Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2010-dip-Stetyukhina.pdf Дата изменения: Sun May 16 05:32:50 2010 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:57:24 2016 Кодировка: Windows-1251

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра дифференциальной геометрии и приложений

Дипломная работа Стетюхиной Ольги Михайловны О соответствии случайных блужданий на ультраметрической дискретной реш е и p-адической прямой етк

Научный руководитель д.ф.-м.н. проф. Аветисов Владик Аванесович

Москва
2010


1 Введение
В последнее время модели ультраметрических случайных процессов активно используются для описания различных явлений в физике и биологии, в частности, в физике неупорядоченных конденсированных сред, физике белковых молекул и динамике биополимеров. При этом часто используются два подхода. Один из них основан на использовании pадического уравнения ультраметрической диффузии, а другой на компьютерном моделировании случайного блуждания на ультраметрической дискретной реш е. В связи с этим возникает вопрос о соответствии етк случайных блужданий на ультраметрической дискретной реш е и pетк адической прямой. В данной работе установлен математический смысл такого соответствия. Процесс Огиельского-Штейна, описанный в статье "Динамика в ультраметрических пространствах"("Dynamics on Ultrametric Spaces") представляет собой случайное блуждание на конечном бинарном n-уровневом дереве. Это случайный процесс с непрерывным временем. Состояниями являются вершины-листья, образующие иерархическую структуру. Растояние между ними определяется высотой соединяющей вершины, лежащей на пути из одного состояния в другое. Так зада я ультраметричеетс ское пространство. Чем больше расстояние, тем выше барьер, который нужно преодолеть для перемещения. Состояния нумеруются естественным образом от 0 до 2n - 1. Можно считать, что в нулевой момент времени процесс находится в состоянии 0. Тогда определена вероятность Pi (t) находиться в момент t в состоянии i. Вероятность перехода в единицу времени через i-ый барьер обозначается i . Чем больше i (выше барьер), тем меньше i . Дифференциальное уравнение на плотность вероятности выглядит следующим образом: dP (t) = P (t), dt где P (t) вектор, компонентами которого являются Pi (t), а матрица, где на месте элементa ij , i = j стоит вероятность перехода из i-го состояния в j -ое, а на диагонали 0 = - (1 + 22 + 43 + ћ ћ ћ + 2n-1 n ), то есть сумма недиагональных элементов столбца, взятых с обратным знаком.

2 Основные понятия
Введ некоторые общие понятия, используемые в этой работе. Это кратем кий обзор сведений, связанных с полем р-адических чисел и теорией слу1


чайных процессов. Поле p-адических чисел. Q поле рациональных чисел. Введ на ем Q p-адическую норму | ћ |p , определив е следующим образом: е

|x|p = p- ,

где x = p



m , 0 = m Z, n N, (m, n) , p - простое, n |0|p = 0.

p-адическая норма удовлетворяет стандартным свойствам нормы:
1. |x|p 0, и |x|p = 0 x = 0, 2. |xy |p = |x|p |y |p , 3. |x + y |p max (|x|p , |y |p ), прич если |x|p = |y |p , то достигается ем равенство. Заметим, что если данное неравенство выполнено, то неравенство треугольника |x + y | |x| + |y |, обычно используемое в определении нормы, выполняется тем более. Поэтому оно называется сильным неравенством треугольника. Пополнение Q по p-адической норме да поле p-адических чисел Q p . ет Каждое 0 = x Q p представляется в каноническом виде: ( ) x = p x0 + x 1 p + x2 p 2 + . . . , где = (x) Z, xj = 0, 1, . . . , p - 1, j = 0, 1, . . . ; и x0 = 0. Ряд (1.1) сходится по p-адической норме, и p-адическая норма x равна |x|p = p- , где (- ) называется порядком числа x. Порядок нуля считается равным -. p-адическая норма принимает только сч етное число значений. Она неархимедова. Это означает, что мы не сможем получить число x, |x|p = p , складывая числа с нормой меньшей p . Благодаря этому, пространство разбивается на шары:

B (a) = {x Q p | |x - a|p p } .
Шары разбиваются на сферы:

S (a) = {x Q p | |x - a|p = p } , B (a) = S (a) .


