|
На пространстве двойственном к произвольной конечномерной алгебре Ли существует скобка Пуассона–Ли.
Набор коммутирующих относительно данной скобки, функционально независимых функций в количестве равном полусумме размерности
и индекса алгебры называется полным коммутативным. В теории интегрируемых гамильтоновых систем большой интерес
представляют полные коммутативные наборы, состоящие из полиномов, поскольку каждый такой набор, по сути, задает интегрируемую
гамильтонову систему с полиномиальными первыми интегралами на каждой орбите коприсоединненого представления алгебры Ли.
Вопрос о существовании полных коммутативных наборов полиномов на произвольной конечномерной вещественной или комплексной
алгебре Ли впервые был сформулирован в виде гипотезы в 1978 году А.Т.Фоменко и А.С.Мищенко.
Авторами были построены такие наборы на всех редуктивных алгебрах Ли. В 2004 году данная гипотеза
была доказана С.Т.Садэтовым в более общей формулировке. Оказалось, что полные коммутативные наборы полиномов существуют
на любой конечномерной алгебре Ли над полем нулевой характеристики. В 2005 году А.В.Болсиновым
была найдена явная индуктивная процедура построения таких наборов полиномов.
В докладе будет рассказано о применении конструкции А.В.Болсинова для построения полных коммутативных наборов полиномов
на вещественных алгебрах Ли малой размерности. А именно, с помощью данной конструкции полные
коммутативные наборы полиномов построены на всех алгебрах Ли размерности три, четыре, пять и на всех нильпотентных
алгебрах размерности шесть и семь.
|
