацией Dt , 0 t 1 внутри образа сети D @тF еF Im(Dt ) Im(D)A можно добитьсяD чтобы все внутренние вершины сети D1 и одна граничная отображались в некоторую точку P D и в эту же точку отображались все - ребраD за исключением | | - 1 реберD соединяющих D1 1 (P ) с остальными граничными вершинами @через | | обозначено число граничных вершин сети AF После перепараметризации получим сеть типа ?звездочка? @с единственной внутренней вершинойAF ЯсноD что любые две сети типа ?звездочка? с одной и той же границей соединяются параметрической

33


деформацией внутри односвязной окрестности U F Таким образомD все сетиD содержащиеся в U и имеющие ту же границуD что и D связаны между собой последовательностью деформацийD а значитD все они лежат в O ()F

34


Глава 3 Замкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранниках
3.1
3.1.1

Определения и предварительные результаты
Многогранники, многогранные метрики и разв?ртки.

будем называть внутреннюю метрику на двумерном многообразииD относительно которой каждая внутE ренняя точка многообразия имеет окрестностьD изометричную либо плосE кому кругуD либо окрестности вершины конуса с плоской метрикойD а каждая граничная точка многообразия имеет окрестностьD изометричную окрестности вершины сектора с плоской метрикойF Здесь метрика называется внутреннейD если расстояние между люE быми двумя точками равно точной нижней грани длин соединяющих их кривыхF Под сектором с полным углом < 2 мы понимаем сектор на плоскостиD ограниченный двумя лучами с общим началом и углом межE ду нимиF Под конусом с полным углом < 2 мы понимаем метрическое пространствоD полученное из сектора с углом отождествлением двух его граничных лучейF Рассматривая универсальное накрытие над плоскостью без одной точкиD легко определить сектор и конус с полным угломD больE шим 2 D но нам они не понадобятсяD поэтому мы не приводим подробные определенияF ЯсноD что на компактном многообразии с многогранной метрикой найд?тся лишь конечное число точекD не имеющих изометричной кругу окрестностиF Эти точки мы будем называть вершинами многогранной метE рикиF Кривизна вершины по определению равна 2 минус полный угол при этой вершине @тFеF полный угол при вершине конусаD которому изометричE на окрестность данной вершиныAF Про остальные внутренние точки будем говоритьD что они имеют нулевую кривизнуF Мы будем рассматривать только многогранные метрики неотрицательной кривизныD тFеF метрикиD в которых кривизны всех вершин положительныF

Определение. Многогранной метрикой

35


Для конкретного задания многогранной метрики мы будем испольE зовать понятие разв?ртки в следующем смысле IF Рассмотрим произвольE ное конечное семейство плоских многоугольниковF На множестве их сторон зададим правила склейкиD тFеF укажем пары соответствующих друг другу сторон и для каждой пары зададим изометрию одной стороны на другуюF @Соответствующие стороны должны иметь одинаковую длинуFA Каждая сторона должна соответствовать не болееD чем одной другой сторонеF СоE ответствовать друг другу могут в том числе и стороны одного и того же многоугольникаF
Определение. Разв?ртка " это конечное семейство многоугольников и

правила склейки их сторонD удовлетворяющие описанным выше условиямF Теперь рассмотрим дизъюнктное объединение всех многоугольниE ков разв?ртки и отождествим в н?м точки сторонD соответствующие друг другу при выбранных изометриях @?склеим? многоугольники вдоль некоE торых сторонD подразумевается абстрактное отождествление точекD без привязки к какимEлибо склеиваниям и сгибаниям физических многоугольE ников в тр?хмерном пространствеAF Полученное топологическое пространE ство естественным образом наделяется внутренней метрикой " расстояниE ем между двумя точками считаем инфимум длин соединяющих их путейF Здесь длина путиD проходящего по одному многоугольнику вычисляется в обычной евклидовой метрикеD а длина произвольного пути равна сумме длин путей в произвольном разбиении данного пути на частиD каждая из которых содержится в одном многоугольникеF ОчевидноD что в результате получается пространство с многогранной метрикой в смысле нашего опреE деленияD данного в разделе QFIFIF В этом случае будем говоритьD что эта разв?ртка зада?т эту многогранную метрикуD или что эта разв?ртка есть разв?ртка данной многогранной метрикиF Мы будем говорить о разв?ртке как о метрическом пространствеD имея в виду эту метрикуF ОбратноD любое компактное пространство с многогранной метрикой может быть представлено в виде разв?рткиD тFеF допускает разбиение на частиD изометричные плоским многоугольникамF Это легко проверитьX поE крываем пространство конечным числом маленьких плоских треугольниE ков @вообще говоряD перекрывающихсяAD а затем частиD на которые граниE цы этих треугольников разбивают пространствоD объявляем многоугольE никами разв?рткиF Невырожденным выпуклым многогранником будем называть граниE цу выпуклой оболочки нескольких точек в R3 D не лежащих в одной плоскоE стиF Вырожденным выпуклым многогранником @или дважды покрытым выпуклым многоугольникомA будем называть сферуD снабж?нную многоE гранной метрикойD разв?ртка которой состоит из двух равных выпуклых

36


многоугольниковD склеенных по соответственным сторонамF Везде ниже под словами ?выпуклый многогранник? или просто ?многогранник? буE дем понимать вырожденный или невырожденный выпуклый многогранE ник в R3 F
Определение. Полный угол вершины многогранника " это сумма углов

граней многогранника при этой вершинеF
Определение. Кривизной вершины многогранника называется величинаD

равная 2 минус полный угол в этой вершинеF ЯсноD что естественная внутренняя метрика на выпуклом многоE граннике является многогранной метрикой положительной кривизны @и кривизны вершин этой метрики равны кривизнам вершин многогранниE каAF Верно и обратноеF
Теорема 5 @IA. Для любой многогранной метрики положительной кри-

визны на сфере существует выпуклый многогранник, обладающий этой метрикой. Этот многогранник определ?н однозначно с точностью до движения в R3 , в том числе любая изометрия @в смысле внутренней метрикиA многогранника на себя может быть реализована движением в R3 .
Из авторского доказательства последней теоремыD а именно из ID глF P P пF P и глF R P лемма Q непосредственно вытекает следующее утверждениеF
Лемма 3.1. Отображение, ставящее в соответствие данной многогран-

ной метрике выпуклый многогранник, непрерывно относительно следующих топологий. Две многогранные метрики с одинаковым числом вершин -близки, если существуют их разв?ртки, состоящие лишь из треугольников и имеющие одинаковое комбинаторное строение @т.е. гомеоморфные как триангуляции сферыA, соответствущие стороны которых отличаются не более, чем на . Два многогранника с одинаковым числом вершин -близки, если их можно расположить в R3 так, чтобы расстояние между соответствующими вершинами было меньше . Более того, при этом отображении образ границ многоугольников разв?ртки на многограннике непрерывно зависит от разв?ртки.
Замечание 2. Многогранник нес?т в себе информацию двух видовX внутE

реннюю метрику и способ реализации в R3 F В случае выпуклых многогранE ников внутренняя метрика однозначно определяет реализацию в R3 D но по заданной многогранной метрике вообще говоря трудно найти эту реализаE цию @трудно найти р?бра " геодезическиеD по которым нужно ?сгибать?AF

37


ЗадачиD рассматриваемые в диссертацииD затрагивают лишь свойE ства внутренней метрики многогранникаD тFеF не зависят от реализации многогранника в R3 D и потому могут рассматриваться как задачи о сетях на пространствах с многогранной метрикойF Часто для перехода от мноE гогранной метрики к многограннику будет использоваться теорема SF ВоE прос способов поиска реализации метрики многогранником затрагиваться не будетF
3.1.2 Геодезические и многоугольники

Следующие объекты мы определим для произвольной многогранной метE рики неотрицательной кривизны @а значитD и на произвольном выпуклом многогранникеAF Кратчайшей с данными концами будем называть кривуюD имеюE щую наименьшую длину среди всех кривых с этими концамиF Если каждая внутренняя точка данной кривой имеет окрестностьD изометричную кругу или сектору круга @если точка лежит на границе мноE гообразияAD прич?м при изометрии каждой такой окрестности на круг или сектор круга участок кривойD содержащийся в этой окрестностиD переходит в диаметр кругаD то кривую будем называть геодезическойF ОтметимD что геодезическая всегда является локально кратчайшей кривойD а в случае многогранной метрики положительной кривизны на сфере верно и обратE ноеX любая локально кратчайшая кривая является геодезическойF Геодезической ломаной будем называть путьD который можно разбить на конечное число путей @звеньевAD каждый из которых является геодезическойF Рассмотрим непрерывное отображение плоского замкнутого круга в пространство с многогранной метрикойD ограничение которого на внутренE ность круга является гомеоморфизмомF Граничная окружность плоского круга перейд?т при этом в некоторую непрерывную замкнутую кривуюF Если эта кривая является геодезической ломанойD то образ на разв?ртке внутренности круга будем называть многоугольникомD а образ окружноE сти " его границейF Если границу нельзя представить как замкнутую геоE дезическую ломаную меньшеD чем с n звеньямиD а с n звеньями " можноD то многоугольник будем называть nEугольникомD а узлы этой ломаной " вершинами многоугольникаF ИтакD многоугольник " открытое множествоD гомеоморфное открыE тому двумерному дискуF Если граница многоугольника не имеет самопереE сеченийD то многоугольник с добавленной к нему границей будем называть замкнутым геодезическим многоугольникомF В частностиD любой диск с многогранной метрикой является замкнутым геодезическим многоугольE никомF Но граница многоугольника может иметь самопересеченияD и тогда

38


замыкание многоугольника на многограннике не обязательно гомеоморфE но замкнутому кругуF НапримерD многогранник с выброшенным ребром AB " это двуугольникF Нам будет полезна формула для суммы углов многоугольника " одна из дискретных версий формулы Гаусса!БоннеF

углы n-угольника, а kj , j = 1, . . . , s кривизны вершин многогранной метрики, находящихся внутри n-угольника. Тогда
n s

Лемма 3.2 @ID ГлF I V теорF PA. Пусть i , i = 1, . . . , n внутренние

i = (n - 2) +
i=1 j =1

kj .

Геодезически выпуклым будем называть подмножество пространE ства с многогранной метрикойD если любые две его точки можно соединить геодезическойD лежащей целиком в этом множествеF
Лемма 3.3 @ID глF ID VA. На любом замкнутом (как метрическое про-

странство) многообразии с многогранной метрикой положительной кривизны каждые две точки можно соединить кратчайшей. Эта кратчайшая является геодезической ломаной. Прич?м преломляться (иметь с какой-то стороны угол, отличный от ) кратчайшая может только в вершинах границы многообразия, угол в которых больше . является геодезически выпуклым.
Следствие 4. Многоугольник, все углы которого меньше или равны ,

Нам понадобится внутри такого многоугольника ?соединять геодеE зическими? большеD чем две точкиF Этому посвящена следующая леммаF Пусть дано подмножество U некоторого многогранникаD и множеE ство X U F Выпуклой оболочкой C (X, U ) множества X U в множестве U будем называть наименьшее по включению множество C такоеD что X C U и любая содержащаяся в U геодезическая с концами в C целиком содержится в C F

ника, попавших внутрь многоугольника U , углы которого . Тогда выпуклая оболочка C (X, U ) это либо замкнутый геодезический многоугольник с углами , вершины которого содержатся в X , либо геодезическая с концами из X , либо точка @при n = 1A. Прич?м при n 2 углы фигуры U \ C в вершинах C не меньше .
Для каждой пары Xi D Xj обозначим через ij кратE чайшую среди соединяющих их кривыхD лежащих в U @в силу леммы QFQ каждая из кратчайших будет геодезической на поверхности многогранниE каAF Теперь среди всевозможных замкнутых nEзвенных ломаных с мноE жеством вершин X и звеньями среди выбранных кратчайших выберем
Доказательство.

Лемма 3.4. Пусть X = {X1 , . . . , Xn } множество вершин многогран-

39


ломаную наименьшей длиныF От противного легко доказатьD что такая ломаная будет несамопересекающейся иD значитD ограничивает некоторый геодезический многоугольник M1 F Если для некоторых Xi , Xj существует геодезическая с концами Xi , Xj D строго содержащаяся в U \ M1 D то разбивает U \ M1 на две чаE стиX одна из них гомеоморфна кольцуD а другая гомеоморфна кругу иD значитD является геодезическим многоугольникомD который мы обозначим через N1 F Рассмотрим M1 N1 = M2 F ДокажемD что многоугольник M2 имеет строго меньше вершинD чем M1 F ДействительноD внутрь M2 попаE дают вершины M1 D находящиеся на его границе между Xi и Xj и являюE щиеся вершинами N1 F Отсутствие исчезнувших вершин означало быD что N1 является двуугольникомD ограниченным геодезической и стороной многоугольника M1 D но любой двуугольник содержит внутри себя точку положительной кривизныD а их внутри U \ M1 нет по построениюF ДаE лееD на k Eом шаге рассматриваем U \ Mk иD если существует геодезичеE ская внутри U \ Mk с концами в вершинах Mk D расширяем с помощью не? многоугольник Mk до Mk+1 F Поскольку число вершин при этом убываетD процесс остановится на неком многоугольнике M такомD что в U \ M не существует геодезической с концами в вершинах M F НапомнимD что M содержит @внутри или на границеA вс? X D тFеF все содержащиеся в U вершины многогранникаF ДокажемD что все углы U \ M в вершинах M не меньше F Первый случайX M " одноугольникF Из формулы ГауссаEБонне для многоугольников @по нашему определению гомеоморфных дискуA легко вывестиD что в случае не содержащего вершин ненулевой кривизны и гоE i=n меоморфного кольцу U \ M его сумма углов равна i=1 i + = (n + 1)D где i " углы многоугольника U D " угол U \M в вершине одноугольника M F Поскольку i по условию леммыD D что нам и требовалосьF Второй случайX M имеет хотя бы две вершиныF ПредположимD что угол U \ M в вершине X2 многоугольника M меньше F Пусть он обраE зован сторонами X1 X2 и X2 X3 @возможноD X1 = X3 AF Рассмотрим кратE чайшую среди кривыхD содержащихся в U \ M D соединяющих X1 и X3 и гомотопных в U \ M ломаной X1 X2 X3 F Эта кратчайшая является геодезиE ческой ломаной с узлами в вершинах U \ M с углом больше @лемма QFQAD тFеF е? узлы не могут лежать ни в вершинах U D ни в вершине X2 F С другой стороныD она не может быть второй половиной границы многоугольника M D так как эта вторая половина не гомотопна ломаной X1 X2 X3 F ЗначитD эта геодезическая ломаная содержит звеноD лежащее строго внутри U \ M и соединяющее вершины M D но это звено есть геодезическаяD которых не существует по определению M F Противоречие завершает доказательство того фактаD что все углы U \ M в вершинах M не меньше F