2


Также каждый шар разбивается на p шаров меньшего радиуса. Это легко увидеть, если посмотреть на каноническую запись числа. Шар B0 = B0 (0) обозначается Zp , и является кольцом целых p-адических чисел, то есть чисел, норма которых меньше единицы. Дробная часть {x}p числа x Q p определяется из канонического разложения: {x}p = 0, если (x) 0, ( ) {x}p = p x0 + x1 p + ћ ћ ћ + x- -1 p- -1 , если (x) < 0. Определим аддитивный характер поля Q p . Это функция : Q p C , обладающая свойствами

x, y Q

p

(x + y ) = (x) (y ) ,

| (x) | = 1.

Аддитивный характер p называется стандартным и определяет остальные характеры : p (x) = e2i {x}p .

(x) = p ( x) = e

2 i { x}p

,

где Q p .

На пространстве Q p можно ввести меру dp (ћ), которая называется мерой Хаара. Она инвариантна относительно сдвигов и нормируется:

dp x = dp (x + a) , dp x (мера единичного шара),
Zp

а значит определена цо множеств. Таким рожд енную шарами мену переменных по

для всех шаров в Q p , которые образуют полукольобразом, меру можно продолжить на -алгебру, пов Q p . Построенная мера позволяет производить заформуле

dp (ax) = |a|p dp x .
Теперь можно производить интегрирование по мере Хаара. Если M Q p измеримое по мере Хаара множество, то интеграл функции f : Q p C запишется в виде f (x) dp x .
M

Случайный процесс на Q p . Согласно аксиоматике Колмогорова, измеримым пространством называется пара {, }, где это некоторое

3


множество, а есть -алгебра подмножеств множества . Вероятностным пространством называется тройка {, , P }, где {, } измеримое пространство, а P сч етно-аддитивная мера на , удовлетворяющая условию P () = 1. Элемент A называется событием, а мера P (A) вероятностью события A. Пусть {Y , B } некоторое измеримое пространство. Отображение : Y называют |B -измеримым, если -1 (B) . ( ), , называется случайной величиной. Пусть F произвольная -алгебра, содержащаяся в , а случайная величина на вероятностном пространстве (, , P ) c математиче ским ожиданием ( ) < . Тогда условным математическим ожиданием случайной величины относительно -алгебры F называется случайная величина E { | F }, F |B -измеримая и при произвольном B удовлетворяющая соотношению E { | F } dP = dP.
B B

Условное математическое ожидание относительно случайной величины определяется P { | } = P { | F }, где F = { -1 (B ) , B B }. Условная вероятность P {A | F } является частным случаем условного математического ожидания и определяется как

P { A | F } = E { A | F } ,
где A ( ) характеристическая функция множества A. Пусть T = [0, ) множество, имеющее смысл времени. Случайным процессом называется отображение : T Ч Y , являющееся при фиксированном t T случайной величиной t : Y , то есть |B -измеримым отображением из в Y . Случайный процесс (t) называется марковским если для любых 0 t1 < t2 < ћ ћ ћ < tn < t и B B выполняется соотношение

P { (t) B | (t1 ) , (t2 ) , . . . , (tn )} = P { (t) B | (tn )} .
Марковский процесс однородный, если существует фукция P (t, x, B ) , t T , x , B B которая: 1. |B -измерима по x при фиксированных t, B , 2. при фиксированных t, x является вероятностной мерой на {Y , B }, 3. удовлетворяет уравнению Колмогорова-Чепмена P (t + s, x, B ) = P (s, x, dy ) P (t, y , B ) ,
Y

4


4. с вероятностью 1 совпадает с условными вероятностями

P (t, x, B ) = P { (t + s) B | (s) = x} .

3 Постановка задачи и решение задачи
Рассмотрим систему, имеющую pr (p-простое) состояний. Сопоставим каждому состоянию индекс i = 0, 1, . . . , pr - 1 и назов множество всех ем (k1 ) состояний шаром Br . Поделим Br на p шаров Br-1 , k1 = 0, ћ ћ ћ , p - 1, каждый из которых содержит состояния i = k1 pr-1 , . . . , (k1 + 1) pr-1 - 1. (k ) (k1 k ) Аналогично будем делить каждый шар Br-11 на p шаров Br-2 2 , k2 = 0, . . . , p - 1. Продолжим процедуру до уровня B0 , на котором каждый шар содержит по одному состоянию. Вероятность перехода за единицу времени внутри шара Bs , s = 1, . . . , r между подшарами Bs-1 равна qs , прич чем больше s, тем меньше qs . Введ q0 = - r=1 (p - 1) ps-1 qs . ем, ем s Тогда можно написать кинетическое уравнение

