|
1. Постановка задачи.
Рассмотрим сферу Sn-1 , вписанную в n-мерный куб
с центром в точке O . Пусть
A ∈ Sn-1 и
α — касательная плоскость
к Sn-1 в точке A .
Определение.
Вершина куба B называется «отсеченной», если
OB пересекается с α , причем
не в точке B . Количество вершин, отсеченных касательной гиперплоскостью
в точке A , обозначим через N(A) .
Утверждение.
Любая касательная гиперплоскость отсекает не более 2n-2 вершин,
т.е. не более четверти от их общего числа.
2. Геометрические идеи и гипотезы.
1. Полярное преобразование. «Сферы влияния» каждой вершины.
Области постоянства N(A) .
2. Изменение N(A) при переходе через границу области.
Лемма об изменении N(A) не более чем на 1.
Непрерывность множества значений N(A) .
3. «Локальные экстремумы» N(A) .
Локальная и глобальная экстремальность N(A) .
4. Статистические экспериментальные данные.
5. Касательные к центрам k-мерных граней.
N(A) в точках, где касательная гиперплоскость содержит прямую, параллельную ребру
(такие точки назовем «хорошими»). Идея спуска для хороших точек.
6. Классификация областей постоянства: с центрами k-мерных граней, с «хорошими» точками,
остальные области.
|