40


ДокажемD что любая содержащаяся в U геодезическая с концами в M целиком содержится в M F ПредположимD что это не такD тогда сущеE ствует геодезическая с концами на границе M и внутренностью внутри U \ M F Геодезическая разбивает U \ M на две частиF ЧастьD гомеоE морфная кругуD представляет собой геодезический многоугольникD все угE лы которогоD за исключением двух углов в концах D заведомо больше D но это противоречит формуле ГауссаEБоннеF НаконецD докажемD что любое множество C такоеD что X C U и любая содержащаяся в U геодезическая с концами в C целиком содерE жится в C D содержит M F Тем самым будет доказаноD что M = C (X, U )F ЯсноD что все геодезическиеD соединяющие Xi и лежащие в U D содержатE ся в любом C F Сделаем триангуляцию многоугольника M геодезическими такD чтобы множество вершин триангуляции совпадало с множеством X ID ГлF RD IDлемма PF Все стороны треугольников такой триангуляции лежат в C F Любой из е? треугольников " изометричен плоскомуD значитD любая его точка принадлежит некоторой геодезической с концами на его сторонахD а значитD тоже лежит в C F ИтакD все точки треугольников триангуляцииD а значит и все точки многоугольника M D лежат в C D что и требовалосьF
3.2 Результаты

Здесь мы приводим все результаты главыD а также упоминаем другие изE вестные нам факты о минимальных сетях на многогранникахF Короткие доказательства мы приводим здесь жеD а более длинные вынесены в разE дел QFQF Определения сетей были введены в главе ID особенно нам понаE добятся определенияD данные в разделе IFTF Сейчас мы лишь напомнимD что во всей этой главеD за исключением раздела QFQFSD мы рассматриваем обыкновенные сетиD а с уч?том критерия P можно дать следующее опреE деление минимальной сети на выпуклом многогранникеD эквивалентное общему определению замкнутой локально минимальной сетиD данному в разделе IFSF это связная сеть со следующими свойствамиX @IA все е? р?бра " геодезическиеD @PA каждая вершина имеет степень 3D @QA угол между смежными р?брами равен 120 F
3.2.1 Необходимое условие на кривизны вершин. Определение. Минимальная сеть на выпуклом многограннике "

Пусть дана минимальная сеть на многогранникеF Запишем для каждой ячейки сети формулу Гаусса!Бонне @лемма QFPAX 2n = (n - 2) + v k (v )D 3 где суммирование ид?т по вершинам многогранникаD попавшим внутрь

41


данной nEугольной ячейки и k (v ) " кривизна вершины v @смF определеE ния в разделе QFIFIAF Получаем следующие утвержденияF

ти сумма кривизн n v k (v ) = 2 - 3 стоит из не более содержат вершин

Лемма 3.5 @VD ПредлF SFQRA. Для n-угольной ячейки минимальной се-

попавших в эту ячейку вершин многогранника равна . Минимальная сеть на выпуклом многограннике сочем шестиугольных ячеек. Шестиугольные ячейки не многогранника.

на выпуклом многограннике существовала минимальная сеть, необходимо, чтобы множество V его вершин можно было разбить на несколько подмножеств V = V1 . . . Vs так, что сумма кривизн вершин в каждом подмножестве Vi кратна и меньше 2 , т.е. равна одному из чисел 3 k , k = 1, . . . , 5. 3
НапомнимD что сумма всех кривизн @сферическогоA многогранника равна 4 D иD значитD минимальная сеть некоторым образом разбивает 4 на части вида k3 F Всего существует RU таких разбиений @тFеF решений уравнеE ния x1 + x2 23 + x3 + x4 43 + x5 53 = 4 в целых неотрицательных числахAF 3 В QU был привед?н пример не имеющего минимальных сетей тетраE эдраD кривизны вершин которого удовлетворяют соотношениям k (A) = 23 D k (B ) = 53 D k (C ) + k (D) = 53 F Таким образомD необходимое для суще-

Теорема 6 @Необходимое условие на кривизны). Для того, чтобы

ствования минимальной сети условие на кривизны многогранника из теоремы 6 не является достаточным уже в случае тетраэдровF ОтметимD что привед?нное в QU доказательство этого факта было

длинным и непрозрачнымF В теореме IW @раздел QFPFSA мы покажемD как с помощью результатов диссертации совсем коротко доказать недостаточE ность необходимого условия из теоремы TF
3.2.2 Реализация плоских графов на многогранниках в виде минимальных сетей.

Если забыть про длины р?бер и углы между нимиD то минимальная сеть на многограннике " это одна из возможных реализаций на сфере некоторого плоского графаF Попробуем пойти в обратном направленииF Рассмотрим произвольный плоский граф с вершинами степени Q и не более чем шеE стиугольными гранямиF Припишем каждому ребру некоторый вес " полоE жительное числоF Зададимся целью построить многогранникD на котором этот граф был бы реализован как минимальная сетьD длины р?бер котоE рой равнялись бы весам соответствующих р?бер графаF Если бы такая минимальная сеть нашласьD то каждая е? ячейка представляла бы собой

42


геодезический многоугольникD в котором нам известны величины всех угE лов @120 A и длины всех сторонF Следующая лемма объясняетD насколько эти данные задают геодезический многоугольникF

следовательных сторон a1 , . . . , an @все ai > 0, далее считаем ai+n ai для всех iA и не содержащий внутри себя точек отрицательной кривизны существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия при n = 6 : a1 + a2 = a4 + a5 и a2 + a3 = a5 + a6 при n = 5 : ai < ai+2 + ai+3 , i = 1, . . . , 5 при n = 4 : ai < ai+1 + 2ai+2 + ai+3 , i = 1, . . . , 4 при n 3 существует всегда. @PA При выполнении условий из пункта 1 существует и n-угольник, содержащий внутри себя не более одной вершины ненулевой кривизны. @QA Многоугольник из пункта 2 единственен с точностью до изометрии; его разв?ртка может быть построена конструктивно.

Лемма 3.6. @IA Геодезический n-угольник с углами по 120 , длинами по-

Лемма будет доказана в разделе QFQFIF А сейчас выведем из этой леммы следствияF Будем говоритьD что плоский взвешенный граф реалиE зуется на многограннике P как минимальная сетьD если на многограннике P существует минимальная сетьD реализующая этот плоский граф и имеюE щая длины р?берD равные весам соответствующих р?бер графаF ЯсноD что для каждой минимальной сети однозначно определ?н плоский взвешенный графD который она реализуетF Всякому многограннику с минимальной сетью на н?м естественным образом соответствует семейство геодезических многоугольников @ячеек сетиAD а длины их сторон удовлетворяют соотношениям из леммы QFTF ЗнаE читD этим соотношениям обязаны удовлетворять веса р?бер любого плоскоE го взвешенного графаD который может быть реализован как минимальная сетьF ОбратноD для каждой грани плоского графа с весовой функциейD удовлетворяющей этим соотношениямD в соответствии с первым пунктом леммы QFTD существует геодезический многоугольник с углами по 120 и длинами сторонD равными весам соответствующих р?берF Построим такие многоугольники для всех граней плоского графаF Зададим на множестве этих многоугольников правила склейкиD отождествляя две стороны @верE шиныA многоугольников в том случаеD если эти стороны @вершиныA соотE ветствуют одному и тому же ребру @или вершинеA графаF Легко проверитьD что при этом получается гомеоморфное сфере пространство с многогранE ной метрикой положительной кривизныF Прич?м по построению границы многоугольников этой разв?ртки образуют минимальную сетьD реализуюE

43


щую данный плоский взвешенный графF По теореме S эта метрика реаE лизуется некоторым выпуклым многогранникомD и тем самым доказана достаточность соотношений из леммы QFT для существования многогранE ника с минимальной сетьюD реализующей данный взвешенный графF ИтакD из леммы QFT мы вывели следующую теоремуF

пуклый многогранник, на котором (G, w) реализуется как минимальная сеть, тогда и только тогда, когда (G, w) обладает свойствами: (1) степень каждой вершины равна тр?м; (2) всякая грань является не более чем шестиугольной; (3) w(v1 v2 ) + w(v2 v3 ) = w(v4 v5 ) + w(v5 v6 ) для любой нумерации v1 . . . v6 последовательных вершин любой шестиугольной грани; (4) w(v1 v2 ) < w(v2 v3 ) + 2w(v3 v4 ) + w(v4 v1 ) для любой нумерации v1 . . . v4 последовательных вершин любой четыр?хугольной грани; (5) w(v1 v2 ) < w(v3 v4 ) + w(v4 v5 ) для любой нумерации v1 . . . v5 последовательных вершин любой пятиугольной грани.
Для любого плоского графа G весовая функцияD принимающая на каждом ребре значение ID удовлетворяет условиям Q!SD откуда вытекает следующее следствиеF
Следствие 5. Для всякого плоского графа G, у которого степень всех

Теорема 7. Для взвешенного плоского графа (G, w ) существует вы-

вершин равна тр?м и все грани не более чем шестиугольные, существует выпуклый многогранник, на котором G реализуется как минимальная сеть.
Следующая теорема " ещ? одно следствие леммы QFTF

Теорема 8. Для всякого графа (G, w ) со свойствами (1)(5) из теоре-

мы 7 существует единственный @с точностью до движения в R3 A выпуклый многогранник, на котором (G, w) реализуется как простая минимальная сеть, прич?м на этом многограннике существует единственная с точностью до движения R3 минимальная сеть, реализующая данный взвешенный граф. Доказательство. Доказательство существования представляет собой поE вторение доказательства достаточности в предыдущей теоремеD но с уч?E том пункта P леммы QFTF Для доказательства единственности предполоE жимD что нашлись два многогранникаD на каждом из которых данный плоский взвешенный граф реализуется как простая минимальная сетьF В силу пункта Q леммы QFT ячейки двух сетейD соответствующие одной и той же грани плоского графаD представляют собой изометричные многоE угольникиF Поскольку комбинаторная структура двух сетей одинаковаD эти

44


ячейки склеены между собой в двух сетях одинаковым образомD поэтомуD объединяя изометрии пар ячеекD получаем изометрию одного многогранE ника на другойD переводящую данные минимальные сети друг в другаF По теореме S такая изометрия может быть реализована движением R3 D что и требовалосьF
3.2.3 Дважды покрытые треугольники

Теорема 9. В случае многогранников с тремя вершинами @т.е. дважды

покрытых треугольниковA необходимое условие на кривизны из теоремы 6 является достаточным.
Доказательство. Для выполнения необходимого условия из теоE

ремы T вершины многогранника должны иметь кривизны { 43 , 43 , 43 }D { , 43 , 53 } или { 23 , 53 , 53 }F Каждому из этих наборов кривизн соответствуE ет один @с точностью до гомотетииA дважды покрытый треугольникF На рисF QFI для каждого из случаев изображена разв?ртка многогранника и пример минимальной сети на н?мF

Теорема 10. На дважды покрытом треугольнике любая минимальная

сеть может быть переведена параметрической деформацией в классе минимальных сетей в сеть, длины всех р?бер которой одинаковы.
Доказательство опирается на теорему V и

тот фактD что в случае тр?х вершин их кривизны однозначно определяют многогранник с точностью до подобияF ИтакD пусть на любом из тр?х возможE ных дважды покрытых треугольников имеется миE нимальная сеть типа GD реализующая некоторый плоский граф (G, w) @тFеF длина ребра (e) равна w(e)D e E (G)AF Рассмотрим семейство взвешенE ных графов (G, wt ), 0 t 1 с весовой функциE ей wt (e) = (1 - t)w(e) + tF ДокажемD что все эти взвешенные графы реализуются как минимальные сети на многогранникахF Для этого проверим выE полнение условий теоремы UF Условия I и P выE полненыD так как (G, w0 ) реализуетсяF Кроме тоE гоD w1 (e) 1D поэтому для (G, w1 ) также выполE нены все условия теоремы UF При фиксированном G условия Q!S ограничивают выпуклое подмножеE Рис. 3.1: Все дважды поство в множестве всех весовых функцийD поэтому крытые треугольники, имеwt D как выпуклая линейная комбинация w0 и w1 D ющие минимальную сеть также удовлетворяет условиям Q!SD а значитD по теореме VD существует выE пуклый многогранник Pt D на котором взвешенный плоский граф (G, wt )

45


реализуется как простая минимальная сетьF Тогда многогранник Pt долE жен иметь ровно три вершины тех же кривизнD что и исходный дважды покрытый треугольник P0 D а значитD Pt может отличаться от P0 только растяжением с некоторым коэффициентом kt F ЗначитD каждый взвешенE 1 ный граф из семейства (G, kt wt ) реализуется на P0 как минимальная сетьF Обозначим эту сеть через t F Нам осталось доказатьD что параметрическая деформация t непрерывнаF Коэффициент kt непрерывенD так как он проE порционален площади разв?рткиD а она непрерывно зависит от wt D поэтому 1 семейство взвешенных графов (G, kt wt ) непрерывноF ЗначитD соответствуE ющие многогранные метрики непрерывно зависят от t @в смысле топологии из леммы QFIAF Рассмотрим отображениеD ставящее в соответствие разв?ртE ке @многогранной метрикеA пару @изометричный ей многогранникD граниE цы многоугольников разв?рткиD нарисованные на этом многогранникеAF В силу леммы QFI это отображение непрерывно @относительно топологии в образеD считающей близкими близкие многогранники с близким разбиениE ем на многоугольники разв?рткиAF В нашем случае образ границ многоE угольников разв?ртки " это сетьD откуда и вытекаетD что t непрерывно зависит от tF
Замечание 3. Из теорем V и IH вытекаетD что минимальные сети на дваE

жды покрытых треугольниках однозначно @с точностью до линейной деE формацииA соответствуют 3Eвалентным плоским графам с тремя граняE ми степени меньше T и остальными гранями степени ровно TF ИлиD экE вивалентноD двойственным графамD тFеF @рассматриваемым с точностью до гомеоморфизма сферыA триангуляциям сферыD все вершины которыхD за исключением тр?хD имеют степень TD а три оставшиеся имеют степеE ни (1, 2, 3), (2, 2, 2) или (1, 1, 4)F Множество таких триангуляцийD как уже отмечалось во введенииD изучено в работе QSF В случае многогранников с тремя вершинами геометрическая конE струкция построения триангуляцийD описанная в QSD оказывается совсем простой и да?т результатD который мы формулируем в следствии T после краткого описания конструкцииF Конструкция. Возьм?м любую из изображ?нных на рисF QFI разE в?рток @мы возьм?м ?чистую? разв?рткуD без нарисованной на ней сетиA и поместим е? на плоскостьD разбитую на правильные шестиугольникиD такD чтобы все вершины разв?ртки оказались в центрах шестиугольников разE биенияF ?Вырежем? разв?ртку из плоскости и склеим дважды покрытый треугольник T F Попавшие на разв?ртку ?следы? шестиугольников разбиE ения превратятся в минимальную сеть на T F
Следствие 6. Любая минимальная сеть на дважды покрытом треуголь-

нике может быть линейной деформацией в классе минимальных сетей

46


переведена в минимальную сеть, полученную в результате этой конструкции.
Для произвольного многогранника аналоги теоремы IH и замечаE ния Q неверны даже в случае простых сетейD что и делает задачу о миниE мальных сетях на многогранниках не только комбинаторнойD но и геометE рическойF
Замечание 4. Дважды покрытые треугольники
с кривизнами { 43 , 43 , 43 } и { , 43 , 53 } допускают разветвл?нные накрытия плоским торомD склееE ным из ромба с углом @смF рисF QFPAF Отсюда слеE 3 дуетD что любая минимальная сеть на таких многоE гранниках при помощи поднятия канонически моE жет быть переведена в минимальную сеть на этом плоском тореF ОбратноD все минимальные сети на этом плоском тореD обладающие определ?нными симметриямиD проецируются в минимальные сеE ти на дважды покрытых треугольникахF Это позE воляет при желании ?спроецировать? описанную в VD IR классификацию минимальных сетей на Рис. 3.2: Накрытия тором. плоских торах и получить классификацию минимальных сетей на двух указанных дважды покрытых треугольникахF Мы не будем этим заниE матьсяD так как в силу предыдущего замечания это фактически привед?т к частным случаям описанной в QS классификацииF