f (t) = Qf (t) , t
где f (t) вектор плотностей вероятности fi находиться в момент времени t в i-ом состоянии, при определ енных начальных условиях, а Q матрица Паризи (пример для p = 3, r = 2) q0 q1 q1 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q1 q0 q1 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q1 q1 q0 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q0 q1 q1 q2 q2 q2 Q = q2 q2 q2 q1 q0 q1 q2 q2 q2 . q2 q2 q2 q1 q1 q0 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q0 q1 q1 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q1 q0 q1 q2 q2 q2 q2 q2 q2 q1 q1 q0 Видно, что матрица Паризи имеет иерархическую блочную структуру. Построим отображение x (i) множества натуральных чисел, параметризующих состояния, в рациональные числа:

i=
(i)

r -1 =0

x

(i) p



r -1 =0

x(i) p

- +r -1

= x(i) ,

где x = 0, 1, . . . , p - 1, а | x(i) |p 1. Тогда элементы матрицы Паризи Qij , i = j, определяются только p-адическими расстояниями Qij = 5


( ) |x(i) - x(j ) |p , где (p ) = q . Тогда кинетическое уравнение можно переписать в виде системы pr уравнений
p -1 fk (t) ( = |x t i=0
r

(i)

) - x(k) |p (fi (t) - fk (t)) . (i)} до B0 = {x | |x|p 1}. являются все точки pслучаем запишем сле-

Устремляя r , мы пополним множество {x Теперь будем считать, что состояниями процесса адического шара B0 . По аналогии с дискретным дующее уравнение: f (x, t) ( |x - y |p ) (f (y , t) - f = t B0

(x, t)) dp y ,

где f (x, t) имеет смысл плотности вероятности. которое называется уравнением ультраметрической диффузии. Тогда вероятность находиться в момент времени t в множестве B выражается B f (x, t) dp x. Введ фактор-пространство B0 /B- , где B- = {x | |x|p p- }, проем интегрируем обе части кинетического уравнения ультра-метрической диффузии по B- и назов полученное уравнение представлением p-адического ем уравнения ультраметрического случайного блуждания на B0 /B- .
Теорема 1

Представление p-адического уравнения ультраметрического случайного блуждания на B0 /B- эквивалентно уравнению случайного блуждания на ультраметрической дискретной реш етке.
(i)

Разобь шар B0 на p шариков B- . Проинтегрируем p-адическое ем уравнение ультраметрического случайного блуждания по некоторому ша(k ) рику B- f (x, t) dp x = dp x ( |x - y |p ) (f (y , t) - f (x, t)) dp y . (k (k ) t B-) B- B0 Введ обозначение ем


B
(k ) -

f (x, t) dp x = fk . На каждом таком шарике функ-

ция ( |x - y |p ) постоянна. Тогда уравнение можно переписать в виде fk (t) = dp x ( |x - y |p ) (f (y , t) - f (x, t)) dp y + (k ) (k ) t B - B -

+
B
(k ) -

dp x


i=k

( |x - y |p )
B
(i) -

(f (y , t) - f (x, t)) dp y .

6


Первый интеграл обращается в ноль, поэтому уравнение перепишется

fk (t) ( = |x t i=k

(k)

) - x(i) |p p

-

(fi (t) - fk (t)) dp y ,

где x(k) , x(i) представители соответствующий шаров, а p- мера шара B- . Таким образом получилось уравнению случайного блуждания на ультраметрической дискретной реш е етк

fk (t) ( = |x t i

(k)

) - x(i) |p (fi (t) - fk (t)) dp y ,

где (ћ) = (ћ) p- . Так установлено соответствие между p-адическим уравнением ультраметрического случайного блуждания на B0 /B- и уравнением случайного блуждания на ультраметрической дискретной реш е. етк

Список литературы
[1] B.C.Владимиров, И.В.Волович, Е.И.Зеленов p-адический анализ и математическая физика, Физматлит 1994 г. [2] Andrew T. Ogielski, D.L. Stein Dynamics on Ultrametric Spaces, 1985. [3] V.A. Avetisov, A.H. Bikulov, S. V. Kozyrev Application of p-adic analysis to models of breaking of replica symmetry, 1999.

7