|
Эллиптический дифференциальный оператор на гладком замкнутом многообразии является фредгольмовым и,
следовательно, определен его индекс - целое число, равное разности размерностей ядра и коядра оператора.
Индекс является гомотопическим инвариантом оператора, и, в свое время, И.М. Гельфанд поставил задачу
вычисления индекса в топологических терминах. Эта проблема была решена Атьей и Зингером. Именно, они
выразили индекс в терминах класса когомологий, отвечающего коэффициентам оператора (его символа) и
характеристических классов многообразия. Для конкретных операторов (Эйлера, сигнатуры, оператора Дирака и др.),
отвечающих геометрическим структурам на многообразии, формула Атьи-Зингера дает явные выражения для индекса
через характеристические классы структуры, определяющие эти операторы. Более того, она, в частности, дает
объяснение целочисленности соответствующих родов.
Цель доклада - рассказать о теореме Атьи-Зингера. Предполагается, что все необходимые сведения из анализа и
топологии будут сообщаться в ходе доклада. В то же время, знакомство с элементами К-теории приветствуется.
|