3.2.4

Минимальные сети на тетраэдрах

Выпуклый многогранник с четырьмя вершинами " это либо тетраэдрD лиE бо дважды покрытый выпуклый четыр?хугольникF Ниже мы будем допусE кать вольность речи и называть тетраэдрами все выпуклые многогранники с четырьмя вершинамиF
Теорема 11. Если на поверхности тетраэдра существует минимальная

сеть, то набор полных углов тетраэдра имеет один из семи видов: (равногранные) { , , , } (1-1) { /3, /3, , } (1-2) { /3, 2 /3, , } (1-3) { /3, , , } (1-4) { /3, 4 /3, , } (2-2) {2 /3, 2 /3, , } (2-3) {2 /3, , , }

47


Замечание 5. Здесь , " полные углы вершинD про которые в теореме

ничего не утверждаетсяF Написанное в круглых скобках сочетание цифр будем называть типом соответствующего тетраэдраF Один и тот же тетE раэдр может принадлежать нескольким типамF

Доказательство. Вспоминаем теорему TF Поскольку вершин четыре и их суммарная кривизна равна 4 D возможны два вариантаX IA кривизна кажE дой вершины кратна D PA кривизны двух вершин кратны D а кривизны 3 3 двух других в сумме дают строго меньшеD чем 2 F В варианте @IA либо сумма кривизн любых двух вершин равна 2 D и тогда кривизна каждой вершины тетраэдра равна D а это означает IPD задача PFQPD что тетраE эдр равногранный @все его грани " равные треугольникиAF ЛибоD так же как и в варианте @PAD найд?тся пара вершин с кривизнамиD кратными D и 3 суммарной кривизной больше 2 F Простым перебором получаемD что пара кривизн этих вершин может принимать шесть значений @ 53 и 53 D 53 и 43 D 5 5 2 4 4 4 3 и D 3 и 3 D 3 и 3 D 3 и AF Им соответствуют шесть пар полных угловD указанных в формулировке теоремыF
gледующий несложный факт следуетD напримерD из классификации минимальных сетей на равногранных тетраэдрах VD ISF
Теорема 12. На любом многограннике с четырьмя вершинами и кривиз-

нами { , , , } существует простая минимальная сеть.

Теорема 13. На всех тетраэдрах, кроме некоторых тетраэдров типа

1-4, существует минимальная сеть.

Доказательство непосредственно вытекает из следующей теоремыF
IA 53 , 53 , PA 43 , 53 , QA 43 , 43 , RA , 53 , или SA , 43 , то на этм многогарннике существует минимальная сеть. Более того, для любой A-B геодезической на этом многограннике существует минимальная сеть, расположенная в сколь угодно малой окрестности этой геодезической.

Теорема 14. Если у многогранника есть две вершины A и B кривизн

Доказательство. Рассмотрим любую геодезическую D соединяющую две данные вершины @хотя бы одна такая геодезическая всегда существуетD смF следствие RAF Рассмотрим малое такоеD что окрестность B ( ) не содерE жит других вершин многогранникаF Выпустим из вершины A луч геодеE зической A D составляющий равные углы с геодезической @углы измеряE ются во внутренней метрике на поверхности многогранникаAD и провед?м этот луч до пересечения с границей окрестности B ( )F Аналогично поE строим луч B из вершины B F Сделаем разрез поверхности многогранника вдоль двух провед?нных лучейF Множество B ( ) \ A \ B " геодезичеE ский многоугольникD не содержащий внутри себя вершин многогранникаD

48


Рис. 3.3: Минимальные сети, расположенные в -окрестности геодезической, соединяющей пару вершин многогранника. Рядом с каждой вершиной указана е? кривизна.
поэтому его можно ?развернуть на плоскость?D более тогоD во всех наE ших пяти случаях он изометричен плоскому вложенному многоугольникуD смF рисF QFQF На левой верхней картинке изображ?н случай вершин с криE визнами 53 , 53 и отмечены все вершины получившегося многоугольникаF Отрезок AB " геодезическая D отрезки AA1 , AA2 соответствуют разрезу вдоль A D B B1 , B B2 " разрезу вдоль B D граница окрестности B ( ) соE стоит из двух отрезков A1 B1 и A2 B2 F Во всех пяти случаях на рисунке избраж?н пример минимальной сетиF Легко видетьD что при склеивании изображ?нные сети превращаются в минимальную сеть на многограннике и что построение этих сетей возможно в любой сколь угодно малой окрестE ности отрезка AB D тFеF геодезической F Как уже было сказано в разделе QFPFID на некоторых тетраэдах типа (1-4) минимальных сетей нетF Мы докажем этот факт в разделе QFPFS @теорема IWAF А сейчас привед?м пример тетраэдров этого типаD имеющих минимальную сетьF
Теорема 15. Существуют тетраэдры типа (1-4), не принадлежащие

другим типам, на которых есть минимальная сеть.

Доказательство. Пусть в тетраэдре AB C D полные углы при вершинах B и A равны /3 и 4 /3 и выполняется следующее условиеX ребро AB соE

49


Рис. 3.4: Тетраэдр типа (1-4): пример с минимальной сетью. На разв?ртке пунктиром отмечены р?бра тетрадра. В изображ?нном случае точка X середина ребра C D.
ставляет с р?брами AC и AD углыD большие /6F Тогда на этом тетраэдре D смF рисF QFRF По этому рисункуD в частностиD существует сеть типа видноD что тетраэдры типа (1-4)D обладающие указанным условиемD суE ществуютF Теорема доказанаF
Теорема 16. Если кривизны всех вершин многогранника с четырьмя вер-

шинами кратны , то на этом многограннике существует минимальная 3 сеть. Доказательство. Рассмотрим две вершины с наибольшими кривизнамиF УчитываяD что сумма четыр?х кривизн равна 4 D получаемD что две наиE больших кривизны могут быть равны либо , @в случае равногранного тетраэдраAD либо 43 , D либо 43 , 43 D либо 53 , D либо 53 , 43 D либо 53 , 53 F СуE ществование минимальных сетей на равногранных тетраэдрах вытекает из работы IR @теорема IPAFDYD а во всех остальных случаях " из теоремы IQ @или из теоремы IRAF
3.2.5 Система разрезов: геометрическое необходимое условие.

Пусть многогранник P удовлетворяет необходимому условию из теореE мы TF Рассмотрим какоеEнибудь из разбиений множества V его вершин на подмножества V1 . . . Vs D подходящие под это условиеF Как найти миE нимальную сетьD разбивающую вершины этим способом @или убедитьсяD что такой сети нетAc Для каждого Vi мы знаемD что его вершины должны содержаться в одной ki Eугольной ячейке сетиD где ki определяется соотноE шением vVi k (v ) = 2 - 2ki @лемма QFSAF Наша задача " ?нарисовать? 3

50


?вокруг? каждого множества Vi свой ki Eугольник Ui @ячейкуA такD чтобы их внутренности не пересекались между собойD иD более тогоD чтобы объE единение границ всех Ui можно былоD возможноD добавив некоторые р?бE раD превратить в минимальную сетьF Одна из сложностей здесь в томD что ?окружать? несколько точек многоугольником можно существенно разными способамиD тFеF не гомотопными в классе гомотопийD не проходящих через вершины многогранникаF Чтобы формализовать понятие ?способа окружения вершин ячейками?D мы вводим следующее определениеF
Определение. Системой разрезов на многограннике P будем называть

разбиение его множества вершин V = V1 . . . Vs и систему попарно непересекающихся подмножеств многогранника {Mi }s=1 D если для каждоE i го i = 1, . . . , s @IA Vi удовлетворяет условию теоремы T @тFеF сумма кривизн вершинD вхоE дящих в Vi D равна одному из чисел /3, 2 /3, , 4 /3, 5 /3A @PA Vi Mi @QA Mi " это либо точка из Vi D либо геодезическая с концами в Vi D либо заE мкнутый геодезический многоугольникD все вершины которого содержатся в Vi @RA все углы многоугольника P \ Mi больше или равны @если Mi не одE ноточечноFA Пусть дана минимальная сеть с нешестиугольными ячейками Ui D i = 1, . . . , s на многограннике с множеством вершин V F Положим Vi = V Ui и Mi = C (Vi , Ui ) @здесь C (X, U ) " выпуклая оболочка подмноE жества X U D смF определения в разделе QFIFPAF Из леммы QFR следуетD что {Vi , Mi }s=1 " система разрезовF Будем говоритьD что эта система разреE i зов соответствует данной минимальной сетиF ИтакD доказано следующее необходимое условие существования минимальной сетиF
Теорема 17. Если на выпуклом многограннике есть минимальная сеть,

то на этом многограннике существует система разрезов.

Это необходимое условие сильнееD чем необходимое условие из теоE ремы T @смF теорему IW нижеAF Однако оно поEпрежнему не является доE статочнымF
Теорема 18. Существует многогранник, имеющий систему разрезов,

хотя на н?м нет ни одной минимальной сети.

Доказательство мы приводим в разделе QFQFQF В качестве искомого примера будет построен многогранникD напоминающий очень вытянутый прямоугольный параллелепипедF ОтметимD что это доказательство обобE щает идеи неопубликованной дипломной работы Максима ГортинскогоD посвящ?нной минимальным сетям на кубеF

51


Пример: прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим прямоE

угольный параллелепипед P с размерами Ч w Ч hF Кривизна каждой его вершины равна F Какой может быть система разрезовc Из пункта @IA 2 определения системы разрезов вытекаетD что каждое множество Vi должE но состоять из двух вершин @их суммарная кривизна равна AF В качестве множеств Mi можно рассмотреть любую четв?рку попарно непересекаюE щихся геодезических с концами в вершинах параллелепипеда @отметимD что при этом углы P \ Mi равны 32 D тFеF все условия из определения системы разрезов выполненыAF На любом параллелепипеде существуE ет минимальная сетьF НапримерD пусть w hD тогда несложно проверитьD что суE ществует сетьD изображ?нная на рисF QFS на одной из стандартных разв?рток параллелеE пипеда Ч w Ч hF Система разрезовD соответE ствующая этой минимальной сетиD состоит из двух самых коротких р?бер и двух средE них по длине @они выделены пунктиромAF Доказательство следующей теоE ремы IW показываетD что необходимое условие на кривизны из теоремы T слабее Рис. 3.5: Сеть на паралеллепипеде. необходимого условия на наличие системы разрезов из теоремы IUF
Теорема 19. Минимальной сети нет на любом тетраэдре AB C D , удо-

влетворяющем следующим условиям на кривизны вершин, длину ребра C D и площадь поверхности S (сумму площадей граней) @IA k (A) = 23 , k (B ) = 53 , < k (D) < , 76 < k (C ) < 43 ; 3 2 @PA |CS |2 < 1 . D 4

Замечание 6. Можно проверитьD что эта

теорема представляет собой усиление теореE мы S из работы QUD упоминавшейся в разE деле QFPFIF На рисF QFT показаноD как построE ить пример разв?ртки A1 C1 DC2 A2 B дваE жды покрытого четыр?хугольника AB C DD подходящего под условия теоремы IWF Здесь Рис. 3.6: Разв?ртка тетраэдра. X A1 B A2 " ромб с углом 3 D точка D принадE лежит диагонали X B ромбаD C1 DC2 чуть больше D а длина A1 C1 = A2 C2 мала по сравнению со стороной ромбаF 3

Доказательство. ПокажемD что на многограннике AB C DD удовлетворяюE щем условиям теоремыD не существует системы разрезов " тогда по теореE

52


ме IU на н?м не существует и минимальных сетейF Предположим противное и расмотрим систему разрезов {Vi , Mi }F Из условия @IA следуетD что криE визна каждой из вершин C и D не кратна F Учитывая тот фактD что сумE 3 ма кривизн всех вершин сферического многогранника равна 4 D получаемD что k (C ) + k (D) = 53 и единственное возможное разбиение вершин на три подмножества в системе разрезов " это V1 = {A}, V2 = {B }, V3 = {C, D}F Рассмотрим множество M3 F Поскольку полный угол в вершине C меньше D C не может лежать на границе M3 D иначе нарушится свойство @RA из определения системы разрезовF ЗначитD на границе M3 лежит только верE шина DD тFеF M3 " одноугольник с вершиной DD содержащий внутри себя вершину C F ДокажемD что такого одноугольника на нашем тетраэдре не сущеE ствуетF ПоEпрежнему предполагая противноеD найд?м кратчайшую геодеE зическую внутри M3 D соединяющую C и D @лемма QFQAF Тогда M3 \ " геодезический треугольникD изометричный равнобедренному треугольниE ку C D1 D2 на плоскостиF Прич?м в треугольнике C D1 D2 угол при вершине C равен полному углу при вершине C тетраэдраD тFеF 23 < D1 C D2 < 56 F 1 Оценим площадь треугольника S (C D1 D2 ) = 2 |C D1 | ћ |C D2 | sin D1 C D2 > 1 1 21 2 2 ( ( )) ћ 2 4 |C D | D поскольку ребро короче любой геодезическойD соE единяющей его концыF Но площадь треугольника равна площади одноE угольника M3 D котораяD в свою очередьD меньше площади поверхности тетраэдраD обозначенной через S в формулировке теоремыF Получаем S > S (D1 C D2 ) > 1 |C D|2 D противоречие с условием @PA доказываемой теоE 4 ремыF
3.2.6 Сведение задачи к простым минимальным сетям.

Из теорем U и V вытекает следующий фактF

нике P существует единственный выпуклый многогранник PS (N ), на котором существует простая минимальная сеть, изометричная сети N .

Следствие 7. Для всякой минимальной сети N на выпуклом многогран-

Более тогоD в разделе QFQFP будет показаноD что для всех минимальных сетей N на многограннике P D которым соответствует данная система разE резовD многогранник PS (N ) будет одним и тем жеD тFеF верна следующая теоремаF

существует и единственен многогранник PS (Mcut ) такой, что для любой минимальной сети N на многограннике P , которой соответствует система разрезов Mcut , существует простая минимальная сеть на многограннике PS (Mcut ), изометричная сети N .

Теорема 20. Для каждой системы разрезов Mcut на многограннике P

53


В доказательстве будет показаноD что разв?ртку многогранниE ка PS (Mcut ) можно построить конструктивноF Таким образомD для изучеE ния минимальных сетей на данном многограннике P можно рассмотреть всевозможные системы разрезов на P D для каждой системы разрезов Mcut построить соответствующий многогранник PS (Mcut ) и на н?м изучить проE стые минимальные сетиF Затем перенести полученные результаты обратно на многогранник P F При этомD вообще говоряD не все простые минимальE ные сетиD реализующиеся на PS (Mcut )D реализуются на P D верно только утверждение в обратном направленииF Эта конструкция принципиально сводит задачу поиска произвольE ных минимальных сетей на данном многограннике P к задаче поиска проE стых минимальных сетей на некотором семействе многогранников S (P )F Вторая задача в некотором смысле проще первойD поскольку простые миE нимальные сети существуют лишь на многогранникахD все кривизны котоE рых кратны F К сожалениюD гарантироватьD что семейство S (P ) конечноD 3 мы не можемD поскольку существуют многогранники с бесконечным чисE лом систем разрезов @напримерD кубAF
Замечание 7. Поскольку для любых двух точек многогранника множеE

ство геодезических с концами в этих точках не более чем сч?тноD множеE ство всех возможных систем разрезов на любом многогранникеD а значит и семейство S (P )D тоже не более чем сч?тноF
Гипотеза 1. Каждый выпуклый многогранник имеет не более чем ко-

нечное число систем разрезов, которым соответствуют минимальные сети.
3.2.7

Факты и гипотезы о существовании минимальных сетей на многогранниках

Поскольку необходимое условие на кривизны @теорема TA не является доE статочным @раздел QFPFS теорема IWAD возникает вопрос о достаточности следующего более сильного условия @не являющегося необходимымAF
Гипотеза 2. Если кривизны всех вершин многограника кратны , то на 3

этом многограннике существует минимальная сеть.

Как мы уже знаемD это верно для дважды покрытых треугольников @теоE рема WA и тетраэдров @теорема ITAF По лемме QFS из существования простой минимальной сети на мноE гограннике следуетD что кривизна каждой вершины этого многогранника делится на F Следующая гипотеза " усиление гипотезы PF 3

этом многограннике существует простая минимальная сеть.

Гипотеза 3. Если кривизны всех вершин многограника кратны , то на 3

54


Справедливость этой гипотезы доказана только в случае многогранE ников с тремя вершинами @наша теорема WAD в случае равногранных тетраE эдров @теорема IPA и в случае тетраэдров с кривизнами { , , 53 , 53 } @смF 33 теорему PP нижеAF Следующую теорему PI можно рассматривать как новый аргумент ?в пользу? гипотезы QF
Теорема 21. Пусть P (k1 , . . . , kn ) множество многогранников с n вер-

шинами и кривизнами k1 , . . . , kn , где ki Z, ki 0. Тогда множество 3 3 многогранников, имеющих простую минимальную сеть, открыто и всюду плотно в P (k1 , . . . , kn ).
Открытость и всюду плотность здесь понимается относительно тоE пологии на P (k1 , . . . , kn )D порожд?нной следующим отношениемF Два мноE гогранника с n занумерованными вершинами -близки D если их можно расположить в R3 такD что расстояния между соответствующими вершиE нами меньше F Доказательство теоремы PI приведено в разделе QFQFRF
3.2.8 Физические соображения ми { , , 53 , 53 } 33 и тетраэдры с кривизна-

Верн?мся к сделанному во введении замечаниюD что минимальная сеть ?натянута на многогранник и не соскальзывает с его поверхности?F ЯсE ноD что на любом многограннике можно нарисовать сколько угодно немиE нимальных сетейF Естественно спроситьX а что происходит с соответствуE ющими сетями из эластичных нитейD тFеF ?куда? они ?соскальзывают?c СоскальзываяD сеть сокращает свою длинуD и если в некоторый ?регулярE ный? момент соскальзывание прекратитсяD то это будет означатьD что сеть достигла локального минимума длиныD тFеF превратилась в минимальную сеть3 Однако чаще такое соскальзывание заканчивается темD что р?бра сети ?наезжают? на вершины многогранникаD переходят через нихD иD в конце концовD вся сеть оказывается внутри одной граниD где и сжимается в точку " абсолютный минимум длиныF Если же уда?тся показатьD что на данном многограннике ?соскальE зывание? должно ?остановиться?D то это значитD что на данном многогранE нике существует минимальная сетьF НапримерD можно показатьD что ребро сети не может ?наехать? на вершину с полным углом не больше F НоD к соE жалениюD многогранниковD у которых полные углы всех вершин не больше @тFеF кривизны не меньше AD очень малоX это равногранные тетраэдры и дважды покрытый равносторонний треугольникY с минимальными сетями на этих многогранниках и так вс? ясноF

55


Описанные соображения оказались полезны в случае многогранников с кривизE нами { 53 , 53 , , }F 33
визнами { 53 , 53 , , } существует простая 33 минимальная сеть, а именно, всегда существует минимальная сеть, реализующая плоский граф, изображ?нный на рис. 3.7.

Теорема 22. На любом тетраэдре с кри-

Рис. 3.7:
ми

Сеть такого типа реализу-

ется на всех тетраэдрах с кривизна-

{

5 5 3 , 3 , 3, 3

}.

Доказательство этой теоремы мы приводим в разделе QFQFSF СетьD существование которой устанавливается в доказательствеD имеет наименьE шую длину среди сетей на данном тетраэдреD имеющих типD изображ?нный на рисF QFUD и содержащих внутри каждой своей пятиугольной ячейки одну вершину тетраэдра кривизны D а внутри каждой одноугольной ячейки " 3 5 одну вершину кривизны 3 F ОтметимD что аналог теоремы PP для проE извольного графа и тетраэдров с соответствуE ющими кривизнами неверенF НапримерD можE но доказатьD что минимальная сетьD реализуE ющая графD изображ?нный на рисF QFVD сущеE Рис. 3.8: Сеть такого типа существует НЕ на всех ствует не на всех многогранниках с кривизнаE тетраэдрах с кривизна ми { 43 , 43 , 23 , 23 }F Открыт следующий вопрос ми { 43 , 43 , 23 , 23 }. @имеющий смысл при условииD что верна гипотеE за QAX верно лиD что для каждого семейства многогранников с фиксированE ными кривизнамиD кратными @тFеF множества P (k1 , . . . , kn )D введ?нного 3 в формулировке теоремы PIAD существует плоский графD реализующийся как минимальная сеть на всех многогранниках этого семействаF
3.3 Доказательства теорем про сети на многогранниках
3.3.1 Доказательство леммы 3.6 о длинах сторон геодезического многоугольника

При n = 6 из формулы ГауссаEБонне @лемма QFPA вытекаетD что суммарная кривизна вершин внутри шестиугольника с углами по 120 должна быть равна нулюD тFеF речь ид?т о плоском шестиугольнике с углами по 120 и заданными длинами сторонF Пусть a1 + a2 = a4 + a5 и a2 + a3 = a5 + a6 F Рассмотрим правильный треугольник со стороной a1 + a2 + a3 и отрежем от него три угла в виде правильных треугольников со сторонами a1 D a3 и a5 F Из равенств a1 + a2 + a3 = a3 + a4 + a5 = a5 + a6 + a1 следуетD

56


что получившийся шестиугольник будет иметь требуемые длины сторонF Для доказательства в обратную сторону нужноD наоборотD достроить шеE стиугольник до правильного треугольникаF Пункты P и Q леммы в этом случае очевидныF При n < 6 суммарная кривизна точек внутри nEугольника с углами 120 равна 2 - n @лемма QFPAF Из теоремы V книги ID глF SD I вытеE 3 каетD что если для данных длин сторон и углов существует геодезический многоугольникD то существует такой многоугольникD содержащий внутри себя единственную вершину положительной кривизны @смF также сноску к доказательству этой теоремы V книги ID глF SD IAF Поэтому пункт P леммы QFT вытекает из пункта ID и для доказательства пункта I достаE точно рассматривать многоугольникиD содержащие ровно одну вершину положительной кривизныF Дальнейшие рассуждения @кроме леммы QFUA во многом аналогичны доказательству той же теоремы V книги ID глF SD ID но мы приводим их для полнотыF Пусть для данных a1 , . . . , an существует геодезический многоугольE ник A1 A2 . . . An D Ai = 120 D содержащий внутри себя единственную верE шину положительной кривизны X F Через i обозначим кратчайшую внутE ри этого многоугольникаD соединяющую X и Ai @i существуют и являE ются геодезическимиD смF лемму QFQAF Легко показатьD что в нашем случае i определены однозначно и не пересекаются между собойF ТреугольниE ки Ai Ai+1 X D ограниченные i , i+1 и стороной Ai Ai+1 D не содержат внутри себя вершин ненулевой кривизныD и потому изометричны треугольникам на плоскостиF Нарисуем эти треугольники на плоскости последовательE ноD сначала A1 X A2 @изометричный треугольнику A1 X A2 AD затем A2 X A3 @изометричный треугольнику A2 X A3 D по другую сторону от отрезка A2 X AD и тFдFD а последний треугольникD изометричный треугольнику An X A1 D обоE значим через An X A1 F Тогда суммарный угол треугольников при вершине X равен полному углу многогранной метрики в вершине X D тFеF nF ОтE 3 сюда ясноD что треугольники не перекрываютсяD и их объединение предE ставляет собой вложенный (n + 2)Eугольник на плоскостиD ограниченный замкнутой ломаной A1 A2 . . . An A1 X A1 D прич?м |A1 X | = (1 ) = |A1 X |D Ai = 120 , i = 2, . . . , nD |A1 A2 | = a1 , |Ai Ai+1 | = ai , |An A1 | = an D X = 3 nF ОбратноD если такой плоский многоугольник для данных a1 , . . . , an существуетD то задав на н?м склейку A1 X A1 X D получим разв?ртку требуемого геодезического многоугольникаF ИтакD пункт I леммы QFT равE носилен следующей лемме QFUF

со свойствами |A1 A2 | = a1 , |Ai Ai+1 | = ai , |An A1 | = an , |A1 X | = |A1 X |, Ai = 120 , i = 2, . . . , n, X = n существует при n 3 : для любых ai > 0, а при 3 больших n тогда и только тогда, когда
Лемма 3.7. Плоский многоугольник A1 A2 . . . An A1 X

57


Рис. 3.9:

В центре:

> 30 2(

a1 2

+ a2 + a3 ) > a4 + a

3

; справа:

> 60 a5 < a2 + a3

.

при n = 4 : ai < ai+1 + 2ai+2 + ai+3 , i = 1, . . . , 4 @считаем ai+4 = ai для всех iAY при n = 5 : ai < ai+2 + ai+3 , i = 1, . . . , 5 @считаем ai+5 = ai для всех iA.
Прежде чем перейти к доказательству леммы QFUD заметимD что ломаная A1 A2 . . . An A1 однозначно зада?тся длинами своих сторон @a1 , . . . , an A и @ориентированнымиA углами @все по 120 AF Положение точки X тоже определено однозначно " это вершина равнобедренного треугольE ника с данным основанием и угломF ЗначитD набор a1 , . . . , an однозначно зада?т построенную нами разв?ртку геодезического многоугольникаD а знаE чит и сам многоугольникD тFеF доказан пункт Q леммы QFTF Доказательство леммы 3.7. Для заданных a1 , . . . , an рассмотрим плоскую ломаную A1 A2 . . . An A1 с данными длинами сторон и углами по 120 D а затем построим точку X как вершину равнобедренного треугольE ника A1 A1 X с нужным углом X F При n = 1, 2, 3 внутренний угол X ломаной A1 A2 . . . An A1 X равен 3n D поэтому очевидноD что ломаная A1 A2 . . . An A1 X A1 не имеет самопересечений и ограничивает вложенный многоугольникD тFеF случай n 3 разобранF При n = 4 многоугольник A1 A2 A3 A4 A1 при любых a1 , . . . , a4 являE ется выпуклымF Пусть нумерация вершин в A1 A2 A3 A4 A1 ид?т по часовой стрелкеF Будем говоритьD что AB C положителенD если луч AB перехоE дит в луч B C при повороте против часовой стрелки на уголD меньший F Отсутствие самопересечний у замкнутой ломаной A1 A2 A3 A4 A1 X A1 равE носильно томуD что точка X лежит внутри пятиугольника A1 A2 A3 A4 A1 D а это равносильно положительности углов Ai Ai+1 X , i = 1, 2, 3 и A4 A1 X F ДокажемD что положительность углов равносильна системе неравенствF Сначала докажемD что A4 A1 X положителен тогда и только тогдаD

58


когда a4 < a3 + 2a2 + a1 F Построим правильный A3 A4 R и прямоугольE ный A1 A2 Q с углами , , и гипотенузой A1 A2 и рассмотрим P QR с 632 углами , , D смF рисF QFW @в центреAF ЗаметимD что |QR| = a1 + a2 + a3 D а 632 2 |A2 R| = a4 + a3 F ЗначитD |P R| = a1 + 2a2 + 2a3 > a4 + a3 = |A1 R| равносильE но томуD что A1 лежит внутри гипотенузы треугольника P QRD и потому равносильно условию A1 A1 A4 > D тFеF A4 A1 X > 0D что и требовалосьF 6 Рассмотрим теперь любой из углов Ak-1 Ak X D i = 2, 3, 4D и заE мкнутую ломаную L(k )D состоящую из отрезков A1 X D X Ak и участка ломаной A1 A2 A3 A4 A1 от Ak до A1 F Поверн?м ломаную L(k ) на 23 по чаE совой стрелке вокруг точки X F При этом точка A1 перейд?т в A1 D обE раз вершины Ai , k i 4 обозначим через Ai и рассмотрим ломаную Ak . . . A4 A1 A2 . . . Ak-1 F Все углы этой ломаной по построению равны 120 D длины сторон " ak , ak+1 , . . . , an , a1 , . . . , ak-1 D |Ak X | = |Ak X |D ?внутренE ний? Ak X Ak = 240 F ТFеF это ломаная с теми же свойствамиD но для набора (ak , ak+1 , . . . , an , a1 , . . . , ak-1 )F Условие тогоD что Ak-1 Ak X полоE жителен равносильно условиюD что положителен его образ при поворотеD тFеF Ak-1 Ak X D а это уже выведенное нами условие на положительность ?крайнего? угла для Ak . . . A4 A1 A2 . . . Ak-1 Ak X D тFеF в точности соответE ствующее неравенство системыF Случай n = 5 может быть разобран аналогично с использованием рисF QFW @правый рисунокAF
3.3.2 Доказательство теоремы 20 о многограннике, на котором минимальные сети реализуются как простые.

Пусть дана система разрезов Mcut = {Vi , Mi }F Рассмотрим незамкнутый многогранник QD получающийся из P выбрасыванием всех неодноточечE ных Mi F По определению системы разрезов углы Q во всех граничных вершинах не меньше D поэтому по теореме ID глF SD ID теорF V существуE ет и единственен замкнутый многогранник PS D содержащий незамкнутый многогранник Q1 D изометричный Q и такойD что всякая компонента связE ности PS \ Q1 содержит ровно по одной вершине многогранника PS F В I разв?ртка многогранника PS строится конструктивно " используется поE строение разв?ртки геодезического многоугольника с заданными длинами сторон и величинами углов и единственной вершиной положительной криE визныF Это построение выполняется с помощью разв?рткиD аналогичной разв?ртке A1 A2 . . . An A1 X из предыдущего пунктаF Если минимальной сети N на многограннике P соответствует систеE ма разрезов Mcut D то N QF Поскольку многогранник Q1 изометричен QD на н?м имеется сеть N1 D изометричная @как множествоD в смысле внутренE них метрик на Q и Q1 A минимальной сети N F По построению в каждой

59


нешестиугольной ячейке сети N1 содержится ровно одна вершина мноE гогранника PS F ИтакD все минимальные сети с данной системой разрезов на P реализуются как простые минимальные сети на многограннике PS F Единственность PS вытекает из теоремы VF
3.3.3 Пример многогранника без минимальных сетей, имеющего систему разрезов (теорема 18).

Этот раздел посвящ?н доказательству теоремы IVF В качестве искомого примера мы построим многогранникD напоминающий очень вытянутый прямоугольный параллелепипедF Дело в томD что при достаточно большой длине @по сравнению с w и hA на параллелепипеде Ч w Ч h не существует минимальной сети с системой разрезовD состоящей из четыр?х р?бер длины F ОднакоD как мы отмечали в разделе QFPFSD на любом параллелепипеде суE ществует минимальная сеть @хоть с какойEнибудь системой разрезовAD так что сам параллелепипед не подходит для доказательства теоремы IVF Мы чутьEчуть пошевелим вершины ?длинного? параллелепипеда такD чтобы на н?м ?не осталось? систем разрезовD содержащих относительно коротE кие геодезические @как в примере на рисF QFSAD " тогда минимальная сеть должна иметь систему разрезов с длинными геодезическимиD чтоD как мы покажемD невозможноD и тем самым будет доказано отсутствие минимальE ных сетей на этом многогранникеF

раллелепипеда P размером Ч w Ч h существует многогранник P с восемью вершинами и биекция : V (P ) V (P ) такие, что @IA |k (v ) - | < для всех v V (P ); 2 @PA для v1 , v2 V (P ) равенство k ( (v1 )) + k ( (v2 )) = выполняется тогда и только тогда, когда v1 и v2 концы некоторого ребра длины , прич?м в этом случае расстояние между (v1 ) и (v2 ) на многограннике P не меньше - 2; @QA площади поверхности S (P ) и S (P ) двух многогранников отличаются не более чем на . Доказательство леммы состоит в описании разв?ртки многогранника P D изображ?нной на рисF QFIHF Обозначим вершины параллелепипеда P чеE рез A, B , C, D, K, L, M , N D пусть AK = B L = C M = DN = F РасE смотрим произвольный выпуклый четыр?хугольник A1 A1 K1 K1 D в котором A1 K1 = , A1 = K1 = 45 D и пусть A2 A2 K2 K2 " равный ему четыр?хE угольникF Рассмотрим дизъюнктное объединение граней параллелепипеE да и двух построенных четыр?хугольников и зададим на этом множестве правила склейкиX отождествляются р?бра граней параллелепипедаD соотE ветствующие одному ребруD за исключением пары сторонD соответствуюE

Лемма 3.8. Для любых положительных , w , h и и прямоугольного па-

60


Рис. 3.10:

Разв?ртка многогранника

P

, полученного малым шевелением параллелепипеда.

щих ребру AK Y отождествляются стороны A1 A1 A2 A2 D A1 K1 A2 K2 D K1 K1 K2 K2 Y сторона A1 K1 отождествляется со стороной AK грани AK N DD а сторона A2 K2 " со стороной AK грани AK LB F Получаем гоE меоморфную сфере разв?ртку положительной кривизны @смF определение разв?ртки в разделе QFIFIAD которая по теореме S изометрична некоторому выпуклому многогранникуF ЗаметимD что точки A и K в новой разв?ртке имеют нулевую кривизну @к имевшемуся полному углу 32 мы приклеили два угла по AD зато появились вершины A и K @так мы обозначаем точE 4 киD полученные при склеивании A1 и A2 D K1 и K2 F При этомD меняя длины сторон A1 A1 и K1 K1 D мы можем менять кривизны вершин A и K D но в сумме они в любом случае будут давать F Тем же способом ?приклеим? к параллелепипеду ещ? три похоE жиеD но попарно не равные ?заплатки? вдоль р?бер B L, C M , DN D смF рисF QFIHF При этом выберем приклеиваемые четыр?хугольники такD чтоE бы углы четыр?хугольников в вершинах со зв?здочками были попарE но различны и близки к 34 D а боковые стороны малы @не превосходят min(, 16 )AF Тогда получившийся в результате многогранник P с вершиE нами A , B , C , D , K , L , M , N будет удовлетворять требуемым свойE ствамF Далее будем рассматривать многогранник P D построенный с помоE 1 щью этой леммы для маленького @скажемD меньше 100 A и большого @скажемD > 100(w + b + )AF ПредположимD что на P существует минимальная сеть N и Mcut = {Vi , Mi } " соответствующая ей система разрезовF Поскольку кривизны вершин многогранника P Eблизки к D сумма кривизн любых m вершин 2

61


а значит группа вершин с суммарной кривизнойD кратной может состоять только из двух вершин @и иметь суммарE ную кривизну AF Учитывая пункт @PA леммыD получаемD что с точностью до изменения номеров Vi выполняется V1 = {A , K }, V2 = {B , L }, V3 = {C , M }, V4 = {D , N }F ДалееD каждое множество Mi " это геодезичеE ская длиной не меньше - 2 @одноугольником оно не может быть изEза тогоD что кривизны обеих вершин в паре Vi близки к D а если внутри одноE 2 угольника содержится единственная вершинаD то по формуле ГауссаEБонне @лемма QFPA е? кривизна не меньше AF

m m 100 Eблизка к 2 D 3 и меньшей 2 D

> 100. Тогда площадь ячейки сети N , содержащей пару вершин A и K , не меньше const ћ 2 , где const некоторое положительное число, не зависящее ни от выбора , , P , ни от выбора минимальной сети N .
Доказательство леммы. Пусть PS (Mcut ) " многогранникD на котором сеть N реализуется как простая минимальная сеть @теорема PHA и f : P \Mi PS (Mcut ) " изометричное вложениеD построенное в доказательстве теореE мы PHF Тогда многогранник PS (Mcut ) имеет четыре вершины кривизны D тFеF является равногранным тетраэдромF Рассмотрим ячейку минимальной сети N D содержащую вершины A , K F По лемме QFS эта ячейка треугольE наяF Соответствующая треугольная ячейка сети f (N ) содержит единственE ную вершину многогранника PS (Mcut )D обозначим эту ячейку через Y1 Y2 Y3 D а вершину внутри " через X F Пусть C on(X ) = Y1 Y2 Y3 \ f (P \ Mi )F ИныE ми словамиD C on(X ) " это тот двуугольникD которым в доказательстве теоремы PH мы заклеивали дыруD получившуюся после разреза вдоль геоE дезической M1 D соединяющей вершины A и K F Ниже f Eобразы вершин A и K на многограннике PS (Mcut )D тFеF вершины двуугольника C on(X )D мы будем поEпрежнему обозначать через A и K F Соединим X и Y1 кратчайшей X Y1 внутри ячейки @следствие RA и изометричE но отобразим многоугольник Y1 Y2 Y3 \ X Y1 на плоскостьF Поскольку кривизна вершины X равна D получим плоский выпуклый четыE р?хугольникD смF рисF QFIIF Пусть T " точка пересечения кратчайшей X Y1 и границы двуE угольника C on(X )F Тогда образ двуугольниE ка C on(X ) при разворачивании " это некотоE Рис. 3.11: Разв?ртка ячейки сети на многограннике PS (Mcut ) и е? рый четыр?хугольник T T K A F Рассмотрим многоугольник центрально симметричная копия. Y1 Y2 Y3 Y1 T K A T F По построению он получается разворачиванием области f (P \ Mi ) Y1 Y2 Y3 D тFеF той части ячейки Y1 Y2 Y3 D которая

1 Лемма 3.9. Пусть < 100 и

62


изометрична разрезанной по геодезической M1 ячейке сети N на многоE граннике P F ЗначитD площадь многоугольника Y1 Y2 Y3 Y1 T K A T равна площади ячейки из условия леммыD тFеF лемма сводится к доказательству оценки S (Y1 Y2 Y3 Y1 T K A T ) const ћ 2 F Далее все рассуждения проводим для многоугольников на плоскостиF Рассмотрим образ четыр?хугольников Y1 Y2 Y3 Y1 и T T K A при симE метрии с центром в точке X F По построению X T = X T , X Y1 = X Y1 D поэтому объединение четыр?хугольника Y1 Y2 Y3 Y1 и его образа при симE метрии " это некоторый центрально симметричный шестиугольникD все углы которого равны 120 F Объединение четыр?хугольника T T K A и его образа " это ромбD длина стороны которого равна длине стороны @?равноE бедренного?A двуугольника C on(X )D которая в свою очередь равна длине геодезической M1 F Углы этого ромба равны кривизнам вершин A и K многогранника P иD значитD Eблизки к F 2 Рассмотрим ромб R со стороной длины I и угламиD Eблизкими к 2 F Рассмотрим всевозможные центрально симметричные шестиугольники с углами по 120 D содержащие этот ромбF Пусть (R) " точная нижняя грань площадей таких шестиугольниковF Тогда (R) строго больше площаE ди S (R) нашего ромба " в противном случае существовала бы последоваE тельность шестиугольниковD содержащих ромб и сходящихся к нему @скаE жемD в метрике ХаусдорфаA " но такая последовательность шестиугольE ников не может существовать изEза наших ограничений на углы ромба и шестиугольниковF ИтакD число (R) = (R) - S (R) положительноF ЗначитD поскольку множество рассматриваемых ромбов компактно и для каждого из них (R) положительноD выполняется inf R (R) > 0D где инфимум беE 1 р?тся по всевозможным ромбам R со стороной I и угламиD 100 Eблизкими к 2 F Обозначим этот инфимум inf R (R) = const1 F ОчевидноD что для ромба со стороной x выполняется (ромба) const1 ћ x2 F Верн?мся к нашей разв?рткеD смF рисF QFIIX S (Y1 Y2 Y3 Y1 T K A T ) = S (Y1 Y2 Y3 Y1 ) - S (T A K T ) = 1 (S (шестиугольника) - S (ромба)) 2 1 1 (ромба) 1 const1 ћ |K A |2 2 const1 ћ ( - 2)2 const ћ 2 D напримерD 2 2 1 для const = 4 const1 F Как мы показали вышеD из этой оценки вытекает доказываемая леммаF Теперь мы готовы завершить доказательство теоремыF Рассмотрим прямоугольный параллелепипед P с таким большим D что его площадь поверхности S (P ) = 2 ћ (b + w) + 2bw < const ћ 2 D где const " константа из последней леммыF Затем с помощью леммы QFV построим многогранник P D прич?м такD чтобы снова выполнялось S (P ) < const ћ 2 F ПредполагаяD что на P существует минимальная сетьD переходим к PS (Mcut ) и получаемD что по лемме QFW площадь уже одной ячейки сети на многограннике P больше constћ 2 D хотя площадь всей поверхности многогранника P меньше constћ 2

63


" противоречиеF Теорема IV доказанаF
3.3.4 Доказательство теоремы 21 о существовании минимальных сетей на почти всех многогранниках с кривизнами, кратными 3

В теореме PQ докажемD что множество многогранников с минимальной сетью всюду плотноD а затем в теореме PR докажемD что оно открыто в P (k1 , . . . , kn )F

торого делятся на , и для любого > 0 найд?тся -близкий к P много3 гранник P , на котором есть простая минимальная сеть.
Доказательство. Обозначим вершины данного многогранника P чеE

Теорема 23. Для любого выпуклого многогранника P , все кривизны ко-

рез A1 , A2 , . . . , An F Выберем на поверхности P произвольную точку X D пусть i " кратчайшаяD соединяющая X и Ai D i = 1, . . . , nF Несложно проE веритьD что различные кратчайшие i не могут пересекаться между собойF В IU доказаноD что геодезический многоугольник P \ i=n i изометриE i=1 чен вложенному многоугольнику на плоскостиF Обозначим этот плоский многоугольник через M = X1 A1 X2 A2 . . . Xn An D где геодезической i соE ответствуют стороны Ai Xi+1 и Ai Xi D i = 1, . . . , n @всюду считаемD что Xn+1 = X1 AF Этот многоугольник с естественными правилами склейки @Ai Xi+1 Ai Xi AD очевидноD является разв?рткой для многогранника P D которую часто называют зв?зднойF Разобь?м плоскость на равные правильные шестиугольники с длиE ной стороныD равной некоторому D такD чтобы вершины нашего многоE угольника M оказались внутри различных шестиугольников разбиенияF Обозначим через Xi центр шестиугольникаD содержащего вершину Xi F Для каждого i = 1, . . . , n построим равнобедренный треугольник Ai Xi Xi+1 с основанием Xi Xi+1 D подобный треугольнику Ai Xi Xi+1 и так же ориентиE рованный на плоскости @тFеF если Ai D Xi и Xi+1 расположены по часовой стрелкеD то и Ai D Xi и Xi+1 расположены так жеAF Мы всюду считаемD что Xn+1 = X1 , Xn+1 = X1 F Угол при вершине Ai многоугольника M по построению равен полному углу при вершине Ai многогранника P D тFеF может быть равен одному из чисел , 23 , , 43 , 53 F ЗначитD построенный 3 нами равнобедренный треугольник Ai Xi Xi+1 либо равностороннийD либо вырожденный @с углом при вершине Ai AD либо имеет углы 120 , 30 , 30 F УчитываяD что Xi и Xi+1 " центры некоторых шестиугольниковD несложно проверить следующую леммуF

роны некоторого шестиугольника разбиения.

Лемма 3.10. Для каждого i точка Ai либо центр, либо середина сто-

64


Рис. 3.13:

Оценка

|Ai Ai |.

В случаеD если какиеEто из точек Ai окаE зались серединами сторон шестиугольниковD расE смотрим разбиение плоскости на более мелкие шеE стиугольникиD в котором все центры и середины сторон шестиугольников старого разбиения являE ются центрами шестиугольниковD смF рисF QFIPF
Лемма 3.11. |Xi Xi | < , |Ai Ai | < 2 , i = 1, . . . , n.

Рис. 3.12:

Подразбиение

Доказательство. Первое очевидноD поскольку Xi находится внутри праE

вильного шестиугольника с центром Xi и стороной длины F Докажем второе неравенствоF Через обозначим следующее аффинное преобразоE -- -- -- -- - - ваниеD переводящее вектор Xi Xi+1 в вектор Xi Ai D а вектор Xi Xi+1 " в вектор Xi Ai X в случае Xi Ai Xi+1 = 180 " сжатие в два разаD в случае Xi Ai Xi+1 = 60 " поворот на 60 в нужную сторону @рисF QFIQAD а в случае Xi Ai Xi+1 = 120 " композицию поворота на 30 и сжатия в 3 разF - - -- - -- -- -- - -- -- Тогда |Ai Ai | = | Xi Xi + (Xi Xi+1 ) - (Xi Xi+1 )| = | Xi Xi -

-- -

-- - -- - - - - - -- -- - -- - --- -- (Xi Xi ) + (Xi Xi + Xi Xi+1 - Xi Xi+1 )| (|Xi Xi | + |Xi+1 Xi+1 |) < 2 F Предпоследнее неравенство следует из неравенства треугольника и соотE ношений |x - x| = |x| |x|D которые легко проверить для каждого из тр?х наших F Поскольку ломаная X1 A1 X2 A2 . . . Xn An X1 ограничивает вложенE ный многоугольник по свойству зв?здной разв?рткиD из леммы QFII вытеE каетD что при достаточно малых ломаная X1 A1 X2 A2 . . . Xn An X1 не имеет

65


самопересеченийF В ограниченном ею многоугольнике M для каждого i стороны Ai Xi и Ai Xi+1 имеют по построению одинаковую длинуF Зададим на M правила склейки Ai Xi Ai Xi+1 D получим разв?рткуD задающую многогранной метрику на сфере с теми же кривизнами вершинD что и у многогранника P F Поэтому изометричный этой разв?ртке выпуклый мноE гогранник P существует @теорема SA и имеет те же кривизныD что и многоE гранник P F В силу непрерывности отображенияD ставящего в соответствие разв?ртке изометричный ей многогранник @лемма QFIAD можно выбрать такD что многогранники P и P будут EблизкиF Оста?тся убедитьсяD что границы шестиугольников разбиенияD поE павшие внутрь M D при переходе к многограннику P образуют на н?м минимальную сетьF Пример фрагмента многоугольника M изобE раж?н на рисF QFIRF ЯсноD что во всех внутренних точках многоугольE ника M свойства минимальной сети выполнены @по определению миE нимальной сетиD данному в начале раздела QFPAF Рассмотрим пересечеE ние некоторой стороны Ai Xi многоугольника M и некоторой стороE ны шестиугольника разбиенияF Поскольку угол при вершине Ai краE тен D отождествлению сторон Ai Xi Ai Xi+1 соответствует поворот 3 с центром в точке Ai @напомнимD это центр некоE торого шестиугольника разбиенияA на уголD кратE ный F Разбиение на шестиугольники инвариантно 3 относительно такого поворотаD откуда вытекаетD что точки границ шестиугольников на границе многоE угольника M склеиваются попарно и с соблюдением свойств минимальной сетиF Это наблюдение двойE ственно утверждению про триангуляции из QSD разE дел UF ИтакD мы нашли многогранник с простой миE нимальной сетьюD Eблизкий к данномуD что и треE бовалось в теореме PQF Рис. 3.14: Фрагмент M .

д?тся > 0 такое, что на всех -близких многогранниках с теми же кривизнами вершин тоже есть минимальная сеть @прич?м того же типаA.
Доказательство. Пусть " минимальная

Теорема 24. Если на многограннике P есть минимальная сеть, то най-

сеть на многограннике P P (k1 , . . . , kn )F Через B () обозначим Eокрестность сети D тFеF множеE ство точек многогранника P D которые можно соE единить с сетью пут?м длины не более F ЯсE ноD что при достаточно малом множество B () не содержит вершин многогранника и может быть

66

Рис. 3.15:

Часть

B ().


разбито на несколько геодезических многоугольников двух видовX изометE ричных плоским правильным треугольникам со стороной длины 2 @они содержат вершины сетиA и изометричных плоским неквадратным прямоE угольникам ширины 2 @каждому ребру сети соответствует один такой прямоугольникAD смF рисF QFISF Фиксируем малое @в указанном смыслеA F Разв?ртку окрестности B ()D состоящую из описанных правильных треE угольников и прямоугольников с естественными правилами склейкиD будем обозначать через DF Триангулируем многогранник P следующим образомF Сначала дотриангулируем B ()D разбив каждый ?прямоугольник? окрестноE сти B () любой из двух его диагоналей на два треугольникаF Затем расE смотрим любую компоненту связности P \ B () " это геодезический мноE гоугольник с углами по 120 D обозначим его через M F Выберем любую вершину на границе M иD пользуясь следствием RD соединим е? геодезиE ческими i с каждой из вершин многогранникаD содержащихся в M @если такие вершины естьAF Тогда M \ i i " геодезический многоугольникD не содержащий внутри себя точек ненулевой кривизныF Точно так жеD как в доказательстве ID ГлFRDIDлемма PD разобь?м M \ i i на треугольники непересекающимися диагоналями @тFеF геодезическими с концами в вершиE нах многоугольника M \ i i D прич?м начало и конец диагонали не должны совпадатьAF В итоге получим некоторую триангуляцию T всего многогранниE ка P D каждый треугольник в которой не содержит внутри себя точек ненуE левой кривизныD тFеF изометричен плоскомуF В силу ID ГлF RD PD Лемма I для любого ч > 0 существует > 0 такоеD что на любом Eблизком к P многограннике P существует триангуляция T той же комбинаторной структурыD что и T D и такаяD что длины соответствующих р?бер двух триE ангуляций отличаются не более чем на чF Слова ?той же комбинаторной структуры? означаютD что существует гомеоморфизм hom : P P D переE водящий вершины многогранника P в соответствующие вершины многоE гранника P D а триангуляцию T " в триангуляцию T F Пусть : P P " кусочноEаффинный гомеоморфизмD который на вершинах триангуляции T совпадает с hom и каждый треугольник T аффинно отображает на hom ()F Здесь под аффинным отображением на hom () мы пониE маем композицию (f )-1 h f D где f : R2 и f : hom () (hom ()) R2 " изометричные вложения треугольников в плоскостьD h : (hom ()) " аффинное отображение плоских треугольниковF Отображение : X Y будем называть -изометрией пространств с внутренней метрикой (X, X ) и (Y , Y )D если " гомеоморфизм и |Y ((a), (b)) - X (a, b)| < для любых a, b X F Из сказанного выше и свойств аффинных отображений вытекает леммаF

67


Лемма 3.12. Для любого > 0 существует > 0 такое, что для лю-

бого многогранника P , -близкого к P , построенное нами отображение : P P является -изометрией.
Рассмотрим двойственный граф D разв?ртки D @тFеF абстрактный графD множество вершин которого " многоугольники разв?рткиD а р?бра соответствуют склеенным сторонамAF ОчевидноD что граф D отличается от графа G сети лишь добавлением вершины степени P внутрь каждого ребра @эта вершина степени P соответствует прямоугольнику разв?рткиAF Найд?м в графе D остовное дерево D0 и определим новую разв?ртку D0 с тем же множеством многоугольниковD что и в DD но с меньшим набоE ром правил склейки " отождествляются только стороныD соответствуюE щие ребру остовного дерева D0 F Неформально говоряD мы разрезаем разE в?ртку D по тем р?брамD которым в двойственном графе соответствуют р?браD не входящие в D0 F Для многогранника P P (k1 , . . . , kn )D Eблизкого к P @малое мы определим позжеAD построим F Подмножество (B ()) многогранника P D вместе с перенес?нным с D с помощью разбиением на треугольники и четыр?хугольникиD представляет собой разв?рткуD которую мы обознаE чим через D F В двойственном графе разв?ртки D рассмотрим соответE ствующее остовное дерево (D0 ) = (D0 ) @здесь через : D (D ) обозначен изоморфизм двойственных графовD индуцированный гомеоморE физмом A и определим разв?ртку D0 с тем же набором многоугольниE ковD что и D D и правилами склейкиD заданными графом (D0 ) F ЯсноD что разв?ртки D0 и D0 изометричны дискам с многогранными метриками нуE левой кривизныF Границы этих дисков будем обозначать через D0 D D0 F Отображение индуцирует отображение i : Mi Mi на каждом из мноE гоугольников Mi D составляющих разв?ртку DD а значит и на каждом из многоугольниковD составляющих D0 F Объединение всех i да?т отображеE ние 0 : D0 D0 F Таким образомD есть факторEотображение отображеE ния 0 по отождествлению сторон разв?ртки D0 D превращающему D0 в DF ЯсноD что 0 является Eизометрией при всех D при которых является EизометриейF Образы точек сети на разв?ртке D0 образуют сетьD которую мы обозначим через 0 F Неформально говоряD сеть 0 получается из сети в результате разрыва некоторых е? р?бер при разрезе разв?ртки D по стоE ронамD не лежащим в D0 F Локально минимальным деревом будем называть сетьD тип которой " деревоD все вершины которого имеют степень I и QD р?бра " геодезичеE скиеD а углы между смежными р?брами равны 120 F Множество висячих вершин локально минимального дерева H будем называть его границей и обозначать через H F ЯсноD что сеть 0 " локально минимальное дерево

68


@поскольку D0 " деревоAD прич?м 0 D0 F Наша цель " нарисовать на D0 локально минимальное дерево с граE ницей 0 ( 0 ) и того же типаD что и 0 D которое при переходе от D0 обE ратно к D превращалось бы в минимальную сеть на D F На плоскости лоE кально минимальное дерево данного типа с данной границей может быть построено с помощью алгоритма Мелзака QPD аналог которого для дисE ков с многогранной метрикойD имеющих разв?ртку типа DD и заключ?н в доказательстве следующей леммыF Сама лемма QFIQ представляет собой обобщение на наш случай следствия из алгоритма Мелзака о непрерывной зависимости локально минимального дерева данного типа на плоскости от своей границы TD ПредлFSFPF

неквадратных прямоугольников ширины 2 и правильных треугольников со стороной 2 , склееных по некоторым сторонам длины 2 ; H локально минимальное дерево на A с границей H A, прич?м пересечение любого прямоугольника разв?ртки с сетью H равно средней линии этого прямоугольника, соединяющей стороны длины 2 , а пересечение любого треугольника разв?ртки с сетью H состоит из тр?х перпендикуляров, опущенных из центра треугольника на его стороны; T триангуляция разв?ртки A, полученная в результате разбиения каждого прямоугольника на два треугольника любой из двух его диангоналей. Тогда для любого > 0 существует > 0 такое, что для любой изометрии : A A , аффинной на треугольниках из T , существует -изометрия : A A такая, что | A = | A и H = (H ) локально минимальное дерево.
Доказательство леммы провед?м индукцией по числу граничных

Лемма 3.13. Пусть A гомеоморфная диску разв?ртка, состоящая из

@тFеFD напомнимD висячихA вершин сети H F БаE зу индукции проверим для | H | = 2F В этом случае дерево H состоит лишь из одного ребраE геодезической D а разв?ртка A состоит из нескольE ких прямоугольников одинаковой шириныD склеE еных последовательноD и изометрична плоскому прямоугольнику со средней линией F ЯсноD что при малом разв?ртка A = (A) изометричE на плоскому многоугольникуD склеенному из плосE ких четыр?хугольниковD близких к прямоугольниE кам разв?ртки AD и при малом отрезок D соедиE няющий Eобразы концов геодезической D содерE Рис. 3.16: База: A и A . жится внутри этого многоугольника и делит его на два многоугольникаF

69


Триангулируем каждый из этих двух многоугольниковEчастей непересекаE ющимися диагоналями и сделаем комбинаторно такие же триангуляции - многоугольников A \ @с вершинами в 1 Eобразах вершин триангуляE ций многоугольников A \ AF Определим кусочно аффинное отображение : A A D совпадающее с на вершинах триангуляции и аффинно отображающее каждый треугольник триангуляции на A в треугольник триангуляции на A F ЯсноD что при достаточно малом отображение будет требуемой EизометриейF Шаг индукцииX пусть лемма доказаE на для сетей с k граничными вершинамиD рассмотрим сеть H с | H | = k + 1F Найд?м в сети H пару висячих вершинD имеющих общую смежную вершинуD и обозначим их соответственно p, q D v D а через u обозначим третью вершинуD смежную с вершиной v F Обозначим через A1 объединение всех мноE гоугольников разв?ртки AD пересекающихся с р?брами pv , q v , v uD и сделаем изометричE ное вложение A1 в плоскостьD смF рисF QFIU Рис. 3.17: От A к Ak . @вложение существуетD поскольку три пряE моугольникаD построенные на сторонах правильного треугольникаD не моE гут перекрыватьсяAF На плоскости построим правильный треугольник с основанием pq и третьей вершиной sD лежащей по другую сторону от пряE мой pq D чем точка v F Согласно известному факту планиметрии @используE ющемуся в классическом алгоритме МелзакаAD точка v лежит на пересеE чении отрезка us и меньшей дуги pq окружностиD описанной около pq sF Пусть (v ) = xy z " треугольник разв?ртки AD содержащий вершину v D прич?м xy " его основаниеD пересекающее ребро uv D а M " многоугольE ник разв?рткиD приклееный к (v ) по стороне xy F Удалим из разв?ртки A все многоугольникиD пересекающие р?бра pv , v q и добавим плоский пряE моугольник aby xD в котором s " середина стороны abD приклеенный по отрезку xy к многоугольнику M такD как это реализовано на плоскостиF Новую разв?ртку обозначим через Ak и рассмотрим на ней сетьD пересечеE ние которой со всеми ?старыми? многоугольниками такое жеD как у сети H D а пересечение с новым прямоугольником равно его средней линииF Тем самым из сети H удалены р?бра pv , v q D а ребро uv заменено на usF ПолуE чившуюся сеть на разв?ртке Ak обозначим через Hk F ЯсноD что разв?ртка Ak и сеть Hk удовлетворяют условиям леммы иD более тогоD утверждение леммы для них верно по предположению индукцииF Пусть : A A " Eизометрия разв?рток @для некоторого D котоE рое мы определим нижеAD аффинная на треугольниках из T D рассмотрим

70


A1 = (A1 ) " образ той части разв?ртки AD которую мы разворачиваE ли на плоскость вышеD и сделаем изометричное вложение A1 в плоскостьF Для точек p = (p), q = (q ) строим на плоскости правильный треE угольник p q s и параллелограмм a b y x с основанием x y D для которого s " середина стороны a b F Удаляем из A многоугольникиD соответствуE ющие удал?нным из AD и добавляем параллелограмм a b y x D приклееный по x y Y новую разв?тку обозначаем через Ak F Определяем отображение : Ak Ak D совпадающее с на Ak AD и аффинно отображающее пряE моугольник aby x на параллелограмм a b y x F ЯсноD что для любого > 0 можно подобрать > 0 такD что будет Eизометрией разв?рток Ak и Ak F По предположению индукции для любого > 0 существует такоеD что найд?тся Eизометрия : Ak Ak такаяD что Hk = (Hk ) " локально минимальное деревоD прич?м (s) = (s) = s F При достаточно малых D и ребро s u дерева Hk @где u = (u)A пересекает меньшую дугу p q окружностиD описанной около p s q D в точкеD лежащей внутри треугольника ((v )) @обозначим эту точку через v A иD более тогоD отрезки v p D v q на плоскости лежат внутри A1 " поскольку аналогичное свойство имеет место для A1 и сохраняется при непрерывном изменении разв?рткиF ЗначитD можно рассмотреть сеть H на разв?ртке A D отличающуюся от сети Hk заменой ребра u s на u v и добавлением р?бер p v , q v F Из свойств вписанных углов вытекаетD что все углы при вершине v равны 120 и потому H " локально минимальное дерево с требуемой границейF Отображение : A A определим теперь на многоугольниках разв?ртки AD входящих в разв?ртку Ak D равным D а на A1 " как кусочно аффинное отображение для триангуляций A1 \ H и A1 \ H аналогично томуD как это было сделано в базе индукцииF Шаг индукции сделанF Лемма доказанаF ОчевидноD что разв?ртка D0 и сеть 0 удовлетворяют условиям лемE мы QFIQF Найд?м для = 1 число из этой леммы и рассмотрим из леммы QFIP такоеD что для любого Eблизкого к P многогранника P отобE ражение 0 : D0 D0 есть EизометрияF Построим с помощью леммы QFIQ локально минимальное дерево 0 = (0 ) D0 F Рассмотрим пару , сторон разв?тки D0 D склеиваемых в разв?ртке D F По построению отображение D так же как и 0 D отображает отрезE ки и аффинно на некоторые стороны и разв?ртки D0 F Поэтому любая пара точек сторон и D отождествляемая в DD переходит при отобE ражении в пару точек разв?ртки D0 D отождествляемых в разв?ртке D F ЗначитD корректно определено факторEотображение : D D F В том числеD две граничные вершины @пусть это вершины a и b A сети 0 при отождествлении сторон и слеиваются и превращаются в некоторую точку c на ребре сети D а вершины a = (a) = 0 (a) и b = (b) = 0 (b)

71


сети 0 в разв?ртке D склеиваются в точку c = (c)F ЯсноD что является 2Eизометрией разв?рток D и D D переводяE щей сеть в некоторую сеть F Поскольку 0 " локально минимальное деревоD сеть обладает свойствами минимальной сети @смF определениеD данное в начале раздела QFPA во всех своих точкахD за исключением мест ?склейки? " точек c из предыдущего абзацаF ДокажемD что в каждой таE кой точке c = (c) угол между двумя р?брами сети D инцидентными c D равен 180 F Найд?м в дереве 0 простой путьD соединяющий a и b F В сети этому пути соответствует замкнутая геодезическая ломаная с концами в c D ограничивающая некоторый геодезический многоугольник M F Путь -1 ( ) в сети ограничивает многоугольник M D прич?м по построению все углы многоугольников M и M одинаковыD за исключениемD возможноD углов в точках c и c @угол многоугольнкиа M в c равен 180 D а про угол M в c мы пока ничего не знаемAF Но по определению D и изEза выбора P, P P (k1 , . . . , kn ) сумма кривизн вершин многогранника P D попавших в M D равна сумме кривизн вершин многогранника P D попавших в M F ЗнаE читD по формуле ГауссаEБонне @лемма QFPAD угол M в точке c также равен 180 D что и требовалосьF

3.3.5

Доказательство теоремы 22 о тетраэдрах с кривизна ми { , , 53 , 53 }. 33

В этом разделе мы будем использовать определение сети как отображения @смF главу IAD поскольку в процессе доказательства понадобится рассматE ривать деформации сети и невложенные сетиF Хотя и здесь часто можно будет относиться к сети как к нарисованной на многограннике картинкеD тFеF использовать определение обыкновенной сетиF Мы докажемD что на любом многограннике T с кривизнаE ми { } существует простая минимальная сетьD реализующая плосE кий граф GD изображ?нный на рисF QFUF Через T0 обозначим поверхность многогранника T с выброшенными вершинамиF Обозначим через множество всех @необязательно минимальE ных3A сетей со следующими свойствами ћ реализует плоский граф G в T0 @смF определение в разделе IFTA ћ каждая одноугольная ячейка сети содержит внутри себя одну верE шину многогранника кривизны 53 ћ каждая пятиугольная ячейка сети содержит внутри себя одну верE шину многогранника кривизны F 3 ОтметимD что все сети из " вложенныеD так как они реализуE ют плоский графD являющийся вложенной сетью по нашему определениюF
5 5 3, 3, 3 , 3

72


Рис. 3.18: Спрямление и вклейка тройничка.
Иными словамиD сети из не имеют самопересечений и вырожденных р?E берF Теорема PP очевидно вытекает из следующих двух леммF Через () мы обозначаем длину сети F
Лемма 3.14. Существует сеть min

min



().

такая, что

(min ) =

мальная сеть.

Лемма 3.15. Если min и (min ) = min (), то min мини-

Доказательство леммы QFIS совсем несложноF Определим два простых

вида деформаций сетиD уменьшающих е? длинуX спрямление и вклейку тройничкаF Спрямление. Пусть в точке P внутри некоторого ребра сети один из углов меньше F Тогда возможна малая деформация ребраD изобраE ж?нная на рисF QFIV слеваF Вклейка тройничка. Пусть P " вершина сетиD р?браD инцидентные P D вблизи P представляют собой отрезки геодезичеE скихD и один из углов между р?брами сетиD инцидентными P D меньше 23 F Пусть X (t), Y (t) " точки на этих р?брах такиеD что |X (t)P | = |Y (t)P | = tF При малых t имеется треугольник X (t)P Y (t)D изометричный плоскому и имеющий выбранный угол при вершине P F Рассмотрим для этого плоскоE го равнобедренного треугольника кратчайшую сетьX она состоит из тр?х р?берD стыкующихся под углами 23 в дополнительной вершине P (t) PTD и имеет меньшую длинуD чем ломаная X (t)P Y (t)F При деформации в момент времени t мы будем рассматривать сеть t D отличающуюся от 0 переноE сом вершины P в точку P (t)D заменой участков р?бер X (t)P, Y (t)P на X (t)P (t), Y (t)P (t) и удлинением третьего ребра на участок P P (t)D смF рисF QFIV справаF Верн?мся теперь к доказательству леммы QFISF Нам достаточно проE веритьD что выполняется определение минимальной сетиD данное в начаE ле раздела QFPF Если какоеEто ребро не является геодезическойD то можно сделать спрямлениеF Если в какойEто вершине не все углы равны 23 D то

73


какойEто из углов меньше 23 D и можно сделать вклейку тройничкаF В обоих случаях получаем более короткую сетьD поEпрежнему принадлежащую D " противоречиеF ОтметимD что это доказательство проходит для любого плоского граE фа и для любого многогранникаF Доказательство леммы QFIRD наоборотD существенно использует и свойства многогранника T D и свойства графа GF Из определения сразу видноD что множество не является замкнутым ни в каком естественном смысле " непрерывно деформируясьD сеть может ?наехать? на вершины многогранникаD или может выродиться ребро " и получившаяся сеть уже не будет лежать в F Поэтому тот фактD что миE нимум длины достигается на какойEто сети из далеко не очевиденF ПреждеD чем приступить к доказательству леммы QFIRD дадим несколько определений и обсудим свойства D не зависящие от многогранE ника и графаF НапомнимD что в разделе IFR было дано определение сходимости для последовательности сетей одного типа в метрическом пространствеF Ниже мы будем применять это определение для сетей из D в качестве метрики мы рассматриваем внутреннюю метрику на поверхности нашего тетраэдраF Множество сетей D для которых существует последовательность n D сходящаяся к D будем называть замыканием и обозначать через F

т.е. (n ) inf (), и 0 равномерный предел этой минимизирующей последовательности, то р?бра 0 конечно звенные геодезические ломаные, внутренние вершины которых (если они есть) расположены в вершинах многогранника. Доказательство. ПредположимD что это не такD и возьм?м любую точку P на ребре сети 0 такуюD что P не является вершиной многогранника и ни в какой окрестности P ребро сети 0 не является геодезическойF РасE смотрим круг B (P ) на поверхности многогранника с центром в точке P D настолько маленькийD что он не содержит ни вершин многогранникаD ни вершин сети 0 F ВозможноD пересечение этого круга с сетью состоит более чем из одной компоненты связностиF Каждую компонету связности @тFеF участок ребра сети от одной точки пересечения с границей круга @точки входаA до следующей @точки выходаAA заменим на хорду кругаD соединяE ющую концы этой компонеты связностиF Иными словамиD сделаем одноE временно несколько спрямленийF Получившуюся сеть обозначим через 0 F Точно так же поступим с сетями n X заменим участки р?бер на хорды того же самого круга B (P )F ОчевидноD при такой замене в сети n не могут возникнуть самопересечения и новая сеть n поEпрежнему лежит в D а

Лемма 3.16. Если n минимизирующая последовательность,

74


последовательность n сходится к сети 0 F Но сеть 0 строго корочеD чем сеть 0 D тFеF lim (n ) < lim (n ) " противоречиеF Лемма QFIT позволит нам далее интересоваться только теми сетями из D которые являются конечнозвенными геодезическими ломанымиD что мы и будем делать для упрощения техникиF

дезическими ломаными, лежит в замыкании тогда и только тогда, когда ћ 0 : TG T ћ 0 не имеет трансверсальных самопересечений, ћ существует биекция между гранями плоского графа G и вершинами тетраэдра T со свойствами: для каждой грани f вершина (f ) лежит внутри или на границе ячейки (f ) и если грань nf -угольная, то вершина (f ) имеет кривизну (2 - nf ). 3 Прич?м для каждой существует сходящаяся к последовательность n такая, что (n ) () при n .
Доказательство. Пусть и n " некоторая сходящаяся послеE

Лемма 3.17. Сеть 0 , р?бра которой являются конечнозвенными гео-

довательностьF Для каждого n определим естественную биекцию n межE ду вершинами многогранника V (T ) и гранями графа F (G)X грани соотE ветствует вершина многогранникаD лежащая внутри n Eобраза этой граниF Поскольку биекций между двумя четыр?хточечными множествами конечE ное числоD мы можем выбрать подпоследовательность сетей nk с одной и той же биекцией nk =: F ОчевидноD что для предельной сети 0 биекция удовлетворяет описанным свойствамF Пусть теперь для сети 0 D реализующей граф G на многограннике T D и для биекции выполняются указанные в лемме свойстваF По определеE нию каждое ребро сети " это некоторая конечнозвенная ломанаяF ЗначитD число самопересеченийD самоналожений @пар участков р?берD отображаE ющихся в одну и ту же кривуюA и прохождений через вершины многоE гранника конечноF В малой окрестности каждого из этих случаев немного пошевелим сеть 0 такD чтобы убрать самопересечения и поместить верE шины многогранника в Eсоответствующие им ячейки сетиF Сделаем это 1 такD чтобы длина сети увеличилась не более чем на n и получившуюся сеть обозначим через n F Тогда n D n равномерно сходятся к 0 D а значит 0 F Кроме тогоD при этом длины сетей в построенной последовательE ности стремятся к длине сети 0 F Рассмотрим I = inf () и выберем минимизирующую последоE вательность n D (n ) I при n F Пользуясь леммой IFPD мы выбираем сходящуюся подпоследовательностьD которую снова обозначим

75


через n F Предельную сеть обозначим через 0 F По определению 0 и по лемме QFIT е? ребра являются конечно звенными геодезическими ломаE нымиD следовательноD она обладает свойствами из леммы QFIUF Из леммы QFIU вытекаетD что любая сеть из может быть приблиE жена сетями из близкой длиныF Предел любой последовательности сетей из лежит в F Поэтому верна следующая леммаF
Лемма 3.18.

min () = inf () = (0 )


Следствие 8. Р?бра сети 0 геодезические ломаные, внутренние вер-

шины которых (если они есть) расположены в вершинах многогранника кривизны , а углы между смежными невырожденными р?брами, сты3 кующимися вне вершин многогранника, больше или равны 23 .

Доказательство. Первая часть следствия уже была доказана в лемE ме QFITF Если вершина x сети 0 не является вершиной многогранникаD то малая деформация посредством вклейки тройничка @смF определение в доказательстве леммы QFISA в этой точке не нарушает условий леммы QFIUD тFеF продеформированная @укороченнаяA сеть оста?тся в D что противореE чит лемме QFIVF Поэтому вне вершин многогранника углы между парами невырожденных р?бер больше или равны 120 @иначе в них вклеивается укорачивающий тройничокAF В вершинах нашего многогранника кривизE ны 53 полный угол равен D поэтому если ребро сети проходит через такую 3 вершину V D то угол ребра в этой вершине с обеих сторон меньше D и можE но делать спрямление в любую из двух сторонF Посмотрим на биекцию D соответствующую сети 0 D и сделаем спрямление такD чтобы вершина V оказалась внутри соответствующей ей грани -1 (V )F Поскольку остальные вершины многогранника эта деформация не затрагиваетD соответствие сохраняетсяD условия леммы QFIU поEпрежнему выполненыD а значит проE деформированная сеть останется в D что снова противоречит томуD что сеть 0 " кратчайшая в F
Перейд?м теперь непосредственно к доказательству леммы QFIRF

ЯсноD что нам достаточно найти сеть той же длиныD что и 0 D или доказатьD что 0 F Из следствия V вытекаетD что если сеть 0 не имеет вырожденных р?E берD самопересечений и содержится в T0 D то 0 F Мы рассмотрим все возможные ваE рианты конфигурацийD в которых 0 D и для каждого случая либо докажемD что он невозможенD либо перейд?м от сети 0

Рис. 3.19: Граф

G

76


к некоторой другой сетиD на которой также достигается минимум длины в @множество всех таких сетей обозначим через min AFДвигаясь таким образом по множеству min D мы в конце концов прид?м к сетиD лежащей в D и тем самым докажем лемму QFIRF Найд?м для сети 0 соответствие между вершинами многогранE ника T и гранями графа GD описанное в лемме QFIUF Занумеруем вершины графа и обозначим буквами вершины многогранника такD как показано на рисF QFIWD где каждая буква написана внутри соответствующей ей грани графаF План доказательства следующийF IF @A Случай (11) = 0 = (12) невозможенF @A Если (11) = 0 = (12)D то существует сеть 1 min D отличаюE щаяся от 0 лишь в сколь угодно малой окрестности вершины AD для которой (11) > 0F @A Если (11) > 0D то A [11]D тFеF вершина A не может лежать ни внутри ребра 11D ни в его вершине 1F @dA Существует сеть 2 min D отличающаяся от 1 лишь в сколь угодно малой окрестности ребра 11D для которой ребро [11] не соE держит вершин многогранникаF @eA Существует сеть 3 min D отличающаяся от 2 лишь в сколь угодно малой окрестности ребра 11D для которой (12) > 0F Аналогичные утверждения верны для вершины B D р?бер 44 и 43F ПоE этому далее без ограничения общности считаемD что в сети 0 min р?бра 11, 12, 43, 44 невырожденыD прич?м р?бра 11 и 44 @включая их концыA не проходят через вершины многогранникаF Ни одно из р?бер 23 не может быть вырожденоF Вершина C не может лежать на ребре 12 @включая его концыAD аналоE гично D [34]F На данный момент мы получили сеть 0 min D в которой все р?бра невырожденыD вершины A и B многогранника лежат внутри своих ячеекD а вершины C и D " либо внутри своих ячеекD либо на р?брах 23 @внутри этих р?бер илиD возможноD в их концахAF @A СлучайD что обе вершины C и D принадлежат р?брам 23D невозE моженF @A Если ровно одна из вершин C или D принадлежит р?брам 23D то существует сеть min D отличающаяся от 0 лишь в сколь угодно малой окрестности р?бер 23D для которой оба ребра [23] не проходят через вершины многогранникаF ИтакD в результате мы получим сеть min D тFеF докажемD что минимум длины достигается на некоторой сети внутри D что и требуетсяF

PF

QF RF SF

77


Рис. 3.20: Сжатие ячейки.
Осталось доказать каждый из пунктовF Нам понадобятся специальE ные деформации сетиD не меняющие е? длину " сжатие и растяжение ячейкиF Начн?м со сжатияF Пусть ячейка сети представляет собой мноE гоугольникD все углы которого равны 120 и находятся в вершинах сети @тFеF р?бра сетиD образующие ячейкуD не имеют изломов со стороны ячейE киY при этом они вообще говоря не обязаны быть геодезическимиD так как им не запрещается иметь излом с внешней стороныAF Выберем маленькое и построим во внутреннюю сторону на каждой стороне нашего многоE угольника как на большем основании равнобокую трапецию с углом 60 и боковой стороной F Заменим теперь в сети исходный цикл из больших оснований этих трапеций на их боковые стороны и меньшие основанияD смF рисF QFPHF Легко проверитьD что при этом длина сети не изменитсяF ЯсноD что при условииD что все р?браD ограничивающие ячейкуD явE ляются геодезическимиD и в каждой вершине сети на границе ячейки три невырожденных ребра сходятся под углами в 120 D возможна обратная операция " растяжение ячейкиF I @AF ПредположимD что (12) = 0 и вершина A совпадает с точкой 1F Тогда вершина 2 сети находится в вершине A многогранникаD полный угол в которой равен F Поэтому если оба ребра 23 невырожденыD то угол 3 между ними в вершине 2 меньшеD чем 23 D и вклейка тройничка в этот угол укорачивает сетьD не нарушая соответствия D а значит оставляя сеть в F ПротиворечиеD значитD ровно одно из р?бер 23 вырождено @очевидноD что оба они вырождены быть не могутAF Тогда вершина 3 тоже находитE ся в точке AF Если ребро 34 невырожденноD то аналогично предыдущему рассуждению получаем противоречие вклейкой тройничка в угол между невырожденными р?брами 32 и 34F ЗначитD ребро 34 тоже вырожденоD и A = 4D значитD 4 = B D тFеF ребро 44 невырожденноD а угол ячейки 44 в вершине 4 = A меньше 23 " вклейка тройничка в этот угол приводит нас к окончательному противоречиюF I @AF Пусть (11) = 0 = (12)F Сделаем ?растяжение? вырожденE ного одноугольникаF Малая окрестность точки A изометрична конусу с локально плоской метрикой и полным углом при вершинеD а ребро 12 3

78


изометрично одной из образующих этого конусаF На рисF QFPI показана разв?ртка конусаD полученE ная в результате разреза вдоль образующейD и наE рисована полученная в результате растяжения одE ноугольная ячейка с вершиной в точке X F Вместо участка AX в старой сети в новой сети появляетE ся ребро X X той же длиныD так что легко видетьD Рис. 3.21: Одноугольник что длина сети при такой деформации не меняетсяF I @AF ПредположимD что (11) > 0F Вершина A не может лежать внутри ребра 11 по следствию VF ПредположимD что вершина A совпала с точкой 1F Ребро 12 невырожденно по доказанному в пункте I@AD поэтому снова приводит к противоречию вклейка тройничка @в любой из двух углов между р?брами 11 и 12AF I @dAF Как мы уже показалиD вершина A находится внутри своей ячейкиF ЗначитD угол этой ячейки в вершине 1 не меньше 120 @иначе вклейE ка тройничка в этот угол приводит к противоречиюAF Если внутри ребра 11 имеются какиеEто другие вершиныD то угол с внутренней стороны нашей ячейки в этих вершинах не меньше @иначе спрямление внутрь привоE дит к противоречиюAF ЗначитD если всего в ячейке n угловD то их сумма не меньше (n - 1) + 23 = (n - 2) + 53 F Но по формуле ГауссаEБонне @лемма QFPA сумма углов ячейки должна быть равна как раз (n - 2) + 53 D значитD угол при вершине 1 " ровно 23 D а остальные внутренние ?углы? ячейки равны D тFеF других изломов нетF ЗначитD можно применить опиE санное выше сжатие ячейкиD после которого ребро 11 @включая точку 1A уже точно не будет содержать вершин многогранникаF I @eAF С уч?том проделанных операций ячейка 11 удовлетворяет всем условиямD необходимым для сжатияF Поэтому если ребро 12 в нашей сети вырожденноD сделаем сжатие ячейки 11 и тем самым удлиним ребро 12F QF ПредположимD что одно из р?бер 23 вырожденоF Тогда в точке 2 = 3 схоE дятся R невырожденных ребра " ребро 12D ребро 34 и два конца невырожденноE го ребра 23F Они образуют R углаD значитD хотя бы один из них меньше 23 F Сделаем вклейку тройничка в этот угол и докаE жемD что получившаяся в результате сеть Рис. 3.22: К пункту 3. принадлежит F ВоEпервыхD легко проE веритьD что новая сеть будет реализовыE вать плоский граф GD смF рисF QFPPF ВоEвторыхD если ни вершина C D ни вершина D не совпадали с точкой 2 = 3D то соответствие для новой сети очевидным образом получается из старого соответствияF Если жеD наE

79


примерD C = 2 = 3D то ситуация немногим сложнее " точка C лежит на границе обеих пятиугольных ячеек новой сетиD так что старое соотE ветствие снова подходитF ИтакD новаяD более короткаяD сеть лежит в D противоречиеF RF ПредположимD что вершина C лежит внутри ребра 12F Поскольку полный угол в вершине C меньше 2 D возможно спрямление ребра в этой точке хотя бы в одну из двух сторонF Полученная в результате спрямлеE ния сеть короче и поEпрежнему принадлежит с тем же соотвествием D поскольку в исходной сети по обе стороны от ребра 12 находится ячейкаD соответствующая C F Если же вершина C попала в один из концов ребра 12D то к противоречию приводит вклейка тройничка в уголD меньший 23 F Легко проверитьD что вклейка тройничка в любой из @шести потенциально возможныхA углов сохраняет соотвествие F S @AF ПредположимD что обе вершины C и D принадлежат р?бE рам 23F В таком случае обе эти вершины лежат на границах обеих пятиE угольных ячеекD поэтому помимо выбранного нами соответствия D изобE раж?нного на рисF QFIWD подходит и ещ? одно соответствие D в котором (C ) = (D), (D) = (C )F В пункте @RA мы доказалиD что C = 2 иD аналогичноD D = 3F Если C = 3D рассмотрим соответствие " для этого соответствия рассуждениеD провед?нное в @RAD да?тD что C = 3F Предположим теперьD что вершина C лежит внутри какогоEто ребра 23F Тогда хотя бы один из углов этого ребра в этой точке меньше D сделаем спрямлениеF В сетиD получившейся после спрямленияD точка C будет лежать уже не на ребреD а внутри одной из пятиугольных гранейD тFеF либо внутри грани (C )D либо внутри грани (C )D а вершина D поEпрежнему будет лежать на границе обеих гранейF ЗначитD для новой сети подходит либо соответствие D либо D тFеF новая сеть лежит в D противоречиеF S @AF Пусть вершина D нахоE дится на ребре 23 или в вершине 2D а точка C " внутри своей ячейкиF По формуле ГауссаEБонне @лемма QFPA для этой пятиугольной ячейки полуE чаем в первом случае 5 ћ 23 + D = (5 - 2 + 1) + D откуда D = D 3 или во втором случаеD когда D = 2D обозначим через D внутренний угол Рис. 3.23: К пункту 5(b). ячейки (D) в точке D = 2D тогда 3 ћ 23 + 53 - D = (5 - 2) + D откуда D = F ЗначитD углы ячейки 3 3 (C ) в точке 3 в сумме дают 43 F Кроме тогоD каждый из них не меньше 23 @иначе возможна вклейка тройничкаAD поэтому оба они равны 23 F

80


ИтакD мы доказалиD что ячейка (C ) представляет собой пятиугольE никD все углы которого равны 23 D поэтому она пригодна для сжатияF ПравE даD эта ячейка имеет самоналожение границы @ребро 12AD но это не мешает провести сохраняющую длину сети операциюD аналогичную сжатию " поE строить на р?брах 23 внутрь ячейки (C ) два параллелограмма с углом 60 D смF рисF QFPQF После ?сдвига? р?бер 23 ?влево? на место пунктирных линий мы получим новую сеть из min D уже не содержащую на р?брах 23 вершин многогранникаF ИтакD доказаны все заявленные утвержденияD и доказательство лемE мы QFIR завершеноF Помимо существования простой минимальной сети на всех многоE гранниках с кривизнами , , 53 , 53 D привед?нное рассуждение имеет слеE 33 дующий интуитивный смыслF Если мы вложим сеть из эластичных реE зиночек типа GD так что вершины многогранника находятся в нужных ячейках @такD как описано в определении AD и вставим иголки в вершины многогранника такD чтобы сеть не могла соскользнуть с нихD прич?м поE просим сеть ?отодвигаться? от вершин многогранника в том случаеD если есть возможность сделать этоD не меняя длинуD разрешим р?брам IP и QR перескакивать через вершины C и D соответственноD а так же запретим сети перестраивать структуруD то сеть либо превратится в минимальнуюD либо будет натянута р?брами PQ на вершины C, DF Если разрешить ещ? и одновременное перепрыгивание через нихD то сеть в конце концов @следуя нашим рекомендациям по отодвиганию от вершинA прид?т в устойчивое положениеD тFеF превратится в минимальнуюF

81


Литература
I АF ДF АлександровD Выпуклые многогранникиD Москва!ЛенинградD IWSHF P АF ДF Александров Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей ОГИЗD Москва!ЛенинградD IWRVF Q Бураго ДFЮFD Бураго ЮFДFD Иванов СFВF Курс метрической геометрии РХДD Москва!ИжевскD PHHRF R Завальнюк ЕFАF Локальная структура кратчайших сетей в пространствах А.Д. Александрова ограниченной кривизны GG ВестнF МоскF унEта МатемF МеханF " PHIQF S АF ОF ИвановD АF АF ТужилинD Геометрия минимальных сетей и одномерная проблема Плато GG УМНF " IWWPF " 47XP@PVRA " СF SQ!IISF T Иванов АFОFD Тужилин АFАF Геометрия множества минимальных сетей данной топологии с фиксированной границей GG ИзвF РАНF СерF матемF " IWWUF " 61F TF " СF IIW!ISPF U Иванов АFОFD Тужилин АFАF Разветвленные геодезические. Геометрическая теория локально минимальных сетей GG Российские матеE матические и научные исследованияD ЭдвинEМеллен ПрессD IWWWF " ТF SF V АF ОF ИвановD АF АF ТужилинD Теория экстремальных сетей GG МоскваEИжевскD Институт компьютерных исследованийD PHHQF W Колмогоров АFНFD Фомин СFВF Элементы теории функций и функционального анализа GG НаукаD МоскваD IWUPF IH Пронин МFВF Локально минимальные сети на римановых многообразиях отрицательной секционной кривизны GG Вестник МоскF унEтаF МатемF МеханF " IWWVF " SF " СF IP!ITF II АF ВF Погорелов Квази-геодезические линии на выпуклой поверхности GG МатемF сбF " IWRWF " 25@TUAXP " СF PUS!QHTF IP ВF ВF ПрасоловD ИF ФF Шарыгин Задачи по стереометрии GG НаукаD МоскваD IWVWF IQ ВF ЮF ПротасовD Замкнутые геодезические на поверхности симплекса GG МатемF сбF " PHHU " 198P " СF IHQ!IPHF

82


IR ИF ВF ПтицынаD АF ОF ИвановD АF АF Тужилин Классификация замкнутых минимальных сетей на плоских двумерных торах GG МатемF сбF " IWWP ! 183 IP " сF Q!RRF IS ИF ВF Птицына Классификация замкнутых локально минимальных сетей на тетраэдрах GG МатемF сбF " IWWR " 185 S " СF IIW!IQVF IT eF eltshuler Construction and enumeration of regular maps on the torus GG hisrete wthF " IWUQ " F RD Q " F PHI!PIUF IU fF eronov nd tF y9ourke Nonoverlap of the star unfolding GG hisrete nd gomputtionl qeometry " IWWP " V " F PIW!PSHF IV hhl tF Steiner problems in optimal transport. GG rnsF emF wthF oF " PHII " 363 R " F IVHS!IVIWF IW wF hezD wF hutour ikiri? Geometry of chemical graphs. Polycycles and two-faced mapsF GG inylopedi of wthemtis nd its epplitions " 119F " gmridgeX gmridge niversity ressD PHHVF PH wF hezD wF hutour ikiri? Zigzag and central circuit structure of D ({1, 2, 3}, 6)-spheres GG iwnese tF wthF " PHIP " 16 Q " F WIQ! WRHF PI wF hutour ikiri? Complex parametrization of triangulations on oriented D maps GG ers wthemti gontemporne " PHIQF " TF " F TW!VIF PP FF powler nd hFiF wnolopoulos An Atlas of Ful lerenes GG glrendon ressD yxfordF IWWSF PQ qlperin qF Convex polyhedra without simple closed geodesics. GG egulF ghoti hynF " PHHQ " 8 I " F RSESVF PR wF F qreyD F vF qrhm nd hF F tohnsonF ome xEomplete geometri prolemsF GG roF Vth ennF ympF heory gomputF " IWUT " F IH!PPF PS wF F qrey nd hF F tohnsonF Computers and Intractability: a Guide to the Theory of NP-Completeness. GG F rF preemnD n prnisoD gliforniD IWUWF PT iF xF qilert nd rF yF ollkF Steiner minimal trees. GG sew tF epplF wthF " IWTV " 16 I " F I!PWF PU eFreppesF Isogonal spherischen netze GG ennF nivF iFD fudpestD etF wthF " IWTR " 7 " F RI!RVF PV rwng pF uF A linear time algorithm for ful l Steiner trees GG yperF esF vetterF " IWVTF F SF " F PQS!PQUF PW rwng pF uFD ihrds hFD inter F The Steiners Tree Problem. GG ilsevier iene ulishersF IWWPF QH xF snnmi nd F xy A comparison theorem for Steiner minimum trees in surfaces with curvature bounded below GG ohoku wthF tF " PHIQ " F TS I " F IQI!ISUF

83


QI eF yF svnov nd eF eF uzhilin Minimal networks the Steiner problem and its generalizations GG gg ressD fo tonD pvD IWWRF QP F eF welzkF On the problem of Steiner. GG gndF wthF fulletin " IWTI " 4 " F IRQ!IRVF QQ F xegmiD Uniqueness and faithful lness of embedding of toroidal graphs GG hisrete wthF " IWVQ " 44 " F ITI!IVHF QR tFiF ylorD The struture of singularities in soap-buble-like and soap-lmlike minimal surfaces GG ennls of wthemtis " IWUT " 103 " F RVW! SQWF QS FF hurstonD Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere GG he ipstein irthdy shriftD qeomF opolF wonogrF " IWWV " 1 " F SII! SRWF
Работы автора по теме диссертации

QT Стрелкова НF ПFD Замкнутые локально минимальные сети на поверхностях выпуклых многогранников GG Моделирование и анализ инфорE мационных системF " PHIQF " ТF PHD SF " СF IIT!IRSF QU Стрелкова НF ПFD Замкнутые локально минимальные сети на поверхностях тетраэдров GG МатемF сбF " PHII " ТF PHPD I " СF IRI!ITHF QV Стрелкова НF ПFD Реализация плоских графов как замкнутых локально минимальных сетей на выпуклых многогранниках GG Доклады РАН " PHIH " ТF RQSD R " СF I!QF QW Стрелкова НF ПFD Устойчивость локально минимальных сетей GG Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложеE ниями к геометрииD механике и физике " PHIQ " 29 " gF IRV!IUHF

84